倍角公式与半角公式习题(绝对物超所值)
3.1.3 倍角半角公式
3．2倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式预习时间： 年 月 日以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；1、首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），2、公式推导： （1）()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；（2）()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；=_____________________________________=____________________________________思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．(3)()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值．例3、若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )A ．917 B ． C ． D ．317例4、已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247B ．247-C ．724 D ．724-2、已知sin cos223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。
倍角与半角公式
１§倍角與半角公式(1)θθθs co n si n si 22=(2)1221222-=-=-=θθθθθcos sin sin cos cos 22(3)θθθ2tan 1tan 22tan -= 2.三倍角公式：(1)θθθ3433sin sin sin -= (2)θθθcos cos cos 3343-= (3)θθθθ341)60()60(sin sin sin sin =+︒-︒ (4)θθθθ341)60()60(cos cos cos cos =+︒-︒ (5)θθθθ3)60()60(tan tan tan tan =+︒-︒※θθθθ23tan 31tan tan 33tan --=※【函數值的正負由θθ32,所在象限與函數定義判別之】 ※轉換公式：(1)θθθ2122tan tan sin +=，θθθ2112tan tan cos 2+-=(2)2212θθcos sin -=，2212θθcos cos +=(3)43sin sin 3sin 3θθθ-=。
43cos cos 3cos 3θθθ+=(4)22cos 12cos 2sin 2sin θθθθ-==；)(22cos 1cos ±+=θθ２1.設πθ<<2，sin 52=θ，則(1) sin2θ = 。
(2) cos2θ = 。
【解答】(1) -54(2)53 【詳解】πθπ<<2，sin θ =52 ⇒ cos θ =51-(1) sin 2θ = 2sin θ cos θ = 2．52．(51-) = -54(2) cos2θ = 1 - 2sin 2θ = 1 - 2．(52)2 = -532.設πθπ223<<，sin θ + cos θ =51，則(1) sin2θ = 。
(2) sin θ - cos θ = 。
【解答】(1) -2524 (2) -57【詳解】(1) sin θ + cos θ =51 ⇒ sin 2θ + 2sin θ cos θ + cos 2θ =251 ⇒ 1 + sin2θ =251 ⇒ sin2θ = -2524 (2) (sin θ - cos θ)2 = sin 2θ - 2sin θ cos θ + cos 2θ = 1 - (-2524) =2549⇒ sin θ - cos θ = ±57∵23π< θ < 2π ∴ sin θ < cos θ 故sin θ - cos θ = -573.設sin θ + cos θ =51，0 < θ < π，則(1) sin2θ = 。
高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式例题与探究
教学资料范本高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式例题与探究编辑：__________________时间：__________________3.2 倍角公式和半角公式典题精讲例1 求下列各式的值：(1)cos 12πcos 125π；(2)(cos -sin)(cos+sin)；(3)-cos 2；(4)-+cos 215°.思路分析:本题考查倍角公式的变形及应用.(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；(3)中提取系数后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数. 解:(1)cos cos =cos sin =×2cossin=sin =；(2)(cos -sin )(cos +sin )=cos 2-sin 2=cos=；(3)-cos 2=-(2cos 2-1)=-cos=-；(4)-+cos 215°=(2cos 215°-1)=cos30°=.绿色通道:根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征. 变式训练1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思路分析:由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的. 解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=====.解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°， N=cos10°cos30°cos50°cos70°，则MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50° cos50°)(sin70° cos70°)=sin20° sin60° sin100° sin140°=cos10° cos30° cos50° cos70° =N，∴M=，即sin10° sin30° sin50° sin70°=.例2(20xx江苏高考卷，10)若sin(-α)=，则cos(+2α)等于( )A.-B.-C.D.思路解析:本题考查三角函数的恒等变换以及运算能力.观察发现+2α=2(+α)，而(+α)+(-α)=，则cos(+α)=sin(-α)，cos(+2α)=2cos2(+α)-1=2sin2(-α)-1=-.答案:A绿色通道:通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累.变式训练1 已知sin(+α)sin(-α)=，且α∈(，π)，求sin4α的值.思路分析:发现+α与-α的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.解:∵(+α)+(-α)=，∴sin(-α)=cos(+α).∵sin(+α)sin(-α)= ，∴2sin(+α)cos(+α)=.∴sin(+2α)=.∴cos2α=.又∵α∈(，π)，∴2α∈(π，2π).∴sin2α=-=-.∴sin4α=2sin2αcos2α=-.变式训练2 设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于( )A.-B.-C.-D.-思路解析:显然是的一半，可以直接应用公式.∵5π＜θ＜6π，∴＜＜3π，＜＜.∴sin=-=-.答案:D例3(20xx全国高考卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是( )A.2πB.4πC.D.思路解析:考查三角函数的周期性.将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式.y=sin2xcos2x=sin4x，则T==.答案:D绿色通道:讨论三角函数的周期性时，先化简解析式再求周期.化简的手段是：利用和差、倍角、半角等三角公式.化简的结果是：将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用公式T=得周期.变式训练(20xx陕西高考卷，理17)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.思路分析:将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论周期和最值.解:(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2［sin2(x-)-cos2(x-)］+1=2sin［2(x-)-］+1=2sin(2x-)+1，∴T==π.(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+(k∈Z).∴x=kπ+，即使函数f(x)取得最大值的x的集合为{x∈R|x=kπ+(k∈Z)}.问题探究问题1 试用tan表示sinα,cosα,tanα.导思:看到α和，联想到α=2()，因此从二倍角公式的角度来探讨.探究:可以由倍角公式直接获得tanα=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再将分子、分母同除以cos2可得：sinα=2sin cos==，cosα=cos2-sin2==.用tan来表示sinα、cosα和tanα的关系式如下：sinα=，cosα=，tanα=.这三个公式统称为“万能公式”.其优点是用正切函数来求二倍角的三角函数值会特别方便，也为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁.如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan或tan的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.所谓的“万能”是指：不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan的有理式.这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”，即如果令tan=t，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途径.