层次分析法AHP、ANP与熵值法带例子和软件操作说明
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AHP、熵值法
准确计量的场合。
应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和 要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互 关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层 次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高 层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排 序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又 可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层 次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后， 即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出 某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406 0.406 , max 4, CI 0, RI 0.90, CR 0 W 0.094 0.094
（5）层次总排序
层次B B1 层次C 0.105 C1 0.491 C2 0.232 C3 0.092 C4 0.138 C5 0.046 B2 0.637 0 0.055 0.564 0.118 0.263 B3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0 总排序W
第二讲 AHP、ANP、熵值法
其中，AHP、ANP既是一种评价方法，但更 常用来计算指标权重。 而熵值法则是一种根据指标反映信息可靠程 度来确定权重的方法。
一、AHP
层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等人 在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合的多准 则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、 影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次 结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数 学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策 问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策 问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标 度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定 量分析的一种决策方法。他把人的思维过程层次化、数量化， 并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤 其适合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接
AHP(层次分析法)方法、步骤
ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经
归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
2009.11
方根法
m
bn aibni i 1
2009.11
（4）评价层次总排序计 算结果的一致性
设：CI为层次总排序一致性指标： RI为层次总排序随机一致性指标。
其计算公式为：CI m aiCIi i 1
CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 m RI ai RIi i 1
RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标 并取 CR CI
在单层次判断矩阵A中，当
aij
aik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。
进行一致性检验的步骤如下：
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. max n ，式中n为判断矩阵阶数。
n 1 （b）计算平均随机一致性指标R.I.
R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的 ，下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：
max 4
d3 W23
d4 w24
d5 w25
C.R.=0
C1
C2
C3
d1 d2 d3 d4 d5
2009.11
（3）计算各元素的总权重
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5
C1
0.105
0.491 0.232 0.092 0.136 0.046
C2
0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.265
归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
2009.11
方根法
m
bn aibni i 1
2009.11
（4）评价层次总排序计 算结果的一致性
设：CI为层次总排序一致性指标： RI为层次总排序随机一致性指标。
其计算公式为：CI m aiCIi i 1
CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 m RI ai RIi i 1
RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标 并取 CR CI
