湖北省荆州市沙市区沙市中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷1. 方程(2x +3y)(2x −3y)=0表示的图形是( ) A. 两条直线 B. 双曲线C. 一个点D. 一条直线和一条射线2. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面AB 1C 的一个法向量是.( )A. (1,1,1)B. (−1,1,1)C. (1,−1,1)D. (1,1,−1)3. 方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2−4F >0)表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则( )A. D +E =0B. D +F =0C. E +F =0D. D +E +F =0 4. 已知点A(1,a,−5)，B(a,−5,−2)，则|AB|的最小值为( )A. 3√3B. 27C. 2√3D. 125. 设直线3x +4y −10=0与圆O ：x 2+y 2=25交于点A ，B ，以线段AB 上一点C 为圆心作一个圆与圆O 相切，若切点在劣弧AB⏜上，则圆C 的半径最大值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 若抛物线y 2=2x 图象上一点到直线x +y +a =0距离的最小值为154√2，则a =( ) A. 7B. 8C. 8或−7D. −77. 已知双曲线x 29−y 2b2=1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2+y 2=9的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED =150∘，则双曲线的离心率为( )A.2√39B. 32C. √3D.2√338. 已知圆C 方程为(x −10)2+(y −8√3)2=34，将直线l ：y =x −1绕(1,0)逆时针旋转15∘到l 1的位置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数( )A. 始终为0B. 是0或1C. 是1或2D. 是0或1或29. 下列结论正确的是( )A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大B. 斜率相等的两直线的倾斜角一定相等C. 直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αD. 经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)的直线方程可以表示为：(y −y 1)(x 2−x 1)=(x −x 1)(y 2−y 1)10. 已知曲线C ：mx 2+ny 2=1.则下列命题正确的是( ) A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B. 若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−nm x D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线11. 如图所示，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且∠BAD =∠DAA 1=∠BAA 1=60∘，则下列结论正确的是( )A. |BD 1|=√2B. CO 1//平面BDA 1C. DO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D. BD 1⊥A 1C 112. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C于A ，B 两点(其中A 在B 的上方)，O 为坐标原点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 点P ，Q ，N ，点A 、B 在准线l 上的投影分别为点H 和点D ，则( )A. 若|AF|=2|FB|，则直线AB 的斜率为2√2B. ∠HMD =π2 C. |PM|=|NQ|D. 若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB 的斜率为2√213. 已知直线ax +by +c =0的系数a 、b 、c 中，有两个正数，一个负数，则该直线一定经过第______象限．14. 设e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是空间两个不共线的向量，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k =______.15. 过点(3,0)引直线l 与曲线y =√2−x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于______.16. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a 2−y 2=1的右顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则正实数a 的值为______.17. 已知直线l 1：mx +(1−2m)y +2−m =0，l 2:x +3my −3m 2=0.(1)当直线l 1在x 轴上的截距是它在y 上的截距2倍时，求实数m 的值； (2)若l 1//l 2，实数m 的值．18. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(−1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C和D ，且|CD|=2√10. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．19. 如图1，四边形ABCD 为等腰梯形，AB =2，AD =DC =CB =1，将△ADC 沿AC 折起，E 为AB 的中点，连接DE ，DB.如图2中BC ⊥AD ， (1)求线段BD 的长；(2)求直线BD 与平面CDE 所成的角的正弦值．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD//BC ，∠ABC =∠PAD =90∘，侧面PAD ⊥底面ABCD.若PA =AB =BC =12AD(1)若E ，F 分别为PC ，PD 的中点，求直线BE 与CF 所成的角；(2)G 为线段AC 上一点，若平面APD 与平面GPD 所成角的余弦值23，求CGGA 的值．21. 已知抛物线C ：y 2=8x ，(1)经过点M(−1,1)作直线l ，若l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，求l 的方程；(2)设抛物线C的准线与x轴的交点为N，直线m过点P(1,0)，且与抛物线C交于A、B两点，AB的中点为Q，若QN=√33，求△ANB的面积．22. 已知双曲线C经过点P(2,√3)，两条渐近线的夹角为π.3(1)求双曲线C的标准方程．(2)若双曲线C的焦点在x轴上，点M，N为双曲线C上两个动点，直线PM，PN的斜率k1，k2满足k1k2=1，求证：直线MN恒过一个定点，并求出该定点的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由(2x +3y)(2x −3y)=0，得2x +3y =0或2x −3y =0， 故方程(2x +3y)(2x −3y)=0表示的图形是两条直线， 故选：A.由已知的方程得到2x +3y =0或2x −3y =0，从而得到方程(2x +3y)(2x −3y)=0表示的图形． 本题考查曲线与方程的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：如图，B 1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，则：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 设平面AB 1C 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则： {n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{y +z =0−x +y =0，取y =1，则x =1，z =−1， ∴平面AB 1C 的一个法向量为：(1,1,−1). 故选：D.可画出图形，得出点B 1，A ，C 的坐标，进而得出向量AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，然后设平面AB 1C 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，从而得出{n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，代入向量坐标进行向量坐标的数量积运算即可求出n ⃗ 的坐标．本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，平面法向量的定义，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上．圆心坐标是(−D2,−E2)，所以D+E=0.故选：A.由圆的方程一般式求出圆心，代入对称轴方程即可．本题考查圆的一般式方程，求圆心等，是基础题．4.【答案】A【解析】解：点A(1,a,−5)，B(a,−5,−2)，则|AB|=√(1−a)2+(a+5)2+(−5+2)2=√2a2+8a+35=√2(a+2)2+27，当a=−2时，|AB|min=3√3.故选：A.根据已知条件，结合空间两点间的距离公式，以及二次函数的性质，即可求解．本题主要考查空间两点间的距离公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如图，直线l：3x+4y−10=0与圆O：x2+y2=25相交于AB，当C点在线段AB上移动时，圆C与圆O相切于劣弧AB⏜上的某一点，其半径r=5−|OC|，设AB的中点为M，则OM⊥AB，且|OM|≤|OC|，即当C点移动到M点时，|OC|最小，以C为圆心，且与大圆的劣弧AB相切的圆C的半径r=5−|OM|最大，此时C点与M重合，而|OM|=10√32+42=2，故圆C半径的最大值为5−2=3.故选：C.作出直线与圆，使它们相交，然后再研究随着C 点在线段AB 上移动时，小圆半径的变化规律，据此求出圆C 半径的最大值．本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：联立{y 2=2xx +y +a =0，可得y 2+2y +2a =0，又根据题意可知抛物线y 2=2x 与直线x +y +a =0无交点， ∴Δ=4−8a <0，∴a >12， 设抛物线上任一点P(t 22,t)，t ∈R ，则P 到直线x +y +a =0距离d =|t 22+t+a |√2=|12(t+1)2+(a−12)|√2，又a >12，∴a −12>0， ∴d =12(t+1)2+(a−12)√2，且t ∈R ，∴当t =−1时，d 的最小值为a−12√2=154√2， 解得a =8， 故选：B.根据题意可得抛物线y 2=2x 与直线x +y +a =0无交点，从而可得，再设抛物线上任一点P(t 22,t)，t ∈R ，然后利用点到直线的距离公式及函数思想即可求解．本题考查直线与抛物线的的位置关系，抛物线上的点到直线距离的最值问题，函数思想，属中档题．7.【答案】D【解析】解：如图，∵双曲线x 29−y 2b2=1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2+y 2=9的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED =150∘，∴∠FOC =180∘−2∠OEC =30∘，∠OCF =90∘， ∴OC =a ，OF =c ，CF =12c ， ∴a 2+(12c)2=c 2， 解得c =2√33a ，∴e =c a =2√33. 故选：D.根据已知条件，作出图形，结合图形，由双曲线的性质得到∠FOC =30∘，∠OCF =90∘，OC =a ，OF =c ，CF =12c ，利用勾股定理求出a ，c 间的等量关系，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．8.【答案】D【解析】解：圆C ：(x −10)2+(y −8√3)2=34，圆心(10,8√3)，r =√32，故圆心C 到直线l ：x −y −1=0的距离为d =√3−1|√2=√3−9√2， 将√3≈1.732，√2≈1.414代入上式得d ≈3.43>√32，故直线y =x −1与圆C 相离，没有公共点；将x =10代入直线y =x −1得y =9<8√3，故圆心C 在直线y =x −1的上方， 将直线l ：y =x −1绕(1,0)逆时针转15∘，所得直线l 1过点(1,0)，且倾斜角为60∘， 故此时l 1：y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0， 此时圆心C 到直线l 1的距离为：d 1=|10√3−8√3−√3|2=√32=r ，故此时直线l 1与圆C 相切，有1个公共点，而x =10代入直线y =√3x −√3得y =9√3>8√3，故圆心C 在直线y =√3x −√3的下方， 所以将直线l ：y =x −1绕(1,0)逆时针旋转15∘到l 1的位置的过程中，经历了与圆相离，相切，相交，再相切的过程，故公共点的个数为0个或1个或2个． 故选：D.先利用几何法判断直线y =x −1与圆C 的位置关系，得到公共点的个数，同理再判断y =√3(x −1)与圆C 的位置关系，同时判断圆心与直线的位置关系，即可解决问题． 本题考查直线与圆位置关系的判断方法和应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：A 、直线的倾斜角为π6，5π6时，不满足直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，故A 错误；B 、斜率相等的两直线的倾斜角一定相等，由倾斜角的范围为α∈[0,π),k =tanα(α≠π2)函数单调，故B 正确；C 、当直线的斜率为tan5π4，则其倾斜角为π4，故C 错误； D 、经过两个不同点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的方程无论斜率存在不存在，都可表示为(y −y 1)(x 2−x 1)=(y 2−y 1)(x −x 1)，故D 正确， 故选：BD.利用直线的斜率倾斜角的关系、直线的两点式方程逐项判断即可． 本题考查直线的斜率和倾斜角，直线的两点式方程，属基础题．10.【答案】AD【解析】解：对于A ，若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上，因为方程化为：x 21m+y 21n=1，0<1m<1n，焦点坐标在y 轴，所以A 正确；对于B ，若m =n >0，则C 是圆，其半径为：√1n，不一定是√n ，所以B 不正确；对于，C 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为mx 2=−ny 2，化简可得y =±√−mn x ，所以C 不正确；对于，D 若m =0，n >0，方程化为ny 2=1，则C 是两条直线．所以D 正确； 故选：AD.通过m ，n 的取值判断焦点坐标所在轴，判断A ，求出圆的半径判断B ；通过求解双曲线的渐近线方程，判断C ；利用m =0，n >0，判断曲线是否是两条直线判断D. 本题考查命题的真假的判断，考查曲线与方程的应用，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，如图，则|a ⃗ |=|b ⃗ |=|c ⃗ |=1，<a ⃗ ,b ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >=<a ⃗ ,c ⃗ >=60∘， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ =，对于A ，|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−a⃗ +b ⃗ +c ⃗ )2=√a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ −2a ⃗ ⋅c ⃗ =√1+1+1−1+1−1=√2，故A 正确；对于B ，连接AC ，BD ，设AC ∩BD =O ，连接A 1O ，CO 1，则由平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1可知，A 1O 1//OC ，∴四边形A 1O 1CO 是平行四边形， ∴A 1O//O 1C ，∵CO 1⊄平面BDA 1，A 1O ⊂平面BDA 1， ∴CO 1//平面BDA 1，故B 正确； 对于C ，DO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −c ⃗ ， ∴DO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[]⋅(b ⃗ −c ⃗ ) =b ⃗ ⋅c ⃗ +-+c ⃗ 2−+ =-+++c ⃗ 2=+=，故C 错误；对于D ，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=−a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ −a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2+b ⃗ ⋅c ⃗ =−1+-=0， ∴BD 1⊥A 1C 1，故D 正确． 故选：ABD.