例1：求tan15°+cot15°的值.解法一：tan15°=tan(45°-30°)===2-，∴tan15°+cot15°=2-+=4.解法二：tan15°+cot15°=+===4.很明显解法二比解法一较方便地解决了问题，体现了万能公式的“万能”之处，值得我们借鉴.例2:求函数y=的值域.思路分析:先利用换元法，再利用判别式法求函数的值域.解:令tan=t，则t∈R，利用万能公式有sinx=，cosx=，∴y==(t∈R).整理得(2y+1)t2+2yt+2y-1=0.当2y+1=0即y=-时，t=-1∈R.∴y=-符合题意.当2y+1≠0即y≠-时，关于t的一元二次方程(2y+1)t2+2yt+2y-1=0必有实数根.∴Δ=4y2-4(2y+1)(2y-1)≥0.解得-≤y≤，即此时-≤y≤且y≠-.综上所得函数的值域是{y|-≤y≤}.例3：(20xx江西高考卷，文2 已知)tan=3,则cosα等于( )A. B.- C. D.-思路解析:cosα===-.答案:B问题2(1)观察代数式x2+y2=1，联想sin2α+cos2α=1，你发现了什么结论？(2)利用(1)解答下面的问题：已知实数x,y满足x2+y2=1，求xy的最大值和最小值.导思:如果两个实数的平方和等于1，那么这两个实数恰好是同一个角的正弦值和余弦值.探究:(1)可得结论：当实数x,y满足x2+y2=1时，可换元为x=cosα,y=sinα.(2)设x=cosα,y=sinα,α∈R，则有xy=sinαcosα=sin2α.∵α∈R，∴-1≤sin2α≤1.∴xy的最大值是，xy的最小值是-.这种求最值的方法称为三角代换法.在高考中经常用到，我们要逐步学会应用.例如：(20xx重庆高考卷，文14)若x2+y2=4,则x-y的最大值是____________________.思路解析:三角代换法.∵x2+y2=4,∴()2+()2=1.∴可设=cosα,=sinα(α∈R)，即x=2cosα,y=2sinα,∴x-y=2cosα-2sinα=sin(-α).∴x-y的最大值是.答案:。
倍角半角万能公式习题
α
1 = sin 2α . α α 4 cot − tan 2 2 sin 2 x + cos 2 x 2 π 1 =− cos 4 x + + . tan x + cot x 4 4 4
cos 2 α
5.证明
6.证明 sin x 1 + taan x . 2
8.求 sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 .
o o o o
9.化简： 1 + cos A + 1 − cos A A ∈ ( 0, π ) . 10.化简： 1 + sin A + 1 − sin A A ∈ ( 0, π ) .
(
)
(
)
11.化简
1 1 1 1 3 + + cos 2α − 1 − sin α ， α ∈ π , π . 2 2 2 2 2
提高题 1.设 0 < α < π ， sin α + cos α =
1 ，则 cos 2α = 2
. .
2.设 π < θ < π ， sin 2θ = a ，则 sin θ + cos θ = 3.已知 sin α + cos α =
3 4
2 π < α < π ，求 3 2
cos 2 x π π 5 . ，且 sin − x = ，求 π 4 4 13 cos + x 4
10.已知 x ∈ 0,
11．已知 cos(α +
π
3 π 3π π ) = , ≤α ≤ ，求 cos(2α + ) . 4 5 2 2 4
倍角公式与半角公式习题(绝对物超所值)
倍角公式与半角公式习题(绝对物超所值)13．已知),0(πα∈，且1sin cos 2αα+=，则α2cos 的值为（ ） A ．47±B ．47 C ．47-D ．43- 14．已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x 的解析式；（2）若1()23f απ=，求2cos()3πα-的值． 15．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 ．16．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 ．17．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ． 18．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ． 19．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________．20．设)cos()(cos 223)2sin()2(sin cos 2)(223θθπθπθπθθ-+++-++-+=f ，求)3(πf 的值。
21．①存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ；②存在区间(,)a b 使x y cos =为减函数而sin 0x <；③xy tan =在其定义域内为增函数；④)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数；⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π， 以上命题错误的为____________。
22．在△ABC 中，若sin （A+B-C ）=sin （A-B+C ），则△ABC 必是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰或直角三角形 （D ）等腰直角三角形23．x y 2sin 2=的值域是（ ）A ．[－2，2]B ．[0，2]C ．[－2，0]D ．R 24．已知θsin 是方程06752=--x x 的根，且θ是第三象限角，求)2sin()2cos()(tan )23cos()23sin(2θπθπθπθππθ+-----的值。
4.5和角公式、倍角公式与半角公式
1.和角公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， (C α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， (C α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， (S α－β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β， (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (T α＋β)2.倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3.半角公式2cos α＝±1＋cos α2，(C 2α) sin 2α＝±1－cos α2，(S 2α) tan 2α＝±1－cos α1＋cos α.(T 2α)(根号前的正负号，由角α2所在象限确定)4.公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( × ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( √ )1.已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.118 B.1718 C.89 D.29答案 B解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2 ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718，故选B.2.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A.－34B.34C.－43D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.3.(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17B.16C.57D.56 答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.4.(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5.设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 .答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3， ∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案 (1)－75(2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α， ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )A.35 B.45 C.－35D.－45(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( )A.－233B.±233C.－1D.±1答案 (1)A (2)C解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12D.32(2)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 (1)B (2)C解析 (1)原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)] ＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝ sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为( )A.2B.3C.2＋ 3D.2－ 3答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 .答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β). 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等. 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.6.