人教版数学九年级下册26.1.1 反比例函数教案

26．1.1反比例函数

教学目标

知识与技能

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念．

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式．

过程与方法

3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的建模思想．

情感、态度与价值观

4．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，体会数学学习的重要性，培养学生学习数学的兴趣．

教学重点

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．

教学难点

理解反比例函数的概念．

教学过程设计

一、情境创设

同一条铁路线上，由于不同车次列车运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快又慢，由s=vt可知，在路程s一定的前提下，平均速度v与运行时间t成反比例，从函数角度来看，平均速度v随运行时间t的变化而变化的规律，可表示为v=s/t（s为常数），这类函数就是本章要研究的反比例函数．

与研究一次函数、二次函数类似，我们将在反比例函数定义的基础上，研究反比例函数的图象和性质，并运用反比例函数解决一些实际问题．

二、复习知识

1．函数的定义、正比例函数、一次函数、二次函数的定义．

2．反比例关系：小学里我们知道：如果两个变量x、y满足xy=k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成为反比例关系．例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt=s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系．

3．分式的定义．

4．负整数指数幂的意义．

三、讲授新课

1．观察分析，引入新知

活动1 思考：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？两个变量之间成正比例关系还是反比例关系？这些函数有什么共同特点？

(1)京沪线铁路全程为1 463 km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化；

(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变化；

(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S(单位：平方千米/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化．

师生活动：教师提出问题，引导学生回答（学生分组讨论），让学生感受两个变量之间乘积为定值的函数关系．

解：(1)t ＝1463v

； (2)y ＝1000x

； (3)S ＝1.68×104n

． 其中，v 是自变量，t 是v 的函数；

x 是自变量，y 是x 的函数；

n 是自变量，S 是n 的函数．

上面的函数关系式，都具有y ＝k x

的形式，其中k 是非零常数．

活动2 下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？两个变量之间成正比例关系还是反比例关系？

(1)一个游泳池的容积为2 000 m 3，注满游泳池所用的时间t 随注水速度v 的变化而变化；

(2)某立方体的体积为1 000 cm 3，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化．

解：(1)t ＝2 000v ； (2)h ＝1 000S

． 师生活动：教师给出问题，学生分组讨论，教师参与讨论交流，让学生进一步感受两个变量之间乘积为定值的函数关系．

2．归纳概括，建立模型

活动3 （1）能否根据上面函数的共同特点写出这种函数的解析式？（2）归纳得到反比例函数的概念．（3）给这类函数取个名，为什么称它为反比例函数？

概念：如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝k x

的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 的取值范围是不等于0的 一切实数．

y=k x

，y=kx -1，xy=k 是反比例函数的三种表现形式，其中k 是常数，k ≠0． 师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流，教师引导学生用规范的数学语言表达反比例函数的概念，并找出自变量的取值范围．

3．概念辨析，体会运用

活动4 教材第3页练习2．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？

y ＝4x ，y x

＝3，y ＝6x ＋1；y =x 2-1；xy ＝123． 师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流，两个变量的乘积为定值的函数就是反比例函数．

4．分析问题，培养能力

活动5 例题探究

例1 已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6．

(1)写出y 与x 的函数关系式；

(2)求当x=4时y 的值．

分析：因为y 是x 的反比例函数，所以设y=

k x ，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k 的值．

解：(1)设y=

k x ，因为当x=2时y=6，则有 6=2

k .解得：k=12， ∴y=12x

． (2)把x=4代入y=12x ，得y=124

=3．

例2已知y=x 2成反比例，并且当x=3时，y=4；

（1）写出y 关于x 的函数解析式；

（2）当x=1.5时，求y 的值；

（3）当y=6时，求x 的值．

例3 当m 取什么值时，函数y ＝(m －2)x 3－m2是反比例函数？

分析：反比例函数y ＝k x

(k ≠0)的另一种表达式是y ＝kx －1(k ≠0)，这种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误．

解：由题意可知⎩⎨⎧m －2≠0，3－m 2＝－1，

解得m ＝－2．

师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流，引导学生理解“y 是x 的反比例函数”的意义，总结得出求反比例函数解析式的方法．

四、归纳小结与课堂练习

(1)我们今天学习了反比例函数的哪些知识？如何获得反比例函数的概念？

(2)反比例函数的两个变量的关系是什么？

(3)反比例函数中自变量的取值范围是什么？

(4)如何根据已知条件求反比例函数的解析式？

五、布置作业

习题26．1第1，2题．