二项式定理及其系数的性质人教版名师课件
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6.3.2 二项式系数的性质PPT课件(人教版)
璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它第一会通过中间的一个通道落到
第二层(有几个通道就算第几层)的六棱柱上面,之后,再落到第二层
中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再之后,
它又会落到下一层的三个通道之一里边去,……,以此类推,最终落
到下边的长方形框中.求一下C0 + C1 +
C2 +…+C +…+C-1 + C =2n 个小弹子通过 n+1
C10 2 ,
2
1
≥ 11- ,
19
22
1
2 解不等式组得 3 ≤k≤ 3 .
≥ +1 ,
10-
∵k∈N,∴k=7.
∴展开式中系数最大的项为
-25
7 7 2
T8=C10
2
=15 360
25
2.
-
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
二项式系数和问题
例2已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:
应的二项式系数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
n
令 f(k)=nk ,k∈{0,1,2,…,n},则直线 k=2 将函数 f(k)的图象分成对称的
n
n
2
2
两部分,即直线 k= 是图象的对称轴,由此我们得到结论:当 k= 时,nk
最大.这个结论正确吗?
n -1
2
n +1
2
提示:不正确.当 n 是偶数时,nk 最大;当 n 是奇数时,n = n 最大.
∴n0 + n2 + n4 +…=n1 + n3 + n5 +…=2n-1,即 A=B.
第二层(有几个通道就算第几层)的六棱柱上面,之后,再落到第二层
中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再之后,
它又会落到下一层的三个通道之一里边去,……,以此类推,最终落
到下边的长方形框中.求一下C0 + C1 +
C2 +…+C +…+C-1 + C =2n 个小弹子通过 n+1
C10 2 ,
2
1
≥ 11- ,
19
22
1
2 解不等式组得 3 ≤k≤ 3 .
≥ +1 ,
10-
∵k∈N,∴k=7.
∴展开式中系数最大的项为
-25
7 7 2
T8=C10
2
=15 360
25
2.
-
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
二项式系数和问题
例2已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:
应的二项式系数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
n
令 f(k)=nk ,k∈{0,1,2,…,n},则直线 k=2 将函数 f(k)的图象分成对称的
n
n
2
2
两部分,即直线 k= 是图象的对称轴,由此我们得到结论:当 k= 时,nk
最大.这个结论正确吗?
n -1
2
n +1
2
提示:不正确.当 n 是偶数时,nk 最大;当 n 是奇数时,n = n 最大.
∴n0 + n2 + n4 +…=n1 + n3 + n5 +…=2n-1,即 A=B.
人教版数学高二《杨辉三角与二项式系数的性质》 名师课件
(4)各二项式系数的和.
Cn0
C
1 n
Cห้องสมุดไป่ตู้2
C r 高中n数学
Cnn 2n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
研究二项式系数的性质．
f(r)
. (a+b)n展开式的二项式系数是
20-
. . C
0 n
,
C
1 n
,
Cn2
,
, Cnr，
,C
n n
.
C
r n
可看成是以r为自变量的函数
1106----
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
高中数学
继续思考(a: b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a b n2 2
C
r n
a
nr
br
C
n n
b
n
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的
和等于偶数项的二项式系数的和.
这一性质可直接由公式
C
m n
Cnm n
得到．
图象的对称轴：r n 2
高中数学
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值
当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数
C
2 n
取得最大值；
n 1
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn2 、Cn2
相等，且同时取得最大值。
高中数学
二项式系数的性质
二项定理:
(a b)n
高中数学
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
6.3.1 《二项式定理》课件ppt
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
6.3.2二项式系数的性质2课件(人教版)
则 0 + 1 + 2 +. . . + 6 的值为（ ）D
. 1 . 64 . 243 . 729
7、若(2 x 3) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x ,4 Nhomakorabea2
3
则(a 0 +a 2 +a 4 ) (a1 a3 ) 的值为（ A ）
2
A.1
例5、如图所示，在杨辉三角中，
斜线AB上方箭头所示的数组成一
个锯齿形的数列：
1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的
前n项和为Sn，求S19.
【思路点拨】 解答本题可视察数列的各项在杨
辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的
二项式系数，利用组合的性质求和．
解:由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，
n 1
1. C 2C 4C 2 C 等于
（C）
n
n
3
n
n
3
1
A. 3
B. 3 1 C.
D. 1
1
n
2
n
3
n
n
n
2
2
5
2
2．在 x 3 x 2
的展开式中x的系数为（ B ）
A．160
B．240
C．360
D．800
3.求 (1 x) (1 x)
2
(1 x) 的展开式中 x 项的系数.
99 1
C1 0 07
100
C 7 C 7
1
99
100
（
7 C 7 C ） 1
. 1 . 64 . 243 . 729
7、若(2 x 3) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x ,4 Nhomakorabea2
3
则(a 0 +a 2 +a 4 ) (a1 a3 ) 的值为（ A ）
2
A.1
例5、如图所示，在杨辉三角中，
斜线AB上方箭头所示的数组成一
个锯齿形的数列：
1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的
前n项和为Sn，求S19.
【思路点拨】 解答本题可视察数列的各项在杨
辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的
二项式系数，利用组合的性质求和．
解:由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，
n 1
1. C 2C 4C 2 C 等于
（C）
n
n
3
n
n
3
1
A. 3
B. 3 1 C.
D. 1
1
n
2
n
3
n
n
n
2
2
5
2
2．在 x 3 x 2
的展开式中x的系数为（ B ）
A．160
B．240
C．360
D．800
3.求 (1 x) (1 x)
2
(1 x) 的展开式中 x 项的系数.
99 1
C1 0 07
100
C 7 C 7
1
99
100
（
7 C 7 C ） 1
6.3.2二项式系数的性质课件(人教版)
于是
CC22rr 00
320-r 320-r
2r 2r
Cr 1 20
319-r
2r 1 ,
Cr -1 20
321-r
2r
-1
,
化简得
3(r 1) 2(21-r)
2(20-r), 3r,
解得 37 ≤r≤ 42 (r∈N),所以r=8,
5
5
即T9=C820 ×312×28x12y8是系数绝对值最大的项.
因为第10行最后5个数从右至左依次为
C10 11
,
C191,
C181,
C171,
C161
,
所以此数列的前50项的和为4
072-
C10 11
-
C191-
C181
-
C171-
C161=4
072-11-55-165-330-462=3
0
49.
答案 D
第六章 计数原理
在(3x-2y)20的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
解析
(1)二项式系数最大的项是第11项,T11=
C10 20
×310×(-2)10x10y10=
C10 20
×610x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第r+1(0≤r≤20,r∈N)项,
②
随k的增加而增大
;当k>
n
2
1
时,
Ckn
随k的增加而减小.当n是偶
n
n -1
n1
数时,中间的一项③ Cn2 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项④ Cn2 与 Cn2
6.3.2 二项式系数与系数的性质(同步精品课件) 高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
通项为2 k C20
x
2 20
k
记各项系数为ak 2 k C20
[例](x 2 ) 的展开式中, 求 :
x
0
1
20
20
析
:
C
C
C
2
(1)求二项式系数之和;
20
20
20
0
2
10
19
(2)求奇数项的二项式系数之和; 析 : C20
C20 C20 2
(3)求二项式系数最大的项.
例题点拨(2)：各项系数的问题
2 20
[变式](x 2 ) 的展开式中, 求 :
x
(1)求系数绝对值最大的项;
析 : ak 2 C , k 0,1,2,,20.
k
k
20
同上得k 13或14时, | ak | 最大;
k 20 3 k
通项为(2) k C20
x
k
记各项系数为ak (2) k C20
二项式系数的增减性与最值
f (r ) C6r
二项式系数 先增后减，关于k= 对称.
二项式系数 在中间项取得最大值.
n1
2
n1
2
n是奇数时,中间两项的二项式系数Cn Cn 最大.
n
2
n是偶数时,中间一项的二项式系数Cn 最大.
8 项, 二项式系数最大的是第____
4和5 项.
则a1 a2 a10 _______. a3 _______.