三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 . (2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误.(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角. 解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712.答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错.[方法与技巧] 1.巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. [失误与防范]1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A.－32 B.22 C.12D.1 答案 C解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.2.若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3.若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ等于( )A. 3B.－ 3C.33D.－33答案 A 解析sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.4.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A.－53B.－59C.59 D.53答案 A解析 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13， ∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝153. ∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53. 5.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8.函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值为 . 答案 1－32解析 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， ∴f (x )的最大值为1－32. 9.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值. 解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3 ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值. 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A.－255B.－3510C.－31010D.255答案 A 解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3 答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14.设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.15.已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2. (1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间；(2)已知角α满足α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1，求f (α)的值.解 f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2 ＝sin x 2cos x 2＝12sin x . (1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，0. (2)2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒sin 2α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4， ∴f (α)＝12sin π4＝24.。
三角函数的半角与二倍角公式练习题
三角函数的半角与二倍角公式练习题1. 计算以下三角函数的半角与二倍角值：a) sin(π/4)b) sin(π/8)c) cos(π/3)d) cos(π/6)e) tan(π/12)解析：a) 对于sin(π/4)，我们可以利用半角公式来计算。
根据半角公式sin(π/2)=√[1-cos(π/2)],我们可以将π/4表示为π/8*2，然后代入公式计算得到：sin(π/4)=√[1-cos(π/8)]b) 同理，对于sin(π/8)，我们可以利用半角公式来计算。
c) 对于cos(π/3)，我们可以利用二倍角公式来计算。
根据二倍角公式cos(2*π/3)=2cos²(π/3)-1，我们可以将π/3表示为2*π/6，然后代入公式计算得到：cos(π/3)=2cos²(π/6)-1d) 同理，对于cos(π/6)，我们可以利用二倍角公式来计算。
e) 对于tan(π/12)，我们可以利用半角公式来计算。
2. 计算以下三角函数的半角与二倍角值：a) sin(3π/4)b) sin(5π/8)c) cos(2π/3)d) cos(π/4)e) tan(5π/12)解析：a) 对于sin(3π/4)，我们可以利用半角公式来计算。
b) 同理，对于sin(5π/8)，我们可以利用半角公式来计算。
c) 对于cos(2π/3)，我们可以利用二倍角公式来计算。
d) 同理，对于cos(π/4)，我们可以利用二倍角公式来计算。
e) 对于tan(5π/12)，我们可以利用半角公式来计算。
3. 计算以下三角函数的半角与二倍角值：a) sin(7π/4)b) sin(11π/8)c) cos(5π/6)d) cos(5π/4)e) tan(7π/12)解析：a) 对于sin(7π/4)，我们可以利用半角公式来计算。
b) 同理，对于sin(11π/8)，我们可以利用半角公式来计算。
c) 对于cos(5π/6)，我们可以利用二倍角公式来计算。
倍角公式和半角公式有哪些
倍角公式和半角公式有哪些你们知道倍角公式和半角公式有哪些吗?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。
下面是由小编小编为大家整理的“倍角公式和半角公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
1.三角函数二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα;正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α));余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)。
2.三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α);cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α);tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)。
3.三角函数半角公式①正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2);sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)。
②余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2);cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)。
③正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA));tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))。
1.按照计算的一般顺序进行首先，弄清题意，看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求;其次，观察题目特点，看看几步运算，有无简便算法;再次，确定运算顺序。
在此基础上利用有关法则、定律进行计算;最后，要仔细检查，看有无错抄、漏抄、算错现象。
2.解题模型第一步，观察已知与未知是否为同一个角，若相同，则利用同角的基本关系求解，若不同则进行第二步。
第二步，观察已知与未知是否为同倍角，若相同，则求两角的和差为特殊值，利用已知角表示未知角化为同角问题，进行第一步，若不同则进行第三步。
第三步，因为已知与未知不是同倍角。
所以可将低倍角平分再降次升高角的倍数，或者展开高倍角降低角的倍数，角同倍数后进行第二步。
3.函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想。
倍角公式和半角公式
0 , ,
2
2
［f ()］2 2 4si…n2… …2… 0…. ……………………12分
4
1.(2011·大纲版全国卷)已知α∈( ,π)，sinα= 5,则
2
5
tan2α=________.
【解析】由α∈( ,π),sinα= ，得c5osα=-
2
5
tan
sin cos
1 2
sin
1 cos
2 1 cos
sin
1、左 右 2、左二次降到右一次
3、公式本2质用角的余弦表示角 的点击三进角入相函应数模块
2
(3)用
sinα，cosα
表示
α tan2.
tanα2＝__1_＋_s_in_c_oα_s_α_＝__1_－_s_inc_oα_s_α_.
3．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明．
（只含 cos ）
（只含 sin ）
点击进入相应模块
复习回顾:
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2cos2 1
1 2sin2
tan
2
2 tan 1 tan2
R,
k
,
k
+
点击进入相应模块
(k Z)
2
24
降幂扩角公式：
cos2 1 cos 2
4
4
4
…………………………………………………………………3分
∴f(x)的最小正周期T=2π，f(x)的最小值为-2.
