北师大版数学选修1-1作业：第3章 变化率与导数3.1
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率作业1北师大版选修1-1(2021年整理)
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3。
1 变化的快慢与变化率[基础达标]1.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR,则球的表面积增加ΔS等于（）A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π（ΔR)2C．4πRΔR＋4π（ΔR)2D．4π（ΔR）2解析：选B.ΔS＝4π（R＋ΔR）2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.2.某质点的运动规律为s＝t2＋3,则在时间段（3，3＋Δt）中的平均速度等于（）A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!C．3＋Δt D．9＋Δt解析：选A.v＝错误!＝错误!＝错误!＝6＋Δt.3。
已知点P(2，8）是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2 B．4C．6 D．8解析：选D。
Δy＝2（2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2（Δx）2，错误!＝错误!＝8＋2Δx,当Δx无限趋近于0时,错误!无限趋近于常数8.4.已知物体的运动方程为s＝t2＋错误!(t是时间,s是位移),则物体在时刻t＝2时的速度为（）A.194B.错误!C.错误!D。
错误!解析:选D.错误!＝错误!＝4＋Δt－错误!，当Δt无限趋近于0时,错误!无限趋近于错误!，∴选D.5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零,则相应的时刻为( )A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt）2＋16(t＋Δt)－（－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4（Δt)2。
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率精练含解析北师大版选修1_10416228.doc
§1 变化的快慢与变化率1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A.12B.24C.2D.-12解析:Δy=f(3)-f(1)=33-3=24,∴=12.故选A.答案:A2.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数的增量为()A.1B.2C.D.解析:Δy=.答案:C3.某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是() A.B.C.D.解析:由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以,故选A.答案:A4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是()A.1B.-1C.2D.-2解析:所求平均变化率等于=-1.答案:B5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则等于()A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx,故选A.答案:A6.导学号01844030函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx 到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定解析:由定义可知k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.答案:D7.质点运动规律为s=gt2,则在时间区间(3,3+Δt)内的平均速度等于(g=10m/s2).解析:Δs=g×(3+Δt)2-g×32=×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,=30+5Δt.答案:30+5Δt8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,则三者的大小关系为.解析:由平均速度的定义结合图像知.答案:9.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.解自变量x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为=4.10.导学号01844031一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5到6 s间的平均速度和5到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.解=36-25=11(m/s),=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=at2=t2,∴a=2(m/s2),5 s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5到5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 知识归纳：变化率与导数
3.2 导数的概念及其几何意义变化率问题1.平均变化率：已知函数y =f (x )，令Δx=21x x -，21()()y f x f x =-，则当0x ≠时，比值2121()()f x f x x x --=y x，称作函数f (x )从1x 到2x 得平均变化率. 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度.3.求自变量的增量Δx=0x x -，函数的增量000()()()()y y y f x f x f x x f x =-=-=+-4.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00，要注意Δx 、y 的值可正、可负，但0x ≠，y 可为零，若函数f (x )为常值函数，则y =0导数的概念1.导数：一般地，函数y =f (x )在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000= xy x ∆∆→∆0lim .我们称它为函数y =f (x )在0x x =处的导数，记作f ′(x 0)或f ′(x 0)，即f ′(x 0)=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 2.对导数的定义要注意两点：第一：Δx 是自变量x 在0x 处的该变量，所以Δx 可正可负，但0x ≠；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.3.求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法是：(1)求函数y =f (x )的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)取极限，得函数f ′(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim . 导数的几何意义1.导数的几何意义k=tanα=f′(x0)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y 轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.3.导数与切线的关系.①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角.②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角.③f′(x0)=0，切线与x轴平行.④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.。
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末归纳总结课件
函数 y＝f(x)的导函数 f ′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的增
量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值ΔΔxy的极限，即 f ′(x)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
2．导数的意义 (1)几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是曲 线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝f ′(x0)． (2)物理意义：函数 s＝s(t)在点 t 处的导数 s′(t)，就是当物 体的运动方程为 s＝s(t)时，运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v， 即 v＝s′(t)．而函数 v＝v(t)在 t 处的导数 v′(t)，就是运动物 体在时刻 t 时的加速度 a，即 a＝v′(t)．
• 6l求． 1，KQ设若的直l长2线交．lx1轴与于曲Q线点y，＝又相作切P于K垂P，直直于线x轴l2过，P垂且足垂为直K于，
• [分析] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算 量，提高运算速度，减少差错．
[解析] (1)y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
1
(2)先化简，得 y＝－x2 ＋x－2
∴y′＝－12x－12 －12x－23 ＝－2x＋ x 1x.