在单层次判断矩阵A中，当
aij
aik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。
进行一致性检验的步骤如下：
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. max n ，式中n为判断矩阵阶数。
n 1 （b）计算平均随机一致性指标R.I.
R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的 ，下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：
max 4
d3 W23
d4 w24
d5 w25
C.R.=0
C1
C2
C3
d1 d2 d3 d4 d5
2009.11
（3）计算各元素的总权重
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5
C1
0.105
0.491 0.232 0.092 0.136 0.046
C2
0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.265
熵值法和层次分析法在权重确定中的应用
熵值法和层次分析法在权重确定中的应用一、本文概述权重确定作为决策分析的核心环节，其准确性和合理性直接影响到决策的质量和效果。
在众多权重确定方法中，熵值法和层次分析法因其独特的优势，被广泛应用于各种决策场景中。
本文旨在深入探讨熵值法和层次分析法在权重确定中的应用，分析两种方法的原理、特点、适用场景，并对比其优劣。
通过对这两种方法的深入研究，我们期望能为决策者提供更科学、更合理的权重确定方法，提高决策的有效性和准确性。
本文还将结合具体案例，对两种方法的实际应用进行展示，以便读者更好地理解和掌握这两种方法。
二、熵值法在权重确定中的应用熵值法是一种基于信息熵理论来确定权重的客观赋权方法。
在信息论中，熵是对不确定性的一种度量，它可以反映信息的无序程度或者信息的效用价值。
在权重确定中，熵值法通过计算各个评价指标的信息熵，来度量各个指标值的离散程度，从而确定各个指标的权重。
数据标准化处理：消除不同指标量纲的影响，对原始数据进行标准化处理，使得各指标值都处于同一数量级上。
计算指标熵值：根据标准化后的数据，计算每个指标的熵值。
熵值反映了该指标值的离散程度，熵值越大，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越小。
计算指标差异系数：用1减去熵值，得到指标的差异系数。
差异系数越大，该指标对综合评价的影响越大。
确定指标权重：根据差异系数的大小，确定各指标的权重。
差异系数越大，该指标的权重越大。
熵值法的优点在于其客观性强，不需要事先设定权重，而是根据数据的实际情况来确定权重。
熵值法也适用于多指标综合评价问题，能够有效地处理不同量纲的指标。
然而，熵值法也存在一定的局限性，例如它忽略了指标之间的相关性，并且对于数据的要求较高，需要数据量足够大且分布均匀。
在实际应用中，熵值法常常与其他方法相结合，如层次分析法、主成分分析法等，以提高权重确定的准确性和科学性。
通过综合运用这些方法，可以更加全面地考虑各种因素，使得权重确定更加合理和可靠。
层次分析法AHP、ANP与熵值法带例子和软件操作说明
0.550 0.564 , max 4.117, CI 0.039, RI 0.90, CR 0.043 W 0.118 0.263
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406 0.406 , max 4, CI 0, RI 0.90, CR 0 W 0.094 0.094
①计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
M i aij
j 1 n
②计算Mi的n次方根 Wi
Wi
③对向量 W W ,W ,
1 2
n
T
Mi
,Wn
正规化（归一化处理）
Wi
Wi
W
j 1
n
j
则 即为所求的特征向量。 ④计算判断矩阵的最大特征根
max
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要 Cij赋值 1 3 5 7 9 1/3 1/5 1/7 1/9
B3 1/3 3 1
1 1/ 5 1/ 3 A 5 1 3 3 1/ 3 1
同样，可得：
1 2 3 4 1/ 3 1 3 2 B1 1/ 5 1/ 3 1 1/ 2 1/ 4 1/ 2 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 2 1/ 3
7 5 1 3 3 1 1 1 1 3 3 3 B 3 1/ 3 1/ 3 1 1 1
i 1
n
i
n
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406 0.406 , max 4, CI 0, RI 0.90, CR 0 W 0.094 0.094
①计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
M i aij
j 1 n
②计算Mi的n次方根 Wi
Wi
③对向量 W W ,W ,
1 2
n
T
Mi
,Wn
正规化（归一化处理）
Wi
Wi
W
j 1
n
j
则 即为所求的特征向量。 ④计算判断矩阵的最大特征根
max
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要 Cij赋值 1 3 5 7 9 1/3 1/5 1/7 1/9
B3 1/3 3 1
1 1/ 5 1/ 3 A 5 1 3 3 1/ 3 1
同样，可得：
1 2 3 4 1/ 3 1 3 2 B1 1/ 5 1/ 3 1 1/ 2 1/ 4 1/ 2 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 2 1/ 3
7 5 1 3 3 1 1 1 1 3 3 3 B 3 1/ 3 1/ 3 1 1 1
i 1
n
i
n
与熵值法类似的方法
与熵值法类似的方法熵值法是一种多指标综合评价的数学模型，用于对多个指标进行排序和权重分配。
在熵值法中，指标的权重是根据指标的信息熵来分配的，因此熵值法在决策问题中被广泛应用。
除了熵值法外，还有一些与其类似的方法，本文将介绍两种常见的方法：层次分析法和模糊综合评价法。
