基于狄拉克方程的边缘态理论与应用

基于狄拉克方程的边缘态理论与应用

在量子霍尔效应的启示下，科学家们曾预言自然界中可能存在一种新的无自发对称破缺的物质状态。近年来发现的拓扑绝缘体恰好验证

了该项理论。拓扑绝缘体是当前凝聚态物理领域的热点问题，这类材料

的典型特征是体内元激发存在能隙，但在边界上具有受能隙保护的无能

隙边缘激发。我们基于狄拉克方程的边缘态解，从理论上讨论了边缘态

形成的主要原因，即体系哈密顿量在时间反演对称下保持不变，导致体

系具有两支在禁带内交叉形成狄拉克锥的稳定结构。为了更加深刻的理

解边缘态的概念，我们还利用Bernevig-Hughes-Zhang模型，从细节上

研究了由连续模型到附加边缘效应的过程。此外，我们简单介绍了第一

个从实验上实现的拓扑绝缘材料HgTe/CdTe量子阱。

关键词拓扑绝缘体; 量子霍尔效应; 狄拉克方程

第一章绪论

在经典物理学中，人们常常根据朗道对称破缺理论对物质进行分类，大多数物质的简单相态或相变，都可以从对称性破缺的观点来了解。但近年来，凝聚态物理中发现的一种新的物理态——整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应——颠覆了这项理论。为了弄清楚它们的结构，人们把拓扑这个近代数学中的重要概念引进到了凝聚态物理中，拓扑绝缘体正是基于这项理论而发展起来的。

传统材料按照其导电特性可分为：导体，半导体，绝缘体三种。导体在费米能级附近存在一定密度的电子态，当加上足够小的电压时，电荷元就能够被激发，系统中就会出现电流（如图1a）。半导体和绝缘体的费米面存在于禁带之中，电荷激发成为自由电子需要克服一个有限大小的能隙，需要很大能量，因而一般不易导电（如图1b）。拓扑材料则是一种十分特殊的绝缘体，理论上讲，这种材料内部是典型的绝缘体结构，但在它的表面，

存在一些特殊受拓扑保护的量子态，这些边缘态联通了体系的价带顶和导带顶，从而使拓扑绝缘体的表面能够导电（如图1c，图1d）。

图1 能带示意图，其中（a）为导体，（b）为绝缘体，（c）为拓扑绝缘体，（d）为时间反演不变的拓扑绝缘体

拓扑保护的一维边缘态曾在HgTe/CdTe量子阱中被预言，随后被证实，很快，含铋的固体化合物中又被预言存在拓扑绝缘体，不同实验组通过角分辨电子光谱的方法，在碲化铋，硒化铋等化合物中观察到了拓扑保护的表面量子态，这类材料由于自身存在较强的自旋轨道耦合，使得在不依赖外部磁场作用的下，表现出在表面，存在受到时间反演不变性保护的量子态。拓扑绝缘体近年来受到极大关注，部分原因是因为在自旋电子学和量子计算可能的技术应用。最近，人们又在石墨烯中发现了奇特的电子结构，下面几节，我们将具体讨论在石墨烯和一维HgTe/CdTe中的拓扑绝缘体。

从理论上，这类材料由狄拉克方程描述。由于时间反演不变性，自旋相反的两类手征态在费米面交叉，形成狄拉克锥。由于边界周期性条件的存在，使得材料的布里渊区形成带有孔洞的（亏格）封闭曲面，这与没有边界限制的情形截然不同，此时将会在材料的边缘出现连接导带和价带的边缘态，从而其表面可以导电，内部绝缘。

当X轴或Y轴存在限制时，有边界条件的情况下，求解薛定谔方程，得到哈密顿量的精确解，即为边缘态。这种拓扑绝缘体的实现大多是在存在强磁场的情况下，然而，有一种材料在不加磁场时，由于其自身的自旋轨道耦合作用，即存在边缘态，成为了拓扑绝缘体，它的时间反演不变性完全没有被破坏，下面，将简要描述下石墨烯的Kane-Mele模型以及二维HgTe/CdTe量子阱。

本文将从理论上讨论拓扑绝缘材料的理论基础。首先给出边缘态理论，我们利用简单但极具启发性的Berneving-Hughes-zhang模型介绍边缘态的基本概念；然后针对一类具体的拓扑绝缘材料，从狄拉克方程出发，基于理论和数值再现材料的边缘态；最后简要给出总结与展望。

第一节 Kane-Mele 模型

石墨烯是一种二维的碳纳米材料，它的每个碳原子有四个价电子，这四

个价电子通过杂化形成σ键，剩下的电子通过共价结合形成π

键，在费米面附近，它的电子性质主要靠π键决定，石墨这种奇特的电子结构引起了人们的注意。05年，Kane 与Mele 通过对单层石墨的研究，预言了石墨烯中的量子自旋霍尔效应的存在，在S z 自旋守恒的假设下，Kane-Mele 模型的哈密顿量H 被写作

††i j ij

i z j ij

ij

H t c c v

c s c =-+

∑∑ （1.1.1）

其中

ij

k ，

d ik 表示位置k 到i 的矢量，则式中2()/1ij kj ik v d d =⨯=±，第二项

表示次近邻原子的自旋轨道耦合作用。

由该哈密顿量H 描述的系统具有时间反演不变性，以

(),,,A B A B c

c c c ↑

↑↓↓为基，有

()()00/2Haldane Haldane H H H ππ↑↓φ=-/2⎛⎫

=

⎪φ=+⎝

⎭

(1.1.2)

⇓

()

()

()0

0Haldane haldane H k H K H K ↑

*↓

⎛⎫

=

⎪-⎝

⎭

(1.1.3)

其中（1.1.2）式由（1.1.1）式变换到动量空间得到，通过上述两个互为时间反演的Haldane 模型，我们可以得出

Kane-Mele 模型的整个系统时间反演不变的结论。

通过对上述哈密顿量的傅里叶变换及展开，Kane 和Mele 给出了石墨烯中量子自旋霍尔态的具体区域：SO V λλ->，其中V λ为

位能交错势。同时，计算霍尔电导发现，非磁性杂质并不影响量子霍尔自

旋态。