…………………………………………………………………5分
(2)由已知得 coscos sinsin 4 ,
高二数学倍角公式和半角公式(2018-2019)
6
>
8
的解集.
a Î [0,1]
(k p, k p + p )(k ? Z ) 3
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店
；
军食尽 御皆降 诸文武在位皆进爵班赏 是时天下初复 与休宠臣左将军张布共相表里 固取危亡之道也 翰采足用 虽云师老 天下有获虚誉而无其实者 无所展巧 爰及於恪 令曰 而司士辨其位焉 并怀扰扰 使役乏少 韩国优惠卷 权征羽 总州之学者 速闻圣听 齐长公主 月馀拔之 优惠卷 非君规略 法汉孝文出惠帝美人 燮又诱导益州豪姓雍闿等 而闻怒锜 吾时啁之曰 夫大人者 及被书当还 交关阉竖 寄治郡下 没世无闻 与结婚以安之 与敌追军战於高亭 韩国免税店 优惠卷 飞壮而释之 然曜竟止不入 绍於是渡河追公军 诸夷阻兵 曾祖父安 将军石建 甚得羌 天下之重 然今与古 拊其背曰 因过诣莹 旅游 天下未宁 饰以珠玉 周人刑错而不用 夫皇天无亲 韩国自由行 权则改虞於彼 谡依阻南山 卒官 非战攻之失 丙寅 祸害在速 归功天地 增邑五百户 初 宣王奇之 倒屣迎之 南阳人也 韩国 韩国自由行 是以唐 晓蚕桑 与綝分省文书 及平原侯植皆好文学 汉之卫 非天地所覆载 易 其率狼路 今民难化 迷而不返也 允转桂林太守 运船自辽口径至城下 免税店 令发兵自助 臣前以州郡典兵 彰与诸侯就国 学问开益 桓出 使将兵诣徐州 使君之肺腑 此赵盾所以书弑君也 易著劓 文帝即王位 以备不虞 考之尚书 卿但当勉建方略 遣谒者仆射裴茂率关西诸将诛傕 韩国旅游攻略 鲂 以千载徼幸 帝乃诏招 为之宫舍 太祖令曰 布东奔刘备 乃论荆州服从之功 旅游攻略 以恪为帝太傅 至少帝时 卒与虏遇 韩国 妻田氏为宣阳乡君 时適二月社 犹曰好察迩言 普见书 当时见者莫不叹息 夫天德之於万物 封爵增位各有差 犹不相堪 及渊谋逆 令居恶虏在石头山之西 曹休率
半角公式练习
1、已知α是第三象限的角，sin4α+cos4α=,求sni2α,cos2α,tg2α的值解：∵(2k+1)π＜α＜2kπ+ (k∈z)∴4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π (k∈z)又∵sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α∴1-sin22α=∴sin22α=∴sin2α=∴cos2α=∴tg2α=2、求sin10°sin50°sin70°的值解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=cos40°cos80°=cos80°==3、求函数y=cos4x-sin4x的最小正周期解：y=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x∴周期T=π4、求值①已知sin-cos=-,450°＜θ＜540° 求tg的值②已知7cos2α+5sin2α=5 求tgα的值③已知=求cosθ的值④已知=-5 求3cos2θ+4sin2θ的值解①：∵sin-cos=-两边平方∴1-2sin cos=∴sinθ=∵450°＜θ＜540°∴cosθ=- =-∴tg==又112.5°＜＜135°∴tg==又tg＜0∴tg=②由万能公式及已知有7×+5×=5即7-7tg2α+10tgα=5+5tg2α即6tg2α-5tgα-1=0∴tgα=-或1③ctg===== (等比定理)∴tg=2∴cosθ==-④解由万能公式：3cos2θ+4sin2θ=+又==-5∴tgθ=2∴3cos2θ+sin2θ==5、若tg2α=2tg2β+1 求证 cos2α+sin2β=0证明：∵tg2α=2tg2β+1∴1+tg2α=2(1+tg2β)∴sec2α=2sec2β∴=∴cos2β=2cos2α∴1-cos2β=1-2cos2α∴sin2β=-cos2α∴cos2α+sin2β=0[自我检测]1、如果函数y=sinωxcosωx的最小正周期是4π,那么正实数ω的值等于（）A、4B、2C、D、2、的值是（）A、sin2B、-cos2C、cos2D、-cos23、已知sin= cos=-则角α在第（）象限A、一B、二C、三D、四4、若＜α＜2π则等于（）A、cosB、-sinC、-cosD、sin5、化简得（）A、tg2αB、ctg2αC、tgαD、ctgα6、如果|cosθ|=,＜θ＜3π，则sin的值（）A、-B、C、-D、7、X∈[，π]且sinxcosx=-，则tg等于（）A、1+B、-1C、1±D、-18、化简得（）A、ctgB、ctg(-)C、tgD、tg(-)9、已知2sin θ=1+cos θ则ctg 的值为（ ）A 、2B 、C 、或0D 、2或010、已知sin(θ-)= 则等于（ ）A 、B 、±C 、D 、±[参考答案]1、D2、D3、C4、C5、B6、C7、A8、B9、D 10、B§倍角与半角公式(1)θθθs co n si n si 22=(2)1221222-=-=-=θθθθθcos sin sin cos cos 22(3)θθθ2tan 1tan 22tan -=2.三倍角公式：(1)θθθ3433sin sin sin -= (2)θθθcos cos cos 3343-=(3)θθθθ341)60()60(sin sin sin sin =+︒-︒ (4)θθθθ341)60()60(cos cos cos cos =+︒-︒(5)θθθθ3)60()60(tan tan tan tan =+︒-︒※θθθθ23tan 31tan tan 33tan --=※【函数值的正负由θθ32,所在象限与函数定义判别之】 ※转换公式：(1)θθθ2122tan tan sin +=，θθθ2112tan tan cos 2+-= (2)2212θθcos sin -=，2212θθcos cos += (3)43sin sin 3sin 3θθθ-=。
倍角公式和半角公式-拔高难度-习题
（Байду номын сангаас）设中点 到射线 ， 的距离分别为 ， ，
则
那么 ，
所以中点 到两射线的距离积为定值．
22.（1）因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2）
因为
所以 ．
17.
【解析】由 得 ，
化简整理得 ，
解得 ，所以
第三部分
18.（1）由题意，得
则
解得
因此，函数 的定义域为
（2）
由 ，得
所以，
19.（1）由 得 ，即 ．
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
20.（1）因为
所以 的最小正周期为 ．
倍角公式和半角公式
一、选择题（共12小题；共60分）
1.已知 ，则
A. B. C. D.
2.若 ， ，则
A. B. C. D.
3.若 ，则 的值为
A. B. C. D.
4.已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 的值为
A. B. C. D.
5.若 ，则 的值为
A. B. C. D.
6.已知 ， ，则 的值为
③中可得 ，故可判断函数 是周期为 的周期函数，故此项正确．
第二部分
13.
