第三章有限元法应用中的若干问题.

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有限元法在数学建模中的应用

有限元法在数学建模中的应用有限元法是数学建模中非常重要的一种技术，它广泛应用于工程、物理、材料等领域。

本文将重点探讨有限元法在数学建模中的应用，介绍有限元法的基本原理以及在实际问题的求解中如何使用有限元法。

一、有限元法基本原理有限元法是一种计算数值解的方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。

有限元法的基本思想是将一个复杂的物理问题分解成许多小的单元，每个单元内近似为均匀的物理特性，然后利用这些小单元之间的相互作用来描述整个问题的行为。

具体而言，将一个有限区域分割成若干个小的有限元，形成一个有限元网格。

然后在每个有限元内选择一种适当的插值函数和数学方法，利用有限元法求解方程，计算各节点处的场量值。

最终通过将所有单元的解拼接成总体解来解决整个大型问题。

二、有限元法的应用在数学建模中，有限元法被广泛应用于求解各种物理问题。

以下几个问题是常见的应用场景。

1、弹性力学问题弹性力学问题涉及到力学中物体变形和应力分布的关系。

例如，通过有限元法求解一个材料的弹性力学问题，即在一定的边界条件下，计算出其内部的应力和变形分布等参数。

有限元法可以将复杂的材料变形和应力分布问题简化为有限元之间的局部线性问题。

在每个单元内用局部多项式函数近似表示物理量，并将各单元之间的信息连接起来，最终得到整个材料的应力和变形信息。

2、流体力学问题流体力学问题涉及到流体的流动、压力分布以及物体受到的阻力等问题。

通过有限元法求解流体力学问题，可以计算流体内部的压力、速度、流量等重要参数。

常见的有限元法方案包括有限元、有限体积法和有限差分法。

3、电磁场问题电磁场问题涉及到电磁波传播、电荷分布等问题。

通过有限元法求解电磁场问题，可以计算电荷、电势、磁场等电磁参数。

例如，有限元法可用于计算电磁波在介质中的传播和反射，以及导体中的电流分布。

三、有限元法在实践中的应用在实际应用中，有限元法需要通过软件来实现计算。

较为流行的有限元软件包有ANSYS、Comsol、ABAQUS等。

有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰

有限元原理及应用
第三章弹性力学有限元法
• 3．单元分析 • 单元分析包括位移模式选择，单元力学分析两个内容。 • 位移模式也称位移函数或插值函数，在有限元位移法中是以节点位移为基本未知量，再由这些节点位移插值得到单元内任意一点的位移值。单元的位移模式一般采用多项式，因为多项式计算简便，并且随着项数的增加，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。 • 单元力学分析根据所选单元的节点数和单元材料性质，应用弹性力学几何方程和物理方程得到单元刚度矩阵。由于连续体离散化后假定力是通过节点在单元间传递的，因此要利用插值函数把作用在单元上的体积力、面积力和集中力按静力等效原则移到节点上。
Hale Waihona Puke 有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法
• 5．结果后处理和分析 • 求解线性方程组得到位移矢量后，由几何和物理关系可以得到应变和应力。 • 由于应变（应力）来自位移的微分可能导致单元间应力不连续，这会使应力计算误差较大，要在节点附近进行平均化处理。 • 通过后处理还可得到位移、应变和应力的最大最小值及其所在位臵以及主应力、主应变或其它定义的等效应力。 • 结果的输出可以应用图表、动画等各种方式。最后还要对这些结果进行分析以指导工程设计、产品开发等等。
有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法?如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度ww与板厚tt的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图35所示面内的两个自由度也要一并考虑所示面内的两个自由度也要一并考虑导致单元的每个节点上a四边形弯曲单元b三角形弯曲单元图34薄板弯曲单元导致单元的每个节点上就要有五个自由度此类单元一般称为薄板单元
有限元原理及应用

结构分析的有限元法-第三章

式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )

计算固体力学第三章_1

TSINGHUA UNIVERSITY
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
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3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动分量和三个位移分量.
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如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维，板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省计算费用.
一点的位移列阵：一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵：一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)

