动量方程和能量方程
相对论：能量和动量的变换
相对论能量：物体在相对论中 的能量，包括静止能量和动能
相对论动量：物体在相对论中 的动量，等于其能量与速度的来自比值能量和动量的关系式
E^2
=
m^2c^4 +
p^2c^2
E^2
=
m^2c^4 +
(pc)^2
E^2
=
m^2c^4 +
(γm^2 -
m^2)c^2
E^2
=
m^2c^4 +
(γm^2 -
m^2)c^2 +
领域
引力波探测：利用相对论原理 探测引力波，研究宇宙起源和
演化
相对论中能量和 动量的实验验证
原子能与核能的实验验证
原子能实验：通过核裂变和核聚变 实验，验证了相对论中能量和动量 的关系
粒子加速器实验：通过粒子加速器 实验，验证了相对论中能量和动量 的关系
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核能实验：通过核反应堆实验，验 证了相对论中能量和动量的关系
相对论中的能量和动量的物理意义
相对论的基本原理：光速不变原理 和相对性原理
相对论中的能量和动量的变换：在 相对论中，能量和动量不再是独立 的物理量，而是相互关联的
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能量与动量的关系：能量是动量的 函数，动量是能量的时间导数
能量守恒定律：在相对论中，能量 守恒定律仍然成立，但需要修改为 能量-动量守恒定律
能量和动量变换 的应用
核能与核反应
核反应的类型和过程
核能的定义和特点
核能与核反应在能量和动量 变换中的应用
核能与核反应的安全性和环 保性考虑
粒子加速器
动量和能量
动量和能量力的效应：力的瞬时作用效应牛顿第二定律＝；当合外力为零时物体平衡。
---==⎧⎨⎩F ma F F x y00 力对时刻的积聚效应——动量定理Ft ＝p 2－p 1，当合外力的冲量为零时，体系动量守恒p 1＝p 2。
力对空间的积聚效应——动能定理Fs ＝E k2－E k1，当只有重力和弹簧弹力做功时，机械能守恒E 1＝E 2。
（一）动量定理和动能定理动量和动能是从不合角度描述物体活动状况的物理量。
动量是矢量，而动能是标量；物体动量的变更用外力的冲量来量度，而动能的变更则用外力的功来量度。
动量定理和动能定理的公式分别为：Ft ＝mv 2－mv 1 ①Fs mv mv =-12122212②因此两个公式分别为矢量式和标量式，但不难看出二者仍有专门多雷同的处所。
起首两个公式的情势是类似的；其次式中的v 1、v 2和s 均应相关于同一惯性系；再者合外力的冲量Ft 与合外力的功Fs 在求解方法上也具有类似性，即能够先求合力F 再求它的冲量或功，也能够先求各分力的冲量和功再合成。
（二）动量守恒定律和机械能守恒定律假如说动量定理和动能定理研究对象仅限于单个物体的话，那么动量守恒定律和机械能守恒定律的研究对象则必定是由多个物体所构成的体系。
二者的数学表达式常用情势分别为m v m v m v m v 11221122+=+''③ 1212121222mv mgh mv mgh +=+④在应用两个守恒定律解题时起重要留意体系切实事实上定和守恒前提切实事实上定。
两个守恒定律的前提含义是完全不合的，解题时切切不克不及混为一谈。
1. 动量守恒的前提①动量守恒定律的前提是体系不受外力的感化，然则实际上，全然不受外力感化的体系是不存在的，只要体系受的合外力为零，那么该体系就将严格遵守动量守恒定律，因为“合外力为零”与“不受外力感化”在对体系活动状况的变更上所产生的后果是雷同的。
②在实际情形中，合外力为零的体系也是专门少碰到的，是以在解决实际问题时，假如体系内部的互相感化力（即内力）远比它们所受的外力大年夜（例如互相感化时刻极短的碰撞类问题确实是如斯）就可忽视外力的感化，应用动量守恒定律去处理。
第7章_理想流体动力学基本方程
④列动量方程求解。
Fx p1A1 p2 A2 cos Rx Qv2x v1x
Fy p2 A2 sin Ry Q v2y v1y
Fx p1A1 p2 A2 cos Rx Qv2 cos v1
Fy p2 A2 sin Ry Qv2 sin 0
Rx p1A1 p2 A2 cos Qv2 cos v1