【解析】
14.
【解析】
15.
【解析】 ．
16.
【解析】题目中涉及三种不同的角： ， ， ，选择哪一种角为目标最合适?一般是按照中间集中的原则．这样， 是必然的选择，因为 ， ．然后，再恰当、合理地选择三角公式进行恒等变形，目的就容易达到了．
5. A
高中数学3.2倍角公式和半角公式同步训练新人教B版必修130
学 习 资 料 汇编3.2 倍角公式和半角公式知识点一：倍角公式 1.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于 A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.122．log 2(sin15°cos15°)的值为A ．－1B .12 C ．2 D ．－23．(2010全国高考Ⅱ，文3)已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于A ．－53 B ．－19C.19D.53 4．若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α＝__________. 5.tan π121－tan2π12＝__________.6．(2010全国高考Ⅰ，文14)已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan2α＝__________.7．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．知识点二：半角公式8．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2等于A.105 B ．－105 C.155 D ．－1559．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为A.335 B.45C ．±35D ．±4710．已知sin θ＝35，5π2<θ<3π，那么tan θ2＋cos θ2的值为__________．11．(2010全国高考Ⅱ，理13)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.12．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α，β均为锐角，求cos β2的值．能力点一：利用倍角、半角公式求值、化简 13．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为A.103 B.53 C.23D ．－2 14.1＋cos100°－1－cos100°等于 A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．－2sin5° D ．2sin5°15．函数y ＝2cos 2x 的一个单调递增区间是 A ．(－π4，π4) B ．(0，π2)C ．(π4，3π4)D ．(π2，π)16．化简1＋sin8θ－cos8θ1＋sin8θ＋cos8θ等于A ．tan2θB ．cot4θC ．tan4θD ．cot2θ17．已知α为锐角，且sin αcos α＝12，则11＋sin α＋11＋cos α＝__________.18．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π2，求2cos 2α2－sin α－12π4＋α的值．能力点二：倍角公式及半角公式的综合应用 19.已知x∈(－π2，0)，cosx ＝45，则tan2x 等于A.724 B ．－724 C.427 D ．－24720．cos π17·cos 2π17·cos 4π17·cos 8π17的值为__________．21．已知函数f(x)＝2cosx(sinx －cosx)＋1，x∈R .(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．22．(2010天津高考，理17)已知函数f(x)＝23sinxcosx ＋2cos 2x －1(x∈R )．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．23.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 前进30 m 至C 点，测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进10 3 m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．答案与解析1．B2．D 原式＝log 2(12sin30°)＝log 214＝－2.3．B cos(π－2α)＝－cos2α ＝－(1－2sin 2α) ＝－(1－2×49)＝－19.4.12 ∵cos2α＝cos 2α－sin 2α，sin(α－π4)＝22(sin α－cos α)， ∴cos2αα－π4＝cos 2α－sin 2α－22α－sin α＝cos α＋sin α－22＝－22. ∴cos α＋sin α＝12.5.36 原式＝12×2tanπ121－tan2π12＝12tan π6＝36. 6．－247 ∵α为第二象限角，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－341－－342＝－247.7．解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cosx ＝2sinxcosx＝sin2x ，∴函数f(x)的最小正周期为π. (2)由－π6≤x≤π2，得－π3≤2x≤π.∴－32≤sin2x≤1， 即f(x)的最大值为1，最小值为－32. 8．D ∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2，∴sin θ＝－1－cos θ2＝－155. 9．C ∵sin(π－θ)＝2425，∴sin θ＝2425，θ为第二象限角．∴cos θ＝－725.θ2为第一、三象限的角，∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝±35. 10．3－1010 cos θ＝－45，sin θ2＝－1－cos θ2＝－31010，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1010，∴tan θ2＝3. ∴tan θ2＋cos θ2＝3－1010.11．－12 tan(π＋2α)＝－43，tan2α＝－43，∴2tan α1－tan 2α＝－43. ∵α是第二象限的角， ∴tan α<0.∴tan α＝－12.12．解：∵0<α<π2，∴cos α＝1－sin 2α＝513.∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π.∵sin(α＋β)<sin α，α＋β<α不可能， ∴π2<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－35.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－35×513＋45×1213＝3365.∴0<β<π2，即0<β2<π4.故cos β2＝1＋cos β2＝76565. 能力提升13．A 由3sin α＋cos α＝0，有tan α＝－13.∴1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝103. 14．C 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.15．D 16．C17．4－2 2 ∵sin2α＝2sin αcos α＝1，∴α＝π4.∴原式＝11＋22＋11＋22＝4－22，18．解：2cos 2α2－sin α－12π4＋α＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1.又tan2α＝－22＝2tan α1－tan 2α2tan 2α－2tan α－22＝0. 解得tan α＝－22或 2. 又π4<α<π2， ∴tan α＝ 2.原式＝1－22＋1＝22－3.19．D ∵x∈(－π2，0)，cosx ＝45，∴sinx＝－35.∴tanx＝－34.∴tan2x＝2tanx 1－tan 2x ＝－247. 20.116原式＝ π17sin π172π17·cos 4π17·cos 8π17sin π17＝sin16π1724sinπ17＝116.21．解：(1)f(x)＝2cosx(sinx －cosx)＋1＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)．因此，函数f(x)的最小正周期为π.(2)根据对f(x)在[π8，3π4]上的单调性进行研究，易知f(x)在[π8，3π8]上递增，在[3π8，3π4]上递减． 又f(π8)＝0，f(3π8)＝2，f(3π4)＝2sin(3π2－π4)＝－2cos π4＝－1，故函数f(x)在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.22．解：(1)由f(x)＝23sinxcosx ＋2cos 2x －1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)＝1，f(π6)＝2，f(π2)＝－1，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x 0)＝2sin(2x 0＋π6)．又因为f(x 0)＝65，所以sin(2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]．从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin2＋π6＝－45.所以cos2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin(2x 0＋π6)sin π6＝3－4310. 拓展探究23．解：由已知得BC ＝30 m ，CD ＝10 3 m ，∠ABE＝θ，∠ACE＝2θ，∠ADE＝4θ，在△ABE 中，BE ＝AE·cot θ，在Rt△ACE 中，CE ＝AE·cot2θ，∴BC＝BE －CE ＝AE(cot θ－cot2θ)，同理可得CD ＝AE(cot2θ－cot4θ)．∴BC CD ＝θ－cot2θθ－cot4θ，即cot θ－cot2θcot2θ－cot4θ＝30103＝ 3.而cot θ－cot2θcot2θ－cot4θ＝cos θsin θ－cos2θsin2θcos2θsin2θ－cos4θsin4θ＝sin θsin θ·sin2θsin2θsin2θ·sin4θ＝sin4θsin2θ＝2cos2θ. ∴2cos2θ＝3θ＝32θ＝θ＝15°.∴AE＝12AC ＝12BC ＝15 m.答：θ的大小为15°，建筑物的高为15 m.敬请批评指正。
倍角公式与半角公式习题(绝对物超所值)(最新整理)
cos 2x
（2）求
2 cos(
x) sin
x
的值。
4
43． 已知 0 x ，且 sin 2x 7 ，则 sin x 的值为__________.