(3)y′＝x2′sinsxi－n2xx2sinx′ ＝2xsinsxi－n2xx2cosx. (4)解法 1：y′＝2csoisnxx＋3scionsxx′ ＝2csoinsxx′＋3csoinsxx′ ＝2cos2cxo＋s22xsin2x＋－3sins2ixn－2x3cos2x ＝co2s2x－sin32x.
[解析] (1)y＝u－4，u＝1－3x. ∴y′＝y′u·u′＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4·u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝1－123x5.
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt课件
北师大版 · 选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 变化率与导数
●情景导学 在阳光明媚的春天，外出旅游 是一件非常惬意的事情，爬爬山、 看看大海，既锻炼了身体，开阔了 眼界，又愉悦了心情．在登山时， 你是否有这样的感觉：当山坡比较 平缓时，会步履轻松，而当山坡比较陡峭时，就会气喘吁吁．当 然你可以从物理角度来解释这种现象，可是你有没有思考过其 中蕴含的数学知识呢？
●学法探究 1．要注意理解导数的物理意义及几何意义，尤其是几何意 义在解决曲线的切线问题上具有广泛的应用． 2．公式要记牢，尤其是指数函数与对数函数的求导公式比 较容易记混，要在应用中理解并记忆，积函数与商函数的导数 公式要弄清区别．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。6
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
最新中小学教学课件
北师大版高中数学选修1-1：第三章变化率与导数_习题 3--1_课件1共36页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
北师大版高中数学选修1-1：第三章变化 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 率与导数_习题 3--1_课件1
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
北师大版高中数学选修1-1：第三章 变化率与导数 复习课件
3、若f(x)=sin x，则 f ' ( x ) = cos x
4、若f(x)=cos x，则 f ' ( x ) = -sin x
5、若f(x)=ax，则 f ' ( x ) = ax lna
6、若f(x)=ex，则 f ' ( x ) = e x
7、若f(x)=loga x，则 f'(x)
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线 的斜率，用极限运算的表达式来写出，即
k=tanα=
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
导数的概念：
1、导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给
自变量x以增量△x，函数y相应有增量
△y=f(x0+△
x)－f(x0)，若极限
练习3、求下列函数的导数。
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比 值，再利用导数的运算法则（3）来计算。
练习4、求曲线 y = 9 在点M(3，3)处
x
的切线的斜率及倾斜角。
解：
y′=
9 x2
代入x=3，得 y′= 1。
斜率为-1，倾斜角为135°。
1
1
练习5、判断曲线y= 2 x2在（1，2 ）处
1 xlna
8、若f(x)=ln x，则 f '(x) 1
x
导数的运算法则:
法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(差)，即：
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即：
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函 数的导数，再除以第二个函数的平方。即：
北师大版高中数学选修1-1第三章变化率与导数同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章 变化率与导数 同步练习一.选择题(每小题5分,共40分)1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则x y ∆∆为( )A ．Δx ＋x ∆1＋2 B ．Δx －x ∆1－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －x∆1 2．物体自由落体运动方程为s (t )＝21gt 2，g ＝9．8m/s 2， 若0lim →∆t ts t s ∆-∆+)1()1(＝g ＝9．8 m/s ，那么下面说法正确的是( ) A ．9．8 m/s 是0～1 s 这段时间内的平均速度B ．9．8 m/s 是从1 s 到1＋Δs 这段时间内的速度C ．9．8 m/s 是物体在t ＝1这一时刻的速度D ．9．8 m/s 是物体从1 s 到1＋Δs 这段时间内的平均速度3．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么ts t ∆∆→∆0lim 为( )A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为△t 时该物体的速度D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率4．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(－2，－8)或(2，8)D ．(－1，－1)或(1，1)5．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000等于( ) A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x --6．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于( ) A ．32 B ．23 C ．3 D ．2 7．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角 8．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为( )A ．4)(x x f =B ．2)(4-=x x fC ．1)(4+=x x fD ．2)(4+=x x f 二,填空题:(每小题5分,共20分)9．y ＝x 1x 2－2在点(1，－23)处的切线方程为________． 10．已知曲线y ＝x ＋x 1，则y ′|x ＝1＝________．11．曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线为2x ＋y ＋1＝0，则y ′|x ＝a 的符号为________．12．物体运动方程为s ＝4t －0．3t 2，则t ＝2时的速度为________．三,解答题:13．(本题10分)动点沿x 轴运动，运动规律由x ＝10t ＋5t 2给出，式中t 表示时间(单位s )，x 表示距离(单位m)，(1)当Δt ＝1，Δt ＝0．1，Δt ＝0．01时，分别求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度．(2)当t ＝20时，运动的瞬时速度等于多少？14．(本题10分)已知函数f (x )在x ＝a 处可导，且f ′(a )＝A ，求a x →lim ax x a f a x f ----)2()2(．15．(本题10分)在抛物线2x y =上求一点P ，使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角 为4π.16．(本题10分)求经过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程.参考答案:一,选择题: 1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.B二,填空题: 9．2x －2y －5＝0 10．21 11．小于0 12．2．8 13．解：(1)tt t t x ∆+-∆++∆+=∆∆∙∙222052010[]])20(5)20(10[＝210＋5Δt Δt ＝1时，v ＝215(m/s)Δt ＝0．1时，v ＝210．5(m/s)Δt ＝0．01时，v ＝210．05( m/s)(2)0lim →∆t t x ∆∆＝ 0lim →∆t (210＋5Δt )＝210(m/s) 14．解：令x －a ＝Δx 则f ′(a )＝0lim →∆x xa f x a f ∆-∆+)()(＝A a x →lim a x x a f a x f ----)2()2(＝0lim →∆x xx a f a x f ∆∆--+∆)()2( ＝0lim →∆x xa f x a f a f a x f ∆-∆---+∆)]()([)]()2([ ＝20lim →∆x x a f a x f ∆-+∆2)()2(＋0lim →∆x xa f ax a f ∆---)()(＝2A ＋A ＝3A 15、由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P 点的坐标为),(00y x ，则该点处切线的斜率为02x k p =，根据夹角公式有13213200=⋅+-x x 解得10-=x 或410=x ，由10-=x ，得10=y ；由410=x ，得1610=y ； 则P （-1，1）或)161,41(P 。
