《椭圆及其标准方程(一)》
椭圆及其标准方程
《椭圆及其标准方程（一）》教学设计平潭三中薛由琼一、概述本节教材是选自人教版高二数学选修1－1第三单元第一节的内容，安排一课时，教学内容是椭圆的定义及椭圆的标准方程及其推导过程。
通过本节课的学习，使学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神. 进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣. 二、教学目标分析（一）（1）知识与技能：①了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；②使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程.（2）过程与方法：①让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；②学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力.（3）情感态度与价值观：①通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.②通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣.（二）、教学重点、难点教学重点：椭圆的定义及其标准方程.教学难点：椭圆标准方程的推导.三、学习者特征分析1.学习者是本节课的教学对象是我校高二文科生。
2.从高一入口成绩看，学生基础参差不齐；到了高二分化阶段，学生水平差异更加明显。
3. 高二学生具备了一定的认知能力,思维的目的性,连续性和逻辑性也已经初步形成,具较强的探究欲望.4.学生的想象能力欠强，需要在教学中加强。
四、教学策略选择与设计探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导自主合作探究式学习策略：建立小组讨论、交流、合作的课堂氛围情景创设策略：运用生活中与教学内容相关的情景，设计问题，设计数学实验，组织教学内容，提出有启发性的引申问题，激发学生的学习兴趣。
五、教学资源与工具设计1.教师自制的多媒体课件；2.上课环境为多媒体大屏幕环境。
六、教学过程：（一）创设情景，引入课题生活中的椭圆如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？------那么如何定义椭圆，椭圆是否和圆一样能用一个方程来表示呢？这就是今天我们要研究的主要内容. （二）新课讲解取一条定长的细绳，把它的两端都固定同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖（动点）我们知道画出的轨迹是圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖（动点）画出的轨迹是什么？移动的笔尖（动点）满足什么条件？让学生根据自己的画法并观察多媒体的演示过程尝试给椭圆下一个定义， 1、椭圆定义：平面内与两个定点21F F 、的距离和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：（1）必须在平面内;（2）两个定点---两点间距离确定;(常记作2c)（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a, 且2a>2c)简单的说：①距离之和 ②常数 ③常数大于21F F . 同时提醒学生注意椭圆的焦点和焦距的概念.思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆（较扁（→线段））;两定点间距离较短，则所画出的椭圆（较圆（→圆））.由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．若2a =21F F轨迹是什么呢？（轨迹是一条线段） 若2a <21F F 轨迹是什么呢？（轨迹不存在）2、求椭圆的方程：我们已经学习了椭圆的定义，那么椭圆是否也像圆能用一个方程来表示呢？我们先来回顾一下圆的标准方程的推导过程，并让学生简述求曲线方程的步骤. （建系、设点、列式、化简）如何建系是求曲线方程重要而关键的一步，请学生观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系最合理？先让学生尝试探究，并说明自己建系的理由.原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)建系：如图以经过椭圆两焦点21F F 、所在的直线为x 轴， 线段21F F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系xOy .设点：设),(y x M 为椭圆上任意一点，焦距为)0(2>c c ，则)0,(),0,(21c F c F -；又设)0(221>=+a a MF MF 列式：由椭圆定义，椭圆就是集合{aMF MF M P 221=+=即：+++22)(y c x a y c x 2)(22=+-（问题：下面怎样化简？）则两边除以 22a b 得 叫做椭圆的标准方程. 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是 12(,0)(,0)F c F c -，中心在坐标原点的椭圆方程 ,其中222a b c =+ 3、合作探究如果椭圆的焦点在y 轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换x,y 轴）如图所示,焦点则变成12(0,)(0,)F c F c - 只要将方程中 的 x,y 即可得22221(0)y x a b a b+=>>也是椭圆的标准方程。
《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程(1)
学案编号：B51 第 1 页 共 2 页P F 2F 1§2.2.1椭圆及其标准方程(1)【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
3、A 、B 层全部掌握，C 层选做。
【学习目标】1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【问题导学】（预习教材理P 38~ P 40，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．【合作探究】取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
椭圆及其标准方程(一)
y2 2 故所求椭圆的标准方程为 4 ＋x ＝1.