一、层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）层次分析法是一种基于专家判断和主观感受的方法，用于解决复杂问题的决策分析。
它的核心思想是将决策问题分解成多个层次，从全局的角度，通过两两比较来确定各层次的权重，并最终得到最佳方案。
层次分析法主要包含以下步骤：1.层次结构的构建：将决策问题分解成多个层次，并确定各层次之间的关系。
2.两两比较矩阵的构建：对每个层次下的指标进行两两比较，得到一个比较矩阵。
3.求解特征向量：计算每个比较矩阵的最大特征值和对应的特征向量，特征向量即为各指标的权重。
4.一致性检验：通过计算一致性指标判断专家比较的一致性，确定权重是否可靠。
5.最终权重的计算：将各层次的权重相乘，最后得到各指标最终权重。
层次分析法的优点是可以通过专家的主观判断得到权重，而且适用范围广泛。
然而，层次分析法也存在着专家主观性强的问题，依赖于专家能力和经验，且在权重计算的一致性检验上有一定的局限性。
模糊综合评价法是用于处理模糊不确定性问题的一种数学方法。
在模糊综合评价法中，通过模糊集合的理论和方法，将指标的权重确定为各个指标的模糊隶属度的加权平均值，从而得到最终的评价结果。
模糊综合评价法主要包含以下步骤：1.建立模糊综合评价集合：将指标的评价范围划分为若干模糊子集，并确定各自的隶属函数。
2.确定模糊权重：根据各指标的重要程度，确定各指标的权重，并将其转化为模糊集合。
3.模糊隶属度矩阵的构建：通过专家评价或数据处理，将指标的模糊评价转化为模糊矩阵。
4.模糊综合评价：通过模糊矩阵和模糊权重的模糊加权平均法，得到最终的模糊评价结果。
AHP(层次分析法)方法、步骤
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（2）计算单一准则下元 ） 素的相对重要性
ii. 第三层元素相对于第二层元素判断矩阵
C1-D d1 d1 d2 d3 d4 d5 1 1/2 1/3 1/4 1/7 d2 2 1 1/3 1/2 1/5 d3 3 3 1 2 1 d4 4 2 1/2 1 1/3 d5 7 5 1 3 1 W =(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)
MS-OR
（3）计算步骤
ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经 归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ
max
W
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
λ max = 4
C.R.=0
C1
C2
C3
d1
d2
d3
d4
d5
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算各元素的总权重 ）
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5 0.105 0.491 0.232 0.092 0.136 0.046 0.637 0 0.055 0.564 0.118 0.265 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0 0．157 0．164 0．393 0．113 0．172 C1 C2 C3 总权重
λ max = 4.117
C.I=0.039 C.R.=0.042<0.1
C1
C2
C3
d1 w21
d2 W22
d3 W23
多目标评估方法
MS-OR
（2）计算单一准则下元 ） 素的相对重要性
ii. 第三层元素相对于第二层元素判断矩阵
C1-D d1 d1 d2 d3 d4 d5 1 1/2 1/3 1/4 1/7 d2 2 1 1/3 1/2 1/5 d3 3 3 1 2 1 d4 4 2 1/2 1 1/3 d5 7 5 1 3 1 W =(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)
MS-OR
（3）计算步骤
ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经 归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ
max
W
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
λ max = 4
C.R.=0
C1
C2
C3
d1
d2
d3
d4
d5
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算各元素的总权重 ）
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5 0.105 0.491 0.232 0.092 0.136 0.046 0.637 0 0.055 0.564 0.118 0.265 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0 0．157 0．164 0．393 0．113 0．172 C1 C2 C3 总权重
λ max = 4.117
C.I=0.039 C.R.=0.042<0.1
C1
C2
C3
d1 w21
d2 W22
d3 W23
AHP(层次分析法)方法、步骤
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
方根法
1 A 5 3 1/5 1 1/3 1 / 3 3 1
M 1 1 M
2
1 5
1 3
3
1 15
0 . 067
15 ,
M
1
计算Mi 的n次方根
W1
2009.11
3
M 1 0 . 405 ,
W 2 2 . 466
W = (0 .4 0 6 ,0 .4 0 6 ,0 .0 9 4 ,0 .0 9 4 )
max 4
C .R .= 0
C1
C2
C3
d1
d2
d3
d4
d5
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算各元素的总权重
准则 权重
C1
C2
C3 总权重
0 .1 0 5 方案 d1 d2 d3 d4 d5 0 .4 9 1 0 .2 3 2 0 .0 9 2 0 .1 3 6 0 .0 4 6
（c）计算一致性比例C.R.： C.R.＝ C.I./ R.I.
