秦充豪《热学》的课后习题答案
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n
第 n 次为
P ⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ P=⎜ =⎜ ⎟ P0 → ⎟ P0 ⎝ V + ∆V ⎠ ⎝ V + ∆V ⎠ P ⎞ ln ⎛ ⎜ 0 P⎟ ⎠ = ⎝
P ⎛ ∆V ⎞ ⎛ V + ∆V ⎞ ln ⎜1 + ⎟ ln ⎜ ⎟ V ⎠ ⎝ ⎝ V ⎠ ……（1） n = γ t （2）令 ，排气管中气体排除过程与抽气过程类似，但压强间断减低。当运转速度加快，亦可认为每次排气 n=
1.4.1
已知：
P0 = 0.102MPa = 1.02 × 10 5 Pa
P = 0.997 × 105 Pa ， h = 80mm ，气压计读数 P' = 0.978 ×10 5 Pa P '= ? 求： P' 对应的实际气压 0
解：以管内气体为研究对象
P1 = P0 − P = (1.02 − 0.997) ×10 5 Pa = 0.023 × 10 5 Pa V1 = hs = 80s P2 = P0 − P' = −0.978 ×10 5 + P0 ' V2 = (l − l '+ h )s =
t i = 0°C ， Pi = 0.0405MPa ； t s = 100°C ， Ps = 0.0553MPa γ = C ， t( p ) ∝ P ， t = a + bP ts − ti P − Pi × (P − Pi )摄氏 ×100°C Ps − Pi Ps − Pi 0.0101 − 0.0405 − 3.04 = × 100°C = ×100°C = −205.4°C 0.0553 − 0.0405 1.48 100°C t v = (P − Pi ) × Ps − Pi （2）由 t v = t i + k (P − Pi ) = t i + P = Pi + (Ps − Pi ) ×
n
n
Pt (V0 + υ ) = V0 Pn −1
⎛ V0 ⎞ ⎛ V0 ⎞ Pt = ⎜ ⎜V + υ ⎟ ⎟ Pn −1 = ⎜ ⎜ V +υ ⎟ ⎟ P0 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ，
ωt
⎛ V0 ⎞ Pt ⎛ V0 ⎞ ⎛ V0 ⎞ Pt ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =⎜ n = ln = ω t ln ⎟ ⎜ V +υ ⎟ ⎜V + υ ⎟ ⎟ P0 ⎜ V + υ P ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ， 0 ⎝ 0 ⎠ ⎛ 133 ⎞ Pt ln ⎜ ⎟ ln 1 P0 1 1 ln (1.317 ×10 −3 ) 101 × 10 3 ⎠ ⎝ t= = = ⋅ ω ln ⎛ V0 ⎞ 400 ⎛ 2 ⎞ 400 ln 2 − ln 2.05 ⎜ V +υ ⎟ ln ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 + 0.05 ⎠ = 0.67 分 = 40 s
……（2）
水沸点
28.887 = 2.626 11 1 + 444.67 A + 197731.41B = 2.6261 444.67 A + 197731.41B = 1.6261 1 + 444.67 A + (444.67) 2 B = 444.67 ×10 A + 444.67 × 10 B = 0.3861× 444.67 444.67 ×10 2 A + 444.67 × 10 4 B = 171.6871
−7 −2 答案： − 5.919 ×10 °C
lg R ' = a + b lg R ' T 1.3.4 已知： 求：当 R ' = 1000Ω 时， T = ?
3 解：令 X = lg R ' = lg 1000 = lg 10 = 3
a = −1.16, b = 0.675
T=
X 3 = = 3 ≈ 4.01K 2 (a + bX ) (− 1.16 + 0.675 × 3) 2
ln P0
∆V << 1 量很小， ∆V << V ，即 V ，由（1）式 γt P V ⎛ ∆V ⎞ ⎞ ln = −γt ln ⎜1 + P = P0 ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ V ⎠ ⎝ ⎝ V + ∆ V ⎠ 或 P0
按 ln (1 + x ) 幂级数展开式
……（2）
n 1 2 1 3 1 4 n +1 x ln (1 + x ) = x − x + x − x + ⋯ (− 1) +⋯ −1< x ≤1 2 3 4 n 2 ⎛ ∆V ⎞ ∆V 1 ⎛ ∆V ⎞ ln ⎜1 + − ⎜ ⎟= ⎟ V ⎠ V 2 ⎝ V ⎠ ……略去二阶无穷小之后的无穷小量 ⎝
t i = 0°C ，汽点 t s = 100°C ，题
' t i' = −0.3°C ， t s = 101.4°C ，题设的温度计在（ 1）标准温度为 t P = 66.9°C ，求示
t 'P = ?
（2）当示数为 t P = 34.7°C ，求标准温度 t P = ? 解：x 为测温物质的测温属性量
求：抽气经历的 t = ? 时间 解： n = 1
P1 (V0 + υ ) = V0 P0 ，
P1 =
υ0 ⋅P υ0 + υ 0
2
n=2
………
υ0 ⎛ υ0 ⎞ ⎜ ⎟ P2 = ⋅P 1 =⎜ ⎟ P0 υ0 + υ P2 (V0 + υ ) = V0 P ⎝ υ0 + υ ⎠ 1，
……… ………
普通物理学教程《热学》 （秦允豪编）
习题解答
第一章 导论
1.3.1 设一定容气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在 0.1013MPa 下的冰点及 0.1013MPa 下水的沸点时的压强分别为 0.0405MPa 和 0.0553MPa ，试问（1）当气体的压强为 0.0101MPa 时的待测温度是多少？（2）当温度计在沸腾的硫中 时（ 0.1013MPa 下的硫的沸点为 444.5） ，气体的压强是多少？ 解： （1）
充气罐
P0 = 1.25MPa ， V0 = 5.66 × 10 −2 m3 ；
（2）气球上升， t = 0°C (T = 273.15 K ) ， M = 12.8kg 。 求： （ 1）充气罐个数； （2）处，悬挂重物质量。 解： （ 1）设要 n 个气罐，则
V总 = 5.66 ×10 − 2 n (m3 ) ，在标准状态下，
= 94.255s
可 视 为
0.997 × 1.013 ×
T =C
P1V1 = P2V2 P0 ' = 0.998 ×10 5
1.4.2 已知：初 始体 积
0.023 ×10 5 80 s =
20 20 1 V0 = 2.0l ， P0 = 0.101MPa = 1.01 × 10 5 Pa ，每次抽 出气 体体 积 v = ω = 400 = 20 l ， n = ωt ， Pt = 133 Pa ， T = C 。
（答案） 67.7°C
=
3、（ 1）两曲线交汇处可认为
34.7 + 0.3 × (100 − 0 ) + 0 = 34.41 °C 101.4 + 0.3 t p = tp '
，代入（3）
（答案） 34.4°C
tp −0
100
=
t p + 0.3
101.4 + 0.3 101.7 ， 101.7t p = 100t p + 30 1.7t p = 30 ， t p = 17.65°C
w(t ) = 1 + At + Bt 2 ……（1） w(t ) =
代入（1）式 冰融熔点
R (t ) R 0 ， R 0 → 0°C ， R (t ) = 11.000Ω ； 15.247Ω ， 28.887Ω
1 + At + Bt 2 = 1 + A ⋅ 0°C + B ⋅ (0°C )2 = 100 A + 10000 B = 0.3861 11 =1 11
⎞ = ∆V ⎟ ⎠ V ……（3） P ∆V Ct ln = −γt ⋅ =− P0 V V （3）式代入（2）：
∆V ln ⎛ ⎜1 + V ⎝
(C = γ∆V )
P = P0 e
即：
−
Ct V
⎛ Ct ⎞ = P0 exp ⎜ − ⎟ ⎝ V ⎠
3 1.4.4 已 知 ： （ 1）被充氢气球 P = 1atm ， V = 566m ；
t 's − t i' 是等分的，故 t ( x ) ∝ x (是线性的)， t ' ( x ) ∝ x t p − ti x − xi = x s − xi ……（1） 对标准温度计 t s − t i
设
t 'p − t i'
非标准温度计
t s '− t i '
=
x − xi x s − xi ……（2）
P = 0.10325MPa ，且 T 不变
∴
5.66 × 10 −2 n × 1.25 = 5.66 + n × 5.66 × 10 −2 × 0.101325
(
)
n = 881.7个
（2）悬重
Mg = F − G = ρgV − G = M =
P0V0 µg − M 0 g RT0
P0 V0 1 × 566 × 10 3 × 29.8 ×10 −3 −G = − 12.8 = 753.04 − 12.8 RT 0 8.20 × 10 −2 × 273.15 = 740.27 kg 答案： 667.3kg
= 10.6286 × 10 4 Pa = 1.06 × 10 5 Pa N.m −2
k = tgα =
ts − ti Ps − Pi
(
)
tv 444.5C = 4.05 × 10 4 + 1.48 × 10 4 × 100°C 100°C
1.3.2 有一支液体温度计， 在0.1013MPa 下， 把它放在冰水混合物中的示数 t0＝－0.3℃； 在沸腾的水中的示数 t0＝ 101.4 ℃。试问放在真实温度为 66.9℃的沸腾的甲醇中的示数是多少？若用这支温度计测得乙醚沸点时的示数是为 34.7℃， 则乙醚沸点的真实温度是多少？在多大一个测量范围内，这支温度计的读数可认为是准确的（估读到 0.1℃） 分析：此题为温度计的校正问题。依题意：大气压为 0.1013Mpa 为标准大气压。冰点 设温度计为未经校证的温度计， 数温度
（2）两曲线对 B 上靠 0.1
=
t p + 0.3
x i 相同的点距离为 0.1°C 可视为准确
=
tp −0
t p − (− 0.3) − 0.1
，
100 101.7t p = 100t p + 20
，
101.4 + 0.3 101.7 1.7t p = 20 t p = 11 .76 ≈ 11.8°C 101.4 + 0.3 =
t p − ti
（1）、（ 2）两式得： t s − t i
=
t p '− t i ' t s '−t i ' ……（3）
t p '=
1、示数温度：
t p − ti t s − ti
× (t s '−t i ) + t i '
66.9 − 0 × (101.4 + 0.3) − 0.3 = 68.01°C 100 − 0 t p '−t i ' tp = × (t s − t i ) + t i t ' − t ' s i 2、真实温度 =
2 4
……（3）
解（2）
……（4） ……（5）
解（3） （5）—（4）
444.67 ×10 A + 1977.3141 ×10 B = 162.61 1532.6441× 10 B = −9.0771
4
2
4
B = −5.9225 × 10 −7 (°C −2 ) A = 3.920 ×10 −3 (°C −2 )
1.4.5 已知：如图所示。 求：开塞后，气体的压强。 分析： （ 1）连通管很细，可认为“绝热” （2）A、B 分置“大”热源与冷库可认为恒温 （3）设初态两边摩尔数为 υ1 、 υ 2 ，末态为 υ1 ' 、 υ 2 ' ，且 解： （ 1） P1V1 = υ 1 RT1
1.4.3
' 解： （ 1）活塞移动，体积膨胀至 VT = V + ∆V ，压强由 P0 降到 P1
由玻意耳定律 (T = C )
n =1 n=2
P0V = P1 (V + ∆V ) P1V = P2 (V + ∆V )
n
V P0 V + ∆V 2 V V ⎞ ⎛ P2 = P1 = ⎜ ⎟ P0 V + ∆V ⎝ V + ∆V ⎠ P1 =
=
t p + 0.2
tp −0
B 下靠 0.1 故 11.8°C ≤ t ≤ 23.5C 1.3.3
wenku.baidu.com
100
=
t p − (− 0.3) + 0.1
t p + 0.4
101.7 ， t p = 23.5°C
对铂 电 阻 温 度 计 ， 依 题 意 ： 在 13.803K ~ 961.78°C 温区 内 ， w(t ) 与 t 的关 系 是 不 变 的 即 ：
第 n 次为
P ⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ P=⎜ =⎜ ⎟ P0 → ⎟ P0 ⎝ V + ∆V ⎠ ⎝ V + ∆V ⎠ P ⎞ ln ⎛ ⎜ 0 P⎟ ⎠ = ⎝
P ⎛ ∆V ⎞ ⎛ V + ∆V ⎞ ln ⎜1 + ⎟ ln ⎜ ⎟ V ⎠ ⎝ ⎝ V ⎠ ……（1） n = γ t （2）令 ，排气管中气体排除过程与抽气过程类似，但压强间断减低。当运转速度加快，亦可认为每次排气 n=
1.4.1
已知：
P0 = 0.102MPa = 1.02 × 10 5 Pa
P = 0.997 × 105 Pa ， h = 80mm ，气压计读数 P' = 0.978 ×10 5 Pa P '= ? 求： P' 对应的实际气压 0
解：以管内气体为研究对象
P1 = P0 − P = (1.02 − 0.997) ×10 5 Pa = 0.023 × 10 5 Pa V1 = hs = 80s P2 = P0 − P' = −0.978 ×10 5 + P0 ' V2 = (l − l '+ h )s =
t i = 0°C ， Pi = 0.0405MPa ； t s = 100°C ， Ps = 0.0553MPa γ = C ， t( p ) ∝ P ， t = a + bP ts − ti P − Pi × (P − Pi )摄氏 ×100°C Ps − Pi Ps − Pi 0.0101 − 0.0405 − 3.04 = × 100°C = ×100°C = −205.4°C 0.0553 − 0.0405 1.48 100°C t v = (P − Pi ) × Ps − Pi （2）由 t v = t i + k (P − Pi ) = t i + P = Pi + (Ps − Pi ) ×
n
n
Pt (V0 + υ ) = V0 Pn −1
⎛ V0 ⎞ ⎛ V0 ⎞ Pt = ⎜ ⎜V + υ ⎟ ⎟ Pn −1 = ⎜ ⎜ V +υ ⎟ ⎟ P0 ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ，
ωt
⎛ V0 ⎞ Pt ⎛ V0 ⎞ ⎛ V0 ⎞ Pt ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =⎜ n = ln = ω t ln ⎟ ⎜ V +υ ⎟ ⎜V + υ ⎟ ⎟ P0 ⎜ V + υ P ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ， 0 ⎝ 0 ⎠ ⎛ 133 ⎞ Pt ln ⎜ ⎟ ln 1 P0 1 1 ln (1.317 ×10 −3 ) 101 × 10 3 ⎠ ⎝ t= = = ⋅ ω ln ⎛ V0 ⎞ 400 ⎛ 2 ⎞ 400 ln 2 − ln 2.05 ⎜ V +υ ⎟ ln ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 + 0.05 ⎠ = 0.67 分 = 40 s
……（2）
水沸点
28.887 = 2.626 11 1 + 444.67 A + 197731.41B = 2.6261 444.67 A + 197731.41B = 1.6261 1 + 444.67 A + (444.67) 2 B = 444.67 ×10 A + 444.67 × 10 B = 0.3861× 444.67 444.67 ×10 2 A + 444.67 × 10 4 B = 171.6871
−7 −2 答案： − 5.919 ×10 °C
lg R ' = a + b lg R ' T 1.3.4 已知： 求：当 R ' = 1000Ω 时， T = ?
3 解：令 X = lg R ' = lg 1000 = lg 10 = 3
a = −1.16, b = 0.675
T=
X 3 = = 3 ≈ 4.01K 2 (a + bX ) (− 1.16 + 0.675 × 3) 2
ln P0
∆V << 1 量很小， ∆V << V ，即 V ，由（1）式 γt P V ⎛ ∆V ⎞ ⎞ ln = −γt ln ⎜1 + P = P0 ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ V ⎠ ⎝ ⎝ V + ∆ V ⎠ 或 P0
按 ln (1 + x ) 幂级数展开式
……（2）
n 1 2 1 3 1 4 n +1 x ln (1 + x ) = x − x + x − x + ⋯ (− 1) +⋯ −1< x ≤1 2 3 4 n 2 ⎛ ∆V ⎞ ∆V 1 ⎛ ∆V ⎞ ln ⎜1 + − ⎜ ⎟= ⎟ V ⎠ V 2 ⎝ V ⎠ ……略去二阶无穷小之后的无穷小量 ⎝
t i = 0°C ，汽点 t s = 100°C ，题
' t i' = −0.3°C ， t s = 101.4°C ，题设的温度计在（ 1）标准温度为 t P = 66.9°C ，求示
t 'P = ?
（2）当示数为 t P = 34.7°C ，求标准温度 t P = ? 解：x 为测温物质的测温属性量
求：抽气经历的 t = ? 时间 解： n = 1
P1 (V0 + υ ) = V0 P0 ，
P1 =
υ0 ⋅P υ0 + υ 0
2
n=2
………
υ0 ⎛ υ0 ⎞ ⎜ ⎟ P2 = ⋅P 1 =⎜ ⎟ P0 υ0 + υ P2 (V0 + υ ) = V0 P ⎝ υ0 + υ ⎠ 1，
……… ………
普通物理学教程《热学》 （秦允豪编）
习题解答
第一章 导论
1.3.1 设一定容气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在 0.1013MPa 下的冰点及 0.1013MPa 下水的沸点时的压强分别为 0.0405MPa 和 0.0553MPa ，试问（1）当气体的压强为 0.0101MPa 时的待测温度是多少？（2）当温度计在沸腾的硫中 时（ 0.1013MPa 下的硫的沸点为 444.5） ，气体的压强是多少？ 解： （1）
充气罐
P0 = 1.25MPa ， V0 = 5.66 × 10 −2 m3 ；
（2）气球上升， t = 0°C (T = 273.15 K ) ， M = 12.8kg 。 求： （ 1）充气罐个数； （2）处，悬挂重物质量。 解： （ 1）设要 n 个气罐，则
V总 = 5.66 ×10 − 2 n (m3 ) ，在标准状态下，
= 94.255s
可 视 为
0.997 × 1.013 ×
T =C
P1V1 = P2V2 P0 ' = 0.998 ×10 5
1.4.2 已知：初 始体 积
0.023 ×10 5 80 s =
20 20 1 V0 = 2.0l ， P0 = 0.101MPa = 1.01 × 10 5 Pa ，每次抽 出气 体体 积 v = ω = 400 = 20 l ， n = ωt ， Pt = 133 Pa ， T = C 。
（答案） 67.7°C
=
3、（ 1）两曲线交汇处可认为
34.7 + 0.3 × (100 − 0 ) + 0 = 34.41 °C 101.4 + 0.3 t p = tp '
，代入（3）
（答案） 34.4°C
tp −0
100
=
t p + 0.3
101.4 + 0.3 101.7 ， 101.7t p = 100t p + 30 1.7t p = 30 ， t p = 17.65°C
w(t ) = 1 + At + Bt 2 ……（1） w(t ) =
代入（1）式 冰融熔点
R (t ) R 0 ， R 0 → 0°C ， R (t ) = 11.000Ω ； 15.247Ω ， 28.887Ω
1 + At + Bt 2 = 1 + A ⋅ 0°C + B ⋅ (0°C )2 = 100 A + 10000 B = 0.3861 11 =1 11
⎞ = ∆V ⎟ ⎠ V ……（3） P ∆V Ct ln = −γt ⋅ =− P0 V V （3）式代入（2）：
∆V ln ⎛ ⎜1 + V ⎝
(C = γ∆V )
P = P0 e
即：
−
Ct V
⎛ Ct ⎞ = P0 exp ⎜ − ⎟ ⎝ V ⎠
3 1.4.4 已 知 ： （ 1）被充氢气球 P = 1atm ， V = 566m ；
t 's − t i' 是等分的，故 t ( x ) ∝ x (是线性的)， t ' ( x ) ∝ x t p − ti x − xi = x s − xi ……（1） 对标准温度计 t s − t i
设
t 'p − t i'
非标准温度计
t s '− t i '
=
x − xi x s − xi ……（2）
P = 0.10325MPa ，且 T 不变
∴
5.66 × 10 −2 n × 1.25 = 5.66 + n × 5.66 × 10 −2 × 0.101325
(
)
n = 881.7个
（2）悬重
Mg = F − G = ρgV − G = M =
P0V0 µg − M 0 g RT0
P0 V0 1 × 566 × 10 3 × 29.8 ×10 −3 −G = − 12.8 = 753.04 − 12.8 RT 0 8.20 × 10 −2 × 273.15 = 740.27 kg 答案： 667.3kg
= 10.6286 × 10 4 Pa = 1.06 × 10 5 Pa N.m −2
k = tgα =
ts − ti Ps − Pi
(
)
tv 444.5C = 4.05 × 10 4 + 1.48 × 10 4 × 100°C 100°C
1.3.2 有一支液体温度计， 在0.1013MPa 下， 把它放在冰水混合物中的示数 t0＝－0.3℃； 在沸腾的水中的示数 t0＝ 101.4 ℃。试问放在真实温度为 66.9℃的沸腾的甲醇中的示数是多少？若用这支温度计测得乙醚沸点时的示数是为 34.7℃， 则乙醚沸点的真实温度是多少？在多大一个测量范围内，这支温度计的读数可认为是准确的（估读到 0.1℃） 分析：此题为温度计的校正问题。依题意：大气压为 0.1013Mpa 为标准大气压。冰点 设温度计为未经校证的温度计， 数温度
（2）两曲线对 B 上靠 0.1
=
t p + 0.3
x i 相同的点距离为 0.1°C 可视为准确
=
tp −0
t p − (− 0.3) − 0.1
，
100 101.7t p = 100t p + 20
，
101.4 + 0.3 101.7 1.7t p = 20 t p = 11 .76 ≈ 11.8°C 101.4 + 0.3 =
t p − ti
（1）、（ 2）两式得： t s − t i
=
t p '− t i ' t s '−t i ' ……（3）
t p '=
1、示数温度：
t p − ti t s − ti
× (t s '−t i ) + t i '
66.9 − 0 × (101.4 + 0.3) − 0.3 = 68.01°C 100 − 0 t p '−t i ' tp = × (t s − t i ) + t i t ' − t ' s i 2、真实温度 =
2 4
……（3）
解（2）
……（4） ……（5）
解（3） （5）—（4）
444.67 ×10 A + 1977.3141 ×10 B = 162.61 1532.6441× 10 B = −9.0771
4
2
4
B = −5.9225 × 10 −7 (°C −2 ) A = 3.920 ×10 −3 (°C −2 )
1.4.5 已知：如图所示。 求：开塞后，气体的压强。 分析： （ 1）连通管很细，可认为“绝热” （2）A、B 分置“大”热源与冷库可认为恒温 （3）设初态两边摩尔数为 υ1 、 υ 2 ，末态为 υ1 ' 、 υ 2 ' ，且 解： （ 1） P1V1 = υ 1 RT1
1.4.3
' 解： （ 1）活塞移动，体积膨胀至 VT = V + ∆V ，压强由 P0 降到 P1
由玻意耳定律 (T = C )
n =1 n=2
P0V = P1 (V + ∆V ) P1V = P2 (V + ∆V )
n
V P0 V + ∆V 2 V V ⎞ ⎛ P2 = P1 = ⎜ ⎟ P0 V + ∆V ⎝ V + ∆V ⎠ P1 =
=
t p + 0.2
tp −0
B 下靠 0.1 故 11.8°C ≤ t ≤ 23.5C 1.3.3
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100
=
t p − (− 0.3) + 0.1
t p + 0.4
101.7 ， t p = 23.5°C
对铂 电 阻 温 度 计 ， 依 题 意 ： 在 13.803K ~ 961.78°C 温区 内 ， w(t ) 与 t 的关 系 是 不 变 的 即 ：