第三章：整式及其加减(讲义)

第三章：整式及其加减

◆3.1字母表示数

1．字母表示数的意义

(1)意义

用字母可以表示问题中的数或数量关系．

①字母可以表示任何数，如a可以表示正数，可以表示负数，也可以表示0；

②问题中的数量关系可以用含有字母的式子表示．

(2)用字母表示数的特点：

①一般性：用字母表示数更能反映数字或事物的一般性．

②限制性：字母的取值应使具体式子有意义且符合实际情况．

(3)字母表示数时应注意的问题：

①同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；不同的问题中，不同的量可以使用相同的字母，但字母的含义不同．

②数与字母相乘或字母与字母相乘时，乘号一般写成“·”或者省略不写，数字放在字母的前面．

③用字母表示几个数的和差，并且后面有单位时，要把和差用括号括起来．

【例1】填空：(1)香蕉每千克售价3元，m千克售价__________元；

(2)温度由5 ℃上升t℃后是__________℃；

(3)每台电脑售价x元，降价10%后每台售价为__________元；

(4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为__________．

2．用字母表示运算律和公式

(1)用字母表示运算律

如果用a，b，c分别表示有理数，那么

加法交换律可以表示成：a＋b＝b＋a；

加法结合律可以表示成：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

乘法交换律可以表示成：a·b＝b·a；

乘法结合律可以表示成：(a·b)·c＝a·(b·c)；

乘法分配律可以表示成：a(b＋c)＝ab＋ac.

(2)字母表示公式

①在行程问题中，路程＝时间×速度．

如果用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么这个公式就可写成：s＝vt.

②如果用a表示长方形的长，b表示长方形的宽，S表示长方形的面积，l表示长方形的周长，那么S

＝ab，l＝2(a＋b)．

③如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，l表示圆的周长，那么S＝πr2，l＝2πr.

④如果用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，用S表示三角形的面积，那么三角形的面积公式

1 2ah.

可以表示为S＝

【例2】(1)若长方形的长为5 cm，宽为3 cm，则周长为________ cm，面积为________ cm2；若长方形的长为a cm，宽为3 cm，则周长为__________cm，面积为__________cm2；若长方形的长为a cm，宽为b cm，则周长为________cm，面积为________cm2.

(2)甲、乙两地相距s千米，某人从甲地到乙地步行要t时，现要求他提前15分到，此人步行的速度为__________千米/时；

(3)一圆半径为a cm，将圆半径增加5 cm后，圆的周长是__________cm，圆的面积是__________cm2.

3．用字母表示数学规律

(1)数字规律

一组数字或等式有一定的规律时，可以用字母来表示．

①数字：比如偶数、奇数的表示．

偶数：能被2整除的整数叫做偶数，如0，±2，±4，±6，….如果用k表示任意一个整数，那么2k就表示偶数．

奇数：不能被2整除的整数叫做奇数，如±1，±3，±5，±7，….如果用k表示任意一个整数，那么2k－1或2k＋1就表示奇数．

②等式：具有一定规律的计算等式．

(2)图形规律

图形中的数学规律用具体数字表示有些困难，而用字母表示非常简洁．

用字母表示图形中的规律的方法及步骤：

①根据题目中提供的图形分析其中蕴含的规律；

②用字母列出式子．

用字母表示图形中的规律与用数字表示规律本质是一致的；规律探索是一种观察、归纳、猜想验证的过程，对于这样的题目要数形结合，从特殊到一般，用字母表示最终的结果，更能反映图形的变化规律．

【例3－1】已知a≠0，S1＝2a，S2＝2

S

1

，S3＝

2

S

2

，…，S2 013＝

2

S

2 012

，则S2 013＝__________.(用含

a的式子

表示)

【例3－2】将一些小圆点按如图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依此规律，第6个图形中有__________个小圆点，第n个图形中有__________个小圆点．

4．用字母表示数的应用

(1)表示实际问题中的数量关系

用字母表示数，关键是找出问题中的数量关系或公式，如上升，下降，多于，大于，几倍，单价

×数量＝总价，三角形的面积＝1

2

×底×高等．

(2)表示图形的面积、体积可以用字母表示平面图形的面积和立体图形的体积或表面积，要根据各个图形的计算公式来表示．

常见平面图形的计算公式：

①长方形的周长＝2×(长＋宽)，长方形的面积＝长×宽；

②正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长2.

常见的几何体的计算公式：

①长方体的体积＝长×宽×高；

正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即棱长3；

②长方体的表面积＝2×(长×宽＋长×高＋宽×高)；

正方体的表面积＝6×棱长2.

【例4－1】(1)某种糖每千克10元，小红妈妈买了3千克，共花了多少元？

(2)某种糖每千克a元，小红妈妈买了b千克，共花了多少元？

【例4－2】如图，把一个长、宽分别是a，b的长方形纸板在四角各剪去一个边长为c的正方形(a>b>2c)，再做成一个无盖的长方体盒子，用字母表示它的体积和表面积．

………………………………………………………………………………………………………………………◆3.2代数式

1．代数式的概念

(1)定义

用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．注意：运算符号指加、减、乘、除、乘方等．

(2)代数式的判断

判断一个式子是不是代数式：

①看它是否符合代数式的定义；②代数式中不能含有“＝”，“≠”，“＜”，“＞”，“≤”，“≥”等关系符号．

【例1】下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式：

(1)a＋b＝5；(2)5a－3y；(3)2；(4)n；(5)2(a＋b)＋7；(6)4a

b＋c；(7)2＋7－6；(8)23；(9)x ＋5>3.

2．代数式的书写规则

(1)含有乘法运算的代数式的书写规则