当C.R.<0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
3、多层次分析法基本步骤
1 2
3 4 建立递阶层次结构 计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型） 计算各层次上元素的组合权重（层次总排序） 评价层次总排序计算结果的一致性
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算步骤
判断矩阵中的元素具有下述性质
( i ) a ij 0 ( ii ) a ij 1 a
层次分析法分析(AHP)及实例教程
02
设定评价标准
根据问题背景和目标，设定合理的评价标准，如 成本、效益、风险等。
识别关键因素和指标
关键因素识别
分析影响决策目标的关键因素，如市 场需求、技术水平、资源条件等。
指标选取
针对每个关键因素，选取具体的评价 指标，如市场份额、创新能力、资源 利用率等。
构建递阶层次结构图
目标层
准则层
将决策目标作为最高层， 表示解决问题的总体目标。
层次分析法分析 (AHP)及实例教程
目录
• 层次分析法(AHP)概述 • 构建层次结构模型 • 构造判断矩阵与权重计算 • 实例教程：以某企业投资决策为例 • AHP优缺点及改进方向 • 总结与展望
01
层次分析法(AHP)概述
AHP定义与发展历程
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、 层次化的分析方法。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，对各因素进行两两比较，构造 判断矩阵，进而计算各因素的权重，为决策问题提供定量依据。
对计算得到的权重进行一致性检 验，确保结果的合理性和准确性。
一致性检验与调整策略
一致性检验方法
通过计算一致性指标CI和随机一 致性指标RI，判断判断矩阵的一 致性。
调整策略
当判断矩阵不满足一致性要求时， 需要对判断矩阵进行调整，包括 调整元素值、重新构造判断矩阵 等方法，直至满足一致性要求。
注意事项
针对缺点提出改进措施
1 2
提高数据质量和数量
通过改进数据采集和处理方法，提高数据的质量 和数量，减少数据不准确和不完整对决策结果的 影响。
引入客观标准
在构建判断矩阵时，可以引入客观标准和量化指 标，减少主观判断对决策结果的影响。
设定评价标准
根据问题背景和目标，设定合理的评价标准，如 成本、效益、风险等。
识别关键因素和指标
关键因素识别
分析影响决策目标的关键因素，如市 场需求、技术水平、资源条件等。
指标选取
针对每个关键因素，选取具体的评价 指标，如市场份额、创新能力、资源 利用率等。
构建递阶层次结构图
目标层
准则层
将决策目标作为最高层， 表示解决问题的总体目标。
层次分析法分析 (AHP)及实例教程
目录
• 层次分析法(AHP)概述 • 构建层次结构模型 • 构造判断矩阵与权重计算 • 实例教程：以某企业投资决策为例 • AHP优缺点及改进方向 • 总结与展望
01
层次分析法(AHP)概述
AHP定义与发展历程
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、 层次化的分析方法。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，对各因素进行两两比较，构造 判断矩阵，进而计算各因素的权重，为决策问题提供定量依据。
对计算得到的权重进行一致性检 验，确保结果的合理性和准确性。
一致性检验与调整策略
一致性检验方法
通过计算一致性指标CI和随机一 致性指标RI，判断判断矩阵的一 致性。
调整策略
当判断矩阵不满足一致性要求时， 需要对判断矩阵进行调整，包括 调整元素值、重新构造判断矩阵 等方法，直至满足一致性要求。
注意事项
针对缺点提出改进措施
1 2
提高数据质量和数量
通过改进数据采集和处理方法，提高数据的质量 和数量，减少数据不准确和不完整对决策结果的 影响。
引入客观标准
在构建判断矩阵时，可以引入客观标准和量化指 标，减少主观判断对决策结果的影响。
AHP(层次分析法)示例说明
AHP （层次分析法）示例说明（The Analgtic Hierarachy Process--——AHP ）一. AHP 预备知识为了更好地理解AHP ，需要准备一些矩阵方面的知识,以下知识都可以从《线性代数》中找到。
1.1 特征根与特征向量设()nm ija A ⨯=为n 阶方阵，若存在常数λ和非零n 维向量),,,(21n g g g g=，使得g g Aλ=（1） 则称，λ是矩阵A 的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A 关于特征根λ的特征向量。
1.2 特征根的求法由（1)得()00=-⇒=-g E A g g Aλλ，这是一个n 元一次线性齐次方程组，该方程组如果有非零解,则其充分必要条件为：系数行列式为零，即0=-E A λ(2）称(2)式为矩阵A 的特征方程，它是一个一元n 次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n 个根。
1.3 重量模型设n u u u ,,,21 为n 个物体，重量分别是n g g g ,,,21 。
但是,我们并不知道物体的重量,只知两两之间重量比的比值：j i ij g g a =设准则C 为比较重量，问题是：已知),1(n j i a ij ≤≤,在准则C 下对元素n u u u ,,,21 排序，也就是按其重量大小排序已知。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯nn n n n n mn ij g g g g g g g g g g g g g g g g g g a A212221212111 对于以下三个特性： （1）0>ij a （2）jiij a a 1=（3）ik jk ij a a a =⋅()ija 显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难)，满足(1)、（2)的矩阵A 为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A 称为一致性判断矩阵。
问题是：已知判断矩阵A,在准则C 下对n 个物体排序.即按重量大小排序.如果，jiij g g a =是,i g ，j g 是重量的精确值，此时(3）式必定成立,即A 是一致性判断矩阵。
层次分析法(AHP)
aij
n
aij
i 1
i，j 1,2,, n
2 ） 再按行相加得和
n
wi aij j 1
3）再规范化，得权重系数：
wi
wi
n
wi
i 1
方根法
这种方法的步骤是：
1） 按行元素求积，再求1/n次幂，得
n
wi
aij i，j 1,2,, n
j 1
2）规范化，即得权重系数
wi
wi
n
wi
用ANP进行决策的基本步骤
▪ (1) 构造ANP的典型结构： A：首先是构造控制层次.将决策目标界定,将决策准则界 定,这是问题的基本,各个准则决策目标的权重用AHP方法 得到. B：再则是构造网络层次.要归类确定每一个元素,分析其 网络结构和相互影响关系,分析元素之间的关系可用多种 方法进行. 一种是内部独立的递阶层次结构,即层次之间相 互独立；一种是内部独立，元素之间存在者循环的ANP 网络层次结构；另一种是内部依存，即元素内部存在循环 的ANP网络层次结果，这几种情况都是ANP的特例情况。 在实际决策问题中面临的基本都是元素间不存在内部独立， 既有内部依存，又有循环的ANP网络层次结构。