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.1.1（一）
探究点一 ：椭圆的定义
思考 4 命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0 且 a 为常 数)；命题乙：点 P 的轨迹是椭圆，且 A、B 是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙 的什么条件？ 而当 2a＝|AB|时，P 点的轨迹是线段 AB；
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.1.1（一）
探究点二 ：椭圆的标准方程
解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，
x2 y2 ∴设它的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，∴a＝5，
又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为25＋ 9 ＝1.
a2＝10 ，解得 2 . b ＝6
方法二
9 25 2＋ 2＝1 依题意得4a 4b a2－b2＝4
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 10 6
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
2.1.1（一）
探究点二 ：椭圆的标准方程
(2)方法一 x2 y2 当椭圆的焦点在 x 轴上时，设所求椭圆的方程为 2＋ 2＝1 (a>b>0)． a b
关系．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
2.2.1椭圆及其标准方程(1)
y2 x2 ＋ ＝1. 169 144
4
精讲点拨
5 3 例.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 2 , 2 ,
求它的标准方程.
小结
(1)用待定系数法求椭圆的标准方程步骤： ①依据条件判断
椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上；②设出椭圆方程；③根据条 件，寻求等量关系，建立关系 a、b、c 的方程组；④解方程组， 代入所设方程．
三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c 始终满足 关系式 a2＝ b2＋c2.
试一试：
1.设 F1、F2 为定点，|F1F2|=6，动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6，则 动点 M 的轨迹是( D ) A.一个椭圆 B.两个圆 C.一条直线 D.一条线段 x2 2．椭圆 ＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到 25 另一个焦点的距离为( D ) A．5 B．6 C．7 D．8 3.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,5)，(0,－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26.求椭圆的标准方程．
问题 2 椭圆定义中,为什么要Fra bibliotek制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?
只有当 2a>|F1F2|时，动点 M 的轨迹才是椭圆； 当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2； 当 2a<|F1F2|时满足条件的点不存在．
探究展示
问题 1
(二)椭圆的标准方程
你能根据椭圆的定义求出椭圆的标准方程吗？
2.2.1 椭圆及其标准方程
【学习目标】 1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、 椭 圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
椭圆及其标准方程1
| MF1 | | MF2 || F1F2 |
• F 1 • F 2
M
M的轨迹是线段F1F2 无轨迹
| MF1 | | MF2 || F1F2 | | MF1 | | MF2 || F1F2 |
M的轨迹是椭圆
变式题组二
1.如果方程x2 +ky 2 =1表示焦点在y轴上的椭圆， 那么实数k的取值范围是（ ） (A)（0，+¥ ） (B)（0，2） (C)（1，+¥ ） (D)（0，1） x2 y 2 2.椭圆 + =1的焦距是2，则实数m的值是（ m 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 x2 y 2 3.已知F1、F2是椭圆 + = 1的两个焦点，过 25 49 F1的直线与椭圆交于A、B两点，则D ABF2的 周长为（ (A)8 6 ） (B)20 (C)24 (D)28 ）
§2.1
椭圆及其标准方程（一）
小实验：取一条定长的细绳 实验1：把它的两端都固定在同一点处，套上笔，拉紧绳子， 移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？ 圆
定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.
定点 —— 圆心；定长 —— 半径. 标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
实验2：现把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在两个点上， 套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？动手 看看？
F1
2. 椭圆的标准方程 y
F1 O F2
y
F1
x
O F2
x
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.1椭圆及其标准方程》课件
2．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2 是它的焦点．过 F1 的直 线 AB 与椭圆交于 A，B 两点，求△ABF2 的周长．
解：如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， ∴△ABF2 的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝4a.