对于A ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，利用向量法求解判断；对于B ，连接AC ，BD ，设AC ∩BD =O ，连接A 1O ，CO 1，利用线面平行的判定定理进行判断；本题考查向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：抛物线焦点为F(1,0)，设直线AB 方程为y =k(x −1)，k >0，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x 得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 由韦达定理可知，x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1，因为|AF|=2|FB|，则可得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 1,−y 1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)， 所以1−x 1=2x 2−2，即2x 2+x 1−3=0， 且x 1x 2=1，x 1>x 2， 解得{x 1=2x 2=12， 得x 1+x 2=52=2+4k2，所以k =±2√2，且k >0， 所以k =2√2，故A 正确；因为点A 、B 在准线l 上的投影分别为点H 和点D ， 所以H(−1,y 1)，D(−1,y 2)， 又AB 的中点M(x 1+x 22,y 1+y 22)， 所以HM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x22+1,y 2−y 12)，DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 22+1,y 1−y 22)， 所以HM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x22+1)2−(y 1−y 2)24=(x 1+x 22+1)2−k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]4=4+4k 2k4≠0，所以∠HMD ≠90∘，故B 错误； 又因为x M =x 1+x 22=1+2k2,y M =k(x M −1)=2k ，故直线MN 方程为y =2x， 又因为O ，P ，A 共线，所以xPx 1=y Py 1,x P=x 1y P y 1=2x 1ky 1=y 122ky 1=y 12k， 同理可得x Q =y 22k， x P +x Q =y 1+y 22k=y M k=2k2,x M +x N =1+2k2−1=2k2=x P +x Q ，所以，x M −x P =x Q −x N ，即|PM|=|NQ|，故C 正确； 若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则|PQ|=13|MN|，y 1−y 22k=13(1+2k2+1)=13(2+2k2)，y 1−y 2=4(k 2+1)3k， 又y 1+y 2=2y M =4k ，y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1)=k 2(x 1x 2−x 1−x 2+1)=−4， ∴y 1−y 2=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16k2+16，所以√16k2+16=4(k 2+1)3k， 解得k =2√2,(k >0)，故D 正确． 故选：ACD.设直线方程为y =k(x −1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线方程代入抛物线方程用韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，从而可以表示出M 点坐标，然后求出P ，Q ，N ，H ，D 坐标，然后依次判断各项即可． 本题考查了直线与抛物线的综合运用，属于中档题．13.【答案】一【解析】解：由题意可知，b ≠0， ∴直线方程可化为y =−ab x −cb ，若a >0，b >0，c <0，则−ab <0，−c b >0，所以直线过第一、二、四象限， 若a >0，b <0，c >0，则−ab >0，−cb >0，所以直线过第一、二、三象限，若a <0，b >0，c >0，−ab>0，−cb<0，所以直线过第一、三、四象限，∴该直线一定经过第一象限． 故答案为：一．先把直线方程化为斜截式y =−a bx −c b，再分情况讨论，判断直线所过象限即可． 本题主要考查了直线的一般方程，考查了一次函数的图象和性质，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：∵A ，B ，D 三点共线，∴向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ )+(e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )=6(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )， 即e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ =6λe 1⃗⃗⃗ +6λe 2⃗⃗⃗ ， 故可得{6λ=16λ=k ，解得{λ=16k =1，故k =1， 故答案为：1.由题意可得向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得关于k ，λ的方程组，进行求解即可．本题考查向量的线性运算，涉及向量的共线定理，建立方程关系是解决本题的关键．15.【答案】−√24【解析】解：S △AOB =12|OA||OB|sin∠AOB =12×√2×√2sin∠AOB ≤1， 当∠AOB =π2时，S △AOB 面积最大， 此时O 到AB 的距离d =1，设AB 方程为y =k(x −3)(k <0)，即kx −y −3k =0， 则d =√k +1=1，解得k =−√24或k =√24(舍去)，故直线l 的斜率等于−√24. 故答案为：−√24.根据已知条件，先求出O 到AB 的距离，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】15【解析】解：∵抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点的距离为5， ∴p 2+1=5，∴p =8，∴抛物线方程为：y 2=16x ， 将点M(1,m)(m >0)代入抛物线方程中，可得m =4， ∴M(1,4)， 又双曲线x 2a 2−y 2=1的右顶点为A 为(a,0)，且双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，∴1a=4−01−a， ∴a =15.故答案为：15.根据抛物线的几何性质，双曲线的几何性质，方程思想，即可求解． 本题考查抛物线的几何性质，双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．17.【答案】解：(1)当直线经过原点时，m =2，显然满足题意，当直线不过原点时，令x =0得，y =m−21−2m ，令y =0得x =m−2m ， 所以m−2m =2×m−21−2m ， 解得m =2或m =25； (2)因为l 1//l 2，所以{m ⋅3m =1×(1−2m)m ⋅(−3m 2)≠(2−m)×1，解得m =13.【解析】(1)当直线经过原点时，m =2，显然满足题意，当直线不过原点时，分别求出直线在x ，y 轴上的截距，结合题意可求；(2)利用两条直线平行的充要条件列式求解即可．本题考查了直线方程的应用问题、两条直线平行的充要条件的应用，也考查了运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)∵直线AB 的斜率k =1，AB 的中点坐标为(1,2)…(4分)∴直线CD 的方程为x +y −3=0…(6分)(2)设圆心P(a,b)，则由点P 在CD 上，得a +b −3=0.①又∵直径|CD|=2√10，∴|PA|=√10，∴(a +1)2+b 2=10.②…(8分) 由①②解得{a =0b =3或{a =2b =1，∴圆心P(0,3)或P(2,1)…(10分)∴圆P 的方程为x 2+(y −3)2=10或(x −2)2+(y −1)2=10…(12分)【解析】(1)先求得直线AB 的斜率和AB 的中点，进而求得CD 斜率，利用点斜式得直线CD 方程． (2)设出圆心P 的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定a 和b 的等式综合求得a 和b ，则圆的方程可得．本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．19.【答案】解：(1)证明：在图1中作CH ⊥AB ，交AB 于H ，则BH =12，∴∠B =π3，∠D =2π3，AC =√1+1−2×1×1×cos 2π3=√3，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴BC ⊥AC ，∴在图2中，AC ⊥BC ，AD ⊥BC ，AD ∩AC =C ， ∴BC ⊥平面ACD ，取AC 中点F ，连接DF ，FE ，则FA ，FE ，FD 两两垂直， 以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，D(0,0,12)，B(−√32,1,0)，∴线段BD 的长为|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(√32)2+(−1)2+(12)2=√2. (2)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−1,12)，C(−√32,0,0)，E(0,12,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,12)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0)， 设平面CDE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12z =0n⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−√3)，设直线BD 与平面CDE 所成的角为θ， 则直线BD 与平面CDE 所成的角的正弦值为： sinθ=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2√3√2⋅√7=√427.【解析】(1)推导出BC ⊥AC ，从而BC ⊥平面ACD ，取AC 中点F ，连接DF ，FE ，则FA ，FE ，FD 两两垂直，以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段BD 的长． (2)求出平面CDE 的法向量，利用向量法能求出直线BD 与平面CDE 所成的角的正弦值． 本题考查线面垂直的判定与性质、线面角的正弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD//BC ，∠ABC =∠PAD =90∘，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设=2，E ，F 分别为PC ，PD 的中点， 则B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)， D(0,4,0)，E(1,1,1)，F(0,2,1)，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， 设直线BE 与CF 所成的角为θ， 则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |==√155，∴直线BE 与CF 所成的角为arccos√155；(2)G 为线段AC 上一点，设G(a,b,0)，CGGA=λ(0≤λ≤1)，则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(a −2,b −2,0)=λ(−a,−b,0)=(−λa,−λb,0)， ∴a =21+λ，b =21+λ，∴G(21+λ,21+λ,0)， PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)，PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(21+λ,21+λ,−2)， 设平面PDG 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =4y −2z =0PG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =21+λx +21+λy −2z =0，取z =2，得m ⃗⃗⃗ =(2λ+1,1,2)， 平面APD 的法向量n ⃗ =(1,0,0)，∵平面APD 与平面GPD 所成角的余弦值23， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2λ+1√(2λ+1)2+5=23，由0≤λ≤1，解得λ=12， ∴CG GA=12.【解析】(1)推导出PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与CF 所成的角；(2)G 为线段AC 上一点，设G(a,b,0)，CG GA=λ(0≤λ≤1)，则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGA⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出G(21+λ,21+λ,0)，求出平面PDG 的法向量和平面APD 的法向量，利用向量法能求出的值．本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)直线l 的斜率k =0时，直线l 的方程为y =1，代入抛物线方程可得12=8x ，解得x =18，此时l 与抛物线C 有且仅有一个公共点(18,1)；直线l 的斜率k ≠0时，直线l 的方程为y −1=k(x +1)，代入抛物线方程可得k 2x 2+(2k 2+2k −8)x +(k 2+2k +1)=0，令Δ=(2k 2+2k −8)2−4k 2(k 2+2k +1)=0，化为k 2+k −2=0，解得k =−2或1，此时直线l 的方程为y −1=−2(x +1)或y −1=x +1，即2x +y +1=0或x +y −2=0，此时l 与抛物线C 有且仅有一个公共点．综上可得直线l 的方程为：y =1，2x +y +1=0或x +y −2=0. (2)抛物线C ：y 2=8x 的准线方程为x =−2， ∴抛物线C 的准线与x 轴的交点为N(−2,0). 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点Q(x 0,y 0)，设直线m 的方程为：my =x −1，代入抛物线方程可得：y 2−8my −8=0， Δ>0，则y 1+y 2=8m =2y 0，y 1y 2=−8， 解得y 0=4m ，x 0=4m 2+1，∵QN =√33，∴(4m 2+3)2+(4m)2=33， 化为2m 4+5m 2−3=0， 解得m =±√22，∴△ANB 的面积S =12|QN||y 1−y 2|=12×√33×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√332×√64×12−4×(−8)=4√33.【解析】(1)直线l 的斜率k =0时，直线l 的方程为y =1，满足题意；直线l 的斜率k ≠0时，直线l 的方程为y −1=k(x +1)，代入抛物线方程可得k 2x 2+(2k 2+2k −8)x +(k 2+2k +1)=0，令Δ=0，解得k ，即可得出直线l 的方程．(2)抛物线C ：y 2=8x 的准线方程为x =−2，可得抛物线C 的准线与x 轴的交点N.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点Q(x 0,y 0)，设直线m 的方程为：my =x −1，代入抛物线方程可得：y 2−8my −8=0，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式可得m ，代入△ANB 的面积S =12|QN||y 1−y 2|=12×√33×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，即可得出结论．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、抛物线中的弦长公式、面积问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系、直线与抛物线相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为两条渐近线的夹角为π3，所以渐近线为y =±√3x 或y =±√33x ，①若渐近线为y =±√3x ，设双曲线方程为3x 2−y 2=λ，将(2,√3)代入可得λ=9，即双曲线方程为x 23−y 29=1，②若渐近线为y =±√33x ，设双曲线方程为x 2−3y 2=λ，将(2,√3)代入可得λ=−5， 即双曲线方程为y 253−x 25=1，综上：双曲线C 的标准方程为x 23−y 29=1或y 253−x 25=1；(2)证明：∵双曲线焦点在x 轴上，由(1)可得方程为x 23−y 29=1，以P(2,√3)为坐标原点，重建坐标系，此时曲线C 的方程为(x+2)23−(y+√3)29=1，可化为3x 2−y 2+12x −2√3y =0，设MN 的方程为mx +ny =1，代入上式得3x 2−y 2+(12x −2√3y)(mx +ny)=0， 因为M ，N 横坐标不会为0(不与P 重合)，所以上式除以x 2，可得3−(yx )2+(12−2√3⋅yx )(m +n ⋅yx )=0， 记yx =k ，有3−k 2+(12−2√3k)(m +nk)=0， 整理得(1+2√3n)k 2+(2√3m −12n)k −(3+12m)=0， 所以k 1k 2=1+2√3m=1，可得−3m −√32n =1，可得在新坐标系下，直线MN 经过定点(−3,−√32)，还原到原始坐标系，定点坐标为(−1,√32).【解析】(1)因为两条渐近线的夹角为π3，所以渐近线为y =±√3x 或y =±√33x ，分情况讨论即可；(2)由(1)可得方程为x 23−y 29=1，以P(2,√3)为坐标原点，重建坐标系，此时曲线C 的方程为(x+2)23−(y+√3)29=1，化简整理，记yx =k ，整理得(1+2√3n)k 2+(2√3m −12n)k −(3+12m)=0，利用韦达定理得到k 1k 2=1+2√3m=1，可得−3m −√32n =1，进而可得在新坐标系下直线MN 经过定点，还原到原始坐标系即可．本题考查双曲线的标准方程，双曲线中的定点问题，属于中档题．。
湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
【详解】解：∵直线 x 1 m y 2 m 和直线 mx 2 y 8 0 平行,
∴1 2 1 m m 0 ,解得 m 1或 2 ,
当 m 2 时,两直线重合
故选 A
【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系,需要注意两直线重合的情况,若 l1 为 A1x B1 y C1 0 , l2 为
写在同一张卡片的两面），从中任意抽取 1 张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）
1
A.
3
1
B.
6
5
C.
6
2
D.
3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知，基本事件有 6 个，其中抽取到含有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件有 2 个基本事件，根据古典
概型概率公式计算即可.