P4：建 图书馆
P5：引进 新设备
C1对p1 p2 p3 p4 p5的权重计算
c1 P1
p2
p3
p4
p5 w
p1 1
3
5
4
7 0.491
p2 1/3 1
3
2
5 o.232
p3 1/5 1/3 1
½
3 0.092
p4 ¼ ½
2
1
3 0.138
p5 1/7 1/5 1/3 1/3 1 0.046
第二讲 AHP、ANP、熵值法
（4）层次单排序
理论上讲，层次单排序计算问题可归结为 计算判断矩阵的最大特征根及其特征向量的问 题。但一般来说，计算判断矩阵的最大特征根 及其对应的特征向量，并不需要追求较高的精 确度，因为判断矩阵本身有相当的误差范围。 而且，应用层次分析法给出的层次中各种因素 优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的 概念。因此，一般用迭代法在计算机上求得近 似的最大特征值及其对应的特征向量。在此给 出计算矩阵最大特征根及其对应特征向量的方 根法的计算步骤：
准确计量的场合。 准确计量的场合。
应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和 首先要把问题层次化。 要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互 关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层 最终把系统分析归结为最底层， 次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高 层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。 层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排 序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又 可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层 次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后， 即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出 某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金， 假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层 领导决定如何使用。 领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工 建议，现有如下方案可供选择： 建议，现有如下方案可供选择： （1）作为奖金发给员工； ）作为奖金发给员工； （2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； ）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； （3）办员工进修班； ）办员工进修班； （4）修建图书馆、俱乐部等； ）修建图书馆、俱乐部等； （5）引进新技术设备进行企业技术改造。 ）引进新技术设备进行企业技术改造。 从调动员工工作积极性、 从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善 员工的物质文化生活状况来看， 员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合 理因素。如何使得这笔资金更合理的使用， 理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企 业领导所面临需要分析的问题。 业领导所面临需要分析的问题。
AHP熵值法PPT课件
则λ为A的特征值，并且对于所有aiAi=x1，有x
n
i n
i1
显然，当矩阵具有完全一致性时，1maxn
其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性
时，则有1maxn，其余特征根λ2，λ3，λn有如下
关系：
n
i n max
i2
上述结论告诉我们，当Байду номын сангаас断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
（2）构造判断矩阵
判断矩阵的一般形式
B k C 1 C 2
C 1 C 11
C 12
C 2 C 21
C 22
C n C 1n C 2n
C n C n1
C n2
C nn
性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1
此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有
Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
1 1/ 5 1/ 3
A
5
1
3
3 1 / 3 1
同样，可得：
1 2 3 1/ 3 1 3
1 1/ 7 1/3 1/5
4 2
7
5
B2
7 3
5
1 1/5 1/ 2
5 1 3
3
1/ 3
1
B1
1 1
/ /
5 4
1/ 7
1/3 1/2 1/5
1 2 1/2
1/2 1 1/3
1
3
n
i n
i1
显然，当矩阵具有完全一致性时，1maxn
其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性
时，则有1maxn，其余特征根λ2，λ3，λn有如下
关系：
n
i n max
i2
上述结论告诉我们，当Байду номын сангаас断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
（2）构造判断矩阵
判断矩阵的一般形式
B k C 1 C 2
C 1 C 11
C 12
C 2 C 21
C 22
C n C 1n C 2n
C n C n1
C n2
C nn
性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1
此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有
Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
1 1/ 5 1/ 3
A
5
1
3
3 1 / 3 1
同样，可得：
1 2 3 1/ 3 1 3
1 1/ 7 1/3 1/5
4 2
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5
B2
7 3
5
1 1/5 1/ 2
5 1 3
3
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1