第三章-用有限元素法建立结构振动的数学模型

第三章用有限元素法建立结构振动的数学模型3．1 引言【工程要求】：对于简单的连续结构，如单件的杆、板、梁，可以建立结构振动的偏微分方程，但对于杆、板、梁组成的复杂结构，仍然采用建立偏微分方程的方法则十分困难。

如果用假设模态法（李兹方法），对实际工程结构假设出品质良好的整个结构的假设模态也十分困难。

要对结构振动进行数值分析，必须建立振动的数学模型——振动方程。

工程结构振动分析中，要采用将结构离散为有限自由度系统的方法——有限元素法，来建立结构的数学模型。

【发展简况】有限元素法，是在上一世纪五十年代中期，经过M.T.Turner及J.H.Argyris 等人的开拓性工作以及后来许多研究者的大量工作，发展起来的一种结构分析的有效方法，上一世纪六十年代初，由J.S.Archer及J.H.Argyris等人引入到结构动力学分析中来。

有限元素法发展到今天，已经非常成熟，而且与先进的计算机技术结合，已经形成了一个以有限元分析方法为基础的计算机辅助工程（CAE）的技术领域以及更进一步的虚拟产品设计（VPD）这样的先进概念。

世界上著名的CAE分析软件商主要有MSC.software和Ansys等公司的产品。

【有限元动力学分析的任务】在结构振动分析领域，有限元素法处理的问题主要是两类：结构固有振动特性计算和结构振动响应计算（包括频率响应分析与响应时间历程分析）。

两类问题中，用有限元法建立振动数学模型是最基础的工作。

【有限元素法（分析结构振动问题）的特点】：原则上，有限元素法由于其对复杂边界的适应性，它可以处理任何复杂的结构。

求解结果的精度可以根据需要不断改善，建模过程规范统一，计算形式适合于计算机求解。

【存在的问题】：随着精度要求的不断提高，所要求的计算机容量和计算时间急剧增加，从而引出了大型特征值问题的快速求解方法、将大型结构振动问题转化为若干小型结构振动问题集合的子结构求解方法，以及结构振动问题的并行求解方法等问题的研究。

第三章MATLAB有限元分析与应用

第三章MATLAB有限元分析与应用有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种工程计算方法，用于解决结构力学和流体力学等问题。

它将一个复杂的结构分割成多个简单的离散单元，通过建立数学模型和求解方程组，得到结构的力学、热力学和流体力学等性能参数。

MATLAB是一种功能强大的数学计算软件，具有直观的用户界面和丰富的工具箱，可以方便地进行有限元分析。

本章将介绍在MATLAB中进行有限元分析的基本步骤和方法，以及一些常见的应用例子。

首先，进行有限元分析需要将结构进行离散化。

常用的离散化方法有节点法和单元法。

节点法是将结构的几何形状划分为小的节点，并在节点上进行计算。

单元法是将结构划分为多个小的单元，并在每个单元内进行计算。

在MATLAB中，可以通过创建节点和单元的矩阵来描述结构和单元的关系。

例如，创建一个2D结构形式的节点矩阵：nodes = [0 0; 1 0; 0 1; 1 1];然后，通过创建描述节点连接关系的矩阵，来定义结构的单元：elements = [1 2 3; 2 4 3];这里的每一行代表一个单元，数字表示节点的编号。

接下来，需要定义材料的力学参数和边界条件。

材料的力学参数包括弹性模量、泊松比等。

边界条件包括支座约束和加载条件。

在MATLAB中，可以通过定义力学参数和边界条件的向量来描述。

例如，定义弹性模量和泊松比的向量：E=[200e9200e9];%弹性模量nu = [0.3 0.3]; % 泊松比定义支座约束的向量（1表示固定，0表示自由）：constraints = [1 1; 0 0; 0 1; 0 1];定义加载条件的向量（包括点力和面力）：最后，通过求解方程组得到结构的应力和位移等结果。

在MATLAB中，可以利用有限元分析工具箱中的函数进行计算。

例如，可以使用“assem”函数将节点和单元的信息组装成方程组，并使用“solveq”函数求解方程组。

有限元法实际应用中若干问题的讨论

（位移模式中的常数项和一次项可以反映单元刚体位移和常应变的特性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常数。）
位移插值函数的构造