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质点系的动量定理：
系统的动量对时间的变化率等于作
第7章 理想流体动力学动量方程
粘性流体：实际流体都具有粘性，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
主要内容
过流断面是均匀流或渐（缓）变流断面不可压缩流体
Fx Q(2v2x 1v1x ) Fy Q(2v2 y 1v1y ) Fz Q(2v2z 1v1z )
④当沿程有分流和汇流时：
Fx (3Q3v3x 2Q2v2x 1Q1v1x ) Fy (3Q3v3y 2Q2v2 y 1Q1v1y ) Fz (3Q3v3z 2Q2v2z 1Q1v1z )
对1-1，2-2断面列伯努利方程
p1 v12 p2 v22
g 2g g 2g
v1 1.42m / s v2 3.18m / s
动量守恒和能量守恒公式
动量守恒和能量守恒公式动量守恒（momentum conservation）和能量守恒（energy conservation）是物理学中两个非常重要的定律。
首先，我们来了解一下动量守恒。
动量是描述物体运动状态的物理量，它是质量（m）乘以速度（v），即p=mv。
根据牛顿第二定律，物体的动量变化率等于作用在物体上的力产生的冲量，即F=dp/dt，其中F是力，dp/dt是动量的变化率。
根据动量守恒定律，当物体间的外力为零时，物体的总动量保持不变。
当有两个物体发生碰撞时，这个系统的总动量在碰撞前后是守恒的。
换句话说，如果一个物体的动量增加，那么另一个物体的动量必然减小，这就是动量守恒的基本原理。
这个原理被广泛应用在各个领域，例如交通事故、运动中的球类运动和飞行器的设计等。
接下来，我们来讨论能量守恒。
能量是物体进行工作或引起变化的能力，是物理系统的基本属性。
根据能量守恒定律，一个系统的总能量在任意时刻都是保持不变的。
能量可以分为各种形式，包括动能、势能、热能等。
动能是物体运动的能量，由于速度和质量的平方成正比。
势能是物体由于位置而具有的能量，如重力势能和弹性势能。
热能是物体内部粒子运动产生的能量。
在一个封闭系统中，能量守恒定律表明，系统的总能量是一个恒定值，一旦系统能量从一种形式转化为另一种形式，总能量保持不变，只是能量在不同形式之间的转化。
例如，考虑一个物体自由下落的情况。
当物体下落时，势能转化为动能。
当物体触地时，物体的动能转化为热能和声能，但总能量不变。
总结一下，动量守恒和能量守恒是物理学中的两个重要定律。
动量守恒表明在一个封闭系统中，系统的总动量在任意时刻都保持不变。
能量守恒表明系统的总能量在各种能量形式之间转化时保持不变。
这些定律在解释和预测物理现象和事件方面起着关键的作用，并在许多领域的科学研究和技术应用中发挥着重要作用。
动量方程和动量方程能量方程
d (mC u · r) dt
d (mCu r ) dm2C2u r2 dm 1C1u r 1
将上式代入动量矩定律数学表达式得
(C2u r2 C1u r1 ) M m
该式即为流动气体的动量矩方程。它表明，作用于 控制体内气体上外力的合力对任一轴线之力矩，等 于每秒钟内流出和流入该控制体内气体对同一轴线 的动量矩之差。
C2 dq外 dw d ( ) di 2
图 2-2-2
CAdC
故
dp CdC
该式表明，气流沿流管作增速运动时，其压强必然 要降低；反之，减速时压强必然要升高。
三、动量矩方程 从力学中知道，作用于物体上外力的合力对任一 轴线之力矩，等于该物体对同一轴线之动量矩随时 间的变化率，即动量矩定律，其数学表达式为
M
将这一定律应用于流动气体，就可得到一维定常流的 动量矩方程。设有一维定常管流，控制体和体系取法 如图2—2—5所示。由于流场是定常的，区域 1 2 段内气体动量矩不变，气体动量矩的变化量等于区域 1 1和 2 2 段内气体动量矩之差，即
( 2C2 A2 dt)C2 x ( 1C1 A1dt)C1x m(C2 x C1x dt)
式中 m 1C1 A1 2C2 A2 是质量流量。 设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴 方向的分量为P，则其微元冲量为 Px dt 根据动量定理有：
