指数与指数函数 - 简单 - 讲义

指数与指数函数 知识讲解 一、指数运算

1.根式的概念：

①定义：若一个数的n 次方等于),1(*

∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =， 则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，

1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；

2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ．

②性质：1）a a n n =)(；

2）当n 为奇数时，a a n n =；

3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)

0()0(||a a a a a a n n ． 2.幂的有关概念

①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n (ΛN*；

N 个

2）)0(10≠=a a ；

3）∈=-p a

a p p (1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；

2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；

3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）．

注：上述性质对r s R ∈、均适用．

二、指数函数

1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，

1）函数的定义域为R ；

2）函数的值域为),0(+∞；

3）当10<a 时函数为增函数．

2.函数图像：

f x () = 1

2( = 2x

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．

3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的

图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log x a y a y x ==与的图象关于直

线y x =对称．

4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a ．

5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=

3函数值的变化特征：

典型例题

一．选择题（共8小题）

1．（2017春•东河区校级期末）函数y=2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）

2．（2016秋•黄陵县校级期末）下列函数一定是指数函数的是（）

A．y=2x+1B．y=x3 C．y=3•2x D．y=3﹣x

3．（2017秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数，则a的值是（）

A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2

4．（2017秋•定州市校级期末）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）

A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限

5．（2017秋•历下区校级期末）已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）

A．t≤﹣1 B．t＜﹣1 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3

6．（2018•全国模拟）若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（）

A．＞B．m|m|＞n|n|C．ln（m﹣n）＞0 D．πm﹣n＜1 7．（2018•凯里市校级二模）已知a=0.52.1，b=20.5，c=0.22.1，则a、b、c的大小关系是（）

A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b

8．（2017秋•天心区校级期末）某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（）

A．y=100x B．y=50x2﹣50x+100

C．y=50×2x D．y=10x+100

二．填空题（共3小题）

9．（2016•南昌县自主招生）函数的定义域是．10．（2016•长宁区一模）方程9x+3x﹣2=0的解是．

11．（2014秋•嘉定区期末）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是．

三．解答题（共3小题）

12．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣2，），求函数的解析式．

13．若指数函数的图象经过点（，4），求该函数的解析式及f（﹣）的值．

14．比较a=（）0.2与b=2的大小．