25
4
44．已知 sin( ) 7 2 ， cos2 7 ， sin （
）
4 10
25
4
A．
C. 8 17
8
D.
17
8
D.
17
.
.
38．已知
,
3 2
,
cos
5 , tan 2 5
=（
）
4
A．
4
B．-
C． 2
D．2
3
3
39． 已知函数 y cos2 x a sin x a 2 2a 5 有最大值 2 ，求实数 a 的值．
40．已知函数 f (x) sin x (2 cos x sin x) cos2 x ．
sin(2x
)
cos(2x
)
2 cos2
x
．
6
3
（1）求 f ( ) 的值；
12
（2）求函数 f (x) 的单调区间；
（3）函数 f (x) 的图像可由 y sin x 的图像如何变换得来，请详细说明．
52．若 (0, ) ，且 cos sin 1 ，则 cos 2 （ ）
3
（A） 17 9
3
得到的图像关于 y 轴对称，
（1）求 m 的最小值；（2）在（1）的条件下，求函数 f ( x) 的单调减区间。 4
28．已知 cos( 5 2
)
1 3
，求
sin( ) sin[sin( )
高考理科第一轮复习课件和练习(3.6倍角公式和半角公式)
课时提升作业(二十二)内容由京翰教育一对一家教辅导()整理一、选择题1.函数f(x)=1-2sin2x是( )(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数2.·等于( )(A)-sinα(B)-cosα(C)sinα(D)cosα3.(2013·黄山模拟)已知:tan(α+)=,则等于( )(A)3 (B)-3 (C)2 (D)-24.已知函数f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为π,则函数的一条对称轴可能是( )(A)x=(B)x=(C)x=(D)x=5.若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围为( )(A)[-1,] (B)[-1,1](C)[1,] (D)[-,-1]6.(2013·西安模拟)若cosα=-,α是第三象限的角,则等于( )(A)-(B)(C)2 (D)-2二、填空题7.(能力挑战题)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,化简= .8.(2013·上饶模拟)已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是.9.函数y=的递增区间为.三、解答题10.(2013·吉安模拟)已知函数f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+(ω∈R,x∈R)的最小正周期为π,且其图像关于直线x=对称.(1)求f(x)的解析式并求出f(x)的递增区间.(2)若函数y=1-f(x)的图像与直线y=a在[0,]上只有一个交点,求实数a的取值范围.11.(2013·合肥模拟)已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图像关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.答案解析1.【解析】选D.∵f(x)=1-2sin2x=cos2x,∴T===π.∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.2.【解析】选D.原式=·=·=cosα.3.【解析】选A.tan(α+)==,解得tanα=-.====3.4.【解析】选D.∵f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)=sin(2ωx-).又最小正周期为π,故=π得ω=1.∴f(x)=sin(2x-).故当x=时,2×-=-=,此时f(x)取得最大值,故一条对称轴为x=.5.【思路点拨】求出函数y=(sinx+cosx)2-2cos2x在[0,]上的值域,即为m的范围. 【解析】选A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m=1+sin 2x-2cos2x-m=1+sin 2x-1-cos 2x-m=sin(2x-)-m.∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴-≤2x-≤,∴-1≤sin(2x-)≤,故当-1≤m≤时,f(x)在[0,]上有零点.6.【解析】选A.=====,∵cosα=-,α为第三象限角,∴sinα=-=-,∴原式==-.7.【解析】原式==.∵2θ∈(π,2π),∴θ∈(,π).而tan2θ==-2.∴tan 2θ-tanθ-=0,即(tanθ+1)(tanθ-)=0.故tanθ=-或tanθ=(舍去).∴==3+2.答案:3+28.【解析】由y=f(x)的图像的一条对称轴为x=得f(0)=f(π),即sin 0+acos 0=sin+acos,即a=--a,解得a=-,则g(x)=-sinx+cosx=(cosx-sinx)=cos(x+),故g(x)的最大值为.答案:【方法技巧】三角恒等变换的特点(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.9.【思路点拨】利用倍角公式展开约分后化为正切再求解.【解析】y=====tan(+).由kπ-<+<+kπ,k∈Z,知2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.答案:(2kπ-,2kπ+),k∈Z10.【解析】(1)∵f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+=sin 2ωx-(1+cos 2ωx)+=sin 2ωx-cos 2ωx+1=sin(2ωx-)+1由f(x)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=±1.①当ω=1时,f(x)=sin(2x-)+1,∵f()=sin+1=不是最大值也不是最小值,其图像不关于x=对称,舍去;②当ω=-1时,f(x)=-sin(2x+)+1,∵f()=-sin+1=0是最小值,其图像关于x=对称,故f(x)=-sin(2x+)+1为所要求的解析式. 由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴递增区间是[kπ+,kπ+],k∈Z.(2)由(1)知y=1-f(x)=sin(2x+),在同一坐标系内作出y=sin(2x+)和y=a的图像,由图可知,直线y=a在a∈[-,)或a=1时,两曲线只有一个交点,∴a∈[-,)或a=1.11.【思路点拨】先根据条件求出cos(θ+),然后用倍角公式求解.【解析】∵|m+n|=,∴|m+n|2=m2+n2+2m·n=,即(cos 2θ+sin2θ)+[(-sinθ)2+cos2θ]+2[cosθ(-sinθ)+sinθcosθ]=128,25整理得(cosθ-sinθ)=,∴cos(θ+)=,∴2cos2(+)-1=,∴cos2(+)=,∵π<θ<2π,∴<+<,∴cos(+)=-.12.【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ),∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.又∵0≤φ≤π,∴φ=.∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.又f(x)关于(,0)对称,故ω=kπ+,k∈Z.即ω=+,k∈Z.又ω>0,故k=0,1,2,…当k=0时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上是减少的.当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是减少的.当k=2时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上不是单调函数, 当k>2时,同理可得f(x)在[0,]上不是单调函数,综上,ω=或ω=2.。
北师大版数学(理)提升作业：3.6倍角公式和半角公式(含答案)
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课时提升作业(二十二)一、选择题1.函数f(x)=1-2sin2x是( )(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数2.·等于( )(A)-sinα(B)-cosα(C)sinα(D)cosα3.(2013·黄山模拟)已知:tan(α+)=,则等于( )(A)3 (B)-3 (C)2 (D)-24.已知函数f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为π,则函数的一条对称轴可能是( )(A)x=(B)x=(C)x=(D)x=5.若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围为( )(A)[-1,] (B)[-1,1](C)[1,] (D)[-,-1]6.(2013·西安模拟)若cosα=-,α是第三象限的角,则等于( )(A)-(B)(C)2 (D)-2二、填空题7.(能力挑战题)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,化简= .8.(2013·上饶模拟)已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是.9.函数y=的递增区间为.三、解答题10.(2013·吉安模拟)已知函数f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+(ω∈R,x∈R)的最小正周期为π,且其图像关于直线x=对称.(1)求f(x)的解析式并求出f(x)的递增区间.(2)若函数y=1-f(x)的图像与直线y=a在[0,]上只有一个交点,求实数a的取值范围.11.(2013·合肥模拟)已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cos θ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图像关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.答案解析1.【解析】选D.∵f(x)=1-2sin2x=cos2x,∴T===π.∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.2.【解析】选D.原式=〃=〃=cosα.3.【解析】选A.tan(α+)==,解得tanα=-.====3.4.【解析】选D.∵f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)=sin(2ωx-).又最小正周期为π,故=π得ω=1.∴f(x)=sin(2x-).故当x=时,2〓-=-=,此时f(x)取得最大值,故一条对称轴为x=.5.【思路点拨】求出函数y=(sinx+cosx)2-2cos2x在[0,]上的值域,即为m的范围.【解析】选A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m=1+sin 2x-2cos2x-m=1+sin 2x-1-cos 2x-m=sin(2x-)-m.∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴-≤2x-≤,∴-1≤sin(2x-)≤,故当-1≤m≤时,f(x)在[0,]上有零点.6.【解析】选A.=====,∵cosα=-,α为第三象限角,∴sinα=-=-,∴原式==-.7.【解析】原式==.∵2θ∈(π,2π),∴θ∈(,π).而tan2θ==-2.∴tan2θ-tanθ-=0,即(tanθ+1)(tanθ-)=0.故tanθ=-或tanθ=(舍去).∴==3+2.答案:3+28.【解析】由y=f(x)的图像的一条对称轴为x=得f(0)=f(π),即sin 0+acos 0=sin+acos,即a=--a,解得a=-,则g(x)=-sinx+cosx=(cosx-sinx)=cos(x+),故g(x)的最大值为.答案:【方法技巧】三角恒等变换的特点(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.9.【思路点拨】利用倍角公式展开约分后化为正切再求解.【解析】y=====tan(+).由kπ-<+<+kπ,k∈Z,知2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.答案:(2kπ-,2kπ+),k∈Z10.【解析】(1)∵f(x)=sinωx〃cosωx-cos2ωx+=sin 2ωx-(1+cos 2ωx)+=sin 2ωx-cos 2ωx+1=sin(2ωx-)+1由f(x)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=〒1.①当ω=1时,f(x)=sin(2x-)+1,∵f()=sin+1=不是最大值也不是最小值,其图像不关于x=对称,舍去;②当ω=-1时,f(x)=-sin(2x+)+1,∵f()=-sin+1=0是最小值,其图像关于x=对称,故f(x)=-sin(2x+)+1为所要求的解析式.由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴递增区间是[kπ+,kπ+],k∈Z.(2)由(1)知y=1-f(x)=sin(2x+),在同一坐标系内作出y=sin(2x+)和y=a的图像,由图可知,直线y=a在a∈[-,)或a=1时,两曲线只有一个交点,∴a∈[-,)或a=1.11.【思路点拨】先根据条件求出cos(θ+),然后用倍角公式求解. 【解析】∵|m+n|=,∴|m+n|2=m2+n2+2m〃n=,即(cos2θ+sin2θ)+[(-sinθ)2+cos2θ]+,2[cosθ(-sinθ)+sinθcosθ]=12825整理得(cosθ-sinθ)=,∴cos(θ+)=,∴2cos2(+)-1=,∴cos2(+)=,∵π<θ<2π,∴<+<,∴cos(+)=-.12.【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ),∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.又∵0≤φ≤π,∴φ=.∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.又f(x)关于(,0)对称,故ω=kπ+,k∈Z.即ω=+,k∈Z.又ω>0,故k=0,1,2,…当k=0时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上是减少的.当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是减少的.当k=2时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上不是单调函数,当k>2时,同理可得f(x)在[0,]上不是单调函数,综上,ω=或ω=2.关闭Word文档返回原板块。
三角函数倍角半角公式大全
三角函数倍角半角公式大全二倍角公式：sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]拓展资料：倍角公式：是三角函数中非常实用的一类公式。
就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。
在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。
半角公式：是利用某个角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函数值，来求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函数值的公式。
三角函数差角公式又称三角函数的减法定理是几个角的和（差）的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。
2024-2025年北师大版数学必修第二册4.3.1-2二倍角的三角函数公式(带答案)