B1
1 1
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1 2 1/2
1/2 1 1/3
1
3
层次分析法分析AHP及实例教程-文档资料
a jbnj bn
j 1
层次总排序的一致性检验
设 B 层 B1, B2,, Bn 对上层( A 层)中因素 Aj ( j 1,2,, m)
的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指为 RI j ，
则层次总排序的一致性比率为：
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
2 构造成对比较矩阵
设某层有 n个因素， X x1, x2 ,, xn
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 n个因素对上 层某一目标的影响程度排序）
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用 aij表示第 i 个因素相对于第 j个因素的比较结果，则
一致阵的性质：
1.
aij
1 a ji
, aii
1, i,
j
1,2,, n
2. AT也是一致阵
作业
3. A的各行成比例，则 rankA 1
4. A的最大特征根（值）为 λ n,其余n-1个
特征根均等于 0。
5. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
aij
1 a ji
a11
A
aij
nn
a21
a12
a22
a1n a2n
A则称为成对比较矩阵。
an1 an2 ann
比较尺度：（1~9尺度的含义）
尺度
１
３ ５ ７ ９
含义 第i个因素与第 j 个因素的影响相同
第 i 个因素比第 j 个因素的影响稍强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响明强
AHP(层次分析法)方法、步骤
2009.11
2、基本模型—单层次模型
（1） 单层次模型结构
C
A1 C—目标
A2
…… An
Ai—隶属C的n个评价元素
决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评 价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
2009.11
2、基本模型—单层次模型
（2） 思想：
❖整体判断
n个元素的两两比较。
2009.11
AHP方法计算原理
实际评价时，并不知道这权重向量 比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近
似的比值aij aij～wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A. A～A
精确判断矩阵A 的最大特征值的向量 W= (w1, w2, …,wn) T
是完全精确的权重向量 近似判断矩阵A最大特征值的向量
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
2009.11
方根法
1 1/ 5 1/ 3
A 5 1
3
3 1/ 3 1
计算Mi 的n次方根
M1
111 53
1 0.067 15
M2 15, M3 1
W= (w1, w2, …,wn) T 可以作为近似的权重向量
2009.11
（3）计算步骤
❖iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
在单层次判断矩阵A中，当 a ij 进行一致性检验的步骤如下：
a ik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. maxn ，式中n为判断矩阵阶数。
2、基本模型—单层次模型
（1） 单层次模型结构
C
A1 C—目标
A2
…… An
Ai—隶属C的n个评价元素
决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评 价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
2009.11
2、基本模型—单层次模型
（2） 思想：
❖整体判断
n个元素的两两比较。
2009.11
AHP方法计算原理
实际评价时，并不知道这权重向量 比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近
似的比值aij aij～wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A. A～A
精确判断矩阵A 的最大特征值的向量 W= (w1, w2, …,wn) T
是完全精确的权重向量 近似判断矩阵A最大特征值的向量
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
2009.11
方根法
1 1/ 5 1/ 3
A 5 1
3
3 1/ 3 1
计算Mi 的n次方根
M1
111 53
1 0.067 15
M2 15, M3 1
W= (w1, w2, …,wn) T 可以作为近似的权重向量
2009.11
（3）计算步骤
❖iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
在单层次判断矩阵A中，当 a ij 进行一致性检验的步骤如下：
a ik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. maxn ，式中n为判断矩阵阶数。
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关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层
次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高
层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排
序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又
可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层
次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后，
可编辑ppt
3
AHP的模型与步骤
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层
领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工
建议，现有如下方案可供选择：
（1）作为奖金发给员工；
（2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施；
（3）办员工进修班；
（4）修建图书馆、俱乐部等；
（5）引进新技术设备进行企业技术改造。
上述结论告诉我们，当判断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