[练习1]多项式(1 x) (1 x) 2 (1 x) n a0 a1 x a2 x 2 an x n ,
x
2 20
k
记各项系数为ak 2 k C20
[例](x 2 ) 的展开式中, 求 :
x
0
1
20
20
析
:
C
C
C
2
(1)求二项式系数之和;
20
20
20
0
2
10
19
(2)求奇数项的二项式系数之和; 析 : C20
C20 C20 2
(3)求二项式系数最大的项.
例题点拨(2)：各项系数的问题
2 20
[变式](x 2 ) 的展开式中, 求 :
x
(1)求系数绝对值最大的项;
析 : ak 2 C , k 0,1,2,,20.
k
k
20
同上得k 13或14时, | ak | 最大;
k 20 3 k
通项为(2) k C20
x
k
记各项系数为ak (2) k C20
二项式系数的增减性与最值
f (r ) C6r
二项式系数 先增后减，关于k= 对称.
二项式系数 在中间项取得最大值.
n1
2
n1
2
n是奇数时,中间两项的二项式系数Cn Cn 最大.
n
2
n是偶数时,中间一项的二项式系数Cn 最大.
8 项, 二项式系数最大的是第____
4和5 项.
则a1 a2 a10 _______. a3 _______.
[练习1]多项式(1 x) (1 x) 2 (1 x) n a0 a1 x a2 x 2 an x n ,
6.3.2二项式系数的性质(一)课件(人教版)
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
问题导学
(a b )1
10
( a b )2
20
30
( a b )3
( a b )5
( a b )6
50
60
61
21
31
40
( a b )4
11
62
22
43
42
52
63
1
33
32
41
51
1 1
53
1 3
44
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn 2 ,Cn 2 相等，且
同时取得最大值.
(4) C n0 C n1 Cnn 2 n
典例剖析——知识应用
例1 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶
数项的二项式系数的和.
已知 (1 x )n C n0 C n1 x C n2 x 2
• 二项展开式的通项 Tk 1 C k a n k b k
n
0
1
2
n
k
C
,
C
,
C
,
,
C
C
(
k
0
,
1
,
,
n
)
• 二项式系数： n
n
n
n
n
问题导学
问题2 计算( + ) 展开式的二项式系数并填入下表
(a+b)n展开式的二项式系数
n
1
1
1
2
1
2
人教A版选修2-3第一章二项式系数的性质(共27张PPT)
所要求的各项系数的和就是a0+a1+a2+……+a60. 又将x=1代入得 f(1)= a0+a1+a2+……+a60
=(3－1+2－3)8(3－5)4(7－4－2)6=16. ∴ 各项系数的和为16.
江西师大附中
2020年7月18日星期六
3、若(2x 3)4 a0 x4 a1 x3 a2 x2 a3 x a4 求(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2
得最大值；
江西师大附中
2020年7月18日星期六
(3) 二项式系数的和：
① Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
②
C
0 n
C
2 n
Cn1 Cn3
2n1
11 121
③
Cmm
Cm m 1
Cm m2
C
m n
C m1 n1
1 33 1 1 46 41
辨别：
1 5 10 10 5 1 1 6 15 2015 6 1
江西师大附中
2020年7月18日星期六
(1)
对称性： Cnm
C nm n
与首末两端“等距离”的两
个二项式系数相等。
11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
f(r)
20 18 16
14
12 10
8
6 4
2
r
3
6
9
江西师大附中
2020年7月18日星期六
二项式系数的性质
2020年7月18日星期六
n
Cn2
n1 n1
Cn 2 ,Cn 2
江西师大附中
=(3－1+2－3)8(3－5)4(7－4－2)6=16. ∴ 各项系数的和为16.
江西师大附中
2020年7月18日星期六
3、若(2x 3)4 a0 x4 a1 x3 a2 x2 a3 x a4 求(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2
得最大值；
江西师大附中
2020年7月18日星期六
(3) 二项式系数的和：
① Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
②
C
0 n
C
2 n
Cn1 Cn3
2n1
11 121
③
Cmm
Cm m 1
Cm m2
C
m n
C m1 n1
1 33 1 1 46 41
辨别：
1 5 10 10 5 1 1 6 15 2015 6 1
江西师大附中
2020年7月18日星期六
(1)
对称性： Cnm
C nm n
与首末两端“等距离”的两
个二项式系数相等。
11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
f(r)
20 18 16
14
12 10
8
6 4
2
r
3
6
9
江西师大附中
2020年7月18日星期六
二项式系数的性质
2020年7月18日星期六
n
Cn2
n1 n1
Cn 2 ,Cn 2
江西师大附中
二项式系数的性质 人教版精品课件
例一、选择填空：
1.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ C ）
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一 个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不
亮的可能性的种数为 （ D ）
(A)20
(B)219
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243 (1)a5 25 32
即CC114422aa
8b4 8b4
C132a 9b3 C152a 7b5
解得 8 a 9
5b4
对称性 小结 （1） 二项式系数的三个性质。增减性与最大值
（2） 数学思想：函数思想。 各二项式系数的和
a 单调性； b 图象； c 最值。
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
二项式系数的性质
X
复习
1。什么是二项式定理？通项公式？
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 Cnranrbr Cnnbn(n N )
T C a b r nr r
r 1
n
2。什么叫二项式系数？项的系数？ 它们之间有什么不同？
二项式系数的性质
C C 当n是奇数时，中间的两项
最大值。
2， 2 相等，且同时取得
n
n
3.各二项式系数和
2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnn
C 0 ,C 1 ,C 2 ,,C n
人教版高中数学选修三6.3.2 二项式系数的性质 课件
∴（ （55－ －55kk！ ） ！ ）！ ！kk！ ！× ≥3（≥4（ －6k）－！k5）！（！5k！＋（1k－ ）1！）×！3， ，
即53k－ ≥1 k6≥－1 kk＋，3 1，
∴72≤k≤92.∵k∈N，∴k＝4，
2
26
∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45x3(3x2)4＝405x 3 .
提示 二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是
中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他
数字因数的大小有关．
2．二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．
×
()
提示 在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和
才等于奇数项系数和．
3．二项展开式项的系数是先增后减的．
(× )
提示 二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系
数有关．
[微训练]
1.
x＋1xn的展开式中第 8 项是常数，则展开式中系数最大的项是(
)
A．第 8 项
B．第 9 项
C．第 8 项和第 9 项
D．第 11 项和第 12 项
答案 D
【训练2】 已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求： (1)a0＋a1＋…＋a8； (2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8； (3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|. 解 (1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.② ①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，
解 令x＝1，得： (2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5， ∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.
人教版数学选择性必修三6.3二项式定理课件
±2
则实数a的值为________．
方法总结
通项公式法即利用二项展开式的通项公式，根据题意，对相应的指
数进行赋值，从而解决指定项问题的方法．
此方法适用于已知二项式，求常数项、指定项的系数等问题．
破解此类题的关键点：
(1)求通项，根据二项式(a＋b)n的展开式的通项Tk＋1＝C an－kbk(k＝
0 an＋ C1 an－1b＋…＋ C an－rbr＋…＋ C bn
n
C
(a＋b) ＝_________________________________________.
2．二项展开式的通项
r＋1
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第__________项．
3．二项式系数
0 , C1 , C 2 , ·
通过本节课，你学会了什么？
9
的
2
1
二项展开式中的x6的系数为9，则a＝________．
基础点二
性质
二项式系数的性质
内容
= C −
C
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即_____________
+1
时，二项式系数逐渐增大
2
当k＜
增减性
+1
当k＞ 时，二项式系数逐渐减小
2
当n是偶数时，中间一项
−1
0
2
4
1
3
5
2
C ＋C ＋C ＋…＝C ＋C ＋C ＋…＝_______
基础小测
1．(202X届山西高三开学考试)若
−
2
的展开式中只有
6.3.1二项式定理课件(人教版)
在二项式定理中，若设a=1,b=x,则得到公式
(1 x) C C x C x
n
0
n
1
n
2 2
n
C x
k k
n
C x
n n
n
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点二：二项式定理的应用
1 6
(
x
) 的展开式.
例1 求
x
解：根据二项式定理，
1 6
( x ) ( x x 1 )6
学习目标
课堂总结
新课讲授
项的系数：
an
项是从n个因式中都不取b，有C n0 种；
n 1
项是从n个因式中取1个b，有C n1 种；
a b
a
a
n2
nk
b
2
项是从n个因式中取2个b，有C n2 种；
……
b
k
项是从n个因式中取k个b，有C nk 种；
……
bn
项是从n个因式中都取b，有C nn 种．
1 n 1
6.3.1 二项式定理
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.能用多项式法则和计数原理推导二项式定理，会用二项式
定理求解二项展开式.
2.理解二项式定理，会利用定理解决与二项式有关的简单问
题.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点一：二项式定理的推导
已知，
(a b)2 a 2 2ab b 2 ,
(a b)3 a3 3a 2b 3ab 2 b3 .
新课讲授
课堂总结
例2 (1) 求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;
(1 x) C C x C x
n
0
n
1
n
2 2
n
C x
k k
n
C x
n n
n
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点二：二项式定理的应用
1 6
(
x
) 的展开式.
例1 求
x
解：根据二项式定理，
1 6
( x ) ( x x 1 )6
学习目标
课堂总结
新课讲授
项的系数：
an
项是从n个因式中都不取b，有C n0 种；
n 1
项是从n个因式中取1个b，有C n1 种；
a b
a
a
n2
nk
b
2
项是从n个因式中取2个b，有C n2 种；
……
b
k
项是从n个因式中取k个b，有C nk 种；
……
bn
项是从n个因式中都取b，有C nn 种．
1 n 1
6.3.1 二项式定理
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.能用多项式法则和计数原理推导二项式定理，会用二项式
定理求解二项展开式.
2.理解二项式定理，会利用定理解决与二项式有关的简单问
题.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点一：二项式定理的推导
已知，
(a b)2 a 2 2ab b 2 ,
(a b)3 a3 3a 2b 3ab 2 b3 .
新课讲授
课堂总结
例2 (1) 求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;
6.3.2二项式系数的性质-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
问题1：计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
二项式系数: Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
性质一：对称性
(a b)1 (a b)2 (a b)3
分析：由(a+b)n的展开式可知，
奇数项的二项式系数的和为 C0n C2n C4n
偶数项的二项式系数的和为 C1n C3n C5n
由于 (a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
Cnnbn
因此，我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和。
例3:求证在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数 的和．
• 1.掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值。 • 2.学会利用赋值法解决二项式系数和的相关问题.
1、二项式定理
(a
b)n
C n0a n
C
1 n
a
n
1b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N
*)
2、二项展开式的通项
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
3、二项式系数：
C
k n
(k
0,1,,
n)
Cn0 ,Cn1 ,Cn2 , ,Cnn
(a b)4 (a b)5
(a b)6
11
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(2)a1+a3+a5+a7 =_________
?说明:二项展开式是一个恒等 式,因此对特殊值仍然成立.这 是求二项式系数和的基础.常 采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要 的方法.
?略解:
令x=0, 则a0=1 令x=1, 则a0+a1+ … +a7= -1 ∴ a1+ a2+… +a7= -2 ?其它类似可得.
?解(1)
c
5 10
?
252
?(2)Tr+1=
c9r
?? ?
a x
9
?? ?
?
r
????
?
? ? r
x 2
????
?
r
?
1
?? ?
1 2
?2 ? ?
c9r
a
9?
r
3r
x2
?
9
?依题意 3r ? 9? 3 ,r=8 含的项
为第9项2,其系数为?? 1?8 即 9a ? 9 得 a=4.
?? ?
1 2
?Ⅱ、例题分析：
?例１、
?（１）在(1+x)10展开式中x5的 系数是_______
9
?（２）已知
????
a x
?
x 2
????
的
展开式中x3的系数为，则常数
a的值是_______
?说明:这些问题属基础题 ,运用通 项公式有时也有变化的 ,但其实 质还是通项公式 ,应熟练掌握 .
?方法:在解有关二项式的问题时 , 如果已知a,b,n,r,T r+1这五个量中 的几个或它们的某些关系 ,求另 外几个,一般是利用通项公式把 问题转化为解方程或解不等式 .
?引申:
?(1) a2+a3+… +a7=_________
?(2) a0-a1+a2-a3+… -a7 =Байду номын сангаас________
?(3)a0+a2+a4+a6 =_________
?练习:
?(5)若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200 求a1+a3+a5+a7+…+a199 的 值。
?三、复习策略：
?本节知识的学习或复习要 重视基础，要按教学大纲 和考试说明的要求弄懂遇 按理，适当掌握一些方法， 会分析。
?一、教学过程：
?Ⅰ、课前准备
?（1）填写公式：（ a+b）n的二 项展开式 是 _________________________ __
?通项公式是 _______________ ;
?一、教学目标：
?1、知识目标：掌握二项式定理及有关概 念，通项公式，二项式系数的性质；
?2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方 程的思想方法，赋值法，构造法，并通 过变式提高学生的应变能力，创造能力 及逻辑思维能力。
?3、情感目标：通过学生的主体活动，营 造一种愉悦的情境，使学生自始至终处 于积极思考的氛围中，不断获得成功的 体验，从而对自己的数学学习充满信心。
(1)求n;
(2)展开式中共有多少有理 项？
?说明:考查二项式通项,注意理 解有理项,常数项的概念.
?方法 :本题属于求二项式的指 定项一类重要问题,它的解法 主要是:设第r+1项为所求指定 项,利用通项公式列出方程,解 方程,利用方程的思想解题.
? ? ?解: (1)T5= cn4
x
n
?
4
?
2
二项式定理 及其系数的性质
?一、本节教材地位及命题趋势：
? 高考对本单元的特点是基础和 全面，每年对本单元知识点的考 查没有遗漏。估计每年一道排列 组合题，一道二项式定理题是不 会变的，试题难度仍然回维持在 较易到中等的程度。二项式定理 的试题是多年来最缺少变化的试 题，今后也很难有什么大的改变 。
s 等于(C )
A.(x-2) 4 B. (x-1) 4 C. x 4 D.(x+1)4
?4、在 展开式 10
?
1?
???
x ? 3 x ???
中的常数项是__________
?5=、__2_c_1n _? _2_2 c_n2_?__…__2+n_?1_cn_n?1_?_2n cnn
?6、(1.01)10=_______(保 留到小数点后三位)
4
?? ?
c
8 9
a
?
9 4
16 4
?练习：
?(1)在(1-x3)(1+x)10的展开式
中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252
C. 297 D. 207
?(2)(x+y+z)9中含x4y2z3的项 的系数是 _______________
?例２、已知
? ?
x?
2
n
?
?
?
x?
的展开式中第五项是常数，
4
?
??
? x?
?
cn2 24
n ?12
x2
?是常数,所以 n ? 12 ? 0 则n=12. 2
? ? ?(2)Tr+1=cnr
x
n?
r
?
2
r
?
??
? x?
?
n?3r
2r cnr x 2
?
n? 3r
2r c1r2 x 2
?∴12 ? 3 r ? Z 且 r=0,1, …,12
2
?即 6 ? 3r ? Z 且r=0,1, …,12
?(a-b)n的二项展开式是 _______________________
10
?2、在（2- x ）9的展开式中，是它 的第______ 项 ，这项的系数是 ___________ 这项的二项式系数 是 _______________
?3、设s=
(x- 1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1, 则
2
?∴r=0,2,6,8,10,12, ∴有理项共有7
?练习:
? ? ?(3) x?14?x?5?5 展开式中x4 的系数是_______
?(4)(x2+3x+2) 5展开式中x的 系数是_______
?例３、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
?说明:二项展开式是一个恒等 式,因此对特殊值仍然成立.这 是求二项式系数和的基础.常 采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要 的方法.
?略解:
令x=0, 则a0=1 令x=1, 则a0+a1+ … +a7= -1 ∴ a1+ a2+… +a7= -2 ?其它类似可得.
?解(1)
c
5 10
?
252
?(2)Tr+1=
c9r
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9
?依题意 3r ? 9? 3 ,r=8 含的项
为第9项2,其系数为?? 1?8 即 9a ? 9 得 a=4.
?? ?
1 2
?Ⅱ、例题分析：
?例１、
?（１）在(1+x)10展开式中x5的 系数是_______
9
?（２）已知
????
a x
?
x 2
????
的
展开式中x3的系数为，则常数
a的值是_______
?说明:这些问题属基础题 ,运用通 项公式有时也有变化的 ,但其实 质还是通项公式 ,应熟练掌握 .
?方法:在解有关二项式的问题时 , 如果已知a,b,n,r,T r+1这五个量中 的几个或它们的某些关系 ,求另 外几个,一般是利用通项公式把 问题转化为解方程或解不等式 .
?引申:
?(1) a2+a3+… +a7=_________
?(2) a0-a1+a2-a3+… -a7 =Байду номын сангаас________
?(3)a0+a2+a4+a6 =_________
?练习:
?(5)若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200 求a1+a3+a5+a7+…+a199 的 值。
?三、复习策略：
?本节知识的学习或复习要 重视基础，要按教学大纲 和考试说明的要求弄懂遇 按理，适当掌握一些方法， 会分析。
?一、教学过程：
?Ⅰ、课前准备
?（1）填写公式：（ a+b）n的二 项展开式 是 _________________________ __
?通项公式是 _______________ ;
?一、教学目标：
?1、知识目标：掌握二项式定理及有关概 念，通项公式，二项式系数的性质；
?2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方 程的思想方法，赋值法，构造法，并通 过变式提高学生的应变能力，创造能力 及逻辑思维能力。
?3、情感目标：通过学生的主体活动，营 造一种愉悦的情境，使学生自始至终处 于积极思考的氛围中，不断获得成功的 体验，从而对自己的数学学习充满信心。
(1)求n;
(2)展开式中共有多少有理 项？
?说明:考查二项式通项,注意理 解有理项,常数项的概念.
?方法 :本题属于求二项式的指 定项一类重要问题,它的解法 主要是:设第r+1项为所求指定 项,利用通项公式列出方程,解 方程,利用方程的思想解题.
? ? ?解: (1)T5= cn4
x
n
?
4
?
2
二项式定理 及其系数的性质
?一、本节教材地位及命题趋势：
? 高考对本单元的特点是基础和 全面，每年对本单元知识点的考 查没有遗漏。估计每年一道排列 组合题，一道二项式定理题是不 会变的，试题难度仍然回维持在 较易到中等的程度。二项式定理 的试题是多年来最缺少变化的试 题，今后也很难有什么大的改变 。
s 等于(C )
A.(x-2) 4 B. (x-1) 4 C. x 4 D.(x+1)4
?4、在 展开式 10
?
1?
???
x ? 3 x ???
中的常数项是__________
?5=、__2_c_1n _? _2_2 c_n2_?__…__2+n_?1_cn_n?1_?_2n cnn
?6、(1.01)10=_______(保 留到小数点后三位)
4
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c
8 9
a
?
9 4
16 4
?练习：
?(1)在(1-x3)(1+x)10的展开式
中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252
C. 297 D. 207
?(2)(x+y+z)9中含x4y2z3的项 的系数是 _______________
?例２、已知
? ?
x?
2
n
?
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x?
的展开式中第五项是常数，
4
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??
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n ?12
x2
?是常数,所以 n ? 12 ? 0 则n=12. 2
? ? ?(2)Tr+1=cnr
x
n?
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2
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n?3r
2r cnr x 2
?
n? 3r
2r c1r2 x 2
?∴12 ? 3 r ? Z 且 r=0,1, …,12
2
?即 6 ? 3r ? Z 且r=0,1, …,12
?(a-b)n的二项展开式是 _______________________
10
?2、在（2- x ）9的展开式中，是它 的第______ 项 ，这项的系数是 ___________ 这项的二项式系数 是 _______________
?3、设s=
(x- 1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1, 则
2
?∴r=0,2,6,8,10,12, ∴有理项共有7
?练习:
? ? ?(3) x?14?x?5?5 展开式中x4 的系数是_______
?(4)(x2+3x+2) 5展开式中x的 系数是_______
?例３、已知(1-2x)7= a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______