【详解】由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；
3a3 4 a3 d 4a3 4d ,
a3 4d an a3 (n 3) d 4d (n 3)d
(n 7)d
a7 0 ,
故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题. 7. 《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先
【详解】设第十等人得金 a1 斤，第九等人得金 a2 斤，以此类推，第一等人得金 a10 斤，则数列{an}构成等差
数列，设公差为 d，则每一等人比下一等人多得 d 斤金，
由题意得
a1 a8
a2 a9
a3 a4 a10 4
3
,即
4a1 3a1
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期期末数学复习卷2 (解析版)
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期期末数学复习卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={x|x 2−5x +6≤0}，B ={x|2x −1>0}，则A ∩B =( )A. (12,+∞)B. (12,3]C. (12,2]∪[3,+∞)D. [2,3] 2. 直线xcosα−y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A. [π4,3π4]B. [0,π4]∪[3π4,π) C. [−π4,π4] D. [π4,π2)∪(π2,3π4] 3. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4y ≤x +1y ≥0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( ) A. 7 B. 8 C. 15 D. 164. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β下面命题正确的是( )A. 若l//β，则α//βB. 若α⊥β，则l ⊥mC. 若l ⊥β，则α⊥βD. 若α//β，则l//m5. 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f(x)={x +1,x ≥0,−12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. 16B. 14C. 38D. 12 6. 已知命题p ：“”的否定是“”；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A. p 且qB. p 或¬qC. ¬p 且¬qD. p 或q7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是√3，则正视图中的x 的值是( )A. 2B. 2√3C. √3D. 38.已知圆C:(x−2)2+y2=4，直线l1:y=√3x，l2:y=kx−1，若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1:2，则k的值为()A. √3B. √33C. 12D. 19.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S>100?”改为关于n的不等式“”，且要求输出的结果不变，则正整数n0的取值为()A. 4B. 5C. 6D. 710.已知F1,F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，以P为圆心，|PF1|为半径的圆与以F2为圆心，12|F1F2|为半径的圆相切，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. 3D. 411.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+52，a11成等比数列，若m−n=8，则a m−a n=()A. 12B. 13C. 14D. 1512.已知两点M(−1,0)，N(1,0)，若直线y=k(x−2)上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是()A. [−13,0)∪(0,13] B. [−√33,0)∪(0,√33]C. [−13,13] D. [−5,5]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到240在第一营区，从241到496为第二个营区，从497到600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为______ ．14.函数y=x2+2(x>1)的最小值为________．x−115.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为______．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中(如图)，已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A−D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P−AD1−C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是______.(写出所有正确命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知√3a⋅sinC=c⋅sin2A．(1)求∠A的大小；(2)若a=√7，b=2√3，求△ABC的面积．18.已知以点C为圆心的圆经过点A(−2,0)和B(2,4)，线段AB的垂直平分线交圆C于点P和Q，且PQ=8．(1)求直线PQ的方程；(2)求圆C的方程．19.某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的众数以及平均分；(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．20.已知命题p：∀x∈[−1,0]，log2(x+2)<2m；命题q：关于x的方程x2−2x+m2=0有两个不同的实数根．(I)若(¬p)∧q为真命题，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，，AD=2，AM=1，E为AB的中点．(Ⅰ)求证：AN//平面MEC；(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P，使二面角P−EC−D的大小为π？若存在，求出AP的长h；若3不存在，请说明理由．22.已知椭圆C的方程为x24+y22=l，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于−l的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．(Ⅰ)证明：直线BD的斜率为定值；(Ⅱ)求△ABD面积的最大值．。
湖北省荆州中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学Word版
荆州中学2020级高二年级上学期期末考试数 学 试 题一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S =（ ） A.13 B.35 C.49 D.632.双曲线12422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．2B ．2C ．6D ．363.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,m n n α⊥⊂，则m α⊥ B.若,//m n m α⊥，则n α⊥C.若//,//m n αα，则//m nD.若,αββγ⊥⊥，则//αγ4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若12||3||PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A B ．3 C ．2 D 5. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，70a >，110S <，则n S 的最小值为（ ） A. 4SB. 5SC. 6SD. 7S6. 抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，焦点F 在准线l 上的射影为点K ，过F 任作一条直线交抛物线C 于B A ,两点，则AKB ∠为（ ） A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角或直角7.设)(x f 为可导函数，且12)1()1(lim 0-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线的斜率是( )A.2B.－1C.12D.－28. 已知等比数列}{n a 中41,252==a a ，则1433221+⋅++⋅+⋅+⋅n n a a a a a a a a 等于（ ） A.)41(16n -- B.)21(16n- C.)41(332n -- D.)21(332n --二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．直线:1(1)l x m y -=-和圆2220x y y +-=的位置关系是( )A ．相离B ．相切或相离C ．相交D ．相切10．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200 B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n=D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-11．如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的夹角为45θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为24C. 椭圆的方程可以为22142x y +=D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为22-12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则 （ ）A ．12nk += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+ D ．()133234n n S n +=+-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数()42f x ax bx c =++满足()'12f =,则()1f '-= .14．已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．则数列{}n a 的通项公式为n a =_______. 15. 平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，11120A AD A AB ∠=∠=︒，则对角线1BD 的长度为________.16．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和圆222()2b x y c +=+（c 为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.四、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题10分）已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线:270l x y ++=相切．过点B (－2，0)的动直线m 与圆A 相交于M ，N 两点． （1）求圆A 的方程；（2）当|MN |＝219时，求直线m 的方程．18.（本题满分12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且123,22,5a a a +成等比数列． （1）求n a ；（2）若0d <，求12n a a a +++．19.（本小题12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠BAD =120o ，AB ＝AD ＝2，点M 在线段PD 上，且DM ＝2MP ，PB ∥平面MAC ． （1）求证：平面MAC ⊥平面P AD ；（2）若P A ＝6，求平面P AB 和平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20.（本小题12分）已知数列}{n a 的前n 项和22nn S n +=.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}2{nna 的前n 项和n T .21．（本小题满分12分）已知抛物线C 的方程为28x y =，点)(0,4M ，过点M 的直线交抛物线于A B 、两点． （1）求△OAB 面积的最小值（O 为坐标原点）； （2）2211AMBM+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F分别为椭圆C 的左，右焦点，M 为椭圆C 上一点，12MF F △的周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）P 为圆225x y +=上任意一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，判断PA PB ⋅是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.荆州中学高二年级期末考试数学试题参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.-2 14. 15.216.四、解答题17．解：(1)设圆A 的半径为R .因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， 所以R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.由于|MN |＝219，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k －2＋2k |k 2＋12＋(19)2＝20，解得k ＝34， 此时，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 18.解：由题意知：22131(22)510a a a a ⎧+=⎨=⎩即2(222)50(102)d d +=⨯+解得：4d =或1d =- ①当4d =时，110,10(1)446n a a n n =∴=+-⨯=+ ②1d =-时，110,10(1)(1)11n a a n n =∴=+-⨯-=-综上知：当4d =时，46n a n =+；当1d =-时，11n a n =-.（2）01d d <∴=-，，即12(21)11,2n n n n n a n S a a a -=-=+++=①当111n ≤≤时，0,n a ≥此时|n a |=n a∴|1a |+|2a |+…+|n a |＝12(21)2n n n n a a a S -+++==②当12n ≥时，此时|1a |+|2a |+…+|11a |+|12a |+…+|n a |＝121112n a a a a a +++---＝111111(21)(21)()211011022n n n n n n S S S S S ----=-=-=+ 综上知：|1a |+|2a |+…+|n a |=(21),1112(21)100,122n n n n n n -⎧≤≤⎪⎪⎨-⎪+≥⎪⎩19（1）连接BD 交AC 于点E ，连接ME ，如图所示：∵//PB 平面MAC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MAC ME =，∴//PB ME ，∴2DE DM ADBE PM BC===，∴1BC =，∵2AB =，60ABC ∠= ∴1412232AC =+-⨯⨯=，∴2224AC BC AB +==，090ACB ∠=，∴90CAD ∠=，CA AD ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，CA ⊂平面ABCD ，∴PA CA ⊥，∵PA AD A ⋂=，∴CA ⊥平面PAD ，∵CA ⊂平面MAC ，∴平面MAC ⊥平面PAD ； （2）如图所示：以A 为原点，AC ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系，则()()))20,0,6,0,0,0,3,1,0,3,0,0,0,,43P A BCM ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()()()20,0,6,3,1,0,0,,4,3,0,03PA AB MA AC ⎛⎫=-=-=--= ⎪⎝⎭，设平面PAB 和平面MAC 的一个法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，平面PAB 与平面MAC 所成锐二面角为θ， ∴()11111160·01,3,0·030z n PA n n AB y -=⎧⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨=-=⎪⎩，222222240·0130,3,2·030y z n MA n n AC x ⎧⎧--==⎪⎪⎛⎫⇒⇒=-⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎪=⎩⎩，∴121233cos 37n n n n θ===20.解：（1）当1=n 时，111==S a ， 当2≥n 时，n n n n n S S a n n n =-+--+=-=-2)1()1(2221所以n a n =（2）因为n n n T 223222132++++= ，1432221-23222121++++++=n n n nn T两式相减得：111322212211)211(2122121212121++++-=---=-++++=n n n n n n n n n T 所以n n n T 222+-=21、（1）；（2）由题意知，直线AB 斜率k 存在，不妨设其方程为4y kx =+，联立抛物线C 的方程可得28320x kx --=，设)(11,A x y ，)(22,B x y ，则128x x k +=，1232x x =-， 所以AM =，BM = 所以)()(22222212111111k x k xAMBM+=+++)()()()()(22121222221264121161321k x x x x k k x x ++-===++． 22.由题可知，224c e a c a ==+=+2,a c ==222a b c =+，解得1b =，故椭圆的标准方程为：2214x y +=；如图所示，当PB 平行于y 轴时，PA 恰好平行于x 轴，()()()0,12,0,2,1A B P ，()()2,0,0,1PA PB =-=-，0PA PB ⋅=；当PB 不平行于y 轴时，设()00,P x y ，设过点P 的直线为()00y k x x y =-+，联立()220014x y y k x x y ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2220000418410k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦， 令0∆=得()()()2222000064164110ky kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，化简得()22200004210x k x y k y --+-=，设12,PA PB k k k k ==，则20122014y k k x -⋅=-，又2205x y +=， 故220012220014144y x k k x x --⋅===---，即0PA PB ⋅=. 综上所述，0PA PB ⋅=.。