高中数学 北师大选修1-1 3.1.1《变化率问题》
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以 发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 思函考数:关这系一是现象V (中r)， 4哪些r3 量在改变？变量的变化情况？
变式训练3
已知函数
，分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化
到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．
答案：
，
；
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
第3章 导数及应用
3.1.1 变化率问题
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
微积究分中的取奠得基了人丰是硕牛的顿成和果莱―布―尼―兹微，积他分们的分产别生从。运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成 为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的 应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题， 天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。
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必做题
北师大数学选修作业：第3章 变化率与导数31 含解析
第三章 3.1A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( D )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点(32，314)及邻近一点(32＋Δx ，314＋Δy )，则Δy Δx＝( D ) A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3[解析] ∵Δy ＝f (32＋Δx )－f (32)＝－3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx .故选D ． 3．f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( A )A ．12B ．24C ．2D ．－12[解析] Δy ＝f (3)－f (1)＝33－3＝24，∴Δy Δx ＝243－1＝12.故选A ． 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中．平均变化率最大的是( B )A ．④B ．③C ．②D ．① [解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.5．已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( C ) A ．1 B ．2C ．13D ．32[解析] Δy ＝21.5－22＝13. 6．(2019·杭州高二检测)设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0[解析] ∵函数f (x )＝x 2－1的自变量x 由1变成1.1，所以Δx ＝1.1－1＝0.1，Δy ＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，∴Δy Δx ＝0.210.1＝2.1.故选A ． 二、填空题7．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是__2＋Δx __.[解析] Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx＝Δx ＋2. 8．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是__2.2__.[解析] 由题意，可得Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2，故填2.2. 三、解答题9．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s (t )＝t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．求小球在5到6秒间的平均速度和5到5.1秒间的平均速度，并与匀速直线运动速度公式求得的t ＝5时的瞬时速度进行比较．[解析] v －1＝s (6)－s (5)6－5＝36－25＝11(m/s)， v －2＝s (5.1)－s (5)5.1－5＝5.12－520.1＝10.1(m/s)． 由于小球做匀速直线运动，且初速度为0，故s ＝12at 2＝t 2，∴a ＝2，5秒时的速度v ＝at ＝2×5＝10(m/s)．∴5到5.1秒间的平均速度更接近5秒时的瞬时速度．B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( A )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A ．2．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( D )A ．3B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx[解析] Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝－(Δx )2＋3Δx .∴Δy Δx ＝－(Δx )2＋3Δx Δx ＝－Δx ＋3. 3．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8 m/s ，则9.8 m/s( C )A ．是物体从0 s 到1 s 这段时间的平均速度B ．是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间的平均速度C ．是物体在t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．二、填空题4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为28π3. [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3， ∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 5．已知s (t )＝12gt 2，则t ＝3s 到t ＝3.1s 的平均速度为__30.5m/s__.(g 取10 m/s 2) [解析] 平均速度为Δs Δt ＝12g (3.12－32)3.1－3＝30.5(m/s)． 三、解答题6．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，Δs Δt＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12 cm/s.7．试计算余弦函数f (x )＝cos x 在自变量x 从0变到π3和从π3变到π2时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[解析] 自变量x 从0变到π3时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为：f (π3)－f (0)π3－0＝cos π3－cos0π3＝－32π. 自变量x 从π3变到π2时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为： f (π2)－f (π3)π2－π3＝cos π2－cos π3π6＝－3π. 因为|－32π|<|－3π|，所以函数f (x )＝cos x 在自变量x 从π3变到π2时函数值变化得较快．。
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率导学案北师大版选修1-1
3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f2－f 12－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt＝s1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高中数学 第三章 变化率与导数 3 计算导数学案(含解析)北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1
§3 计算导数学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数．知识点一 导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )，f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数.区别 联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 知识点二 导数公式表函数导函数y ＝c (c 是常数) y ′＝0 y ＝x α (α为实数) y ′＝αx α－1 y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln a y ＝e xy ′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1)y ′＝1x ln ay ＝ln x y ′＝1xy ＝sin x y ′＝cos x y ＝cos x y ′＝－sin x y ＝tan x y ′＝1cos 2x y ＝cot xy ′＝－1sin 2x1．函数f (x )与f ′(x )的定义域相同．( √ )2．求f ′(x 0)时，可先计算出f (x 0)，再对f (x 0)求导．( × )3．求f ′(x 0)时，可先求出f ′(x )，再求f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( √ )题型一 利用导函数求某点处的导数例1 求函数f (x )＝－x 2＋3x 的导函数f ′(x )，并利用f ′(x )求f ′(3)，f ′(－1)． 考点 导函数题点 利用导函数求某点处的导数 解 ∵f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0－x ＋Δx2＋3x ＋Δx ＋x 2－3xΔx＝lim Δx →0 (－Δx －2x ＋3)＝－2x ＋3， 即f ′(x )＝－2x ＋3， ∴f ′(3)＝－2×3＋3＝－3，f ′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.反思感悟 f ′(x 0)是f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．计算f ′(x 0)可以直接使用定义，也可以先求f ′(x )，然后求f ′(x )在x ＝x 0处的函数值f ′(x 0)．跟踪训练1 求函数y ＝f (x )＝1x＋5的导函数f ′(x )，并利用f ′(x )，求f ′(2)．考点 导函数题点 利用导函数求某点处的导数 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝1x ＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5 ＝－Δxx ＋Δx ·x ，∴Δy Δx ＝－1x ＋Δx ·x， ∴f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0－1x ＋Δx ·x ＝－1x 2. ∴f ′(2)＝－14.题型二 导数公式表的应用例2 求下列函数的导数． (1)y ＝sin π3；(2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝sin x2cos 2x 2－1；(5)y ＝5x.考点 基本初等函数的导数公式 题点 基本初等函数导数公式的应用 解 (1)y ′＝0. (2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝32x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝1232x ＝32x .(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln3. (4)因为y ＝sin x 2cos 2x 2－1＝sin xcos x ＝tan x ，所以y ′＝(tan x )′＝1cos 2x .(5)y ′＝(5x )′＝5xln5.反思感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋x ；(2)y ＝x 13；考点 基本初等函数的导数公式 题点 基本初等函数导数公式的应用解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋x＝1－x x ＋x ＝1x＝12x -，∴y ′＝3212x -－.(2)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12.题型三 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式求解切线问题例3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由． 考点 基本初等函数的导数公式 题意 利用导数公式求解切线问题解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12.所以切点为(－12，14)．所以所求切线方程为y －14＝(－1)(x ＋12)，即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.反思感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用(1)切点处的导数是切线的斜率． (2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练3 (1)若直线l 过点A (0，－1)且与曲线y ＝x 3切于点B ，求B 点坐标；(2)若直线l 与曲线y ＝x 3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l 与坐标轴围成的三角形面积．解 (1)y ′＝3x 2，设B (x 0，x 30)(x 0≠0)， 则切线斜率k ＝3x 20.又直线l 过点(0，－1)，∴k ＝x 30＋1x 0.∴3x 20＝x 30＋1x 0，∴2x 30＝1，∴x 0＝312，x 30＝12， ∴B ⎝⎛⎭⎪⎫312，12. (2)设切点为(x 0，x 30)(x 0>0)，则该切线斜率为3x 20， ∴3x 20＝3，x 0＝1，则切点为(1,1)． ∴直线l 的方程为y －1＝3(x －1)．∴直线l 与坐标轴的交点分别为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， ∴直线l 与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12×|－2|×23＝23.命题角度2 利用导数公式求解参数问题例4 已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求解切线问题 答案 C解析 y ′＝(ln x )′＝1x.设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝x x 0＋ln x 0－1. ∵直线y ＝kx 过原点，∴ln x 0－1＝0，得x 0＝e ，∴k ＝1e.反思感悟 解决利用导数公式求解参数问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值． 考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求解切线问题 解 设两曲线的交点为(x 0，y 0)，由题意知，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即12012x -＝ax 0，即a ＝12012x ，①∵点(x 0，y 0)为两曲线的交点， ∴x 0＝a ln x 0，② 由①②可得x 0＝e 2， 将x 0＝e 2代入①得a ＝e 2.1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②53x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝23x ；③(ln x )′＝1x.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 考点 基本初等函数的导数公式 题点 基本初等函数的导数公式的应用 答案 C解析 ∵②53x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝2353x ，∴②错误，故选C.2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝. 考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 1e解析 ∵f ′(x )＝1x ln a， 又f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.4．在曲线y ＝1x上一点P 处的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为．考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求解切线问题答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 解析 设P (x 0，y 0)，y ′＝－1x 2，则－1x 20＝－4，得x 0＝±12.当x 0＝12时，y 0＝2.当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 5．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求解切线问题 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S ＝12×1×|－e 2|＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归．2．有些函数可先化简再求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．一、选择题1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12；②y ＝f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2xln2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2. A ．0B ．1C ．2D ．3考点 基本初等函数的导数公式 题点 基本初等函数的导数公式的应用 答案 D解析 ①中y ＝ln2为常数， 所以y ′＝0.①错．2．已知f (x )＝1x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15等于( )A ．－25B ．－125C.125D ．25考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 B解析 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2.故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－25，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f (－25)＝－125. 3．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－3 考点 函数在某一点处的导数 题点 根据导数值求坐标或参数 答案 C解析 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0a Δx ＋1＋3－a ＋3Δx＝a ，∵f ′(1)＝3，∴a ＝3.4．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，32(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，－32(k ∈Z )考点 基本初等函数的导数公式 题点 正弦、余弦函数的导数 答案 D解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵函数在点P 处的导数为y ′＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，k ∈Z ，∴y 0＝32或－32. 5．设曲线y ＝ax 2在点(2,4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a 等于( )A ．－18B.18 C ．－116D.116考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求解切线问题 答案 C解析 由题意知切线的斜率是－14，∵y ′＝2ax ，∴4a ＝－14，得a ＝－116.6．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1eC ．－eD ．e答案 D解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则00000,e ,e ,xx y kx y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴0e x＝0e x·x 0， ∴x 0＝1，∴k ＝e.7．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 8．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2018(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦、余弦函数的导数答案 B解析 f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2018(x )＝f 504×4＋2(x )＝－sin x .二、填空题9．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx 且g ′(2)＝1f ′2，则m ＝. 考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用答案 －4解析 ∵f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m ，∴f ′(2)＝－14， 又g ′(2)＝1f ′2，∴m ＝－4. 10．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为． 考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题 答案 (1,1)解析 因为y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x2 (x >0)， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2 (m >0)． 因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，点P 的坐标为(1,1)．11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，则关于x 的不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为． 考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数导数公式的应用答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋2k π，k ∈Z 解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，则sin x ＝1，解得x ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 三、解答题12．已知曲线y ＝5x (x ＞0)，求：(1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程；(2)过点P (0,5)，且与曲线相切的切线方程．考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题解 (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ，得曲线在x ＝x 0处的切线的斜率k ＝52x 0.因为切线与直线y ＝2x －4平行，所以52x 0＝2， 解得x 0＝2516，所以y 0＝254. 故所求切线方程为y －254＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2516， 即16x －8y ＋25＝0.(2)因为点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，所以设切点坐标为M (x 1，y 1)， 则切线斜率为52x 1(x 1≠0)， 又因为切线斜率为y 1－5x 1， 所以52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1， 解得x 1＝4(x 1＝0舍去)．所以切点为M (4,10)，斜率为54， 故切线方程为y －10＝54(x －4)， 即5x －4y ＋20＝0.13．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近． 则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，所以0e x ＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.14．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 基本初等函数的导数公式题点 指数函数、对数函数的导数答案 B解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2. 15．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.。
高中数学第三章变化率与导数3计算导数学案北师大版选修1-1(2021年整理)
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§3计算导数错误!对于函数y＝－错误!x2＋2x。
问题1：如何求f′(1)?提示：f′(1）＝错误!错误!.问题2：如何求f′(x）？提示：f′(x)＝错误!错误!。
问题3：f′（x)与f′（1）有什么关系？提示：f′（1)可以认为把x＝1代入导函数f′(x）得到的值．1．导函数若一个函数f(x）在区间（a，b）上的每一点x处都有导数，导数值记为f′（x）：f′(x）＝错误!错误!则f′(x）是关于x的函数，称f′（x)为f（x）的导函数，简称为导数．2．导数公式表（其中三角函数的自变量单位是弧度）函数导函数函数导函数y＝c（c是常数）y′＝0y＝sin x y′＝cos_x y＝xα（α为实数）y′＝αxα－1y＝cos xy′＝－sin_x y＝a x (a〉0，a≠1)y′＝a x ln_a，特别地(e x）′＝e xy＝tan xy′＝1cos2x y＝log a x (a>0，a≠1)y′＝错误!，特别地（ln x）′＝错误!y＝cot xy′＝－错误!1．导数公式表中（a x)′＝a x ln a与（log a x)′＝错误!较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的差异去记忆．2．f′(x）与f′(x0）既有区别,又有联系，f′（x）是导函数，f′（x0)是当x＝x0时导函数f′（x）的一个函数值，是一个确定的值．错误!利用导函数的定义求导数[例1] s（t)＝t2＋t.求s′(0)，s′（2)，s′（5),并说明它们的意义．［思路点拨] 先求出s(t)的导函数，然后分别把t＝0,2，5代入即可．[精解详析] 由题意Δs＝s（t＋Δt）－s（t)＝(t＋Δt）2＋（t＋Δt）－(t2＋t）＝（Δt）2＋2t·Δt＋Δt.∴错误!＝错误!＝Δt＋2t＋1。
北师大版高中数学选修1-1章末综合测评(三) 变化率与导数.docx
章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t＝4 s时的瞬时速度为( )A．12 B．－12C．4 D．－4【解析】S(t)＝2(1－t)2＝2t2－4t＋2，则S′(t)＝4t－4，所以S′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2 x －(1＋cos x )cos x sin 2 x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b )在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )【解析】 f ′(x )＝2x ＋b ，因为f (x )顶点⎝⎛⎭⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b <0，则f ′(x )图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24 B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，所以sin⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]． 【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)．则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2) B ．22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】 将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P (x 0，y 0)，由x 2－y －2ln x ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x )′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x. 【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________．①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x )′＝x ln a ；③加速度是质点的位移s 对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x )＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f (x )在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________． 【解析】 设切点为M (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2，① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.【解析】 因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.【答案】 － 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x . 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23. ∴所求直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 【解】 (1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎨⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3.故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎨⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋94与l 平行，求f (x )的图像上的点到直线g (x )的最短距离．【解】 因为f (x )＝x ，所以f ′(x )＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0.因为切线l 与直线g (x )＝kx ＋94平行，所以k ＝1，即g (x )＝x ＋94.f (x )的图像上的点到直线g (x )＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎨⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。
高中数学选修1-1第三章课后习题解答
新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π弧度／秒. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于0，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于0的常数；函数（2）的()f x '均大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于函数（3），当x 小于0时，()f x '小于0，当x 大于0时，()f x '大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P80）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思3．2导数的计算 练习（P85）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）41065y x x '=-+； （4）3sin 4cos y x x '=--习题3.2 A 组（P85）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）21sin y x'=-.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题3.2 B 组（P86）1、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.3．3导数在研究函数中的应用 练习（P93）当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P96）注：图象形状不唯一.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-；当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22、2x ，4x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，其中4x x =是函数()y f x =的极小值点. 练习（P98）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题3.3 A 组（P98）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =-，所以()20f x '=>. 因此，函数()24f x x =-是单调递增函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值. 5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）当112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为4924-. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4924-. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.因为3()612f x x x =-+在1[,1]3-上单调递减，且1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，128-. 习题3.3 B 组（P99）（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >.因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 3．4生活中的优化问题举例 习题3.4 A 组（P104）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.（第2题）3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可知，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =.（第3题）当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题3.4 B 组（P105）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.因为()L x 只有一个极值，所以350x =为最大值点.因此，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b +'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.第三章 复习参考题A 组（P110）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x +'=； （3）ln x xe y e x x '=+. 3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去. 由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=，0 1.6x <<. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 1x =是函数()V x 在(0,1.6)内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080,)x x N ≤≤∈. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x， 打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.第三章 复习参考题B 组（P111）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，细菌在增加；当55t <<+时，细菌在减少. 2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.h R =是函数()V h 在(0,)R 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.把3h R =代入222r h R +=，得r =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.24x =是函数y 在(0,)+∞上唯一极值点，且是极小值点，从而是最小值点.当24x =时，9600162478424⨯+=（元）. 于是20780()940.824÷=（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈，114y ≈；当50x =，114y ≈；当100x =，138y ≈.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.。
高中数学北师大选修1-1 第三章 变化率与导数 3.4.1 课时自测当堂达标 含答案
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课时自测·当堂达标
1.已知f(x)=x-5+3sinx，则f′(x)等于( )
A.-5x-6-3cosx
B.x-6+3cosx
C.-5x-6+3cosx
D.x-6-3cosx
【解析】选C.f′(x)=-5x-6+3cosx.
2.设f(x)=sinx-cosx，则f(x)在x=处的导数f′=( )
A. B.- C.0 D.
【解析】选A.因为f′(x)=cosx+sinx，
所以f′=cos+sin=.
3.函数f(x)=e-x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=-e-x+a，由题意-e-x+a=2，
所以e-x=a-2，所以a-2>0，所以a>2.
答案：(2，+∞)
4.求过点(1，-1)与曲线y=x3-2x相切的直线方程.
【解析】由题知y′=3x2-2，设P(x0，y0)为切点，
则切线斜率为k=3-2.
故切线方程为y-y0=(3-2)(x-x0).①
因为(x0，y0)在曲线上，所以y0=-2x0.②
又因为(1，-1)在切线上，所以将②式和(1，-1)代入①式得
-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0).解得x0=1或x0=-.
