线性变换的运算.
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§7.7 不变子空间
一、不变子空间
1、定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的
的子空间，若 W ,有 ( )W 即 (W ) W
则称W是 的不变子空间，简称为 －子空间.
注：
V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一
个变换 来说，都是 －子空间.
§7.7 不变子空间
2、不变子空间的简单性质
a1k a1,k1 a2k a2,k1
akk ak ,k1 0 ak1,k1
0 an,k1
(1, 2 ,
,
n
)
A1 0
A2 A3
.
§7.7 不变子空间
a1n
a2n
akn akn
ann
2、设 是n 维线性空间V的线性变换，Wi 都是
的不变子空间，而 i1, i2 , , ini是Wi 的一组基，且 Wi 在这组基下的矩阵为 Ai , Ai P nini , i 1, 2, , s.
A1 0
A2 A3
.
§7.7 不变子空间
反之，若 1,2,
,n 1,2,
,
n
A1 0
A2 A3
,
A1 Pkk . 则由1, 2 , , k 生成的子空间必为 的
不变子空间.
事实上，因为W是V的不变子空间.
(1), ( 2 ), , ( k ) W . 即， (1 ), ( 2 ), , ( k ) 均可被 1, 2 , , k
1）两个 －子空间的交与和仍是 －子空间. 2）设 W L(1,2 , s ), 则W是 －子空间
(1), (2 ), , (s ) W .
证：" " 显然成立.
" " 任取 W , 设 k11 k22 kss ,
则 ( ) k1 (1) k2 (2 ) ks (s ). 由于 (1), (2 ), , (s ) W , ( ) W . 故W为 的不变子空间.
线性表出.
§7.7 不变子空间
(1 ) a111 a21 2 ak1 k
设
( 2
)
a12 1
a22 2
ak 2 k
( k ) a1k1 a2k 2 akk k
从而， (1, 2 , , n )
(1, 2 ,
a11 a12
a11
a11
,
n
)来自百度文库
ak1 0
ak 2 0
0 0
事实上，若 W L k k P, 0.
则 为 L 的一组基. 因为W为 －子空间， ( )W , 即必存在 P, 使 .
是 的特征向量.
§7.7 不变子空间
二、 在不变子空间W引起的线性变换
定义：
设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作 在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.7 线性变换的定义
一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns
为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1 A2
§7.7 不变子空间
.
As
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
设 k11 k22 kss , 则
( ) k111 k222 ksss L(1,2 , ,s )
L(1,2 , ,s ) 为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
注：
特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 －子空间. 反过来，一个一维 －子空间 必可看成是 的一个特征向量生成的子空间.
§7.7 不变子空间
3、一些重要不变子空间
1）线性变换 的值域 (V )与核 1 0都是 的
不变子空间.
证： (V ) ( ) V V ,
V , 有 ( ) (V ).
故 (V ) 为 的不变子空间.
又任取 1 0 , 有 ( ) 0 1(0).
1(0)也为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
3）任何子空间都是数乘变换 的不变子空间.
4） 线性 变W换,的特 征k子空W间 V0 是 的不变子空间.
5）由
的V特o征, 向有量 生 成 的o子 空V间o是.
的不变子空间.
证：设 1,2, ,s 是 的分别属于特征值
1,2 , ,s 的特征向量. 任取 L(1,2 , ,s ),
对 1 0, 有 0.
§7.7 不变子空间
于是 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ( ) 1 0. 故 1 0 为 的不变子空间.
注：
f ( ) f ( ) 的多项式 f ( ) 的值域与核都是 的不变子空间.
这里 f ( x)为 P[x]中任一多项式.
§7.7 不变子空间
2）若 , 则 (V ) 与 1(0) 都是 －子空间.
证： (V ) ( ) V.
对 (V ), 存在 V , 使 ( ),
于是有，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V )
(V ) 为 的不变子空间.
其次，由 1 0 V , 0 ,
不变子空间W上的限制 . 记作 W .
§7.7 不变子空间
注：
① 当 W时， W ( ) ( ). 当 W时， W ( ) 无意义.
② W W W .
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零
变换，即 10 0 ; 在特征子空间 V0上引起的线性变换是数乘变换，
即有 V0 o E.
§7.7 不变子空间
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、设 是 n 维线性空间V的线性变换，W是V 的
－子空间，1, 2 , , k为W的一组基，把它扩允为 V的一组基： 1, 2 , , k , k1, n .