。
x
(C2 x C1x )dt Px dt m
dQ dQ外 dQ内
2．机械功 dW
dW 为体系中叶轮旋转对气体所作的功。 3．推动功 dW12
dW12 dm( p1v1 p2 v2 )
4．损失功 dW损
第四章能量方程及动量方程小结
（1）水流必需是恒定流； （2）作用于液体上的质量力只有重力； （3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所 取的两个断面之间，水流可以不是渐变流； （4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加 入或分出。若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例如图示 1 有支流的情况下,能量方程为： 3 p 3 α 3V 32 p1 α 1V12 Q1 Z1 + + = Z3 + + + hw1− 3 1 2 2g 2g ρg ρg Q3 Q2 p 3 α 3V 32 p 2 α 2V 22 3 Z2 + + = Z3 + + + hw 2 − 3 2 2g 2g ρg ρg （5）流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为： p1 α 1V12 p 2 α 2V 22 Z1 + + ± Ht = Z2 + + + hw 2g 2g ρg ρg
αV A =
3
αV 2
2g
ρ gQ
∫ h ′ ρ gdQ
w Q
取平均的hw
hw ρ g ∫ dQ = hw ρ gQ
Q
前进
方程式的物理意义： p1 α 1V12 p 2 α 2V 22 Z1 + + = Z2 + + + hw 2g 2g ρg ρg
H1 = H 2 + hw E1 = E2 + hw
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理想液体恒定流微小流束的能量方程式
设在理想液体恒定流中， 设在理想液体恒定流中，取一微小流束 依牛顿第二定律： 依牛顿第二定律 ∑ Fs = ma s 其中： 其中 a s =
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
动量、能量、质能方程讲解
虽然凭日常生活经验很难检验质能方程的正确性，但是质能方程却为核能的应用 打开了大门，它能定量地描述核反应释放出的能量，根据质能方程可知，要想从 物体中获得能量，最重要的就是用某个方法使这种物质经过某一过程，使其前后 静质量不相等，
比如将铀235原子分裂成两个新的原子核，其中有92个质子，143个中子，于是 在一个中子的撞击下，铀原子的总静质量要比铀235原子的静质量少0.22u，u = 1.66×10^-27kg，于是释放出的能量就是ΔE = Δmc^2 = 0.22×1.66×10^27×9×10^16 = 3.3×10^-11焦耳，
而1g铀235中的原子数约为2.56×10^21，因此1g铀235中的原子全部裂变就会 (3.3×10^-11)×(2.56×10^21) = 8.5×10^10焦耳，这个能量相当于20吨TNT 爆炸释放出的能量。因此不管是核裂变还是核聚变，原子中蕴含的能量都是非常 巨大的。
这就说明物体的动能等于物体运动时的能量减去静止时的能量，因此用E代表物 体总能量，上式就可以表达为E = mc^2，这个式子就是质能关系，它说明如果 某个物体或者体系有ΔE的能量变化的话，则对应的质量也有Δm的变化，
即ΔE = Δmc^2，现实中能量的变化是比较容易观测的，而质量的变化则是很微 小的，非常不容易察觉，比如一千克的水从0摄氏度被加热到100摄氏度时，吸 收的能量为4.18×10^5焦耳，则质量只是增加了Δm = ΔE/c^2 = 4.6×10^-12 千克，根本感觉不到。
说完了质量与速度的关系，那么变化的质量又和能量是什么关系呢，在力学中推 导做功时，定义了元功的概念，现在有一质量为m0的物体在变力F的作用下沿x 轴运动，当质点的速度从零增加到v时，外力F做的功就是此刻的动能，