故所求的切线方程为y+1=x-1或y+1=-(x-1).
即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
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第三章 3.1
A 级 基础巩固
一、选择题
1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( D )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．
2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点(32，314)及邻近一点(32＋Δx ，314＋Δy )，则Δy Δx
＝( D ) A ．3
B ．－3
C ．－3－(Δx )2
D ．－Δx －3
[解析] ∵Δy ＝f (32＋Δx )－f (32
)＝－3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx
＝－3－Δx .故选D ． 3．f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( A )
A ．12
B ．24
C ．2
D ．－12
[解析] Δy ＝f (3)－f (1)＝33－3＝24，
∴Δy Δx ＝243－1＝12.故选A ． 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x
中．平均变化率最大的是( B )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
5．已知函数y ＝2x
，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( C ) A ．1
B ．2
C ．13
D ．32
[解析] Δy ＝21.5－22＝13
. 6．(2019·杭州高二检测)设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )
A ．2.1
B ．1.1
C ．2
D ．0
[解析] ∵函数f (x )＝x 2－1的自变量x 由1变成1.1，所以Δx ＝1.1－1＝0.1，Δy ＝(1.12－
1)－(12－1)＝0.21，
∴Δy Δx ＝0.210.1
＝2.1.故选A ． 二、填空题
7．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是__2＋Δx __.
[解析] Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx )2＋2Δx .
∴Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx
＝Δx ＋2. 8．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是__2.2__.
[解析] 由题意，可得Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝
4.4，
∴平均速度为Δs Δt ＝4.42
＝2.2，故填2.2. 三、解答题
9．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s (t )＝t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．求小球在5到6秒间的平均速度和5到5.1秒间的平均速度，并与匀速直线运动速度公式求得的t ＝5时的瞬时速度进行比较．
[解析] v －1＝s (6)－s (5)6－5
＝36－25＝11(m/s)， v －2＝s (5.1)－s (5)5.1－5
＝5.12－520.1＝10.1(m/s)． 由于小球做匀速直线运动，且初速度为0，
故s ＝12
at 2＝t 2， ∴a ＝2，
5秒时的速度v ＝at ＝2×5＝10(m/s)．
∴5到5.1秒间的平均速度更接近5秒时的瞬时速度．
B 级 素养提升
一、选择题
1．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平
均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( A )
A ．k 1＞k 2
B ．k 1＜k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx
＝2x 0＋Δx ，
k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx
＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A ．
2．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx
＝( D )
A ．3
B ．3Δx －(Δx )2
C ．3－(Δx )2
D ．3－Δx
[解析] Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)
＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)
＝－(Δx )2＋3Δx .
∴Δy Δx ＝－(Δx )2＋3Δx Δx
＝－Δx ＋3. 3．已知物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8m/s 2，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt
，当Δt 趋于0时，v 趋近于9.8 m/s ，则9.8 m/s( C )
A ．是物体从0 s 到1 s 这段时间的平均速度
B ．是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间的平均速度
C ．是物体在t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度
D ．是物体在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度
[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．
二、填空题
4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为
28π3 . [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3
， ∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3
. 5．已知s (t )＝12gt 2，则t ＝3s 到t ＝3.1s 的平均速度为__30.5m/s__.(g 取10 m/s 2)
[解析] 平均速度为Δs Δt ＝12g (3.12－32)3.1－3
＝30.5(m/s)． 三、解答题
6．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．
(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt
； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．
[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt
＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt
＝6t ＋3Δt .
(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，
Δs Δt
＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，
∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12 cm/s.
7．试计算余弦函数f (x )＝cos x 在自变量x 从0变到π3和从π3变到π2
时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
[解析] 自变量x 从0变到π3
时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为： f (π3)－f (0)π3－0＝cos π3－cos0π3
＝－32π. 自变量x 从π3变到π2
时，函数f (x )＝cos x 的平均变化率为： f (π2)－f (π3)π2－π3＝cos π2－cos π3π6
＝－3π. 因为|－32π|<|－3π|，所以函数f (x )＝cos x 在自变量x 从π3变到π2
时函数值变化得较快．
由Ruize收集整理。
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