CI max n
n 1
检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩 阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。
AHP、ANP、熵值法
其中，AHP、ANP既是一种评价方法，但更 常用来计算指标权重。
而熵值法则是一种根据指标反映信息可靠程 度来确定权重的方法。
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1
一、AHP
层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等人
在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合的多准
则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、
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12
当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0； 当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均
随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：
123456789
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
1/ 7
1/3 1/2 1/5
1 2 1/2
1/2 1 1/3
1
3
1
1
B3
1
1 / 3
1 / 3
1 1 1/3 1/3
3 3 1 1
3
3
1
1
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9
（3）判断矩阵的一致性检验
判断矩阵的一致性，是指专家在判断指标重要性时， 各判断之间协调一致，不致出现相互矛盾的结果。 出现不一致在多阶判断的条件下，极容易发生，只 不过是不同的条件下不一致的程度上有所差别而已。
从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善
员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合
理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企
业领导所面临需可编要辑p分pt 析的问题。
4
（1）构造层次分析结构
目标层 准则层
资金合理使用 A
调动职工积 极性 B1
提高企业技 术水平 B2
改善职工生 活 B3
影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次
结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数
学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策
问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策
问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标
度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定
根据矩阵理论可知，如果λ满足：
则λ为A的特征值，并且对于所有aiAi=x1，有x
n
i n
i1
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10
显然，当矩阵具有完全一致性时，1maxn
其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性
时，则有1maxn，其余特征根λ2，λ3，λn有如下
关系：
n
i n max
i2
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11
C 22
C n C 1n C 2n
C n C n1
C n2
C nn
性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1
此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有
Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
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6
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要
即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出
某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
层次相对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本
身的权值加权综合，即可计算出层次总排序权值。总之，依次由上
向下即可计算出最低层因素相对于最高层的相对重要性权值或相对
优劣次序的排序值。
方案层 C1 发奖 金
C2 扩建 福利设施
C3 办职 工进修班
C4 建图 书馆等
C5 引进 新设备
每一层次中的元素一般不超过9个，因同一层次中包含数 目过多的元素会给两两比较判断带来困难。
可编辑ppt
5Leabharlann （2）构造判断矩阵判断矩阵的一般形式
B k C 1 C 2
C 1 C 11
C 12
C 2 C 21
量分析的一种决策方法。他把人的思维过程层次化、数量化，
并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤
其适合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接
准确计量的场合。 可编辑ppt
2
应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和
要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互
可编辑ppt
A
B1
B2
B3
B1 1 1/5 1/3
B2
5
1
3
B3 3 1/3 1
1 1/ 5 1/ 3
A
5
1
3
3 1 / 3 1
8
同样，可得：
1 2 3 1/ 3 1 3
1 1/ 7 1/3 1/5
4 2
7
5
B2
7 3
5
1 1/5 1/ 2
5 1 3
3
1/ 3
1
B1
1 1
/ /
5 4
注：2，4，6，8和1/2可，编1辑/p4pt，1/6，1/8介于其间。
Cij赋值 1 3 5 7 9
1/3 1/5 1/7 1/9
7
对于上述例子，假定企业 领导对于资金使用这 个问题的态度是：首 先是提高企业技术水 平，其次是改善员工 物质生活，最后是调 动员工的工作积极性。 则准则层对于目标层 的判断矩阵A-B为：