2021年湖北省荆州市沙市农场中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2021年湖北省荆州市沙市农场中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过两点的直线的倾斜角为A．135°B．120°C．60° D．45°参考答案：A2. 设F1，F2是椭圆=1的左、右两个焦点，若椭圆上满足PF1⊥PF2的点P有且只有两个，则离心率e的值为（）A. B. C. D.参考答案：C略3. 直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°参考答案：A【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解：设直线的倾斜角为α（0°＜α＜180°），则tanα=．所以α=150°．故选A．【点评】本题考查了直线的一般式方程，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．4. 年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间回归方程为，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）Ａ．增加10元Ｂ．减少10元Ｃ．增加80元Ｄ．减少80元参考答案：C5. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的投影为C，若，，则抛物线的方程为（）A. B. C.D.参考答案：D略6. 已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】由不等式，解得﹣2＜x＜﹣1．可得a=﹣2，b=﹣1．由于点A（﹣2，﹣1）在直线mx+ny+1=0上，可得2m+n=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：不等式?（x+2）（x+1）＜0，解得﹣2＜x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，∴a=﹣2，b=﹣1．∵点A（﹣2，﹣1）在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，化为2m+n=1．∵mn＞0，∴==5+=9，当且仅当m=n=时取等号．∴的最小值为9．故选：C．7. 若上是减函数，则的取值范围是（）A.B. C. D.参考答案：D略8. 已知函数，或，且，则A. B.C. D. 与的大小不能确定参考答案：C9. 已知，，则( ) A．B．C．D．参考答案：B10. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根x1，x2，则点P（x1，x2）( )A．必在圆x2+）y2=2上B．必在圆x2+y2=2内C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可求得c=a，b=a，从而可求得x1和x2，利用韦达定理可求得x12+x22的值，从而可判断点P与圆x2+y2=2的关系．【解答】解：∵椭圆的离心率e==，∴c=a，b=a，∴ax2+bx﹣c=ax2+ax﹣a=0，∵a≠0，∴x2+x﹣=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1＜2．∴点P在圆x2+y2=2的内部．故选B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则参考答案：略12. 若记号“*”表示两个实数与的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数都能成立的一个等式可以是＿＿_（答案不惟一）.参考答案：13. 若则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有__参考答案：①④14. 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________．参考答案：等边三角形角，，成等差数列，则，，解得，边，，成等比数列，则，余弦定理可知，故为等边三角形．15. 若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b等于．参考答案：216. 已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，点A在抛物线上且，则的面积是．参考答案：8略17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）1．（5分）已知i是虚数单位，，且z的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知点P（﹣1，1）为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，若k PQ的极限为﹣2，则在点P处的切线方程为（）A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x﹣1C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣2 3．（5分）若a，4，3a为等差数列的连续三项，则a0+a1+a2+…+a9的值为（）A．2047B．1062C．1023D．5314．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线l过椭圆的左焦点，F2是椭圆的右焦点，则△PQF2的周长为（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝1，则数列{a n}的前10项和为（）A．48B．49C．50D．517．（5分）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，点G在线段MN上，且＝2，，表示向量，设＝x+z，则x、y、z的值分别是（）A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝8．（5分）设点P是以F1，F2为左、右焦点的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）左支上一点＝0，tan∠PF2F1＝，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（5分）设z＝a+bi（a，b∈R），则下列命题为真命题的是（）A．若z•∈R，则z∈RB．若b＝0，则C．若z2为纯虚数，则a＝b≠0D．若z+i与都是实数，则10．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，，则有（）A．B．{S n}为等比数列C．D．a n＝11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A．B1的坐标为（2，2，3）B．＝（﹣2，0，3）C．平面A1BC1的一个法向量为（﹣3，3，﹣2）D．二面角B﹣A1C1﹣B1的余弦值为12．（5分）下列结论正确的是（）A．方程表示的曲线是双曲线的右支B．若动圆M过点（3，2）且与直线3x﹣2y﹣1＝0相切，则点M的轨迹是抛物线C．两焦点坐标分别为（2，0）和（﹣2，0），且经过点（5，0）的椭圆的标准方程为D．椭圆上一点P到右焦点的距离的最大值为9，最小值为6三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省沙市中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(无答案)
湖北省沙市中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（无答案）考试时间：2020年1月13日一、单选题（每小题5分，共60分） 1．复数11iz i-=+的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2-B ．12（0,-）C ．1(0,)8-D ．1(,0)8- 3．24x >成立的一个充分非必要条件是（ ） A ．23x > B ．2x >C ．2x ≥D ．3x >4. 党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观。
现将这十二个词依次．．写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）A ．13 B ．16C ．56 D ．235. 已知数列{}n a 满足1(1)1n n a a +-=g，且112a =-，则2020a =（ ） A ．3 B ．12- C ．23 D ．134526．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a7．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之， 上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（ ）斤？A ．581B ．778C ．439D ．7768. 若直线(1)20x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．1 或2-D ．23-9. 记“1，2，3，4，5”这组数据的方差为21S ，“98，99，100，102，x ”这组数据的方差为22S ，若2212S S =，则x 为（ ）A ．97B ．101C ．101或98.5D ．103 10．空间四点(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、（，，）、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．411. 平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =( )A ．31- B ．21- C ．32- D ．32-12. 椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点为P ，且 123F PF π∠= .若椭圆的离心率为 3，则双曲线的离心率为（ ）A ．1336B ．324 C ．3D ．2二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知数列{}n a 的前n 项和2,n S n n =+则n a =14. 对任意的实数k ，直线2(1)20k x ky +--=被圆222240x y x y +---=截得的最短弦长为15. 若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是（结果要求化简）16. 12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于三、解答题17．（10分）某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[)4050，；第二组[)5060，；……；第六组[]90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求每个学生的成绩被抽中的概率； （2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数； （3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数。
湖北省沙市中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案
2017—2018学年上学期2016级期末考试文数试卷考试时间：2018年2月1日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题：“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ） A ．不存在32,10x R x x ∈-+≤B ．存在03200,10x R x x ∈-+>C ．存在03200,10x R x x ∈-+≤D ．对任意的32,10x R x x ∈-+>2．直线0232=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．0232=++y xB ．0232=-+y xC ．0232=--y xD ．0232=+-y x 3．“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与直线2:2(1)40l x a y -++=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）图1 图2A ．100，10B ．100，20C ． 200，20D ．200，105．已知双曲线的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线方程可以是（ ） A ．14322=-y x B ． 14322=-x y C ．191622=-y x D ．191622=-x y6.曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）A ．2π-B ．2π C ．2πD ．2π-7．如图，给出的是计算11112462016⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯的值的程序框图，其中判断框内不能填．．．入．的是（ ） A ．2017?i ≤B ．2018?i <C ．2016?i ≤D ．2015?i ≤8.设某中学的学生体重()y kg 与身高()x cm 具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为0.8585.71y x =-)，给出下列结论，则错误．．的是( ) A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线至少经过样本数据()(),1,2,,i i x y i n =L 中的一个C.若该中学某生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.回归直线一定过样本点的中心点(),x y9.已知函数()ln f x kx x =-在()1,+∞上为增函数，则k 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. [)2,+∞ C. (],1-∞- D. (],2-∞- 10．如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )A ．117B ．217C ．317D ．41711.不等式x e kx ≥对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．2D ．e12.过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为线段PE 的中点，则双曲线的离心率等于（ ）A ．10B ．2C ．10D ．10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上） 13.已知直线340x y a ++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为 .14．若变量,x y满足约束条件120yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y=-的最大值为．15．已知函数()f x的导数为)(xf'，且满足)2(23)(2f xxxf'+=，则=')5(f．16．设抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，准线为l，过抛物线上点A作l的垂线，垂足为B.设7(02C p，），AF与BC相交于点E.若2FC AF=，且ABC∆的面积为32，则p的值．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．( 10分)命题p：axxx>+>∀1,0；命题q：012,2≤+-∈∃axxRx.问：是否存在实数a，使得p q∨为真命题，p q∧为假命题？若存在，请求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．18.(12分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为310.(1)求a的值；(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．19．(12分)(1)设1=x和2=x是函数xbxxaxf++=2ln)(的两个极值点。
湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题答案
期末考试答案一、选择题： DACDBBBA 二、不定项选择题：ABD 、BCD 、BC 、ABD三、填空题：13． 290 14． 15或 15．316．（1）35a = 62 ；（2）若2021n a =，则n =__1033 _.15解答：设,,01DFB AD x x α∠==<<，则1BD x =-，DP AD x ==，在三角形BDF 中，由正弦定理可得1sin sin60x x α-=，即x =当sin 1α=时，即DF 垂直BC 时，AD x =3.几何法：因为A,P 两点关于DE 对称，所以AD=DP ，可见如果以D 为圆心，以AD 为半径作圆，则该圆必与BC 交于P 点，要使半径AD 取最小值，只有当P 点是圆与BC 的切点，也就是DP 垂直BC 时，AD 才能取得最小值.16解答：（1）由于1+2+3+4+5+6+7=28，所以35a 位于第8行的第7个数，因为第8行的第一个数是26+11+13=50，第8行是一个首项为50，公差为2的等差数列，故35502662a =+⨯=； （2）44(187)13587193620212+++++==<， 45(189)13589202520212+++++==>，故2021n a =在第45行，第45行第1个数是1937，202119372(1)43n a k k ==+-⇒=，即2021n a =在第45行的第43个数，因此12344431033n =+++++=.四、解答题：17.解：（1）23331cos 23()3sin cos cos sin 22222x f x p q x x x x +=⋅-=--=-- 31sin 2cos 2222x x =--sin(2)26x π=-- （3分） ∵51212x ππ-≤≤，∴22363x πππ-≤-≤， ∴3sin(2)126x π-≤-≤，从而 32sin(2)2126x π--≤--≤- 则()f x 的最小值是32--，最大值是1-． （6分） （2）()sin(2)216f C C π=--=-，则sin(2)16C π-=， ∵0C π<<，∴112666C πππ-<-<，∴262C ππ-=，解得3C π=． （8分）∵sin 2sin B A =，由正弦定理得，2b a = ①由余弦定理得，2222cos3c a b ab π=+-，即223a b ab +-= ②由①②解得1,2a b ==． （12分） 18.解：（1）因为数列{}n a 是公比为3的等比数列,又由234,18,a a a +成等差数列,∴ 243236a a a +=+， 所以1113271836a a a +=+，解得13a =，从而数列{}n a 的通项公式为*3()n n a n N =∈. (6分)(2) 311+log ,3n n n n b a n a ==+ 211(1)111(1)(1)113312(1),1333222313n n n nn n n n S n -++∴=+++++++=+=+-- (8分) 2121,3n n S n n ∴-=+- 又1{1}3n n +-是递增的,当19n =时, 219122020,3n S n -=-<当20n =时, 220122120,3n S n -=->所以所求的正整数n 的最小值为20. (12分)ABCD⋅O⋅FGE αβABCD⋅O ⋅FGxyzαβ19. 解法一：证明：（1）如图，连接CO ，45=∠CAB ，AB CO ⊥∴，又F 为BC 的中点，45=∠∴FOB ， (2分)AC OF //∴．⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ， ∴//OF 平面ACD ． (5分) （2）过O 作AD OE ⊥于E ，连CE ．AB CO ⊥ ，平面ABC ⊥平面ABD ． ∴CO ⊥平面ABD ． （7分） 又⊂AD 平面ABD ， AD CO ⊥∴，⊥∴AD 平面CEO ，CE AD ⊥，则∠CEO 是二面角C -AD-B 的平面角． （9分）60=∠OAD ，2=OA ， 3=∴OE ．由CO ⊥平面ABD ，⊂OE 平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形，2=CO ，∴7=CE ．∴CEO ∠cos =73=721． （12分） 解法二：证明：（1）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，作空间直角坐标系xyz O -，则()0,20A ,-，()200,,C ．)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=，点F 为BC 的中点，∴点F 的坐标为(22，)2,2,0(=OF ．22OF AC ∴=，即//OF AC ． ⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ，∴//OF 平面ACD ． （6分）（2）60DAB ∠=，∴点D 的坐标()013,,D -，(3,1,0)AD =．设二面角--C AD B 的大小为θ，()1,,n x y z =为平面ACD 的一个法向量．由110,0,n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 有()()()(),,0,2,20,,,3,1,00,x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30.y z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ （8分）取1=x ，解得3-=y ，3=z ．1n ∴=()331,,-． （10分）取平面ADB 的一个法向量2n =()100,,，121210(3)03121cos 771n n |n ||n |θ⨯+-⨯+⨯⋅∴===⋅⋅． （12分）20．解（1）因为,所以所以，所以关于x 的回归直线方程为：. （2）当时，，则，所以可以认为回归直线方程是理想的. （3）设销售利润为w (千元)，则，因为所以当且仅当，即时，W 取得最大值.所以可建议该公司将销售价格定位7.5元/千克.21.解：(1)||22,PF a ex a c =+≥-=-11()||()21,22APF p S a c y a c b ∆=-≤-=222,2b a c ∴=∴-=,解得2,2,a c ==所以椭圆C 的方程为22142x y +=． (6分) （2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； (7分) ②当直线l 的斜率不为0时，设1122(,),(,),D x y E x y 直线l 的方程为1x m y =+，将1x m y =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m ym y ++-=． 则12222m y y m -+=+，12232yy m -=+．(8分)又111x m y =+，221x m y =+， 所以,121212121233(3)(3)44(3)(3)y y y y k k x x my my ----⋅=⋅=---- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++222222393()()222393()()22m m m m m m m m ---⨯+++=---⋅+⋅++222325341,464812m m m m m +++==+++ 令41,t m =+则122323212542254()2t k k t t t t⋅=+=+≤-++-,当且仅当5t =，即1m =时，取等号，由①②可得，所求直线的方程为10x y --=. (12分)22.解：（1）)(x f 在定义域内是),0(+∞，xax x a x f 11)(-=-='， 当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； （2分）当0>a 时，()0f x '=，1x a =，当10x a <<时，得()0f x '<，当1x a>时，得()0f x '>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值．∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． （4分） （2）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴(1)0f '=，得1=a ， 由()2f x bx ≥-在),0(+∞上恒成立 ，得1ln 1xb x x+-≥ （6分） 令x xx x g ln 11)(-+=，则2ln 2()x g x x-'=， 可得)(x g 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增，∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． （8分）（3）证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x ey x yx ， 令)1ln()(+=x e x g x，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增， （10分）又∵)1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x e x g x ，显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ∴1()(1)10h x h e e>->->，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)1ln()1ln(+>+y e x e yx ，∴当1->>e y x 时，有)1ln()1ln(++>-y x e yx ． （12分）。
