数学论文模n剩余类环及其应用

分类号O153

编号2013010130

毕业论文

题目模n剩余类环及其应用

学院数学与统计学院

专业数学与应用数学

姓名苏安兵

班级09数应一班

学号291010130

研究类型基础研究

指导教师唐保祥副教授

提交日期2013年5月19日

原创性声明

本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：

年月日

论文指导教师签名：

年月日

模n剩余类环及其应用

苏安兵

(天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001)

摘要:模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环. 本文主要从模n剩余类环的定义和性质出发,系统论述了模n剩余类环及其相关性质,并列举了模n剩余类环在纯代数证明和完全及简化剩余系的性质方面的一些应用.

关键词:模n剩余类环; 模n剩余类子环; 幂等元; 理想

中图分类号: O153

Modulo n Residue Class Ring and Its Application

SU An-bing

( School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University,

Tianshui Gansu,741001,China )

Abstract: Modulo n residue class ring is a kind of thorough special ring. In this thesis, mainly based on the definition of modulo n residue class ring and its primary property, the author first completely expounds it and its relative properties. Then, some application in the proof of pure algebraic and the simplification of the remaining coefficients is listed. Key words: Modulo n residue class ring; Modulo n residual class ring; Idempotent element; Sub-ring ideal

目录

1引言 (1)

2 基本知识 (1)

2.1 模n剩余类环的基本概念 (1)

2.2 模n剩余类环的基本性质 (2)

3 主要结果及其证明 (3)

Z的一般性质 (3)

3.1 模n剩余类环

n

3.2 模n剩余类子环的相关命题 (4)

3.3 模n剩余类加群相关性质列举 (8)

3.4 模n剩余类乘法群及其幂等元的简单求法 (9)

Z的理想 (12)

3.5 模n剩余类环

n

3.6 剩余类环的应用 (13)

参考文献 (15)

模n 剩余类环及其应用

1引言

自从1910年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来, 学者们就对各种环进行了深入系统的研究, 开辟了许多新的研究领域, 并取得了许多有意义的研究成果. 环是两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统, 因此它的许多基本概念与理论与群相似, 也是对群的相应内容的推广. 模n 剩余类环就是环中研究比较透彻的一类环, 常见于各类论著之中, 同时, 它也有很重要的应用.

2 基本知识

在集合Z 中, 固定n (n 可以是任意形式), 规定Z 中元素间的一个关系为R , 则aRb , 当且仅当)(|b a n -. 其中, )(|b a n -表示n 能整除)(b a -. 易见, 这是一个等价关系, 记这个等价关系为模n 的同余关系, 并用)(n b a ≡来表示. 我们知道一个等价关系决定一个分类, 所以该等价关系便决定了集合Z 的一个分类, 我们将如此得来的分类就叫作模n 的剩余类.

2.1 模n 剩余类环的基本概念

定义 2.1.1 对n N +∀∈, 令}1,,2,1,0{-=n Z n , 任取n Z j i ∈,, 规定j i j i +=+, ij j i =⋅为n Z 的两个代数运算, 可知n Z 作成一个环, 是一个n 阶有单位元的交换环, 我们称其为以n 为模的剩余类环, 或简称模n 剩余类环.

显然, 该环关于加法作成一个n 阶循环群, 从而n Z 是n 阶循环环.

定义2.1.2 对∀n Z i ∈, 类i 中若有一个整数与n 互素, 则这个类中的所有整数都同n 互素, 我们就说类i 与n 互素.

定义 2.1.3 对∀0≠a n Z ∈, 若存在n Z 中的元素0≠b ,使得0=b a , 则称a 为环n Z 的一个左零因子.

同样可定义右零因子, 若n Z 的左零因子与右零因子相等, 称其中任意一个为n Z

的零因子.

定义 2.1.4 ⋅〉+〈,,n Z 中, 若n Z e ∈∃使得n Z a ∈∀, 有a e a a e ==, 则称元素e 为环⋅〉+〈,,n Z 的单位元, 记作1.

定义 2.1.5 ⋅〉+〈,,n Z 中, 若n Z a ∈∀, 有n Z b ∈, 使得1==a b b a , 则称b 是a 的逆元, a 与b 互逆.

定义2.1.6 对n Z a ∈∀, a (对加法)有最大的阶n , 则称n 为⋅〉+〈,,n Z 的特征. 定义2.1.7 对于⋅〉+〈,,n Z 的任一非空子集N , 若N 满足:

)1(N a ∈, N b a N b ∈-⇒∈;

)2(N a ∈, N a b b a N b ∈⇒∈,.

则称集合N 为n Z 的一个理想子环, 简称n Z 的理想.

定义 2.1.8 设R 为任意一个环, N 是R 的理想. 则N R /对陪集的加法和乘法作成一个环, 称该环为R 关于N 的商环.

定义2.1.9 ⋅〉+〈,,n Z 的乘法群G (n 为素数时, n Z 中的所有非零元做成G , n 为合数时, n Z 中的所有可逆元做成G )中, 对于G a ∈∀, 若a 满足:a a =2, 则称a 为⋅〉+〈,,n Z 的一个幂等元[1].

定义 2.1.10 对于∀n Z b a ∈,, 若∃n Z q ∈, 使得q a b =, 则称a 整除b , 记作|a b --,否则, a 不整除b .

2.2 模n 剩余类环的基本性质

性质2.2.1 对n Z b a ∈∀,, 若b a =, 则(1,0,1)a b nk k =+=-.

性质2.2.2 对n Z a ∈∀, 0==++=na a a a a n .