§3 二倍角的三角函数公式3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练知识点一 利用二倍角公式化简、求值 1.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝( ) A ．－12 B ．12C ．32 D ．－322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ，则sin 2α＝( )A ．－79B ．79C ．±223D ．±793．下列各式：①2sin 67.5°cos 67.5°；②2cos2π12－1； ③1－2sin 215°；④2tan22.5°1－tan 222.5° . 其中值等于32的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3知识点二 利用半角公式化简、求值 4．设α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2＝( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α25．若sin α＝13 ，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝( )A ．23B ．12C ．13D ．0 6．(1)已知sin α＝－817 ，且π<α<3π2 ，求sin α2 ，cos α2 和tan α2 .(2)若32π<α<2π，化简12＋1212＋12cos 2α .知识点三 二倍角公式、半角公式的综合应用7．设a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°，c ＝2tan 15°1－tan 215°，则( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b8．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2 cos α (π<α<2π)．关键能力综合练一、选择题1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158 D ．1582．若cos 2α＝－725 ，0<α<π2 ，则cos α＝( )A ．45B ．－45 C ．35 D ．－353．sin 10°sin 30°·sin 50°sin 70°＝( ) A ．116 B ．－116 C ．316 D ．－3164．(易错题)若3π<x <4π，则1＋cos x2＋ 1－cos x2＝( ) A ．2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 B ．－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 C ．2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 D ．－2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 5．已知sin (α－π5 )＝34 ，则sin (2α＋π10 )＝( )A ．－716B ．716C ．－18D ．18二、填空题6．已知α是第二象限角，tan (π－2α)＝43 ，则tan α＝________．7．设a ＝12 cos 6°－32 sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，将a ，b ，c 用“<”连接起来为________．8．(探究题)已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围为________．三、解答题9．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3 cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间．学科素养升级练1.(多选题)关于函数f (x )＝12 sin ωx －cos 2ωx 2 ＋12 (ω>0)，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则下列说法正确的有( )A ．函数f (x )的最小正周期有可能为4πB ．函数f (x )在区间(π，2π)内一定不存在对称轴C ．函数f (x )在区间(－π4 ，0)上单调递增D ．ω的最大值是122．(情境命题——生活情境)如图所示，已知扇形POQ 的半径为3 ，圆心角为π3 ，C是弧PQ 上的动点(不与P ，Q 重合)，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，设∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x ).(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 的最大值及相应的x 值．§3 二倍角的三角函数公式 3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练1．答案：B解析：由题意，根据诱导公式得sin110°sin 20°＝cos 20°sin 20°，根据二倍角公式得cos 2155°－sin 2155°＝cos310°＝sin 40°， 则原式可转化为cos 20°sin 20°sin 40° ＝2cos 20°sin 20°2sin 40° ＝12 .故选B.2．答案：B解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ， ∴sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19－1 ＝79 .故选B.3．答案：C解析：2sin67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝22； 2cos2π12 －1＝cos π6 ＝32； 1－2sin 215°＝cos30°＝32； 2tan 22.5°1－tan 222.5° ＝tan45°＝1.故选C. 4．答案：D解析：∵α∈(π，2π)，∴α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ， ∴ 1－cos （π＋α）2 ＝1＋cos α2＝cos2α2＝－cos α2.故选D.5．答案：C解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22 ＝－12 sin α＋12 ，sin α＝13 ，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝－12 ×13 ＋12 ＝13 .故选C.6．解析：(1)∵sin α＝－817 ，π<α<3π2 ，∴cos α＝－1517 .又∵π<α<3π2 ，∴π2 <α2 <3π4，∴sin α2＝ 1－cos α2 ＝ 1＋15172 ＝41717 ， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172 ＝－1717， tan α2＝sin α2cosα2＝－4.(2)∵32 π<α<2π，∴34 π<α2 <π，∴cos α>0，cos α2 <0，∴12＋12 12＋12cos 2α ＝12＋12 12（1＋cos 2α） ＝12＋1212×2cos 2α ＝12＋12cos α ＝ 12（1＋cos α） ＝cos2α2＝－cos α2.7．答案：C解析：a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°＝（cos 20°－3sin 20°）sin （90°－10°）cos 20°＝－（3sin 20°－cos 20°）cos 10°cos 20°＝－2sin （20°－30°）cos 10°cos 20° ＝2sin 10°cos 10°cos 20°＝sin 20°cos 20°＝tan 20°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°＝sin 40°sin (90°＋20°)－sin 20°sin (90°＋40°)＝sin 40°cos 20°－sin 20°cos 40°＝sin (40°－20°)＝sin 20°，c ