浅谈关系性理解和工具性理解

浅谈关系性理解和工具性理解

发表时间：2013-08-28T15:20:26.357Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2013年7月供稿作者：莫传华[导读] 假设教师是工具性的理解，而使用的教材却是希望学生达到关系性的理解。

山东省济宁市第十四中学莫传华

Stieg Mellin Olsen－Bergen University认为在数学领域中理解有两个不同的涵义：关系性理解和工具性理解。对于我来说，关系性理解就是知其然而知其所以然，是我们平时所说的理解；而一直不认为工具性理解是理解，只是生搬硬套而已。如果把各自的目标分别定为关系性和工具性理解的学生和老师作为两个种类，那么就产生了两个问题。第一个是这种分类重要吗？第二个问题是是不是有一个种类比另一个种类效果要好？这两个问题不是完全独立的，但是这篇文章中我尽可能集中在第一个问题上。下面我们来看第一个问题：这是一个错配的问题，这个问题在任何一个Faux Amis（ Faux Amis——法国人用来表示在两种语言中拼写相同或相似，但是意义却不同的词汇）的情景下都会自动产生的。让我们想象这么一个情形：学校A和学校B分别派一支球队进行足球（football）比赛，但是这两支球队都不知道football 有两种含义——英式足球和英式橄榄球。而且学校A的球队从来没有听说过橄榄球，学校B的球队从来没有听说过英式足球，那么当B的队员使用橄榄球的规则进行比赛的时候，A的队员一定认为B队犯规。如果这两个球队不停下来进行商讨增进彼此的理解的时候，那么这场比赛就会因为混乱而停止！

在数学课中，会发生多种不同的数学错配(如果不考虑第二个问题,发生在数学课中的数学错配就只有前两种)：学生旨在达到工具性的理解，但是授课老师却希望他们能达到关系性的理解。学生只是想学习能够得到正确答案的法则和算法程序,而老师却是要给予学生详细的阐释和为后面的学习所准备的基本的数学知识。我借用了这么一个数学课堂上的例子：在学过面积的基本知识之后，老师问学生：“一个长为20cm宽为15码的区域的面积是多少？”学生的回答是300平方厘米。那么老师就会问：“为什么不是300码呢？”学生说：“因为我们平时所使用的面积单位是平方厘米。”因此教师就会告诉同学们——两个尺寸必须是同一单位。这时就是关系性的理解，而不是只罗列一大堆的法则而基本上没有展现更普遍应用的原理。

学生旨在达到关系性的理解，但是授课老师却未能指导学生实现。这里我举个亲身经历的例子：邻居的小孩很聪明智商140。他总是试图进行关系性的理解，可是老师却总是进行工具性理解的教学；当我对他进行关系性理解的辅导时，他理解得很快而且体验到了真正的乐趣。

教师与教材之间的错配。假设教师是工具性的理解，而使用的教材却是希望学生达到关系性的理解。有这么一个例子：学生回答一个有关集合的问题，他们的答案是{花}的集合；对于这个错误的答案，教师要学生注意这个问题并且说：“你们中有些人回答不正确，再看看课本上的例子，保证你们的答案必须和例子是完全一样的。”

在数学领域中，我们必须更要认真对待的第二个Faux Amis 是“数学”自身。以前我认为教师都在教相同的东西，只不过是有的教得好一点而已。但是现在我却认为在相同的名字“数学”下，教师却可以教授两种截然不同的科目。我借用另一个类比来说明这个问题。假设我们把音乐作为数学那样只用纸笔来学习的科目教授给两组同学。开始先呈现这两组学生带有高音符号的五线谱，然后教给他们谱线上的符号称为E，G，B，D，F；谱线之间的符号称为F，A，C，E。这两组学生会学习带有开椭圆的谱线叫做二分音符，而且它相当于两个四分音符，四个八分音符等等——我们可以把它称作音乐乘法。对于其中一组学生来说，他们所有的学习仅限于此。如果他们每天都有音乐课，一周五天，而且告诉他们这个很重要，那么这些学生可能会在规定的时间内学着写出来形如God Save the Queen 和Auld Lang Syne 的简单旋律，而且可以学着解答形如‘这个旋律是什么节拍？’和‘什么调’的简单问题。但是学生会感到很枯燥而且要记得法则太多以至于会感到解决形如‘写出一段旋律的伴奏’这样的问题都很困难。因此我们不久就会放弃，对所学的东西也是不喜爱地记忆。对于另外一组学生来说，他们所学的是将纸上的音符与固定的声音联系起来。最初几年是让学生听乐器上演奏出来的声音。过了一段时间，不管他们看到或是写出那些音符时，他们就会联想到那些原来在乐器上演奏过的声音。音符按一定的顺序结合起来就是旋律，再配合立式钢琴就谱了一曲和声。这样一来C大调和A大调可以听得出区别，其他大调之间的区别也可以听得出来。用这种方式可以减少记忆，所需要的记忆的东西主要是以有密切和声关系的旋律形式呈现的。那么形如‘写出一段旋律的伴奏’这样的问题就会在学生能力范围之内而得以解决。这些学生会发现他们的学习很有趣，许多人会自愿继续学习即使通过了O水平或是C.S.E. 因此根据上述的类比，我们可以归纳出我们所教的“数学”的两种含义——关系性数学和工具性数学。很明显，上述的类比更偏向于关系性数学，这正反映了我的观点。之所以称其为观点是因为它不是一条不言而喻的真理而是需要说理证明的：如果很多有经验的老师都是教授工具性的数学那么要为这个见解辩解的话就很困难。下面就要试图清楚公平地去说明我的观点和其相反的观点的长处。这就是为什么下一部分的标题叫作魔鬼的拥护者的原因。

那么多的教师教授工具性的数学，可能是因为工具性数学的某些优点。我在这篇文章中列举了工具性数学的三条优点：一是工具性数学通常比较容易理解。二是阳性强化刺激更直接更明显。三是因为工具性数学所涉及的知识较少，通常学生使用工具性思维比关系性思维能更快更可靠地得到正确的答案，下面是关系性数学的四条优点：一是关系性数学更适应于新的学习。二是关系性数学更容易记忆。三是在关系性数学中，我们用来理解某个特定内容的的概念也会是用来理解许多其他的数学知识的基本概念。四是就达到一个教学目的而言，关系性的知识是很有效的途径。

通过上述优点的列举，我认为在学生的整个教育背景下能长期存在的只能是关系性数学。