若 W
在基 1, 2 ,
, k下的矩阵为 A1 Pkk，则
在基 1, 2 , , n下的矩阵具有下列形状:
一、不变子空间
1、定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的
的子空间，若 W ,有 ( )W 即 (W ) W
则称W是 的不变子空间，简称为 －子空间.
注：
V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一
个变换 来说，都是 －子空间.
§7.7 不变子空间
2、不变子空间的简单性质
a1k a1,k1 a2k a2,k1
akk ak ,k1 0 ak1,k1
0 an,k1
(1, 2 ,
,
n
)
A1 0
A2 A3
.
§7.7 不变子空间
a1n
a2n
akn akn
ann
2、设 是n 维线性空间V的线性变换，Wi 都是
的不变子空间，而 i1, i2 , , ini是Wi 的一组基，且 Wi 在这组基下的矩阵为 Ai , Ai P nini , i 1, 2, , s.
A1 0
A2 A3
.
§7.7 不变子空间
反之，若 1,2,
,n 1,2,
,
n
A1 0
A2 A3
,
A1 Pkk . 则由1, 2 , , k 生成的子空间必为 的
不变子空间.
事实上，因为W是V的不变子空间.
(1), ( 2 ), , ( k ) W . 即， (1 ), ( 2 ), , ( k ) 均可被 1, 2 , , k
1）两个 －子空间的交与和仍是 －子空间. 2）设 W L(1,2 , s ), 则W是 －子空间
(1), (2 ), , (s ) W .
证：" " 显然成立.
" " 任取 W , 设 k11 k22 kss ,
则 ( ) k1 (1) k2 (2 ) ks (s ). 由于 (1), (2 ), , (s ) W , ( ) W . 故W为 的不变子空间.
线性表出.
§7.7 不变子空间
(1 ) a111 a21 2 ak1 k
设
( 2
)
a12 1
a22 2
ak 2 k
( k ) a1k1 a2k 2 akk k
从而， (1, 2 , , n )
(1, 2 ,
a11 a12
a11
a11
,
n
)来自百度文库
ak1 0
ak 2 0
0 0
事实上，若 W L k k P, 0.
则 为 L 的一组基. 因为W为 －子空间， ( )W , 即必存在 P, 使 .
是 的特征向量.
§7.7 不变子空间
二、 在不变子空间W引起的线性变换
定义：
设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作 在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.7 线性变换的定义
一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns
为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1 A2
§7.7 不变子空间
.
As
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
设 k11 k22 kss , 则
( ) k111 k222 ksss L(1,2 , ,s )
L(1,2 , ,s ) 为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
注：
特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 －子空间. 反过来，一个一维 －子空间 必可看成是 的一个特征向量生成的子空间.
§7.7 不变子空间
3、一些重要不变子空间
1）线性变换 的值域 (V )与核 1 0都是 的
不变子空间.
证： (V ) ( ) V V ,
V , 有 ( ) (V ).
故 (V ) 为 的不变子空间.
又任取 1 0 , 有 ( ) 0 1(0).
1(0)也为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
3）任何子空间都是数乘变换 的不变子空间.
4） 线性 变W换,的特 征k子空W间 V0 是 的不变子空间.
5）由
的V特o征, 向有量 生 成 的o子 空V间o是.
的不变子空间.
证：设 1,2, ,s 是 的分别属于特征值
1,2 , ,s 的特征向量. 任取 L(1,2 , ,s ),
对 1 0, 有 0.
§7.7 不变子空间
于是 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ( ) 1 0. 故 1 0 为 的不变子空间.
注：
f ( ) f ( ) 的多项式 f ( ) 的值域与核都是 的不变子空间.
这里 f ( x)为 P[x]中任一多项式.
§7.7 不变子空间
2）若 , 则 (V ) 与 1(0) 都是 －子空间.
证： (V ) ( ) V.
对 (V ), 存在 V , 使 ( ),
于是有，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V )
(V ) 为 的不变子空间.
其次，由 1 0 V , 0 ,
不变子空间W上的限制 . 记作 W .
§7.7 不变子空间
注：
① 当 W时， W ( ) ( ). 当 W时， W ( ) 无意义.
② W W W .
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零
变换，即 10 0 ; 在特征子空间 V0上引起的线性变换是数乘变换，
即有 V0 o E.
§7.7 不变子空间
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、设 是 n 维线性空间V的线性变换，W是V 的
－子空间，1, 2 , , k为W的一组基，把它扩允为 V的一组基： 1, 2 , , k , k1, n .
若 W
在基 1, 2 ,
, k下的矩阵为 A1 Pkk，则
在基 1, 2 , , n下的矩阵具有下列形状: