部分分式

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注意: (1)我们假设分子p(x)和分母Q(x)这两个多项式之间 没有公因式; (2)分子是n次多项式,分母为m次多项式, 当n<m时,此有理
学
(其中m,n为非负整数,a0,a1,…an及b0,b1,…bm为实数, 且a0≠0,b0 ≠0)
函数为真分式,当n>m时,此有理函数为假分式.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
t ∴ I n−1 = 2 + 2(n − 1)[ I n−1 − a 2 I n ] (t + a 2 ) n−1 1 t In = 2 [ 2 + (2n − 3) I n−1 ] 2 n −1 2a (n − 1) (t + a )
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有些可化为有理函数的积分,如 以此作递推公式,并由 I1 = arctg + C
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另外, 真分式也可用p(x)/Q(x)表示.
子 教
真分式p(x)/Q(x)可分解为部分分式之和, 条件是
案
多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次因式的 乘积, 即
学 数
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B A A1 A2 B1 B2 p( x) = + + .. + α + + + .. + β Q ( x) ( x − a )α ( x − a )α −1 x − a ( x − b) β ( x − b) β −1 x−b
Q( x) = b0 ( x − a )α ...( x − b) β ( x 2 + px + q ) λ ...( x 2 + rx + s ) µ
其中p2-4q<0,…r2-4q<0
则部分分式之和的形式如下:
+.. +
Rµ x + S µ x 2 + rx + s
学 数
其中A1,..B1,..M1,..N1,..R1,..S1,…都是常数
数
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个多项式和一个真分式之和的形式。 通过多项式的除法,总可以把一个假分式化为一
2.真分式及其性质 2.真分式及其性质
x3 + x + 1 1 例如 = x+ 2 x2 +1 x +1
由此可见,对于有理函数的积分,只要计算真分式
学 数
即可,因为多项式的积分在前面已经得到了研究,
A B A( x − 3) + B ( x − 2) + = x−2 x−3 ( x − 2)( x − 3)
x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2) = ( A + B) x − (3 A + 2 B)
学 数
A + B = 1,
− 3 A − 2 B = 3 → A = −5, B = 6
1 a x a
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例6
sec xdx ∫ (1 + sec x)2
还有些可把代数恒等变形或换元等方法：
dx 例7 求∫ ( x + 1)( x 2 + 1)
学 数
x5 − x 例8 求 ∫ 8 dx x +1
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数的导数灵活得多,一个积分可以用多种方法计算,并且 积分结果在形式上也可能不一样,在具体计算时,应尽可 能选择简单的积分法. 例9 求
2x4 + x3 + 2x2 + 2x dx 例4 计算 ∫ 3 2 2x + x + 2x + 1
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把分母中的二次质因式配方得到
Mx + N dx. 下面讨论积分 ∫ 2 n ( x + px + q )
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p 2 p2 x + px + q = ( x + ) + q − , 2 4 p p2 x + = t x 2 + px + q = t 2 + a 2 (a 2 = q − ) 2 4 Mp Mx + N = Mt + b(b = N − ) 2
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从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函
∫x
dx
2
4 − x2
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二、三角函数有理式的积分
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三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数,而各类三角函数都可用sinx及cosx 的有理式表示.
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1. 三角函数有ห้องสมุดไป่ตู้式的表达式为 三角函数有理式的表达式为R(sinx,cosx)
此题分母Q(x)分解为二个一次因式, 有
x+3 A B = + ( x − 3)( x − 2) x − 2 x − 3
其中A, B为待定系数
学 数
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两端的系数与常数,使之相等,解方程组,求出待定系数. 第一种方法：等式右端通分,等式两端去分母,比较等式
2.待定系数的求法 2.待定系数的求法
故三角函数有理式也就是sinx, cosx的有理式.
高 等 数 学 2.简单三角函数有理式积分的求法 2.简单三角函数有理式积分的求法 电 子
万能代换
教 案
x 2tg x 2dt 2 = 2t , , tgx = tg = t, dx = 2 2 1+ t 1− t 2 2 x 1− tg 2 1− t2 2t 1− t2 ctgx = . sin x = , cos x = 2 2t 1+ t 1+ t2
(其中p2-4q<0,M1,N1,..都是常数, 为待定系数)特别是 若k=1,则分解后的部分分式为
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Mx + N x 2 + px + q
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解:
x+3 例1 把真分式 2 分解为部分分式之和 x − 5x + 6
x+3 x+3 = x 2 − 5 x + 6 ( x − 3)( x − 2)
t t2 2(n − 1)tdt = 2 + 2(n − 1) ∫ 2 dt dv = − 2 2 n −1 2 n 2 n (t + a ) (t + a ) (t + a )
t 1 a2 = 2 − 2 ]dt 2 n −1 +2( n − 1) ∫ [ 2 2 n−1 2 n (t + a ) (t + a ) (t + a )
= 2 ∫ (1 − 1 ) dt = 2(t − tg −1t ) + C t2 +1
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= 2( x − 1 − tg −1 x − 1) + C
高 等
例11 求
数 学 电
解
dx ∫ (1 + 3 x ) x
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t 6 = x , dx = 6 t 5 dt
dx 6t 5 dt 6t 2 dt ∫ (1 + 3 x ) x = ∫ (1 + t 2 )t 3 = ∫ 1 + t 2
2
学 数
Mx + N Mtdt b dx. = ∫ 2 +∫ 2 dt 2 n 2 n ∫ ( x 2 + px + q)n (t + a ) (t + a )
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当n > 1时,
Mx + N M b dx = − +∫ 2 dt 2 2 n +1 2 n ∫ ( x 2 + px + q)n 2(n − 1)(t + a ) (t + a ) 1 ∫ (t 2 + a 2 )n dt用递推公式解之,
1 − t 2 2t 2 R (cos x , sin x ) dx = ∫ R ( , ) dt 2 2 2 ∫ 1+ t 1+ t 1+ t
学 数
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我们只讨论R(x, t)形式的简单无理函数. 其中：
三. 简单无理函数的积分 1. 简单的无理函数的形式
ax + b t = ax + b , t = cx + d
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第四节 有理函数的积分
学 电
利用各种代换可将无理函数或超越函数的积分化为
子 教
有理式函数的积分.有理式函数的积分可以用初等函数
案
的形式处理.
1.有理函数: 1.有理函数: 有理函数
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数.有理函
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p ( x ) a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n −1 x + a n = 数的形式是： Q ( x ) b0 x m + b1 x m −1 + ... + bm −1 x + bm
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注意:
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A1 A2 Ak + + .. + 之和, 即 k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
(1) 分母Q(x)中, 如有因式(x-a)k, 则分解后有k个部分分式
(其中A1,A2..AK都是常数,为待定系数)特别是若k=1, 则分
A1 解后的部分分式就是 x−a
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例如例1得到 x+3=A(x-3)+B(x-2) 令x=2 A=-5 x=3 B=6 则有部分分式之和为
x+3 −5 6 = + ( x − 3)( x − 2) x − 2 x − 3
学 数
第二种方法：在通分和去分母后,得到一恒等式, 在恒 等式中,代入特殊的x值,求出待定系数
(1)把真分式分解为部分分式之和. (2)对各部分分式积分. 积分步骤:
3.有理真分式的积分 3.有理真分式的积分
学 数
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例3
x+3 dx 求 ∫ 2 x − 5x + 6
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解 Q
x+3 x+3 A B Ax − 3 A + Bx − 2 B = = + = x 2 − 5 x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3 ( x − 2)( x − 3)
学
当n = 1时,
p x+ Mx + N M b 2 +C dx = ln( x 2 + px + q ) + arctg ∫ x 2 + px + q 2 a a
有理函数的原函数都是初等函数
数
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1 1 Q∫ 2 dt = I n−1 , du = dt , v = 2 , u = t, 2 n −1 2 n −1 (t + a ) (t + a )
1 = 6∫ (1− )dt = 6(t − tg−1t) + c 1+ t 2
= 6(6 x − tg −1 6 x ) + c
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注意：不是所有初等函数的不定积分或原函数（即
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使存在）都是初等函数, 例如
dx sin x − x2 , ∫ e dx, ∫ dx, ∫ sin x 2 dx, ∫ 1 − k 2 sin 2 x dx ∫ ln x x
令x = 0, 得到A = 1;
x = 1, B = 1 把A, B代入, 得到
( x − 1) 2 + x + Cx( x − 1) = 1, 令x = 2, 得到C = −1
学 数
∴
1 1 1 1 = + − x( x − 1) 2 x ( x − 1) 2 x − 1
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+ M x + Nλ M 1 x + N1 M x + N2 R x + S1 R x + S2 + 2 2 + ... + 2 λ + 2 1 + 2 2 ( x 2 + px + q )λ ( x + px + q )λ −1 x + px + q ( x + rx + s ) µ ( x + rx + s) µ −1
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解:
1 例2 把真分式 2 分解为部分分式之和 x( x − 1)
A B C A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) 1 = + + = 2 2 x( x − 1) x ( x − 1) x −1 x( x − 1) 2
教 案
A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) = 1
学 数
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M 1 x + N1 M 2 x + N2 M K x + NK + 2 + .. + 2 2 k k −1 x + px + q ( x + px + q ) ( x + px + q )
(2)分母Q(x)中,如有因式(x2+px+q)k,则分解后有下列 k个部分分式之和,即
A + B = 1,
− 3 A − 2 B = 3 → A = −5, B = 6
x+3 −5 6 dx = ∫ dx + ∫ dx = −5ln x − 2 + 6ln x − 3 + C ∫ x2 − 5x + 6 x−2 x −3
学 数
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dx 例5 计算 ∫ x(x − 1) 2
n n
2.简单无理函数积分举例 2.简单无理函数积分举例
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一般直接令根号为t ,目的是换元后去掉根号.
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例10 求
∫
x −1 dx x
解 : 令t = x − 1, x = t 2 + 1, dx = 2tdt
∫
x −1 2t 2 t 2 +1 −1 dx = ∫ 2 dt = 2∫ 2 dt x t +1 t +1