北师大版(2019)数学必修第二册：1.1 周期变化 教案

周期变化

【教学目标】

1．了解现实生活中的周期现象．

2．了解周期函数的概念．

【教学重难点】

了解周期函数的概念．

【教学过程】

一、基础铺垫

1．周期现象

（1）以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．

（2）要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．

思考1：“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的特征？

[提示]周而复始，重复出现．

2.周期函数

(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．

(2)如果所有周期中存在一个最小的正数，称为最小正周期.

二、合作探究

【例1】（1）下列变化中不是周期现象的是()

A．“春去春又回”

B．钟表的分针每小时转一圈

C．天干地支表示年、月、日的时间顺序

D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数

（2）水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．

（1）D[由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故

选D ．]

（2）解：因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．

【规律方法】

（1）应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．

（2）只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．

【例2】 若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋π)＝f (x )，当x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，π2时，f (x )已知，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－133π＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫94π的值． [思路探究] 利用周期函数及奇函数的定义将角转化到⎣⎢⎡⎭

⎪⎫0，π2，再利用特殊角的三角函数求值．

[解] ∵f (x )是奇函数，

∴f (－x )＝－f (x )，

又∵f (x ＋π)＝f (x )，

∴函数f (x )的周期为π，

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－133π＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫94π ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π－π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2π＋π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4

1．(变条件)在例2中把条件“f (x ＋π)＝f (x )”改为“f (x ＋π)＝－f (x )”，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫9π4的值． [解] 由f (x ＋π)＝－f (x )知

f [(x ＋π)＋π]＝－f (x ＋π)＝f (x )，

∴f (x ＋2π)＝f (x )．知f (x )的周期为2π.

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π－π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2π＋π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4， 又∵f (x )是奇函数，

∴原式＝＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4 2．(变条件、变结论)在例2中把条件“f (x ＋π)＝f (x )”改为“f (x ＋π)＝1f

x ”，则函数f (x )的

周期为________．

2π [由f (x ＋π)＝1f x 得f [(x ＋π)＋π]＝1f x ＋π＝f (x )，∴f (x ＋2π) ＝f (x )．∴函数f (x )的周期为2π.]

3．(变条件)把例2中的条件“函数f (x )是定义在R 上的奇函数．且满足f (x ＋π)＝f (x )”改为

“函数f (x )是定义在R 上的偶函数且满足f (x －π)＝f (x ＋π)”，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫9π4的值． [解] ∵f (x )是偶函数．∴f (－x )＝f (x )，

又∵f (x －π)＝f (x ＋π)．

令x ＝x ＋π得f (x )＝f (x ＋2π)，

∴函数f (x )的周期为2π.

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4 【规律方法】

常见周期函数的形式

周期函数除常见的定义式f (x ＋T )＝f (x )外，还有如下四种形式：

(1)f (x ＋a )＝－f (x ).(2)f (x ＋a )＝

1f (x ). (3)f (x －a )＝－1f (x )

.(4)f (x －a )＝f (x ＋a ). 以上四种形式的函数都是以2a 为周期的周期函数.

三、课堂总结

1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可

能性及发生规律，具有一定的研究价值．

2．周期函数可以用来描述周期变化的规律.

四、课堂练习

1．下列现象不是周期现象的是()

A．钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化

B．游乐场中摩天轮的运行

C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数

D．太阳的东升西落

C[A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．] 2．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________.

1[f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.]