navier-stokes 方程
navier-stokes 方程
Navier-Stokes方程是流体动力学中最重要的方程之一，它描述了流体的运动特性。
它是由法国数学家和工程师 Claude-Louis Navier和George Gabriel Stokes在19世纪末提出的。
Navier-Stokes方程是一组非线性微分方程，用于描述流体的运动特性。
它可以用来模拟流体的流动，如水、空气和液体，以及流体的变形和变化。
Navier-Stokes方程由三个基本方程组成，分别是动量方程、能量方程和质量守恒方程。
动量方程描述了流体的动量变化，能量方程描述了流体的能量变化，而质量守恒方程描述了流体的质量变化。
Navier-Stokes方程可以用来模拟流体的流动，如水、空气和液体，以及流体的变形和变化。
Navier-Stokes方程在现代工程中有着广泛的应用，它可以用来模拟流体的流动，如水、空气和液体，以及流体的变形和变化。
它可以用来计算气体和液体的流动，以及流体的变形和变化。
它还可以用来计算气体和液体的压力、温度和流速，以及流体的变形和变化。
Navier-Stokes方程是流体动力学中最重要的方程之一，它描述了流体的运动特性，并且在现代工程中有着广泛的应用。
它可以用来模拟流体的流动，如水、空气和液体，以及流体的变形和变化，从而为工程设计提供重要的参考。
第3章-两相流的基本方程
适用于分层流、波动分层流、环状流等。
基本假设：
1. 两相完全分开流动；
A A A; A A; A A1
2. 两相流速不相等；
W W••S 1
dz A
dz
流体流动方向为正
3.2 单相流体一元流动的基本方程
三. 能量方程
单位时间内， 控制体内总能量的增量 等于加入控制体的热量 与外界对其所作功之和。
dQ dL dE
pg
流体流动方向为正
dp dF g sin W dW
dz dz
dz
3.2 单相流体一元流动的基本方程
g
sin dz
内能的增量
dU d (1 x)U xU
dq pdm dqo dF pdm
两相混合物的能量方程中，总压降梯度
dp dz
m
dF dz
mG2
2
d dz
(1 x)3
'2
(1
)2
x3
''2 2
mg sin
dp dz
m
dF dz
m g sin
mG2
2
dE2
dz
3.4 均相流模型的基本方程
一、均相流模型的基本思想和基本假设
基本思想：通过合理定义两相混合物的平均物性值， 把两相流当作具有这种平均特性，遵守单相流体基本方程的 均匀介质。
基本假设： （1）两相具有相等的速度，即
水力学三大方程
水力学三大方程指的是连续性方程、动量方程和能量方程。
这三大方程是描述流体力学过程的基本方程，也是水力学研究和应用的基础。
连续性方程
连续性方程也称为质量守恒方程，它表述了流体在运动过程中质量守恒的基本原理。
连续性方程的数学表达式为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
其中，ρ表示流体密度，t表示时间，u表示流体的速度，∇表示偏微分算符。
这个方程的物理含义是：任何一段流体管道中的质量流量都相等，即在单位时间内通过截面积相同的两个截面的流体质量相等。
动量方程
动量方程是描述流体运动动力学过程的方程，它表述了流体的动量守恒原理。
动量方程的数学表达式为：
ρ(∂u/∂t + u·∇u) = -∇p + ∇·τ+ ρg
其中，p表示流体的压力，τ表示流体的应力张量，g表示重力加速度。
这个方程的物理含义是：流体的动量随时间和空间的变化而改变，动量的变化量等于受到的力的作用量。
能量方程
能量方程描述了流体运动过程中能量守恒的基本原理。
能量方程的数学表达式为：
ρCv(∂T/∂t + u·∇T) = -p∇·u + ∇·(k∇T) + Q
其中，T表示流体的温度，Cv表示比热容，k表示导热系数，Q表示单位时间单位体积内的热源项。
这个方程的物理含义是：流体在运动过程中受到的压力和内能的变化，以及受到的热量和能量的变化，都会影响流体的温度和温度的变化。
流体力学基本方程
流体的本构关系
