三角函数单元小结全面版

一、同角三角函数的八大关系
sinαcsαc 1 coαs seαc 1
tgα ctgα 1 sinα coαs tgα
coαs sinα ctgα sin2α cos2α 1
sec2α tg2α 1 csc2α ctg2α 1
二、两组诱导公式:
①2kπ±α,π±α的三角函数值等于α的同 名三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数 的符号.
3
3.指出变换过程:
① y s 将 x i图 n 象 π ， 向 y 得 左 six n 到 π 平 ) 图 ( 移 象 9 分
6
6
②将所得图象的 上横 所坐 有标 点不变标 ，把纵
伸长到原 2倍 来 ,得的 到 y2sinx(π/6)的图.象 12分
例 4(94年，上 ) 海
2
2
④半角公式 :
cosα 1cosα ;sinα 1cosα
2
2
2
2
α tg
1cosα

sinα
1cosα
2
1cosα 1cosα sinα
⑤万能公式 :
α 2tg
1 tg2 α
sinα
2 ;cosα
2
1 tg2 α
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1 tg2 α
2
2
⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用.
思路:函数y=sin2x+acos2x可化为 y 1a2sin2x(φ)
要使它的图象关于直线x= -π/8对称,则图象在该处
必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、
小值.
解 :由 s2 i ｜ n ( π ) a c2 o ( s π ｜ )1 a 2
8
8
解得 a1，应D.选
换
伸缩
横坐标不变
伸
缩
变 左右 换 伸缩
点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标不变
y=f(x)+b图象 y=f(x+φ) 图象 y=Af(x)图象
y=f(ωx)图象
四、记住下列三角公式:
①两角和与差的正弦余、弦、正切:
sinα( β) sinα cosβ cosα sinβ cosα( β) cosα cosβ sinα sinβ
微 6、见2sinα，想拆成sinα+sinα；
观 7、见sinα±cosα或
sinα+sinβ=p
直
想两边平方或和差化积 cosα+cosβ=q
觉 8、见asinα+bcosα，想化为
a2 b2sinα(φ)形式
9、见cosα·cosβ·cosθ····，先 10运 .见c用 ocsoαα+scos2s(αsin+i2nβαα) 若不行，2 s则in 化2和差 +cos(α+2 β )····，想乘 2 sin
2
高考试题精选及分 例1(90年，上海 ) 析
设α
角是第二象限且｜ 满co足sα｜
α cos
，
2
2
则α 角属于( C)A.第－象限 ;B.第二象限 ; 2
C.第三象限 ;D.第四象限 .
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例2(94年,全国 ) 如果函 y数 sin2xaco2sx的图像关x于 直 π 8 对称，a那 等么 于 ( )A. 2;B. 2;C.1;D.1
本章知识网络图
诱导公式
定义
同角三角函数的基本关系 单位圆与三角函数线 图象性质
y=asin+bcosα 的 最值
Cα±β Sα±β、T α±β
正弦定理、 余弦定理、 面积公式
积化和差公式 和差化积公式
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象
S2α= C2α= T2α=
Sα/2= Cα/2= Tα/2=
万能公式 降幂公式
②π/2±α,3π/2±α的三角函数值等于α 的余角的三角函数值，前面加上把α看成锐角时 原函数的符号.
三、一般函数图象变换
上下
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位
位 平移
移
变 换 左右
向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位
平移
基
本 变
y=f(x) 上下 图 象 点的纵坐标变为原来的A倍
t(α
β
)

tgα tgβ 1 tgα tgβ
②二倍角 : 公式
sin α 22sα incoαs;tg2α 2tgα 1tg2α
coαs 2co2αssi2n α12si2n α2co2αs1
③降幂: 公式
co2α s 1co2α s ;si2 nα1co2α s
三角解题常规
分析差异
指角的、函数的、运算的差异
宏
观 思
寻找联系
路
利用有关公式，建立差异间关系
促进转化
活用公式，差异转化，矛盾统一
1、以变角为主线，注意配凑和转化；
2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；
3、见和差，想化积；见乘积，化和差；
4、见分式，想通分，使分母最简；
5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；
2
③利用和 co α 差 sc化 o β s2 积 siα n 公 βsi式 α nβ
22
最后结果: 原式 3 4
例 6(19年 9,6 全)国 已知 A△ B中 C，三A 内 ,B,C 角 ，为 满足
例 5(19年 9 ,全 5)国
求 si22 n0 co 25s0 si2n 0 co 5s0 值 .
基本思路:
①利用 si2 α n 降 1 c幂 2 o α ， s c公 2 o α s1 式 c2 o αs
2
2
②利用积 siα 化 n co β和 s1[差 sα in β 公 ()s式 iα nβ ()
例3(200年 0 ，全)国 已知函y数 3sinxcosx，xR ①当函y数 取得最 大值时，求自x变 的量 集合 ; ②该函数图象y可s由inx，xR的图象经过怎
的平移和伸缩变换 到而 ？得
解题步骤:
1 .化函 y 2 s 数 ix n π 为 ) ( ， x R 3 分 2 .y 取最 x 的 大 6 { 集 x ｜ 值 x 2 k 合 π 时 π ,k 为 Z 得 } 6 分
已知 siα n3，α (π,π)，tg(π －)β1,
5
2
2
求tg(α 2－ β)值.
解题步 : 骤
①s由 iα n 值c求 oαs出值， tgα得;值 出 ②t由 g (πβ)值，tg β 求值 出， tg 2β再 ;值 ③再利用差角公式t求 g(α出2β)值.
答案:tg(α－2β)=7/24.