直觉思维在高中数学解题中的应用举例

直觉思维在高中数学解题中的应用举例

【摘要】从某种意义上讲，数学思维可以分为逻辑思维和直觉思维。逻辑思维对高中生很重要，它要求学生严格遵守数学概念和数学演绎的规则，什么样的条件得到什么样的结论，训练学生思维的严密性。然而，“逻辑用于证明，直觉用于发明”，要开发学生的数学创造力，还应重视培养学生的直觉思维。直觉思维不受固定的逻辑规则约束，通过观察、猜想、假设等手段，直接领悟问题本质，从而得出问题的答案，是一种跳跃式的预见。本文主要通过举例说明直觉思维在高中数学解题中的应用。

【关键词】直觉直觉思维数学解题

【正文】

一、对直觉和直觉思维的认识

直觉有广义和狭义之分，广义的直觉是指一种心理现象，它不仅包括认知过程，还包括情感和意志的活动；而狭义的直觉是指一种思维方式，此时它只是一种认知过程、认知方式。因此，狭义的直觉又可以称之为直觉思维。

直觉思维是指不受某种固定的逻辑规则约束而直接领悟问题本质的一种思维形式，它以已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、联想、类比、猜测之后对所研究的问题做出迅速而直接的综合判断，从而得到问题的答案。

直觉思维具有以下特征：

1、直接

这是直觉思维最显著的特征。即不用经过严密的逻辑推理，直接获得对问题的整体把握，从而得到结论。

2、迅速

这也是直觉思维的重要特征。即运用直觉思维，问题的结果产生迅速，甚至无法用正常的逻辑去解释。

3、飞跃

这是直觉思维区别于逻辑思维的重要标志。逻辑思维是按照固定的逻辑规则有步骤地进行，而直觉思维一旦出现，便摆脱固定逻辑规则的约束，从而使认知过程不断飞跃。

4、差异

直觉思维与个体的知识、经验和技能有关，因此会表现出明显的个体差异。

5、自信

运用直觉思维时，思考者理智清楚、意识明确，对结果的正确性非常自信。当然，也不排除对结果进行进一步逻辑分析的必要性。

6、偶然

直觉思维由于忽略了逻辑论证，因此得到的结果可能正确，也可能错误，具有一定的偶然性，这也是直觉思维的局限性。因此，运用直觉思维得到的结论还需运用逻辑思维进行必要的论证，这样结论的正确性才有保证。

二、高中数学解题中直觉思维的应用举例

在高中数学解题中，直觉思维主要运用于解选择题、填空题、探索性问题以及研究性学习中，运用的途径多种多样，主要有：从特殊入手、从变化入手、从猜测入手。

1、从特殊入手

【例1】设1a >，且2

log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m ，n ，p 的大小关系

为（ ）

A 、n m p >>

B 、m p n >>

C 、m n p >>

D 、p m n >>

【分析】此题为2007年安徽文科数学高考题，主要考查对数函数单调性，常规解法是比较真数大小，需要一定的思考时间。如果考虑对a 取特殊值，如取2a =，则2log 5m =，2log 1n =，2log 4p =，立刻得到结果，选B 。

【例2】如图1，αβ⊥，l α

β=，A α∈，B β∈，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α，

β所成的角分别是θ和ϕ，AB 在α，β内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A 、θϕ>，m n > B 、θϕ>，m n < C 、θϕ<，m n < D 、θϕ<，m n

>

图1 图2

【分析】此题为2008年陕西数学高考题，常规解法需要作辅助线，并且推理比较繁琐，需要花费一定的时间。根据题目条件，直觉告诉我们，此题有一种特殊情况，如果将A 、B 两点假设为图2所示的特殊位置，此时m a =，n b =，在a b >的条件下，显然有m n >，θϕ<，选D 。

【例3】设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ）

A

B

a

b

l αβ

A

B a

b l

α

β

A 、16V

B 、14V

C 、13V

D 、12

V

【分析】此题为立体几何题，题中的三棱柱为一般三棱柱，P 、Q 两点也只是满足1PA QC =的任意两点，如果不对题目条件稍作处理直接解答，过程比较复杂，费时而且容易出错。直觉告诉我们，复杂的选

择题一定有巧妙的方法。因此，如果假设题中的三棱柱为特殊的正三棱柱，P 、Q 两点分别为侧棱1AA 、

1CC 的中点，如图3所示。

设AB a =，1AA b =，则三棱柱的体

积2

V b =

，四棱锥B —APQC 的体积'2113131

322343

V b a a a b V =

==，选C 。

图3

2、从变化入手

【例4】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜。根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）

A 、0.216

B 、0.36

C 、0.432

D 、0.648

【分析】这是2007年浙江文科数学高考题，考查概率的计算。常规解法是将甲获胜分为两种情况：第一种情况是甲胜2局，乙胜0局，此时概率为0.60.60.36⨯=；第二种情况是甲胜2局，乙胜1局，此时概率为1

2(0.60.4)0.60.288C ⨯⨯⨯=，因此甲获胜的概率为0.360.2880.648+=，选D 。

以上过程虽然不算太复杂，但毕竟太费时，计算容易出错。如果凭直觉，甲获胜的概率应该大于乙获胜的概率，即甲获胜的概率大于0.5，只有选D 。

【例5】甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：