流体均匀各向同性 流体可承受正应力 静止流体不能承受剪切 运动流体不同速度层之间存在剪切力（粘性） 静止流体表面应力为
p ij
ij p ij dij
流体的本构关系
Resistentian, quae oritur ex defectu lubricitatis partuim fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fluidi separantur ab invicem. Isaac Newton, 1687, From Section IX of Book II of his Principia
流体的输运系数
粘性系数（动量输运）： 热传导率（能量输运）： k
( p, T ) k ( p, T )
n
幂函数公式：
T 0 T0
k T k0 T0
1.5
n
Sutherland公式：
T T0 Ts 0 T0 T T
0
Du p f Dt
Euler Equation
1 p U 2 C 2
Bernoulli’s Equation
涡量方程
u 0 : Du 2 p f u Dt
0:
Du p f Dt
Skk u
1 v u ( ) 2 x y v y 1 w v ( ) 2 y z
1 w u ( ) 2 x z 1 w v ( ) 2 y z w z
单位体积变化率（描述流体均匀膨胀，压缩）
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学方程各项的意义 知乎
流体力学方程各项的意义知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：流体力学方程是描述流体运动规律的基本方程，它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这三个方程分别对应了流体运动中质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理，通过这些方程我们可以推导出流体在不同情况下的运动规律和流态特性。
下面将分别介绍各项方程的意义。
连续性方程是描述流体在空间内不同位置和不同时间的质量变化关系。
其数学表示形式为质量守恒方程：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0ρ表示流体的密度，v表示流体的流速，t表示时间。
这个方程实际上是描述了在流体流动过程中，质量不能被“创造”或“消失”，而只能在空间内不同位置之间转移。
连续性方程可以帮助我们理解和描述流体在不同位置之间的质量变化关系，对于研究流体运动的整体特性和稳定性具有重要意义。
动量方程是描述流体运动过程中力的作用和运动状态变化的方程。
其数学表示形式为牛顿第二定律：p表示压力，τ表示应力张量，F表示外力。
这个方程可以描述流体在外力作用下产生的加速度和流速的变化情况，进而帮助我们理解和分析流体运动中各种复杂的现象和特性。
通过动量方程，我们可以研究流体在不同条件下的运动规律和动力学特性，为流体力学的应用和实践提供理论基础。
ρ[∂(e + v^2/2)/∂t + ∇·[(e + p)v]] = ∇·(k∇T) + φe表示单位质量的内能，k表示热传导系数，T表示温度，φ表示能量来源。
能量方程可以描述流体的内能和动能随着时间和空间的变化情况，进而帮助我们研究和分析流体的温度、热量传递和能量转换过程。
通过能量方程，我们可以深入理解流体在不同环境下的能量交换和转化机制，为热力学和热传导等领域的研究提供依据和支持。
流体力学方程是研究流体运动规律和性质的基本工具，每一个方程都有其独特的物理意义和数学含义。
通过对这些方程的建立和求解，我们可以深入探讨流体在宏观尺度下的行为和特性，为工程应用和科学研究提供理论支持和指导。
动量和能量
动量和能量力的效应：力的瞬时作用效应牛顿第二定律＝；当合外力为零时物体平衡。
---==⎧⎨⎩F ma F F x y 00 力对时刻的积存效应——动量定理Ft ＝p2－p1，当合外力的冲量为零时，系统动量守恒p1＝p2。
力对空间的积存效应——动能定理Fs ＝Ek2－Ek1，当只有重力和弹簧弹力做功时，机械能守恒E1＝E2。
（一）动量定理和动能定理动量和动能是从不同角度描述物体运动状态的物理量。
动量是矢量，而动能是标量；物体动量的变化用外力的冲量来量度，而动能的变化则用外力的功来量度。
动量定理和动能定理的公式分不为：Ft ＝mv2－mv1① Fs mv mv =-12122212②尽管两个公式分不为矢量式和标量式，但不难看出二者仍有专门多相同的地点。
第一两个公式的形式是相似的；其次式中的v1、v2和s 均应有关于同一惯性系；再者合外力的冲量Ft 与合外力的功Fs 在求解方法上也具有相似性，即能够先求合力F 再求它的冲量或功，也能够先求各分力的冲量和功再合成。
（二）动量守恒定律和机械能守恒定律如果讲动量定理和动能定理研究对象仅限于单个物体的话，那么动量守恒定律和机械能守恒定律的研究对象则一定是由多个物体所构成的系统。
二者的数学表达式常用形式分不为m v m v m v m v 11221122+=+''③ 1212121222mv mgh mv mgh +=+④在应用两个守恒定律解题时第一要注意系统的确定和守恒条件的确定。
两个守恒定律的条件含义是完全不同的，解题时千万不能混为一谈。
1. 动量守恒的条件①动量守恒定律的条件是系统不受外力的作用，然而实际上，全然不受外力作用的系统是不存在的，只要系统受的合外力为零，那么该系统就将严格遵循动量守恒定律，因为“合外力为零”与“不受外力作用”在对系统运动状态的变化上所产生的成效是相同的。
②在实际情形中，合外力为零的系统也是专门少遇到的，因此在解决实际咨询题时，如果系统内部的相互作用力（即内力）远比它们所受的外力大（例如相互作用时刻极短的碰撞类咨询题确实是如此）就可忽略外力的作用，应用动量守恒定律去处理。
动量方程能量方程
c1
k 1
(k 1)Ma12 sin2
斜激波后的马赫数：
v2n c2
v2 sin(
c2
)
Ma2 sin(
)
波前后马赫数的关系： Ma2 sin( ) Ma1 sin
Ma12 sin2 (k 1) / 2 kMa12 sin2 (k 1) / 2
亚声速流。
（3）
p2 pamb p1
p0
p0
p0
在扩张段中将产生激波现象。喉部处的声速流进入扩张段后成为超声速流，而在 某处截面产生正激波，超声速流通过正激波后成为亚声速流，压强升高，直到出口 处渐达从到喉了道背移压 向出p口 处pam。b 。当激小波于的一位定置值是后和，压激强波比移有出关管的道，成随为着斜背激压波的，降整低个，扩激张波段逐为 超声速流，并且不再随背压的变化而变。
斜激波前气流的法向分速度是超音速，斜激波后的法 向分速度是亚音速。斜激波后的气流的速度，则根据切向 气流的分速度大小的不同，可能大于音速也可能小于音速。
第五节 激波的反射与相交
自由界面上的反射
在自由界面上的反射 在固体避面上的反射
λ型激波系
从等压自由界面发生出来的应是膨胀波。在固体壁面上反射
c2 {[2kMa12 (k 1)][2 (k 1)Ma12 ]}0.5
c1
k 1
(k 1)Ma12
6.马赫数比
Ma2 Ma12 (k 1) / 2 Ma1 kMa12 (k 1) / 2
第四节 斜激波
当超音速气流流过图 中所示 的凹壁面时将产生斜激波,气 流的速度由超音速变为亚音 速，而且流动的方向也将发 生变化。壁面的转折角为 ， 用角标1和2分别表示波前和 波后，n和t分别表示速度与 激波面垂直和平行的分量， 激波与波前壁面的交角称激
相对论的动量和能量
轻核聚变条件
温度要达到
108 K 时，使
2 1
H
具
有 10keV
的动能，足以克服两
2 1
H
之间的库仑排斥
力.
五 动量与能量的关系
E mc2 m0c2 1 v2 c2
p mv m0v 1 v2 c2
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
电子的静质量
m0 0.9111030 kg
电子的静能 m0c2 8.19 1014 J 0.511MeV
质子的静质量
m0 1.6731027 kg
质子的静能 m0c2 1.5031010 J 938MeV
1千克的物体所包含的静能 9 1016 J
1千克汽油的燃烧值为 4.6 107 焦耳 .