即 25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
由椭圆的定义得 10＝|PF1|＋|PF2|，
所以 100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以
S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin
()
A．10
B．8
C．5
D．4
解析：∵a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案：A 3．已知椭圆中 a＝5, c＝ 5， 焦点在 x 轴上，则椭圆的标准方 程为_________．
答案：2x52＋2y02 ＝1
题型一 椭圆的定义及应用
[学透用活]
[典例 1] (1)下列说法正确的是
()
[解] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1. (2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝2，b＝1. 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
()
A．(5,0)，(－5,0)
B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12)
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程（第一课时）教案淮北一中徐鹏飞一．教材及学情分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－1第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时．用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线．圆锥曲线的发现与研究始于古希腊．当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广．17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．二．教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美三．重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简四．教法分析本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．五．教学过程⒈创设情景、引入概念首先用多媒体演示从家到学校一路上的发现，形象地给出椭圆，双曲线，抛物线图形，把这些优美的曲线带入教室一同去研究---圆锥曲线。
1.1椭圆及其标准方程课件--北师大版(2019)高二上选择性必修一
辨析
练习 下列命题是真命题的是 （ 2 ）（ 4 ）
（4）平面内，已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离
和为10，则M ₂ ∣为定长
1 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣>∣ ₁₂ ∣时，P点的轨迹就是
椭圆.
2 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣=∣ ₁₂ ∣时，P点的轨迹是一
的点的集合(或轨迹)叫做椭圆。
两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点。
两个焦点间的距离||叫作椭圆的焦距。焦距的一半称
为半焦距。
= + = , > ||
2、在椭圆定义中，当 = ||时动点的轨迹为线段；
当 < ||时动点的轨迹不存在。
条线段：线段 ₁₂
3 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣<∣ ₁₂ ∣时，P点不存在.
问题二：根据椭圆的定义，我们是否可以猜
想椭圆是否具有对称性？你能否猜想出椭圆
的对称轴吗？
根据椭圆的定义有 + =
设点P1为点P关于直线F1F2的对称点，
则据椭圆的定义有 + =
(1)
(2)
+
+
=
x轴上，a=5,b=4,焦点坐标：(-3,0)、(3,0)
= 在y轴上，a=13,b=12,焦点坐标：(0,-5)、(0,5)
(3) + − = 在x轴上，a=5,b=3,焦点坐标：(-4,0)、
(4,0)
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的
即
+
−
=
将 = − 代入上式，得
2020高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程(1)(含解析)
课时作业10 椭圆及其标准方程（1）知识点一椭圆的定义及简单应用1。
已知在平面直角坐标系中，点A（－3,0),B（3,0)，点P为一动点，且｜PA|＋|PB|＝2a(a≥0）,给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆,且焦距为3；③当a＝4时,点P的轨迹是椭圆，且焦距为6;④当a＝3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在,①正确;当a＝4时,2a＝8>｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB|＝6,②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB,④错误．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10.若|PF1｜＝3，则｜PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为（)A．16 B．18 C．20 D．不确定答案B解析∵a＝5,b＝3，∴c＝4又｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝10，｜F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为｜PF1|＋|PF2|＋|F1F2｜＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B。
知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1）a＝5，c＝2;(2）经过P1(错误!,1)，P2（－错误!,－错误!)两点;（3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点,且经过点M(2,6)．解（1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。
(2)解法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）．由已知，得错误!⇒错误!即所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1。
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
高二数学椭圆的标准方程(1)
椭圆的标准方程
临川二中
袁庆
圆锥曲线的形成
椭圆的定义
定义 平面内与两定点F1、F2的距离之和等于
定值(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。
焦点：两个定点F1、F2称为焦点。 焦距：两个焦点之间的距离 F1F2 称为焦距。
椭圆的标准方程
焦点的位置
平面内到定点F 的距离与到定直线L 椭圆的第二定义：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x02 y02 4
即x2 4 y 2 1为中点M的轨迹方程。 M的轨迹为焦点在x轴上，长轴
长为2，短轴长为1的椭圆。
思考题
已知圆C： ( x 1) y 25, 及点A(1,0),
2 2
AQ的垂直平分线交CQ Q为圆上一动点， 于点M， 求点M的轨 迹方程.
y Q
求椭圆的方程 且经过两点（ P1 6，1），P （ ，- 2）， 2 - 3
2 2
1 6 2 1 2 a b 2 2 由题可知： a 3, b 9(舍去) 2 3 1 2 2 a b
x y 法二 可设椭圆方程为 1(m 0, n 0) m n
故 (x-1） y （x+1） y 4
2 2 2 2
化简得： 3x 4 y 12 (0 x 2)
2 2
例2.如图,已知一个圆的圆心坐标为原点,半径为2, 从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP’,求线段PP’的 中点M的轨迹.
y P M o P’
解：设M 为(x,y),P为(x0 ,y0 ) x0 x 由题可知： y0 2 y x P点在圆x2 y 2 4上运动
若将PF2延长交椭圆于另一点Q，
高中数学教案——椭圆及其标准方程 第一课时
课题：8．1椭圆及其标准方程（一）教学目的：1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3．能由椭圆定义推导椭圆的方程4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的 作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点 同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识 但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受 所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础 教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础 根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求 教学过程：一、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 二、讲解新课： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)三、讲解范例：例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c6410222=-=-=∴c a b所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） .838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案： 1.A2.C3.A4.1353622=+x y 5.Ｂ五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 022>>c a ；②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义 六、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，,2,3===c b a 2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为答案：4);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围答案：0<<k4 化简方程：)3()3(2222=-++++y x y x答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______ 答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y七、板书设计（略）八、课后记：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+）(2) 已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+。
《椭圆及其标准方程》一等奖说课稿
《椭圆及其标准方程》一等奖说课稿1、《椭圆及其标准方程》一等奖说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好！我说课的题目是人教版普通高中课程选修2-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》。
下面我就教材分析、学生情况分析、教学目标、教法与学法、教学过程的设计、板书设计、教学设计说明这几方面内容向大家进行阐述。
一、教材分析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。
它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。
而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
二、学生情况分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。
但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
三、教学目标根据学生的实际、课标的要求和本节课内容的特点，教学目标确定如下：（一）教学目标1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，并根据条件会求椭圆的标准方程。
人教A版高二数学《椭圆及其标准方程》课件
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
椭圆及其标准方程(1)
椭圆及其标准方程
广东省阳春市第一中学
学习新课
1. 椭圆的定义： 把平面内与两个定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫 作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 椭圆 线段
|MF1|＋|MF2|＝2a (a>c)
广东省阳春市第一中学
学习新课
y M
b
F1 O
a c F2 x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)
广东省阳春市第一中学
学习新课
椭圆的标准方程： x
y 2 1 (a＞b＞0). 2 a b
2
2
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点
是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
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2005年10月12日上午9时，“神舟六号”载 人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我 国航天事业又上了一个新台阶，请问： “神舟 六号”载人飞船的运行轨道是什么？
神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地 点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公 里的圆形轨道.
广东省阳春市第一中学
学习新课
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)， y
则椭圆方程为：
y x 2 1 (a＞b＞0). 2 a b
问:任意一个椭圆的标准方程, 该如何判断它的焦点位置, 求出焦点坐标?
2
2
F2
O
F1
x
广东省阳春市第一中学
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y2 a2
x2 b2
1a b 0
y
F1
M
F1
O F2
x
O
x
F2
①左边是两个分式的平方和，分母为正，右边是1
②椭圆的三个参数a、b、c满足 b2 a2 c2
③椭圆的焦点在x轴上 椭圆标准方程中x2项的分母较大；
椭圆的焦点在y轴上
2020年4月9日
椭圆标准方程中y2项的分母较大．
练一练： 判定下列椭圆的焦点在 ？轴， 并指明a2、b2，写出焦点坐标
2007.12.16
椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离 的和等于常数 ( 大于 F1F2 ) 的点的轨迹是椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距. 当2a＞2c时 新疆 ，轨迹是椭圆；
王新敞 奎屯
当2a=2c时，轨迹是以F1、F2为端点的线段; 当2a＜2c时，无轨迹； 当c＝0时，轨迹为圆。
离叫做椭圆的焦距. 新疆
王新敞 奎屯
y
M
设 | MF1 | + | MF2 |= 2a
F1F2 2c
F1
O F2 x
2020年4月9日
练一练： 设动点M到两定点F1(－4,0), F2 (4,0)的距离和是10， 则动点M的轨迹为( C )
变式：
1.设动点M到两定点F1(－4,0), F2 (4,0)的距离和是8，
的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系 .
设 F1F2 2c (c 0)，则F1( c ,0 )、F2(c,0)
y
M（x，y）为椭圆
M
上的任意一点，又
设M与F1 、F2的和
F1
O F2 x
等于2a (2a 2c)
即 | MF1 | + | MF2 |= 2a
2020年4月9日
| MF1 | + | MF2 |= 2a
所以所所以求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为：：10
1
y
26
x2
1
10 6
2020年4月9日
返回
例2: 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2） （0 ,2)并且经过点 ( 3 , 5) 求椭圆的标准方程．
22
变式：椭圆经过两点（2，0），和（0，1），求椭圆的
标准方程。
2020年4月9日
所以椭圆的标准方程为： y2 x2 1 10 6
2020年4月9日
例2: 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2） （0 ,2)并且经过点 ( 3 , 5) 求椭圆的标准方程．
22
解待定系数法解法：二因:为∴设2a椭ya22所a圆2a52ab求x的2222b焦的232 11点20标4ab在，23准252b又2y方2c轴0程21上2为，，解a所y由23得22以椭2:∴设y圆bx252它b的22ba222的2定x2标21义a1602准知2方：1c02程为6
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
移项平方，得
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2
整 理, 得 a2 cx a ( x c)2 y2
再平方 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整 理, 得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2(a2 c2 )
2020年4月9日
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
令 b2 a2 c2，得
y
M
b2 x2 a2 y2 a2b2
F1
O F2 x
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
2020年4月9日
2020年4月9日
2.1.1.椭圆及其标准方程(一)
授课教师：麦金秀
一 创设情境，导入新课 实验：把绳子的两端分开固定在两个定点
F1、 F2上，保持拉紧状态，移动 铅笔，这时笔尖画出的轨迹是什么 图形？
2020年4月9日
完善
二 引导探究，掌握新知
定义
椭圆的定义：平面内动点M与两个定点F1,F2的 距离的和等于常数 ( 大于 F1F2 ) 的点的轨迹是椭圆.这两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距
变式：已知椭圆的焦距等于8，椭圆上一点到两
焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程
解：由题意容易知2c=8，2a=10，得c=4，
a=5故b2=a2－c2=9，但焦点未定，
所以标准方程有两个:
x2 y2 1 或
25 9
y2 x2 1 25 9
2020年4月9日
例2: 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2）
x2 y 2 1 答：在 x 轴。（ - 3，0）和（3，0） 25 16 x2 y 2 1 答：在 y 轴。（0，- 5）和（0，5） 144 169
分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。
2020年4月9日
例1 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 （－4，0），（4，0）椭圆上一点到两焦 点距离的和等于10，求椭圆的标准方程．
则动点M的轨迹为( B )
2.设动点M到两定点F1(－4,0), F2 (4,0)的距离和是a(正数)，
则动点M的轨迹为( D )
A 无轨迹
B 线段F1F2
C 椭圆
D 前三种都有可能
2020年4月9日
求月9日
化简
列式
椭圆标准方程的推导
以两定点F1 、F2所在直线为x轴，线段F1 F2
返回
想一想
今天我们学了什么？
1、知识方面 （1）椭圆的定义； （2）椭圆的两种标准方程及关系；
(3) 椭圆方程的求法:定义法和待定系数法 2、数学思想及方法：
数形结合的思想、转化思想及坐标法。
2020年4月9日
课后作业：
必做题：P42习题2.1的2题 选做题：P42 第一题
2020年4月9日
2020年4月9日
思考：如果以F1 、F2 所在直线为 y轴，线段 F1 F2的垂直平分线为 x轴，建立直角坐标系,
焦点是F1 (0，-c)、F2(0，c)
椭圆方程是？
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
y
y
x F1 O F2
2020年4月9日
F2
M
O
x
F1
两种形式的标准方程的比较：
返回
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
y
M
（0 ,2)并且经过点 ( 3 , 5) 求椭圆的标准方程．
22
解法一：由椭圆的定义知：
y
M
定 2a 3 2 5 22 3 2 5 22 2 10
F2
义
2 2 2 2
O
x
法 ∴ a 10 ，又 c 2 ， ∴ b2 a2 c2 6 F1
因为椭圆的焦点在y轴上