九年级数学(下)第三章圆垂径定理解析
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九年级数学(下)第三章 圆
3.3 垂径定理
阳山县青莲中学数学组
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等。
5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相 等。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的 两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并 且平分弦所对的另一条弧
C
弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓 A M└
B
高，如图线段CM是弓高
●O
圆心到弦的距离,叫弦心距。如图
D
线段OM是O到弦AB的弦心距。
赵州石拱桥
1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
2
2
E 根据勾股定理,得 OC2 CF 2 OF 2 ,即
F ●O
R2 3002 R 902 .
D 解这个方程, 得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
讨论 （2）
（3） （4） （1） （5）
垂径定理的应用
例1 :如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC. 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴
︵ AB=
︵ BC
D
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
∴ ∠︵AOD︵=∠BOD
∴ AD= BD︵ ︵
∴AM=BM, AB= BC,
︵︵ AD= BD
AB是⊙O的一条弦,且 AM=BM.
C
你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说
你的想法和理由.
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②④CA⌒DC=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
垂径定理
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
AB是⊙O的一条弦.作直径 CD,使CD⊥AB,垂足为M.
你能发现图中有哪些等量关
系?与同伴说说你的想法 和理由.
C
小明发现图中有:
A
B
M└
●O
由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
D 垂径定理
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂
C
直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.O
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
∴CD⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
A
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所D对
的两条弧
∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
∴ CD是直径， A⌒D＝B⌒D，AC⌒＝BC⌒
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条直径，并且 CD⊥AB，
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AD= BD
证明：连接OA,OB,则
A
M└
B
OA=OB.
●O
（2） （3）
（1） （4） （1） （5） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于
C
弦，并且平分弦所对的两条弧
A M└
B
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
●O
分弦所对的两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所
对的弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧。
C
A
B
M└
●O
∵CD是直径， CD⊥AB ,AB是弦
∴AM=BM，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
D
③ AM=BM
由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理的逆定理 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且
平∵分CD弦是所直对径的，另A一B是条弦弧，并且A⌒D＝BD⌒（A⌒C＝BC⌒） ∴ CD平分AB，A⌒C＝BC⌒（AD⌒＝BD⌒）CD ⊥AB
记忆
推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分
这条弦，并且平分弦
所对的两条弧。
A
C
.O E
B D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对 的两条弧
赵州石拱桥
解：如图，用 AB表示桥拱，AB所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 22
37.4 CC
C
A
N ●O
B
└
M
C└
D
F
A
B
●O
C
D
D
ຫໍສະໝຸດ Baidu
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm. 则点O到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦
AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？
为什么？
解：AC=BD 理由：过O作OE⊥AB于E，
则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
OD OC DC R 7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
AA
D
BB
OA 2 AD 2 OD2 ,
R
即R2 18.72 (R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）.
OO
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的
弧相等吗？为什么?
E
还有其他情况吗？
3.3 垂径定理
阳山县青莲中学数学组
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等。
5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相 等。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的 两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并 且平分弦所对的另一条弧
C
弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓 A M└
B
高，如图线段CM是弓高
●O
圆心到弦的距离,叫弦心距。如图
D
线段OM是O到弦AB的弦心距。
赵州石拱桥
1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
2
2
E 根据勾股定理,得 OC2 CF 2 OF 2 ,即
F ●O
R2 3002 R 902 .
D 解这个方程, 得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
讨论 （2）
（3） （4） （1） （5）
垂径定理的应用
例1 :如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC. 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴
︵ AB=
︵ BC
D
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
∴ ∠︵AOD︵=∠BOD
∴ AD= BD︵ ︵
∴AM=BM, AB= BC,
︵︵ AD= BD
AB是⊙O的一条弦,且 AM=BM.
C
你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说
你的想法和理由.
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②④CA⌒DC=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
垂径定理
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
AB是⊙O的一条弦.作直径 CD,使CD⊥AB,垂足为M.
你能发现图中有哪些等量关
系?与同伴说说你的想法 和理由.
C
小明发现图中有:
A
B
M└
●O
由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
D 垂径定理
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂
C
直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.O
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
∴CD⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
A
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所D对
的两条弧
∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
∴ CD是直径， A⌒D＝B⌒D，AC⌒＝BC⌒
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条直径，并且 CD⊥AB，
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AD= BD
证明：连接OA,OB,则
A
M└
B
OA=OB.
●O
（2） （3）
（1） （4） （1） （5） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于
C
弦，并且平分弦所对的两条弧
A M└
B
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
●O
分弦所对的两条弧
（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所
对的弦，并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧。
C
A
B
M└
●O
∵CD是直径， CD⊥AB ,AB是弦
∴AM=BM，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
D
③ AM=BM
由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理的逆定理 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且
平∵分CD弦是所直对径的，另A一B是条弦弧，并且A⌒D＝BD⌒（A⌒C＝BC⌒） ∴ CD平分AB，A⌒C＝BC⌒（AD⌒＝BD⌒）CD ⊥AB
记忆
推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分
这条弦，并且平分弦
所对的两条弧。
A
C
.O E
B D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对 的两条弧
赵州石拱桥
解：如图，用 AB表示桥拱，AB所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 22
37.4 CC
C
A
N ●O
B
└
M
C└
D
F
A
B
●O
C
D
D
ຫໍສະໝຸດ Baidu
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm. 则点O到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦
AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？
为什么？
解：AC=BD 理由：过O作OE⊥AB于E，
则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
OD OC DC R 7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
AA
D
BB
OA 2 AD 2 OD2 ,
R
即R2 18.72 (R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）.
OO
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的
弧相等吗？为什么?
E
还有其他情况吗？