2018年全国高中数学联赛河北预赛试题及详解

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2018年全国高中数学联赛河北（高二）预赛试题及详解

一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分.

1.已知集合{,,}A x xy x y =+，{0,,}B x y =且A B =，则20182018x y += ．

2.规定：x R ∀∈，当且仅当*1()n x n n N ≤<+∈时，[]x n =，则[][]2

428450x x -+≤的解集为 ．

3.在平面直角坐标系中，若与点()2,2A 的距离为1，且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有三条，则实数m 的取值集合是 ．

4.在矩形ABCD 中，已知3AB =，1BC =.动点P 在边CD 上，设PAB α∠=，PBA β∠=，则cos()

PA PB αβ⋅+的最大值为 ． 5.已知1x ≥，1y ≥且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg u xy =的最大值为 ．

6.若123A A A ∆的三边长分别为8、

10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A BCD -的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是 ．

7.1

>，则tan θ的取值范围是 ． 8.在ABC ∆中，3AC =，sin sin C k A =，(2)k ≥，则ABC ∆的面积的最大值为 ．

二、解答题

9.已知O 是ABC ∆的外心，且3450OA OB OC =+=，求cos BAC ∠的值.

10.设α、0,

2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：cos cos sin αβαβ++≤.

11.若a 、b 、c 为正数且3a b c ++=，证明：3ab bc ca ++≤≤.

12.若函数()f x 的定义域为()0,+∞且满足：①存在实数(1,)a ∈+∞，使得()1f a =.②当m R ∈且()0,x ∈+∞时，有()()0m f x mf x -=恒成立.

（1）证明：()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

（其中0x >，0y >）； （2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；

（3）若当0t >时，不等式()

()241f t f t +-≥恒成立，求实数a 的取值范围.

13.已知数列{}n a 中112a =，*11121()22

n n n n a a n N +++=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .

14.如图，设ABC ∆的外接圆为O ，BAC ∠的角平分线与BC 交于点D ，M 为BC 的中点.若ADM ∆的外接圆Z 分别与AB 、AC 交于P 、Q ，N 为PQ 的中点.

（1）证明：BP CQ =；

（2）证明：//MN AD .

试卷答案

一、填空题

1. 2

2. {|35}x x ≤<

3. {2-+

4. 3-

5. 2+772π

7. 3(,(,2)3

-∞ 8. 3 二、解答题

9.【解析】设ABC ∆的外接圆半径1r =，由已知得345OA OB OC =--，两边平方得45

OB OC ⋅=-， 同理可得35

OA OC ⋅=-，0OA OB ⋅=. ∴()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2OB OC OA OC OA OB OA =⋅-⋅-⋅+45=

， ∴22()2AB OB OA =-=，223

16()22()55

AC OC OA =-=-⋅-

=，

∴4cos AB

AC

BAC AB AC ⋅∠===⋅10.

【解析】cos cos sin αβαβ+

2cos cos 222

αβ

αβ+-=+(cos()cos())αβαβ--+

2cos (1cos())22

αβ

αβ+≤+-+

22cos

2cos )22

αβ

αβ++=+

-2

2cos

22αβαβ

++=+

2

2αβ+=≤. 当且仅当cos 12cos 02αβαβ-⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩时，即4παβ==时“=”成立.

11.

23a a ≥=，

23b b ≥=

23c c ≥=，

三式相加：222a b c +++23()9()a b c a b c ≥++==++，

∴2222()a b c a b c ≥++---2()ab bc ac =++，

∴ab bc ac ++≤

又2()(111)9a b c ≤++++=

3，

综上可得3ab bc ac ++.

12.【解析】（1）证明：∵x ，y 均为正数，故总存在实数m ，n 使得m x a =，()1n y a a =>，

∴()()()()()m

m n n x a f f f a m n f a m n y a

-===-=-， 又()()()()m n f x f y f a f a -=-()()mf a nf a m n =-=-， ∴()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

.

（2）证明：设()12,0,x x ∈+∞，且12x x >，则

121x x >，故可令12x a x α=，（1a >，0α>）， 则由（1）知()()1122x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

()()0f a f a ααα===>， 即()()12f x f x >.∴()f x 在()0,+∞上单调递增.

（3）解：∵()1f a =故原不等式化为24()()t f f a t

+≥，又()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴24t a t +≥对于0t >恒成.

∵2444t t t t +=+≥=.（当且仅当2t =时“=”成立）. ∴4a ≤，又()1,a ∈+∞，∴(]1,4a ∈.

13.【解析】（1）由*11121()22

n n n n a a n N +++=+∈知：1*12221()n n n n a a n n N ++=++∈， 令2n n n b a =，则11b =且*121()n n b b n n N +=++∈.