湖北省沙市中学2022-2023学年高二年级上册学期数学期末答案
高二年级期末考试数学答案题号123456789101112答案ADAACBDBBDACDABCACD13．一 14．115． 16．1517．（1）∵在两坐标轴都有截距，∴且令可得，令可得l 0m ≠12m ≠0y =2m x m -=0x =212m y m-=-∴，解得或22212m m mm --=⨯-2m =14m =（2）∵，∴，解得或 当时，，两直线重合12//l l 312m m m ⨯=-1m =-131m =-12:330:330l x y l x y -++=⎧⎨--=⎩当时，，两直线平行 综上，的值为13m =12115:03331:03l x y l x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩m 1318．（1），直线的斜率为4021(1)AB k -==--∴CD 12-又中点，方程为：AB (0,2)CD ∴12(0)2y x -=--即：………………………………………………………5分240x y +-=（2）依题意，圆心在上M CD (42,)M t t -，则方程为(1,0),(1,4)A B -AB =AB 22y x =+∵，∴………………7分AB=2222d r +==d =∵点到的距离M AB d ∴ 或……………………………………10分1t =3t =故圆的方程为：或………………12分M 22(2)(1)10x y -+-=22(2)(3)10x y ++-=19．（1）解：∵为中点，，， ∴在图1中，，∴四边形为平行四E AB 2AB =1DC=//AE DCAECD 边形，∴，在为直径的圆上，AC BC ∴⊥，1CE AD ==C AB 又图2中，，BC ∴⊥平面ADC， ∴，由BC AD ⊥AC AD A = BC CD ⊥勾股定理得.BD =（2）取AC 中点F ，连接,DF FE ，易得,,FA FE FD 两两垂直，以,,FA FE FD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，110,,0,0,0,,,22E D B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，，1()2DB =- 102CD =（，，）1,0)2CE = 设的一个法向量，则，即，取1x=，有(,,)n x y z =CDE 00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩12102z y +=+=.(1,n =，cos ,n DB ===∴直线与平面. （其他解法也对应给分）BD CDE 20．(1)解：由∠得，PAD 90=︒PA AD ⊥而平面平面，平面平面，平面 ∴平面PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PA ⊂PAD PA ⊥ABCD 而由，∠可得//AD BC ABC 90=︒AB AD⊥因此可以以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系。
湖北省荆州市2021届数学高二上学期期末试卷
湖北省荆州市2021届数学高二上学期期末试卷一、选择题1．sin600︒=( )A.12B.12-D.2．若长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1BC CC ==，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11C D 上的点，AE ED =，AF FB =，11(4)DG GC λλ=≥.分别记二面角1G EF D --，G EF C --，G FB C --的平面角为α，β，γ，则（ ）A.γβα<<B.βγα<<C.αγβ<<D.与λ的值有关3．已知O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线C上一点P 满足12PF PF ⊥，且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）B.24．已知函数32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则实数a 的值等于（ ）A ．103B ．133C ．163D ．1935．设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．若p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则( ) A ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x > B ．p ⌝：x R ∀∈，sin 1x > C ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x ≥D ．p ⌝：x R ∀∈，sin 1x ≥ 7．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-8．己知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为（ ）A.211D.2+9．已知平面α内的角060MON ∠=，线段OP 是平面α的斜线段且OP =，060POM PON ∠=∠=，那么点P 到平面α的距离是（ ）A ．2B CD ．110．已知函数()xf x x e-=+，若存在x R ∈，使得()f x ax ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1]e ∞（－，－ B ．1∞+（，）C ．11]e （－，D ．1]1e ∞⋃+∞（－，－（，）11．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．-80B ．-40C ．40D ．8012．已知η的分布列为：设32ξη=-则E ξ的值为（ ） A.3- B.43C.23-D.5二、填空题13．已知向量,a b 满足||1a =，||2b =，,a b 的夹角为060，则||a b -=__________． 14．已知向量,a b 的夹角为060，||2a =，1b ||=，则|2|a b +=_______． 15．随机变量110,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，变量204Y X =+，则()E Y =__________． 16．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________. 三、解答题17．选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）求不等式的解集；（3）若函数的最小值不小于的最小值，求的取值范围.18．已知函数f （x ）=（k ＞0）．（1）若f （x ）＞m 的解集为{x|x ＜-3，或x ＞-2}，求m ，k 的值； （2）若存在x 0＞3，使不等式f （x 0）＞1成立，求k 的取值范围． 19．已知函数在与时都取得极值．（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．20．如图，在四面体中，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21．已知直线的参数方程为为参数和圆的极坐标方程为（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系．22．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝2，点M ，N 分別为A 1B 和B 1C 1的中点．（1）求异面直线A1B与NC所成角的余弦值；（2）求A1B与平面NMC所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1314．15．40.16．240三、解答题17．(1) .(2).【解析】分析：（1）分段讨论即可；（2）分别求出和的最小值，解出即可.详解：（1）由，得，∴或或解得，故不等式的解集为.（2）∵，∴的最小值为.∵，∴，则或，解得.点睛：求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．18．(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用韦达定理得到m,k的方程组，解方程组即得m,k的值.(2)先将命题转化为存在使得成立，再转化为，再利用基本不等式求得解.【详解】（1），不等式的解集为或，所以是方程的根，且，所以.（2）．存在使得成立，即存在使得成立，令，则，令，则，，当且仅当，即，亦时等号成立.，∴.【点睛】(1)本题主要考查一元二次不等式的解，考查不等式的存在性问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键是转化为存在使得成立，再转化为.19．解：（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）【解析】【分析】（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【详解】（1），f（x）＝3x2+2ax+b由解得，f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：（﹣∞,，（所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x时，f（x）为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．解得c＜﹣1或c＞2．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．20．（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 设为的中点，连接，.易知，从而平面，故平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量，平面的法向量，代入公式即可得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：设为的中点，连接，.∵是的中点，∴在中，，即为等边三角形，∴，∴.在中，，，∴，且，于是，可知.∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知，，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.则，，，，设平面的法向量，，，则，令，得，又.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21．（1），；（2）相交.【解析】【分析】（1）利用加减消参法得到直线l的普通方程，利用极坐标转化直角坐标公式的结论转化圆C的方程；（2）利用圆心到直线的距离与半径的比较判断直线与圆的位置关系.【详解】（1）消去参数，得直线的普通方程为；圆极坐标方程化为．两边同乘以得，消去参数，得⊙的直角坐标方程为：.（2）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．22．（1）（2）【解析】【分析】（1）以点A为原点，分别以AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与NC所成角的余弦值；（2）求出平面MNC的一个法向量，利用向量法能求出A1B与平面NMC所成角的正弦值．【详解】（1）证明：以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，于是，，，.∴，，设异面直线与所成角为，则.∴异面直线与所成角的余弦值为.（2），，，，设是平面的一个法向量，则，取，设向量和向量的夹角为，则，∴与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．。
2021-2022学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．两条平行线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为（ ） A ．225B ．2310C ．7D ．72【答案】D【分析】首先根据两直线平行求出参数a 的值，再利用两平行线的距离公式计算可得； 【详解】解：因为34120x y +-=与8110ax y ++=平行，所以8113412a =≠-，解得6a =，所以直线8110ax y ++=即为68110x y ++=，又34120x y +-=为68240x y +-=，所以68110x y ++=与68240x y +-=的距离72d ==故选：D2．若方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】根据题意得出cos ,sin αα的符号，进而得到α的象限. 【详解】由题意，cos 0,sin 0αα><，所以α在第四象限. 故选：D.3．过椭圆225x + 29y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长是（ ） A ．20 B ．18C ．10D ．16【答案】A【分析】根据椭圆的定义求得正确选项. 【详解】依题意5a =，根据椭圆的定义可知，三角形2ABF 的周长为420a =. 故选：A4．已知两圆相交于两点()1,3和(),1m -，两圆的圆心都在直线0x y c -+=上，则m c +的值为． A ．1-B ．2C ．3D ．0【答案】C【分析】根据条件知：两圆的圆心的所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，以及两圆的交点的中点在两圆的圆心的所在的直线上，由此得到方程，得解. 【详解】由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，1311m --=--，所以5m =， 又因为两圆的交点的中点131,22m +-⎛⎫⎪⎝⎭在两圆的圆心所在的直线0x y c -+=上， 所以131022m c +--+=，解得：2c =-， 所以()523m c +=+-=， 故选C .【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解答此题的关键是需知两圆的圆心所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，并且两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，此题属于基础题.5．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9113a a -=（ ） A ．42 B ．45 C ．48 D ．51【答案】C【分析】结合等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意{}n a 是等差数列， 4681012885120,24a a a a a a a ++++===，9119911971111832248a a a a a a a a a a -=+-=++-==.故选：C6．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体. 若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（ ）A 82B ．163π C ．83πD 42【答案】A【分析】求得外接球的半径，进而计算出外接球体积. 【详解】设ACBD O =，正八面体的棱长为2，根据正八面体的性质可知：2OA OB OC OD OE =====， 所以O 是外接球的球心，且半径2R =， 所以外接球的体积为34π4π8222π333R ⨯=⨯=. 故选：A7．数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】B【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ，452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，据此即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ， 452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以101019190a =⨯=. 故选：B【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.8．已知(3,0)A ，(0,2)B ，点P 为圆22(3)(2)1x y -+-=上任意一点，设OP OA OB λμ=+(,)R λμ∈，则98λμ+的最大值为（ ）A ．12B ．17C ．22D ．27【答案】C【分析】根据题意可设()3cos ,2sin P θθ++，再根据OP OA OB λμ=+，求出,λμ，再利用三角函数的性质即可得出答案.【详解】解：由点P 为圆22(3)(2)1x y -+-=上任意一点， 可设()3cos ,2sin P θθ++，则()()()3cos ,2sin ,3,0,0,2OP OA OB θθ=++==， 由OP OA OB λμ=+，得()()3cos ,2sin 3,2θθλμ++=，所以，则3cos 32sin 2θλθμ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则()9893cos 84sin 5sin 17λμθθθϕ+=+++=++，其中3tan 4ϕ=， 所以当()sin 1θϕ+=时，98λμ+取得最大值为22. 故选：C. 二、多选题9．数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ） A ．1(1)n n a =--，*N n ∈ B ．2[1(1)]n n a =+-，*N n ∈ C ．，*N n ∈D ．1(1cos π)2n a n =-，*N n ∈【答案】AC【分析】对选项逐一分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，12342,0,2,0,a a a a ====，符合题意.B 选项，10a =，不合题意.C 选项，n a 符合题意.D 选项，11a =，不合题意. 故选：AC10．若抛物线:C y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则（ ） A ．1p =B ．准线方程为1x =-C ．当||4QF =时QOFD ．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则点Q 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是2 【答案】BCD【分析】结合抛物线上的点到焦点的距离的最小值求得p ，进而求得准线方程，结合抛物线的定义来求得QOF 的面积，结合抛物线的定义来求得Q 到1l 、2l 的距离之和的最小值.