4 – 5 相对论性动量和能量
1. 相对论力学的基本方程
牛顿力学中，动量 p mv
m ：不随物体运动状态而改变的恒量。
相对论动量必须满足以下两个条件： a.在洛氏变换下保持不变;
b.在 v c 0 的条件下，还原为牛顿力学的
动量形式。
由此，得相对论动量：
p m0 v 1 v2 c2
xdp
0 dt
dx
d( pv) pdv vdp 和
p
p
0
vdp
m0v
得
Ek
m0 v 2
1 2
v
0
1 2
m0v dv 1 v2 c2
积分后，得 Ek
m0 v 2 1 v2
c2
m0c2
1 v2 c2 m0c2
数学中的流体力学与偏微分方程
数学中的流体力学与偏微分方程流体力学是研究流体运动的科学，它在自然科学和工程学中扮演着重要的角色。
而在数学中，流体力学与偏微分方程密切相关。
偏微分方程是描述数学模型中的变化的方程，它在流体力学中用于描述流体或气体的运动。
一、引言流体力学与偏微分方程是两个独立的学科，但二者之间存在紧密的联系。
数学家通过研究偏微分方程提供了解决流体力学问题的工具和方法。
本文将探讨流体力学和偏微分方程之间的关系。
二、流体力学基本方程在流体力学中，我们通常研究牛顿流体的运动。
牛顿流体可以通过三个基本方程来描述：连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程可以用偏微分方程的形式表示，从而使得我们可以使用数学方法进行求解和分析。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒。
在理想情况下，连续性方程可以用偏微分方程的形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是速度矢量。
2. 动量方程动量方程描述了流体中的运动和力的作用。
对于理想流体，动量方程可以用偏微分方程的形式表示为：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + f其中，p是压力，τ是应力张量，f是外力。
3. 能量方程能量方程描述了流体的热力学性质和能量的转换。
理想流体的能量方程可以用偏微分方程的形式表示为：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + q其中，e是单位质量的内能，T是温度，k是热扩散系数，q是能量源。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在流体力学中的应用非常广泛，涵盖了许多重要的问题和现象。
以下是其中几个典型的应用领域：1. 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的偏微分方程系统。
通过求解纳维-斯托克斯方程，我们可以了解流体的速度、压力和流量等关键性质。
这对于工程学、气象学、生物学等领域的研究具有重要意义。
动量方程和能量方程
§ 2.4.2 方程的数值解－CFD
计算流体力学（ CFD) 是用代数离散的方式代替 方程中的积分或者微分，最终求解出给定空间 和时间离散点上的流场变量值的一种方法。 CFD的优点：不做任何几何近似，也可以处理完 全非线形的连续方程，动量方程和能量方程。 正因为如此，许多以前不能求解的空气动力学 的复杂流动，都可以用CFD的方法来解决。
角速度
空气动力学
d 2 2 v lim dt t x t 0
• 定义边AB、AC的角速度为 d1 / dt和d 2 / dt ：
d 1 1 u lim dt y t 0 t
• 定义流体微团角速度为边AB和AC角速度 的平均，并记为 z，则有：
旋度
空气动力学
旋度：定义为旋转角速度
的两倍，记为 。
2 V 1 ）如果 V 0 在流动中处处成立，流动称为
有旋流动。这表明流体微团在流动过程中具 有一定的旋转角速度。 2）如果 V 0 在流场中处处成立，流动称为无 旋流动。这表明流体微团没有角速度，在空 间作纯粹的平移运动。 3）二维无旋流动条件：
这里的 Q 当形式。
'
' 和 W viscous表示粘性项在方程中的适 viscous
空气动力学 § 2.3.5 能量方程的物质导数形式
' D (eV 2 / 2) q pV f V Q viscous W ' viscous Dt
空气动力学
流函数和速度位的关系：
取速度位的梯度和流函数的梯 度的点积，有：
0
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这里的 Q 当形式。
'
' 和 W viscous表示粘性项在方程中的适 viscous
空气动力学 § 2.3.5 能量方程的物质导数形式
' D (eV 2 / 2) q pV f V Q viscous W ' viscous Dt
§ 2.2.3 动量方程的微分形式 § 2.2.4 动量方程的物质导数形式
§ 2.2.1 动量方程的物理意义
动量方程描述的是动量守恒规律：控 制体动量随时间的变化率等于作用在控 制体上的力。