选择单元位移函数的一般原则
（3）选择多项式应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标的对称性。并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。
在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密的网格，在应力变化平缓的区域可布置较稀疏的网格。这样可以同时满足精度和效率两方面的要求。这一原则的实施要求分析者在分析前，对问题的应力分布特点应该有基本的了解。在一般情况下，为了使计算结果达到必要的精度，可以采用以下一些措施：粗糙的网格足以用来预测趋势。对应力变化激烈的区域局部加密网格进行重分析。采用自适应网格剖分。
选用高阶单元可提高计算精度因为高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数所以当结构形状不规则应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元
有限元法原理及应用
第四章有限元法实际应用中若干问题的讨论
有限元法实际应用中若干问题的讨论

目的：掌握有限元法实际应用中模型建立、求解、计算结构处理与改善所面临的问题。
网格数量
杆单元：单元内部应力是一样的，即使分得再细也不会改变精度。相反如果将一根构件分成多个杆，就会变成不稳定结构。
网格疏密
疏密不同的网格主要用于应力分析(包括静应力和动应力)，而计算固有特性时则趋于采用较均匀、规则的网格形式。这是因为固有频率和振型主要取决于结构刚度分布，而且还取决于质量分布，同时不存在类似应力集中的现象。对称结构尽量使用对称的网格。对称结构若使用不对称的网格可能导致错误的模态分析结果。采用均匀网格可使结构刚度矩阵和质量矩阵的元素不致相差太大，可减小数值计算误差，提高模态计算精度。

有限元分析法第3章杆单元

提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章杆单元
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶），相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章杆单元
§ 3 –2
单元2：2-3
135，l
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元

有限元课后第三章习题答案

有限元课后第三章习题答案有限元课后第三章习题答案第一题：根据题目给出的信息，我们可以得出以下结论：1. 题目中提到了一个平面问题，即只考虑二维情况。

2. 材料的弹性模量为E = 210 GPa。

3. 材料的泊松比为ν = 0.3。

4. 材料的厚度为t = 10 mm。

5. 材料的长度为L = 100 mm。

6. 材料的宽度为W = 50 mm。

7. 材料的边界条件为固定边界。

根据以上信息，我们可以开始解题。

首先，我们需要确定有限元模型的几何形状和单元类型。

由于题目给出的是一个平面问题，我们可以选择使用二维平面应力单元来建模。

根据题目给出的材料尺寸，我们可以选择一个矩形区域作为有限元模型的几何形状。

接下来，我们需要确定有限元模型的单元划分。

由于题目没有给出具体的单元划分要求，我们可以根据经验选择适当的单元尺寸和划分密度。

在这里，我们可以将矩形区域划分为若干个等大小的四边形单元。

然后，我们需要确定有限元模型的边界条件。

根据题目给出的信息，材料的边界条件为固定边界。

这意味着模型的边界上的节点在计算过程中将保持固定位置，不发生位移。

因此，我们需要将边界上的节点固定。

接下来，我们可以开始进行有限元计算。

首先，我们需要确定有限元模型的节点和单元编号。

然后，我们可以根据材料的弹性模量和泊松比，以及节点和单元的位置信息，计算出每个节点和单元的刚度矩阵。

然后，我们可以根据边界条件，将固定边界上的节点的位移设置为0。

这样，我们就可以得到一个由位移未知数构成的线性方程组。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到模型中每个节点的位移。

最后，我们可以根据节点的位移和单元的刚度矩阵，计算出每个单元的应力和应变。

根据题目给出的材料厚度，我们可以得到每个单元的应力和应变的平均值。

综上所述，根据题目给出的信息，我们可以使用有限元方法来求解这个平面问题。

通过建立有限元模型，确定边界条件，进行有限元计算，我们可以得到模型中每个节点的位移和每个单元的应力和应变。

第3章有限元分析的数学求解原理-三大步骤

U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi

0 X
y
¼ 1-9 Í

ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j

x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移最小势能原理：中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中

U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是的转置矩阵。
T

*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法

第三章+matlab有限元分析与应用

优化设计
在满足一定约束条件下，寻找使某个或多个设计指标达到最优的设计方案的过程。
目标函数
用于衡量设计方案优劣的数学表达式，通常是最小化或最大化的某个性能指标。
约束条件
限制设计方案选择的条件，包括设计变量的上下界、设计变量的关系等。
基于Matlab的有限元优化设计方法
MATLAB优化工具箱
提供了一系列用于求解各种优化问题的函数和算法，包括线性规划、非线性规划、混合整数规划等。
有限元模型
由一组离散化的元素组成，每个元素代表系统的一部分，并具有特定的属性和行为。
节点
元素之间的连接点，用于传递力和位移。
有限元分析的基本步骤
前处理
01
建立有限元模型，包括定义元素类型、几何形状、材料属性、
边界条件和载荷等。
Байду номын сангаас求解
02
应用数学方程求解有限元模型的节点位移和应力分布。
后处理
03
对于一些复杂模型，如具有非线性、大变形、多材料等特性，建模难度大，需要发展更高级的建模方法和技术。
数据安全与隐私保护
在进行有限元分析时，需要处理大量的数据，如何保证数据的安全和隐私保护是一个重要的问题。需要采取有效的数据加密和保护措施来确保数据的安全性和隐私性。
未来发展方向与展望
跨学科融合
结果后处理
显示结果
使用Matlab的图形功能，如`plot`、`mesh`等，绘制结果的可视化图像。
分析结果
对结果进行详细的分析，如查看位移分布、应力分布等。
结果优化
根据分析结果，对模型进行优化设计，以提高性能或降低成本。
03
有限元分析实例
Chapter

东南大学有限元分析课程第三章轴对称问题和空间问题有限元法

B = Bi
Bj
Bm

0 0 ( s = i , j , m) cs bs
K e = 2π rc B T DB
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为：
K sp = 2π rc BsT DB p bs bp + f s f p + A1 (bs f p + f s bp ) + A2 cs c p = A1 (cs bp + cs f p ) + A2bs c p A1 (bs c p + f s c p ) + A2 cs bp cs c p + A2bs bp
式中：式中：
A1 =
µ
1− µ
A2 =
1 − 2µ 2(1 − µ )
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变量，将单元中的r和z近似地当作常量，并且分别等于 rc , z c 。
1 r ≈ rc = ( ri + rj + rm ) 3
K e = 2π ∫∫ B T DBrdrdz
单元刚度矩阵的分块矩阵为，单元刚度矩阵的分块矩阵为，
K sp = 2π ∫∫ BsT DB p rdrdz ( s, p = i, j , m)
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变量 r, z 。
1 rc = ( ri + r j + rm ) 3
1 z c = ( zi + z j + z m ) 3

关于岩土工程有限元分析中的若干问题

（3）有限元分析的优势。
如果想要对工程的数据进行直接的分析，也想要对工程当中的风险进行全面的分析，选择有限元分析是最好的方法，有限元分析的优势就是在于可以分析输数值和工程的风险。岩土工程在建设过程中最重要的就是监控，而有限元分析法中能够起到很好的监控作用，所以整个岩土工程的细节都可以用有限元分析方法分析出来，在整个分析过程中，其实岩土工程的位置和它的形状大小，在分析方法中都显得不太重要，可以直接用边坡进行安全系数的计算，同时整个强度贮备系数和画面系数都可以进行计算。从实际出发，如果要计算整个岩土工程的破坏系数和他的极限，承受能力，如果采用有限元分析法进行计算，可以更有效并且简洁地计算出结果。相对来说环境条件比较恶劣的岩土环境，想对极限值进行测量，那么就用有限元分析方法这个方法，能起到极佳的好作用。又清晰明了，又操作简便，这就是有限元分析法的优势之处。
2岩土工程有限元分析中的若干问题
岩土工程的有限元分析十分简便，但是风险大，在实际过程中，岩土工程在进行有限元分析过程中，存在着很多问题，这些问题想要得到解决，必须详细进行分析。
2.1初始地应力场问题
影响整个有限元分析法的因素就是初始地应力，如果有限分析法操作员工在分析初始地应力时，并没有直接对初始地应力进行实际地判断，进行有限元分析法分析时，也没有重视这个初始地应力，所以在直接情况下一定要通过现场所测的数据来进行初始地应力的分析。初始地应力场需要用先总体再局部的方式进行测量，整个应力场的情况都能够掌握，同时也可以根据整个应力场情况将对应力分量函数分析出来。
在原本用开挖荷载的计算公式对整个岩土工程的等效节点力进行计算的同时，将应力值的数据在原有基础上一直往上调整，达到满足高斯点的位置，而且这样测算出来的开挖荷载值也能有提高，整个岩土工程中的开挖荷载的计算问题也能够因为这些有解决方式，从误差上来看，会有降低的好效果。

有限元方法第三章杆系结构有限元

稳定性以及波浪载荷的影响。
应用实例
某大型桥梁的稳定性分析
采用杆系结构有限元对某大型桥梁进行稳定性分析，评估其在不同载荷下的变形和承载能力。
高层建筑的抗震性能研究
利用杆系结构有限元模拟高层建筑的抗震性能，分析地震作用下结构的响应和破坏模式。
汽车悬挂系统的优化设计
通过杆系结构有限元模拟汽车悬挂系统的运动和受力情况，优化悬挂参数以提高车辆行驶的稳定性和舒适性。
有限元方法第三章杆系结构有限元
• 引言 • 杆系结构有限元的基本概念 • 杆系结构有限元的建模方法 • 杆系结构有限元的求解方法 • 杆系结构有限元的应用案例 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
杆系结构是工程中常见的一种结构形式，广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域。由于其具有复杂的几何形状和受力特性，因此需要采用有限元方法进行数值分析。
THANKS
感谢观看
04
杆系结构有限元的求解方法
求解步骤
确定边界条件
根据实际情况，确定杆系结构的边界条件，如固定、自由、受压等。
求解线性方程组
将所有单元的平衡方程组合成一个线性方程组，然后使用数值方法求解该线性方程组。
建立离散模型
首先将杆系结构离散化为若干个小的单元，每个单元具有一定的物理属性。
应用力学平衡方程
杆系结构有限元的优缺点
优点
能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于大规模问题求解，计算精度可调，可模拟复杂的结构和场。
缺点
需要针对不同的问题建立不同的模型，计算量大，需要较高的计算机资源，对于非线性问题求解较为困难。
03
杆系结构有限元的建模方法
建模步骤
确定研究问题

第三章有限元法应用中的若干问题

有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特
别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是有限元位移法。

有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工
处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。
第三章有限元法应用中的若干问题
有限元模型的建立
单元划分的基本原则
有限元分析过程及位移解的下限性质
应力计算结果的性质和处理
第一节有限元模型的建立
应用有限元法分析实际问题的目的是方便、快捷的得到可靠性的结果，其分析过程的有效性和计算结果的可靠性成为有限元法的两大核心问题。它涉及到合理的有限元模型的建立，恰当的分析方案和计算方法的选择以及对计算结果的正确解释和处理这三个方面。对一个实际问题进行有限元分析的首要步骤是建立合理的有限元模型。其中最主要的是单元类型和形状的选择以及网格的安排和布置。
由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后
进行重分析，直至满足精度要求为止。
2、疏密网格的过渡在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏
密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密
划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。

1）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元形状不好而影响局部的精度； 2）采用三角形单元过渡，其不足是可能因引入不同形式的单元而带来不便； 3）采用多节点约束方法过渡。
4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响求解精度。 5）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节点。 6）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。

有限元法应用中的若干问题

3.4有限元位移解的下限性质
❖ 在用有限元位移法求解弹性力学问题时,要应用最小位能原理。根据最小位能原理求得的位移近似解，其值将小于精确解。这种位移近似解称为下限解。
❖ 位移解的下限性质可以解释为：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束的限制，使单元的刚度较实际连续体加大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实际刚度大，求得的位移近似解总体上（而不是每一点）将小于精确解。
有限元的收敛条件（续）
❖ 3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。
4.1应力近似解的性质
❖ 我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于近似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应变能一般地总是小于精确解的应变能。因此，得到的位移解总体上偏小。
❖ 分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应力近似解必然在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正好是精确解，亦即在单元内存在最佳应力点。应力解的这个特点将有助于处理应力计算的结果，改善应力解的精度。
❖
ε=Bae σ=Dε=D Bae
❖ ae为节点位移矩阵
❖ 应变矩阵B是插值函数N对坐标进行求导后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得到的应变ε和应力σ精度较位移u降低了，即利用以上两式得到的ε和σ的解答可能具有较大的误差。