【详解】Q 到焦点的距离等于Q 到准线的距离，Q 到焦点距离最小时，Q 到准线的距离最小，即Q 为原点时，Q 到焦点的距离最小为1，也即1,22pp ==，抛物线的准线方程为1x =-，A 选项错误，B 选项正确. 抛物线方程为24y x =，对于C 选项，4QF =，则3Q x =，24312,Q Q y y =⨯==11122QOFQ SOF y =⨯⨯=⨯⨯C 选项正确. 对于D 选项，直线2l 为抛物线的准线，所以Q 到2l 的距离等于Q 到焦点F 的距离. 所以Q 到直线2l 和直线1l 的距离之和的最小值为“F 到直线1l 的距离”，焦点()1,0F 2=，D 选项正确.故选：BCD11．已知圆22:16O x y +=，点(,)P a b 在圆O 外，以线段OP 为直径作圆M ，与圆O 相交于,A B 两点，则 （ ） A ．直线,PA PB 均与圆O 相切B ．若5,4a b ==-，则直线AB 的方程为54160x y --=C ．当4PA PB ==时，点M 在圆228x y +=上运动D ．当3PA PB ==时，点P 在圆225x y +=上运动 【答案】ABC【分析】根据圆的几何性质判断A 选项的正确性，结合圆与圆相交弦所在直线方程判断B 选项的正确性，通过求动点的轨迹方程来判断CD 选项的正确性.【详解】A 选项，由于OP 是圆M 的直径，所以,OA PA OB PB ⊥⊥，所以直线,PA PB 均与圆O 相切，A 选项正确.B 选项，5,4a b ==-，5,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M 的半径为r ，则222541444r OM ==+=， 所以圆M 的方程为()22541224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，由()()2241524x y -++=、2216x y +=两式相减并化简得54160x y --=，所以B 选项正确.C 选项，224,4442PA PB OP ===+=，22OM =，所以M 在圆()222228x y +==上运动，C 选项正确.D 选项，，所以P 在圆222525x y +==上运动，D选项错误. 故选：ABC12．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，1PB AB ==，E 为BC 中点，F 为线段PD 上一点（ ）．A ．若60PBA ∠=︒，则AE PD ⊥B ．若F 为PD 中点，则EF PD ⊥C ．若90PBA ∠=︒，则四棱锥P ABCD -外接球表面积为6πD ．直线AE 与平面PAD 所成的角的余弦值的取值范围是5(,1)5【答案】ABD【分析】AD 利用向量法进行判断，B 利用等腰三角形的性质进行判断，C 求四棱锥P ABCD -外接球表面积来进行判断.【详解】B 选项，2215122DE ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由于平面PAB ⊥平面ABCD 且交线为AB ，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，所以2215122PE DE ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 当F 是PD 中点时，EF PD ⊥，B 选项正确.C 选项，90PBA ∠=︒即PB AB ⊥，由于平面PAB ⊥平面ABCD 且交线为AB ， 所以PB ⊥平面ABCD ，所以PB BC ⊥，而AB BC ⊥，即,,AB BC PB 两两相互垂直， 所以四棱锥P ABCD -外接球的直径22223R AB BC PB ++ 所以外接球的表面积为24π3πR =，C 选项错误.以B 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()11,0,0,1,1,0,0,,02A D E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,1,0,1,,02AD AE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，A 选项，当60PBA ∠=︒时，三角形PAB 是等边三角形， 所以1313,,1,22P PD ⎛⎛= ⎝⎭⎝⎭， 1131,,0,1,022AE PD ⎛⎛⎫⋅=-⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以AE PD ⊥，所以A 选项正确. D 选项，设(),0,P x z ，其中220,1z x z ≠+=，则11x -<<，()1,0,AP x z =-，()0,1,0AD =，设平面PAD 的法向量为()111,,n x y z =，则()111100n AP x x z z n AD y ⎧⋅=-⋅+⋅=⎪⎨⋅==⎪⎩，故可设,0,11z n x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 设直线AE 与平面PAD 所成的角为θ，则222121sin 5511121z zx n AE x n AEz z x x θ⎛⎫ ⎪-⋅-⎝⎭===⋅⋅⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭22222111551111z x z z x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=⋅=⋅-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 由于线面角的范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以22141cos 1sin 5511z x θθ=-=+⋅⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，将221z x =-代入上式并化简得23cos 55x θ=+， 由于11x -<<，222123,1555555x x -<<<+<，所以5cos ,15θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以D 选项正确.故选：ABD 三、填空题13．已知空间向量(1,2,3)a =--， 则向量a 在坐标平面xOz 上的投影向量是__________． 【答案】(1,0,3)-【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】空间向量(1,2,3)a =--在坐标平面xOz 上的投影向量是(1,0,3)-. 故答案为：(1,0,3)-14．已知数列{}n a满足*110,N )n a a n +==∈，则2022a =_____________．【分析】找到数列{}n a 的规律，由此求得2022a . 【详解】依题意*110,N )n a a n +=∈，23a a =====40a ==，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202236743a a a ⨯==15．已知双曲线C 的中心在坐标原点，左右焦点分别为12,F F ，渐近线分别为12,l l ，过点2F 且与1l 垂直的直线分别交12,l l 于,P Q 两点，且22OF OQ OP +=，则双曲线的离心率为________． 【答案】2【分析】判断出三角形2OF Q 的形状，求得Q 点坐标，由此列方程求得22b a ，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，双曲线的渐近线方程为by x a=±，右焦点()2,0F c ， 不妨设12:,:b b l y x l y x a a==-. 由于22OF OQ OP +=，所以P 是线段2QF 的中点， 由于21QF l ⊥，所以1l 是线段2QF 的垂直平均分， 所以三角形2OF Q 是等腰三角形，则2OQ OF c ==.直线1l 的斜率为b a，则直线2QF 的斜率为ab -，所以直线2QF 的方程为()ay x c b=--， 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,Q Q a c abc x y a b b a ==--， 则222QQx y c +=，即22222222a c abc c ab b a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 化简得223b a=，所以双曲线的离心率为2212b e a=+=.故答案为：2四、双空题16．已知数列{}n a 满足131,3a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，则20222021a a -=______，数列{}n a 的通项n a =_____． 【答案】 4042 2n n 1-+【分析】判断出{}1n n a a +-是等差数列，由此求得20222021a a -，利用累加法求得n a . 【详解】依题意2122n n n a a a ++-+=，则()2112n n n n a a a a +++---=，所以数列{}1n n a a +-是以212a a -=为首项，公差为2的等差数列， 所以()12122n n a a n n +-=+-⨯=，202220214042a a -=， 当2n ≥时，()12122n n a a n n --=-=-，()()()()32211112n n n n n a a a a a a a a a a -------=+++++()()2224421n n =-+-++++()()22221112n n n n -+-=+=-+，1a 也符合上式，所以21n a n n =-+.故答案为：4042；2n n 1-+ 五、解答题17．已知点M 到两个定点(1,0),(4,0)A B 的距离比为12．(1)求点M 的轨迹方程；(2)若过点(1,3)P -的直线l 被点M的轨迹截得的弦长为l 的方程． 【答案】(1)224x y += (2)4350x y ++=或1x =【分析】（1）设出(),M x y ，表达出,AM MB ，直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程. (1)设(),M x y ,则MA =MB =12=，两边平方得：224xy += (2)当直线斜率不存在时，直线l 为1x =，此时弦长为2 当直线斜率存在时，设直线():31l y k x +=-，则圆心()0,0M 到直线距离为d =由垂径定理得：()22223321k k ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，解得：43k =-，此时直线l 的方程为4350x y ++=，综上：直线l 的方程为1x =或4350x y ++=.18．某小学调查学生跳绳的情况，在五年级随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图如下，且规定积分规则如下表：每分钟跳绳个数 [155,165)165,[175)175,[185)[185,215]得分 17181920(1)求频率分布直方图中，跳绳个数在[185,195)区间的小矩形的高；(2)依据频率分布直方图，把第40百分位数划为合格线，低于合格分数线的学生需补考，试确定本次测试的合格分数线；(3)依据积分规则，求100名学生的平均得分. 【答案】(1)0.024 (2)180.5 (3)19.18分【分析】（1）根据频率之和为1列方程来求得跳绳个数在[185,195)区间的小矩形的高. （2）根据百分位数的计算方法计算出合格分数线. （3）根据平均数的求法求得100名学生的平均得分. (1)设跳绳个数在[185,195)区间的小矩形的高为x ， 则()0.0060.0120.040.010.008101x +++++⨯=， 解得0.024x =. (2)第一组的频率为0.006100.06⨯=，第二组的频率为0.012100.12⨯=， 第三组的频率为0.04100.4⨯=，第四组的频率为0.024100.24⨯=， 第五组的频率为0.01100.1⨯=，第六组的频率为0.008100.08⨯=， 所以第40百分位数为0.40.060.1217510180.50.4--+⨯=.也即合格分数线为180.5. (3)100名学生的平均得分为()170.06180.12190.4200.240.10.0819.18⨯+⨯+⨯+⨯++=分.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ．已知2b cos B =c cos A +a cos C ． (1)求B ；(2)若a =2，b =，设D 为CB 延长线上一点，且AD ⊥AC ，求线段BD 的长． 【答案】(1)3B π=(2)4BD =+【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos B ，由此求得B . （2）利用正弦定理求得,BAC C ∠∠，由cos CAC CD∠=列方程来求得BD . (1)2cos cos cos b B c A a C =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B B C A A C =+sin()sin C A B =+=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，1cos 2B ∴=3B π∴=. (2)由（1）知3ABC π∠=，2,a BC b CA ===由正弦定理：sin sin BC CA BAC ABC=∠∠得2sin sin 3BAC ∠，sin BAC ∴∠， 4BAC π∴∠=或34BAC π∠=（舍去）， 53412C ππππ∴∠=--=， AD AC ⊥，所以由cos CA C CD ∠=得cos()64CACD CB BD ππ=+=+，62623cos()64BD ππ∴+==++，423BD ∴=+．20．在数列{}n a 中，192a =，1381442n n n a a a +-=+，记10,*21nn b n N a =∈+. (1)求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n b 的通项公式； (2)试判断数列{}n a 的增减性，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析，12n n b += (2)数列{}n a 单调递减.【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明数列{}n b 为等差数列，然后套用等差数列的通项公式即可；（2）先根据（1）的结论求出数列{}n a 的通项，然后用作差法即可判断其单调性 (1) 因为1381442n n n a a a +-=+，10,*21n n b n N a =∈+， 所以，所以144222110804042n n n n n a a b a a +++=⋅=++，()122120211422212n n n n n n a a b b a a ++-+-===++11101012191b a ===++， 所以数列{}n b 是以1为首项，12为公差的等差数列，(2)由（1）可知，101212n n n b a +==+，所以，所以，()()()()()221343623427619119400242224222422n n n n n n n n a a n n n n n n ++---+-----=-==<++++++故1n n a a +<，所以数列{}n a 单调递减.21．如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，将正方形ABCD 沿EF 折成如图2所示的二面角，点M 在线段AB 上（含端点）运动，连接AD ．(1)若M 为AB 的中点，直线MF 与平面ADE 交于点O ，确定O 点位置，求线段OA 的长； (2)若折成二面角的大小为45︒，是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为45︒，若存在，确定出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)O 是EA 的延长线与FM 延长线的交点，且2OA =(2)存在M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为45︒，且226AM =【分析】（1）通过延长EA 、FM 以及全等三角形确定O 点的位置并求得线段OA 的长. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法判断符合题意的M 点是否存在. (1)延长EA ，连接FM 并延长，交EA 的延长线于O ， 由于,,OAM FBM AMO BMF AM BM ∠=∠∠=∠=， 所以OAM FBM ≅，所以2OA BF ==.所以O 是EA 的延长线与FM 延长线的交点，且2OA =.(2)由于,,EF DE EF AE DE AE E ⊥⊥⋂=， 所以EF ⊥平面ADE ，45DEA ∠=︒，由于EF ⊂平面ABFE ，所以平面ABFE ⊥平面ADE . 建立如图所示空间直角坐标系， (2,0,2,2,2DC，设()2,,0M t ，04t ≤≤，设平面EMC 的法向量为(),,n x y z =， 则242020n EC x y z n EM x ty ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设(,2,42n t t =--，由于直线DE 与平面EMC 所成的角为45︒，所以()22228sin 4544222n ED t t n EDt t ⋅-+-︒==⋅++-⋅+，整理得24220t t -+=，解得226t =2264t =（舍去）存在M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为45︒，且26AM =22．已知抛物线C ：24y x =，经过(4,0)的直线与抛物线C 交于A ，B 两点． (1)求OA OB ⋅的值（其中O 为坐标原点）；(2)设F 为抛物线C 的焦点，直线1l 为抛物线C 的准线，直线2l 是抛物线C 的通径所在的直线，过C 上一点P （00,x y ）（00y ≠）作直线l 与抛物线相切，若直线l 与直线2l 相交于点M ，与直线1l 相交于点N ，证明：点P 在抛物线C 上移动时，||||MF NF 恒为定值，并求出此定值． 【答案】(1)0(2)证明见解析，定值为1【分析】（1）设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立，结合根与系数关系求得OA OB ⋅.（2）求得过P 点的抛物线的切线方程，由此求得,M N 两点的坐标，通过化简22||||MF NF 来证得||||MF NF 为定值，并求得定值. (1)依题意可知直线AB 的斜率不为零，设直线AB 的方程为4x my =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，244x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并化简得24160y my --=， 所以()2221212121216,164416y y y y y y x x =-=⋅==，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=. (2)抛物线方程为24y x =，焦点坐标为()1,0F ，准线1 : =-1l x ，通径所在直线2:1l x =，()00,P x y 在抛物线上，且00y ≠，220004,4y y x x ==所以过P 点的抛物线的切线的斜率存在且不为零， 设过P 点的切线方程为()00y y k x x -=-，0k ≠由()0024y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩消去x 并化简得20004k y y y kx -+-=，()()2001404k y kx ∆=--⋅⋅-=，将2004y x =代入上式并化简得()2020ky -=，解得02k y =，所以切线方程为()0002y y x x y -=⋅-， 令1x =得00022M x y y y -=+， 令1x =-得00022N x y y y --=+， 22||||MF NF 20002200022222x y y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--++⎪⎝⎭， 将2004y x =代入上式并化简得()()22022022||1||22x MF NF x +==+， 所以||||MF NF 为定值，且定值为1.。
湖北省沙市中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题
【全国百强校】湖北省沙市中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2430A x x x =-+<，{}480x B x =->，则AB = A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)22．直线cos 20x α++=的倾斜角θ的取值范围是A ．5[0,]6π B ．5[,]66ππ C ．5[,)(,]6226ππππ D ．5[0,][,)66πππ 3．已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题：①若l α⊂，m α⊂，l β∥，m β，则αβ∥；②若l α⊂，l β∥，m αβ=，则l m ；③若αβ⊥，l β⊥，则l α⊂．其中正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数()1,0{ 11,02x x f x x x +≥=-+<的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A ．16 B ．14 C ．38 D ．126．已知命题2:",11"p x R x ∀∈+≥的否定是200",11"x R x ∃∈+≤；命题:q 在ABC ∆中，""A B >是"sin sin "A B >的充要条件．则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．38．已知圆22:(2)4C x y -+=，直线1:l y 和2:1l y kx =-被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为A ．12B ．3C ．1 D9．执行如图所示的程序框图，若将判断框内“100?S >”改为关于n 的不等式“0?n n ≥”，且要求输出的结果不变，则正整数0n 的取值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知双曲线的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且与直线1y x =-交于,M N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的标准方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22125x y -= D ．22152x y -=11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且34115,,2a a a +成等比数列，若8m n -=，则m n a a -=A ．12B ．13C ．14D ．1512．已知点(1,0),(1,0)M N -，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是A ．2[(0,]B ．11[,0)(0,]22-C ．11[,0)(0,]33- D ．3[(0,]33-二、填空题 13．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到266在第一营区，从267到496为第二营区，从497至600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为________．14．已知点(,)P x y 在圆222x y +=上运动，则221111x y +++的最小值为___________． 15．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于,M N 两点，若过椭圆左焦点1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则该椭圆的离心率为_____．16．点,,E F G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,,AB BC B C 的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②点P 在直线FG 上运动时，总有AP DE ⊥；③点Q 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D QC -的体积的定值；④若点M 是正方体的面1111D C B A 内的一动点，且M 到点D 和1C 距离相等，则点M 的轨迹是一条线段．三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 0a C C b c +--=．（1）求A 的值；（2）若2a =，ABC b ，c 的值．18．已知以点M 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交圆M于点C 和D ，且CD =（1）求直线CD 的方程；（2）求圆M 的方程．19．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]）.（1）求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率.20．已知命题:p 函数2()1f x x mx =++在区间(2,1)--和(1,0)-上各有一个零点；命题:q 5(1,)2x ∃∈，使函数22()log (22)g x mx x =+-有意义．若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围．21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠=，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长和焦距都等于2，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于1-的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线BD 的斜率为定值；（3）求ABD ∆面积的最大值．参考答案1．D【解析】【分析】先根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合A,B ，再利用交集的定义求出A B ⋂.【详解】()(){}{}31013A x x x x x =--<=<<，{}233222x B x x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，则332A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握交集运算是解题的关键.2．D【分析】利用直线的斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出．【详解】设直线cos 20x α-=的倾斜角为θ．则tanθ= cos [1α∈-，1]，∴3333-，即3tan θ，解得5[0,][,)66ππθπ∈⋃．故选D ． 【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数的单调性，属于基础题．3．B【分析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，2y x z =-+，可知截距越大z 值越大，根据图象得出最优解为(1,0)，则2z x y =+的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．4．B【解析】【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答．【详解】对于①，若l α⊂，m α⊂，l β//，//m β，则α与β可能相交；故①错误；对于②，若l α⊂，l β//，m αβ⋂=，满足线面平行的性质定理，故//l m ；故②正确；对于③，若αβ⊥，l β⊥，如果l α⊂，则l α⊥；故③错误；故选B ．【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答． 5．B【解析】由已知得()1,0B ， ()1,2C ， ()2,2D -， ()0,1F ．则矩形ABCD 面积为326⨯=，阴影部分面积为133122⨯⨯=，故该点取自阴影部分的概率等于31264=． 考点：几何概型．视频6．B【分析】对于命题p ：“x R ∀∈，211x +”的否定是“x R ∃∈，211x +<”，即可判断出命题p 是假命题；对于命题q ：在ABC ∆中“sin sin A B >” ⇔ 2cos sin 022A B A B +->⇔ “A B >”，即可判断出．再利用复合命题的真假判定方法即可得出．【详解】命题p ：“x R ∀∈，211x +”的否定是“x R ∃∈，211x +<”，因此命题p 是假命题； 命题q ：在ABC ∆中，由正弦定理可得“sin sin A B >” ⇔ ""a b >⇔ “A B >”，因此，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，q ∴是真命题．因此命题p q ∨是真命题．故选B ．【点睛】本题考查了简易逻辑的有关知识、三角函数的化简，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．7．D【分析】根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据棱锥的体积公式计算出正视图中x 的值即可.【详解】由三视图知，其直观图如下图所示：该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，所以底面积()112232S =⨯+⨯=，高h x =， 所以其体积113333V Sh x ==⨯=，解得3x =. 故选：D.【点睛】本题考查根据几何体的三视图还原几何体的形状以及棱锥体积公式的运用，难度一般. 8．A【解析】【分析】由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得k 的值．【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为2，圆心到线1:l y =，1l 被圆C所截得的弦的长度为2=，圆心到2l，2l 被圆C 所截得的弦的长度为1l ，2l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，可得22=⨯，求得12k =，故选A ． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题． 9．C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，s 的值，当6264126s =+=时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果s 为126，若将判断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ”且要求输出的结果不变，则条件06n 成立，可得正整数0n 的取值为6．【详解】框图首先赋值1n =，2s =，执行112n =+=，246s =+=；判断框中的条件不满足，执行213n =+=，6814s =+=； 判断框中的条件不满足，执行314n =+=，141630s =+=； 判断框中的条件不满足，执行415n =+=，303262s =+=； 判断框中的条件不满足，执行516n =+=，6264126s =+=； 此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果s 为126． 若将判断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ”且要求输出的结果不变， 则条件06n 成立，可得正整数0n 的取值为6．故选C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查． 10．C 【解析】 【分析】先求出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN 中点的横坐标可得a 、b 的一个方程，又双曲线中有222c a b =+，则另得a 、b 的一个方程，最后解a 、b 的方程组即得双曲线方程． 【详解】设双曲线方程为22221x y a b -=．将1y x =-代入22221x y a b-=，整理得2222222()20ba x a xa ab ．由韦达定理得212222a x x a b +=-，则21222223x x a a b +==--．又抛物线2y =的焦点)，所以2227c a b =+=，解得22a =，25b =，所以双曲线的方程是22125x y -=．故选C ．【点睛】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等． 11．A【分析】设等差数列公差为d ，由题意知0d >，由3a ，452a +，11a 成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得m n a a -． 【详解】设等差数列公差为d ，由题意知0d >，3a ，452a +，11a 成等比数列， 243115()2a a a ∴+=，∴27(3)(12)(110)2d d d +=++，即24436450d d --=，解得32d =或1522d =-（舍去），8m n -=，则3()8122m n a a m n d -=-=⨯=． 故答案为A ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题． 12．D 【分析】若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得MNP ∆是直角三角形，则此直线与以MN 为直径的圆必须有公共点，但是除x 轴． 【详解】若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得MNP ∆是直角三角形，则此直线与以MN 为直径的圆必须有公共点，但是去掉x 轴．∴1，0k ≠，化为：2103k <．解得3k ，且0k ≠．故选D ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【分析】由于是系统抽样，故先随机抽取第一数，再确定间隔，可知样本组成以3为首项，12为公差的等差数列，由此可得结论． 【详解】由题意，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，通项为129n -， 由267129496n ≤-≤，2342n ∴≤≤，∴第二营区被抽中的人数为4223120-+=． 故答案为20． 【点睛】本题考查系统抽样，解题的关键是随机抽取第一数，再确定间隔，从而得到样本组成等差数列． 14．1 【分析】由题意可知，点(),P x y 在椭圆222x y +=上运动，得222y x =-，则222211111113x y x x +=++++-，构造基本不等式，即可求出结果. 【详解】∵点(),P x y 在椭圆222x y +=上运动，222x y ∴+=即222y x =-，则222211111113x y x x +=++++- ()222211113413x x x x ⎛⎫=+++- ⎪+-⎝⎭222222131122141343x x x x x ⎛⎛⎫-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x =±时，取等号， 即所求的最小值为1. 【点睛】本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了()2211=134x x ++-的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即可求出结果.151 【解析】 【分析】根据题意思可得：点P 是切点，因此2PF c =并且12PF PF ⊥，可得1230PF F ∠=︒，可知1PF =．根据椭圆的定义可得122PF PF a +=，可得22PF a c =-．求得a ，由离心率公式即可求得椭圆的离心率． 【详解】由题意，故点M 是切点，2MF c ∴=，12MF MF ⊥．又122F F c =，1230MF F ∴∠=︒，1MF ∴=．根据椭圆的定义可得：122MF MF a +=， 22MF a c ∴=-．2a c ∴-=，即12a c=， 1c e a ∴===，故选C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，勾股定理及离心率公式，考查计算能力，属于中档题． 16．②③④ 【解析】 【分析】以三棱锥1A ABC -为例判断①；根据棱锥的体积公式判断②；根据DE ⊥平面AFG 判断③，根据1DC ⊥平面11A BCD 判断④． 【详解】以三棱锥1A ABC -为例（如图（1）），则此三棱锥的4个面均为直角三角形，故①错误；1//FG D D ， ∴过点F 、1D 、G 的截面为矩形1FGD D ，FG DE ⊥，DE AF ⊥， DE ∴⊥平面AFG ，当P 在直线FG 上运动时，AP ⊂平面AFG ，DE AP ∴⊥，故②正确；当Q 在直线1BC 上运动时，△1AD Q 的面积为定值（如图（2）），C 到平面1AD Q 的距离为定值， 1A D QC ∴-的体积是定值，故③正确；连接1D C ，则1DC ⊥平面11A BCD ，M ∴的轨迹是线段11A D ，故④正确． 故答案为②③④． 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，属于中档题． 17．（1）3A π=；（2）2b c ==．【分析】（1）正弦定理边化角，整理化简得到A 的值.（2）根据面积公式得到,b c 的关系，由余弦定理得到,b c 的关系，解出b 和c 的值. 【详解】（1）因为cos sin 0a C C b c +--=， 所以由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得sin cos sin sin sin A C A C B C +=+， 又因A C B π+=-所以()sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C =++=++， sin 0C ≠cos 1A A -=，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以66A ππ-=，所以3A π=．（2）因为ABC所以1sin 2ABCSbc A ===，即4bc =， 又2a =，所以由余弦定理得()()222222cos 3124a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-=， 所以4b c +=，结合4bc =. 可得2b c ==． 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.18．（1）30x y +-=；（2）22(3)10x y +-=或22(2)(1)10x y -+-=.【解析】 【分析】（1）先求得直线AB 的斜率和AB 的中点，进而求得CD 斜率，利用点斜式得直线CD 方程．（2）设出圆心M 的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定a 和b 的等式综合求得a 和b ，则圆的方程可得． 【详解】 （1）直线AB 的斜率1k =，AB 的中点坐标为()1,2∴直线CD 的方程为30x y +-=（2）设圆心(),M a b ，则由点M 在CD 上，得30a b +-=．①又直径CD =∴ MA =，()22110a b ∴++=．②由①②解得03a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩，∴圆心()0,3M 或()2,1∴圆M 的方程为()22310x y +-=或()()222110x y -+-=【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力． 19．（1）0.25，频率分布直方图见解析；（2）72.5；（3）0.4 【解析】试题分析：（1）先根据题目条件求出成绩在除[70,80)外的各组人数，进而可得出成绩在[70,80)内的学生人数，并且可据此补全此频率分布直方图；（2）由题知考试平均分的估计值应为直方图中各个小矩形的面积与其对应矩形的底边中点的横坐标积的和；（3）可先求出成绩在[40,50)和[90,100]的学生人数，再利用古典概型即可求得成绩在同一分组区间的概率.试题解析：（1）由题意得成绩在[40,50)的学生人数为60×0.005×10=3，在[60,70)的学生人数为60×0.020×10=12，在[80,90)的学生人数为60×0.030×10=18，在[90,100]的学生人数为60×0.005×10=3，所以成绩在[70,80)的学生人数为60−3−9−12−18−3=15，频率分布直方图同（A ）（1）； （2），（3）同（A ）（2），（3）.考点：1、频率分布直方图；2、样本平均数；3、古典概型.【思路点睛】本题是一个关于样本频率分布直方图方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是：（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，即可求得成绩在[70,80)的人数，并可进而补全此频率分布直方图；（2）由题知考试平均分的估计值应为直方图中各个小矩形的面积与其对应矩形的底边中点的横坐标积的和；（3）可先求出成绩在[40,50)和[90,100]的学生人数，再利用古典概型即可求得成绩在同一分组区间的概率. 20．122m -<≤或52m ≥. 【解析】 【分析】若命题p 为真命题，则()()()201000f f f ⎧->⎪-<⎨⎪>⎩，即可求出m 的取值范围；对于命题5:1,2q x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使函数()()22log 22g x mx x =+-有意义⇔不等式2220mx x +->有属于51,2⎛⎫⎪⎝⎭的解⇔2min 22m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求出m 的取值范围；若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，其中至少有一个为真命题即可得出． 【详解】若命题p 为真命题，则()()()20520510220200f m f m m f ⎧->->⎧⎪-<⇒⇒<<⎨⎨-<⎩⎪>⎩； 若命题q 为真，51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使函数()()22log 22g x mx x =+-有意义， 则不等式2220mx x +->有属于51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的解；即2min 22m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 512x <<，∴ 2115x <<， ∴ 222211112,0222x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭． ∴ 12m >-． 若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p q ，中有一个为真命题，一个为假命题，若命题p 为真命题，q 为假命题，则52212m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，所以无解；若命题p 为假命题，q 为真命题，则52122122m m m m 或⎧≤≥⎪⎪⇒-<≤⎨⎪>-⎪⎩或52m ≥；综上，122m -<≤或52m ≥. 21．（1）详见解析；（2）3π【分析】()I 利用CM 与BN 交于F ，连接EF ．证明//AN EF ，通过直线与平面平行的判定定理证明//AN 平面MEC ；()II 对于存在性问题，可先假设存在，即假设x 在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断． 【详解】()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， 所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点， 所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ， 所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，E ，0，0)，(0C ，2，0)，P 1-，)h ，(3CE =，2-，0)，(0EP =，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =，y ，)z ． 则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴ 3200x y y hz -=-+=⎪⎩， 令3y h =，∴ 1(2n h =， 又平面ADE 的法向量2(0n =，0，1)，1cos n ∴<，12212·127n n n n n >===，解得h =17>， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及二面角的应用，考查存在性问题，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．利用空间向量法求二面角的一般方法，属于中档题.22．（1）2212x y +=（2）详见解析；（3【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程，根据椭圆的性质即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）利用点差法即可求证直线BD 的斜率为定值；（3）设直线BD 的方程，由2ABD OBD S S ∆∆=，将直线BD 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得ABD ∆面积的最大值． 【详解】（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，222b c ==，则2222a b c =+=， 所以C 的方程为2212x y +=；（2）设1(D x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(A x -，1)y -，直线BD 的斜率2121y y k x x -=-，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，2112211212y y x x x x y y -+=-⨯-+，由直线12121AB y y k x x +==-+，所以212112y y k x x -==-， ∴直线BD 的斜率为定值；（3）因为A ，D 关于原点对称，所以2ABD OBD S S ∆∆=，由（1）可知BD 的斜率12k =，设BD方程为1(12y x t t =+-<<0)t ≠， O 到BD的距离d == 由221212y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得：22344(1)0x tx t ++-=， 所以1243t x x +=-，2124(1)3t x x -=所以1222ABD OBD S S BD d t ∆∆==⨯⨯⨯==，===，22232232t t +-=⨯= 当且仅当22232t t =-，即t =ABD ∆【点睛】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查转化思想．。
2020-2021学年湖北省荆州市六县市区高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年湖北省荆州市六县市区高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∀x∉R，2x≤0B．∀x∈R，2x≤0C．∃x0∈R，＞0D．∃x0∈R，≤02．双曲线的渐近线方程是（）A．4x±y＝0B．16x±y＝0C．x±4y＝0D．x±16y＝03．在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝3，则a3＝（）A．B．C．D．34．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为（）A．B．C．4D．﹣45．“a＝1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+a＝0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在等差数列{a n}中，a n≠0，a1+a3＝a22，a4＝4，若{a n}的前n项和为S n，则＝（）A．1B．2C．D．47．直线l：（m+2）x+（m﹣3）y+5＝0（m∈R）与圆P：（x﹣1）2+（y+2）2＝16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．6B．4C．D．8．双曲线的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是7，则P到F2的距离是（）A．13B．1C．1或13D．2或14二、选择题（共4小题）.9．已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（）A．直线l2的斜率为B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18C．直线l1倾斜角的正切值为3D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝210．若数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n﹣2a n﹣1）＝0，则下列关于数列{a n}的命题正确的是（）A．{a n}可以是等差数列B．{a n}可以是等比数列C．{a n}可以既是等差又是等比数列D．{a n}可以既不是等差又不是等比数列11．已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）外，则下列表述正确的有（）A．实数r的取值范围是B．|AB|＝2C．直线AB与圆C不可能相切D．若圆C上存在唯一点P满足AP⊥BP，则r的值是12．已知点A（﹣，0），抛物线C：y2＝2x的焦点为F，点P在抛物线C上，直线AP 交y轴于点M，且＝2，则下列表述正确的是（）A．点P的纵坐标为1B．△APF为锐角三角形C．点A与点F关于坐标原点对称D．点P的横坐标为三、填空题（共4小题）.13．在数列{a n}中，a1＝1，＝（n∈N*），则a10＝．14．已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4相交，它们公共弦所在直线的方程是．15．椭圆+＝1的离心率为，则m＝．16．在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ，当入＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足＝2，△PAB面积的最大值为，△PCD面积的最小值为4，则双曲线的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2021-2022学年湖北省荆州市沙市第四中学高二数学文期末试题含解析
2021-2022学年湖北省荆州市沙市第四中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于A. －＋B. －－C、－D、＋参考答案：A2. 四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案.【详解】对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共有种可能，答案为A.【点睛】本题主要考查乘法分步原理，难度不大.3. 已知x与y之间的一组数据：A.（2，2）点B.（1.5，0）点C.（1，2）点D.（1.5，4）点参考答案：D4. 已知正实数满足，则的最小值是A．B．C．7 D．6参考答案：B5. a、b、c是空间三条直线，a//b, a与c相交，则b与c的关系是（）A．相交 B．异面 C．共面 D．异面或相交参考答案：D略6. 曲线上一点和坐标原点的连线恰好是该曲线的切线，则点的横坐标为()A ．e B. C ．e 2 D ．2参考答案：A7. 若复数是纯虚数（a 是实数，i 是虚数单位），则a等于（）A. 2B. -2C.D.参考答案：B【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【详解】∵复数（1+ai）（2﹣i）＝2+a+（2a﹣1）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣2．故选：B．【点睛】本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题．8. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569683431 257 393 027 556 488 730 113 537989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15参考答案：B【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为．故选B．9. 若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为A．1 B.或 C. D．3或参考答案：D10. 将5种不同的商品在货架上排成一排，其中甲乙两种必须排在一起，丙，丁两种不能在一起，则不同的排法种数是（）A．12种B．20种 C．24种D．48种参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若?ABC的面积为，则角B = ,参考答案：12. 等差数列{a n} 中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是（填序号）．参考答案：①②④【考点】等差数列的性质．【分析】由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8﹣a7＜0，②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案．【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④【点评】本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．13. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．参考答案：2x﹣y=0或x+y﹣3=0【考点】直线的两点式方程．【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．14. 已知圆的方程为，则其半径为.参考答案：15.函数的的最小值是 .参考答案：16. 在极坐标系中,曲线与的交点的极坐标为________.参考答案：17. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，，若AB=1，AC=2，则AD?BD的最大值为．参考答案：【考点】相似三角形的性质．【专题】计算题；选作题；方程思想；解三角形．【分析】设BD=a，求出AD，再利用基本不等式，即可求出AD?BD的最大值．【解答】解：设BD=a，则DC=2a，∴cosB==，∴AD==，∴AD?BD=a?=≤，∴AD?BD的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理、基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
沙市中学2020_2021学年高二数学12月双周练试题无答案
湖北省沙市中学2020—2021学年高二数学12月双周练试题（无答案）考试时间：2020年12月17日一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).1．“"是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆"的（ ）A.充分而不必要条件 B 。
必要而不充分条件C 。
充要条件D 。
既不充分也不必要条件2．已知等差数列{}na 的前n 项的和为nS ，且12a =,1065S =，则2020a=（ )A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023 3．已知向量()()1,1,01,0,2a b ==-，且2ka b a b +-与互相垂直，则k 的值是A ．53B ．2C ．75 D ．14．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==，1AA c =，则与BM 相等的向量是 A ．1122a b c ++ B ．1122-++a b c C ．1122a b c -+D ．1122a b c --+ 5．若双曲线2221x y a -=（a ＞0）的一条渐近线方程为12y x =-，则其离心率为（ ） A 。
32B.52C 。
2D.6．直线l 过抛物线C ：24xy=的焦点F 且交抛物线C 于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为 （ ）A ．6B．2+C．3+ D ．47．在正方体1111ABCD A B C D -中,M N ，分别为AD ，11C D 的中点,O 为侧面11BCC B 的中心,则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为()A ．14-B ．14C ．16-D ．168．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是21,C C 在第二、四象限的公共点。
若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率为 ( ） A.2B.3C.23 D 。
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A． B． C． D．
4．党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（）
【详解】
设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
由题意得 ,即 ，
解得 ，
∴每一等人比下一等人多得 金．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义，前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于容易题．
湖北省荆州市沙市区沙市中学【最新】高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 的虚部是（）
A． B． C． D．
2．抛物线 的焦点坐标为()
A．( ,0)B．(0, )C．( ,0)D．(0, )
（2）过点 的直线 与双曲线的异支相交于 两点，若 ，求直线 的方程.
22．已知椭圆 : 经过点 且离心率为 .
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线 ，使椭圆 上存在不同两点 关于该直线对称？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．D
【解析】
分析：化简复数z，写出它的虚部即可．
详解：∵复数z= = = =﹣i，
14．对任意的实数 ，直线 被圆 截得的最短弦长为____________
15．若复数 满足 ，则 在复Байду номын сангаас面内对应点的轨迹方程是__________（结果要求化简）
16． 分别为椭圆 的左、右焦点， 为该椭圆上一点，且 ，则 的内切圆半径等于___________
三、解答题
17．某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组 ；第二组 ；……；第六组 ，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为：抽到写有爱国、敬业的卡片，抽到写有诚信、友善的卡片，共有2个，
所以由古典概型概率公式知： ，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了古典概型概率的求法，属于中档题.
5．B
【分析】
根据递推关系式，写出数列的前几项，可知数列具有周期性，利用周期性即可求出 .
【详解】
8．A
【分析】
若直线平行,可得 ,求解即可
【详解】
解：∵直线 和直线 平行,
∴ ,解得 或 ,
当 时,两直线重合
故选A
【点睛】
本题考查直线的一般式方程和平行关系,需要注意两直线重合的情况,若 为 , 为 ,当 时,
9．B
【分析】
根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
∴z的虚部是﹣1．
故选D．
点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设 ，
则 ，
.
2．D
【解析】
根据抛物线标准方程 的焦点坐标为 知， 的焦点坐标为 .故选D.
3．D
【分析】
根据题意，找到 解集的一个真子集即可求解.
【详解】
由 解得 或 ，
所以 成立的一个充分非必要条件是 的真子集，
因为 ，
所以 成立的一个充分非必要条件是 ，
A． B． C． D．
5．已知数列 满足 ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
6．已知等差数列 满足 ，则该数列中一定为零的项为（）
A． B． C． D．
7．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（）斤？
（1）求每个学生的成绩被抽中的概率；
（2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数；
（3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数.
18．已知等差数列{an}满足a1+a4+a7＝0，a3+a6+a9＝﹣18，前n项和为Sn．
（1）求S9
（2）记bn＝|an|，求数列{bn}的前9项和T9．
19．已知圆 ：
故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件，真子集的概念，属于中档题.
4．A
【分析】
由题意知，基本事件有6个，其中抽取到含有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件有2个基本事件，根据古典概型概率公式计算即可.
【详解】
由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；诚信、友善的卡片，共有6个，
A． B． C．1D．4
11．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱） 所有棱长都为1，且 则 （）
A． B． C． D．
12．椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们的交点为 ，且 .若椭圆的离心率为 ，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____．
A． B． C． D．
8．直线x+（1+m）y=2-m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）
A．1B． C．1或 D．
9．记“1，2，3，4，5”这组数据的方差为 ，“98，99，100，102， ”这组数据的方差为 ，若 ，则 为（）
A．97B．101C．101或98.5D．103
10．空间四点 共面，则 （）
，且 ，
，
数列的周期 ，
，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式，数列的周期性，属于中档题.
6．B
【分析】
由条件可得 ,进而得 ,从而得解.
【详解】
,
,
,
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.
7．B
【分析】
根据题意将每等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．
（1）求过点 且与圆 相切的直线方程.
（2）若 为圆 上的任意一点，求 的取值范围.
20．在四棱锥 中，底面 为菱形， ， , ,且平面 平面 ， 为 中点.
（1）求证 ；
（2）求二面角 的正弦值的大小.
21．已知双曲线 的焦点在 轴上，虚轴长为4，且与双曲线 有相同渐近线.
（1）求双曲线 的方程.