空气动力学
§ 2.2.2 动量方程的积分形式
V dS V Vd p dS fd Fviscous t S S
空气动力学 § 2.3.2 能量方程的物理意义 能量方程描述的是能量守恒规律：根据热力学 第一定律，控制体内能的增加等于外界环境传 给控制体的热能 q 以及外界环境对控制体做 功 w 的和。为简化推导形式，这里取控制体 e 为单位质量的内能，对于一个 为单位质量， 静止系统有：
q w de
空气动力学
§ 2.1 连续方程
第二章 流体运动 的基本方 程和基本 规律
§ 2.2 动量方程
§ 2.3 能量方程 § 2.4 方程的基本解法
§ 2.5 微团运动分析
§ 2.6 旋涡运动
退出
§2.1 连续方程
空气动力学
§ 2.1.1 连续方程的物理意义
§ 2.1.2 连续方程的积分形式
§ 2.1.3 连续方程的微分形式 § 2.1.4 连续方程的物质导数形式
根据散度定量以及控制体选取的任意 性可得连续方程的微分形式为：
空气动力学
V 0 t
§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式
空气动力学
D V 0 Dt
§2.2 动量方程
空气动力学
§ 2.2.1 动量方程的物理意义
§ 2.2.2 动量方程的积分形式
Du p f x ( Fx ) viscous Dt x
空气动力学
Dv p f y ( F y ) viscous Dt y Dw p f z ( Fz ) viscous Dt z
§2.3 能量方程
空气动力学
§ห้องสมุดไป่ตู้2.3.1 能量方程的引入
S
等号左边分别为非定常情况总能变化率以及定常情况 下的能量流量；等号右边分别为热能传输率，粘性热 能传输率，压力、彻体力和粘性应力做功功率。
空气动力学 § 2.3.4 能量方程的微分形式
2 2 e V / 2 e V / 2 V q pV t f V Q ' viscous W ' viscous
§ 2.3.2 能量方程的物理意义
§ 2.3.3 能量方程的积分形式 § 2.3.4 能量方程的微分形式 § 2.3.5 能量方程的物质导数形式 § 2.3.6 方程组封闭的条件
空气动力学 § 2.3.1 能量方程的引入
对不可压流动，密度是常数。流场的主 p 和速度 要变量是压强 V 。连续方程 p V和 方程。因此， 和动量方程都是关于 对定常的不可压流，连续方程和动量方 程已经封闭。 对可压流动，密度 也是一个变量。为 了使该系统封闭，还需要一个基本方程， 即本节的能量方程。
空气动力学 § 2.3.3 能量方程的积分形式
2 2 e V / 2 d e V / 2 V dS t S qd Q viscous pV dS f V d W viscous
空气动力学
空气动力学 解析解的优点 ： • 求解解析解的过程可以使我们更加的熟悉这些 气动问题的物理本质。 • 封闭形式的解直观的告诉我们哪些变量对流动 的影响非常重要，而且可以知道这些变量增大 或者减小时，会对流场产生什么样的影响。 • 最后，这些封闭形式的解为快速计算提供了简 单的工具。这在设计的初始阶段尤为重要。
§ 2.4.2 方程的数值解－CFD
计算流体力学（ CFD) 是用代数离散的方式代替 方程中的积分或者微分，最终求解出给定空间 和时间离散点上的流场变量值的一种方法。 CFD的优点：不做任何几何近似，也可以处理完 全非线形的连续方程，动量方程和能量方程。 正因为如此，许多以前不能求解的空气动力学 的复杂流动，都可以用CFD的方法来解决。
§ 2.1.1 连续方程的物理意义
连续方程描述的是流体力学中的质量 守恒规律：流出控制体的质量流量等于 控制体内质量随时间的减少率。
空气动力学
§ 2.1.2 连续方程的积分形式
空气动力学
d V dS 0 t S
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
空气动力学
等号左边项分别为定常情况的控制体的 动量流量和非定常情况下的动力增加率， 等号右边项分别为压力、彻体力和粘性力。
§ 2.2.3 动量方程的微分形式
1 V 1 V V p f Fviscous t
空气动力学
§ 2.2.4 动量方程的物质导数形式
空气动力学 § 2.3.6 方程组封闭的条件
在能量方程中，引入了另外一个未知的流场变 量 e 。现在有三个方程，即连续方程，动量方 程 和 能 量 方程，但它们包含了四个独立的变 量： , p,V和e 。引入如下两个方程可以使系统 封闭：
p RT
e cvT
§2.4 方程的基本解法
§ 2.4.1 方程的解析解
空气动力学
§ 2.4.2 方程的数值解—CFD
§ 2.4.1 方程的解析解
方程的解析解 • 空气动力学中的三大控制方程，都是高度非线性 偏微分方程或积分方程，目前为止还没有解析解。 但是针对某些应用空气动力学问题，可以对控制 方程进行一定程度的简化和近似，从而得到简化 方程的解析解。 • 理论空气动力学的发展过程就是在应用过程中对 所有的控制方程进行适当简化，并获得其解析解 的过程。