§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解

§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
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附：单位根、单位原根
第一章 多项式
定义1 多项式 xn 1 在复数域上的任一根都称为
n 次单位根.
事实上,在复数范围内 xn 1 的n个复根为
1, , 2, L , n1
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第一章 多项式
例3 (1)求 x5 1 在 C上与在 R上的标准分解式.
(2)求 x6 1 在 C上与在 R 上的标准分解式. （3） 给出 xn 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式.
解 x5 1 ( x 1)( x )( x 2 )( x 3 )( x 4 )
则称 为n 次单位原根（简称原根）.也就是说 xn 1 的任一根，都可经 表示.
易知如下性质:
k nk , k k 2cos 2k , k k 1
n k 1, 2, , n
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f ( x) x6 27 在复数域上的分解式为:
x6 27 ( x 3i)( x 3i)( x 3 3i ) 2
g( x 3 3i )( x 3 3i )( x 3 3i ).
2
2
2
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这里 cos 2 i sin 2 , n 1
n
n
k

2k
cos
i sin 2k
,
k 0,1, , n 1.
n
n
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第一章 多项式
定义2 若1, , 2, L , n1 是 xn 1 的全部根，
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第一章 多项式
例1 分别在实数域与复数域上分解因式
(1) f ( x) x6 27; (2) f ( x) x4 2x2 25. 解 (1) f ( x) x6 27 ( x2 )3 33
( x2 3)( x4 3x2 9)
x2 3 ( x 3i)( x 3i)
R上的不可约多项式.
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推论2
第一章 多项式
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约.
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设 ( f ( x)) n，由代数基本定理, f ( x)有一复根 ．
若 为实数, 则 f ( x) ( x ) f1( x)，其中( f1 ) n 1.
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(2) 因实系数多项式以3+i,，1-i为根,故3-i,，1+i也是 所求多项式的根,所以所求多项式至少有7个根.分别为:
1，1，-2，3+i，3-i，1+I，1-i.
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第一章 多项式 从而,所求多项式为
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第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
n
k 1, 2, , n
kk 1
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使 (x a) | f ( x) . 即， f ( x) 在复数域上必有一个一次因式．
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推论2
第一章 多项式
复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 f ( x) C[x], ( f ( x)) 1, 则 f ( x)可约．
( x 1)( x )( x )( x 2 )( x 2 )
( x 1)( x2 x cos 2 1)( x2 x cos 4 1)
5
5
x6 1 ( x 1)( x )( x 2 )( x 3 )( x 4 )( x 5 )
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实系数多项式因式分解定理
第一章 多项式
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
证：对 f ( x) 的次数作数学归纳．
① ( f ( x)) 1 时，结论显然成立.
② 假设对次数<n的多项式结论成立．
（3） ① 在复数范围内 xn 1有n个复根，
1, , 2, L , n1 其中 cos 2 i sin 2 , n 1
n
n
∴ xn 1 (x 1)(x )( x 2)L ( x n1)
② 在实数域范围内
∵ k nk , k k 2cos 2k ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
第八节 复系数与实系数多项式的 因式分解
一、复系数多项式 二、实系数多项式
1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[ x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1（代数基本定理的等价叙述） f ( x) C[ x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) ( x 1)2( x 2)( x 3 i)( x 3 i) g( x 1 i)( x 1 i) ( x 1)2( x 2)( x2 6x 10)( x2 2x 2) x7 8x6 21x5 6x4 68x3 144x2 124x 40.
f ( ) an n an1 n1 a0 0 两边取共轭有 f ( ) an n an1 n1 a0 0
∴ 也是为 f ( x)复根．
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从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
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ห้องสมุดไป่ตู้、实系数多项式
第一章 多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x) 的复根．
证：设 f ( x) an xn an1xn1 a0 , ai R 若 为根，则
L L ( x2 pr x qr )lr
其中 c1,c2 , ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, , ls Z ,
且 pi2 4qi 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为
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( x 1)
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第一章 多项式
( x 1)( x )( x 2 )( x 1)( x 2 )( x )
( x 1)( x 1)( x2 x 1)( x2 x 1)
所以, x4 2x2 25 在实数域与复数域上的分解式分别为: x4 2x2 25 ( x2 2 2x 5)( x2 2 2x 5);
x4 2x2 25 ( x 2 3i)( x 2 3i)
g( x 2 3i)( x 2 3i).
1111
第一章 多项式
(2) x4 2x2 25 x4 10x2 25 8x2
( x2 5)2 8x2 ( x2 2 2x 5)( x2 2 2x 5)
( x2 2 2x 5) ( x 2 3i)( x 2 3i) ( x2 2 2x 5) ( x 2 3i)( x 2 3i)
x2 3x 3 (x 3
3i )( x 3
3i )
2
2
x2 3x 3 ( x 3 3i )( x 3 3i )
2
2
所以, f ( x) x6 27 在实数域上的分解式为:
x6 27 ( x2 3)( x2 3x 3)( x2 3x 3).
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第一章 多项式 例2 分别求以1，1，-2，3+i,，1-i为根的次数最低的复
系数和实系数多项式. 解 (1) 所求的复系数多项式为
f ( x) ( x 1)2( x 2)( x 3 i)( x 1 i) x5 4x4 (1 2i)x3 14x2 (20 6i)x 8 4i.
2. 复系数多项式因式分解定理
f ( x) C[x], 若( f ( x)) 1, 则 f ( x)在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
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推论1
第一章 多项式
f ( x) C[x], 若 ( f ( x)) 1, 则 f ( x) 在 C 上具有标准分解式
x4 3x2 9 x4 6x2 9 9x2 ( x2 3)2 9x2 ( x2 3x 3)( x2 3x 3)
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第一章 多项式