第五章导数章末复习与总结-2020-2021学年高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

[例 1] 已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方 程及切点坐标． [解] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即 y＝13x－32.
当 a≤－12时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
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当－12<a<0
时，函数
f(x)
在
－a＋1＋
0，
a
2a＋1
，
－a＋1－
a
2a＋1，＋∞
上
单
调
递
减
，
在
－a＋1＋
a
2a＋1 －a＋1－
，
a
2a＋1上单调递增.
利用导数研究函数的极值和最值 1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的 “局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极 值未必有最值，反之亦然． 2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)解方程 f′(x)＝0 的根； (3)检验 f′(x)＝0 的根的两侧 f′(x)的符号： 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值． 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值． 即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失 分点，学习时务必引起注意．
xx＋12 ②当 a<－12时，Δ<0，g(x)<0， f′(x)<0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－12<a<0 时，Δ>0. 设 x1，x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点，
－a＋1＋ 2a＋1
则 x1＝
a
，
－a＋1－ 2a＋1
x2＝
a
，
a＋1－ 2a＋1 a2＋2a＋1－ 2a＋1
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1， ∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16. 又∵直线 l 过点(0,0)， ∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16. 整理得，x30＝－8， ∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
利用导数研究函数的单调性
借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有 ln x，ex， －x3 等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一 个重点．其特点是导数 f′(x)的符号一般由二次函数来确定； 经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、 数形结合于一体．
[例 2] 设函数 f(x)＝aln x＋xx－ ＋11，其中 a 为常数．
由 x1＝
－a
＝
－a
>0，
所以 x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减，
综上可得：当 a≥0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
第五章导数章末复习与总结
一、数学运算与逻辑推理 数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较 多，主要涉及以下内容：(1)导数计算；(2)利用导数研究函数 的单调性、极值、最值；(3)函数不等式的证明；(4)恒成立(能 成立)的转化.
导数的几何意义 1．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以 求出曲线上任意一点处的切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明 确“过点 P(x0，y0)的曲线 y＝f(x)的切线方程”与“在点 P(x0， y0)处的曲线 y＝f(x)的切线方程”的异同点． 3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则 k＝ f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题 中经常用到．
(2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝ax＋x＋2 12＝ax2＋x2xa＋＋122x＋a. 当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当 a＝－12时，Δ＝0， f′(x)＝－12x－12≤0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数 f(x)＝x3－5x2＋3x.
3．求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方 法与步骤：
(1)求 f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与 f(a)，f(b)相比较，其中最大的一 个值为最大值，最小的一个值为最小值．
[例 3] 已知函数 f(x)＝x3－ax2＋3x，且 x＝3 是 f(x)的极值点． (1)求实数 a 的值； (2)求 f(x)在 x∈[1,5]上的最小值和最大值． [解] (1)f′(x)＝3x2－2ax＋3. f′(3)＝0， 即 27－6a＋3＝0， ∴a＝5，经检验满足条件．
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，
y0－0 x03＋x0－16
则 k＝ ＝ x0－0
x0
，
又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，
x03＋x0－16 ∴ x0 ＝3x20＋1. 解得，x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26).
(1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数 f(x)的单调性．
x－1 [解] (1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝ ，x∈(0，＋∞)．
x＋1
此时
f′(x)＝ 2 .可得 x＋12
f′(1)＝12，又因为
f(1)＝0，
所以曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x－2y－1＝0.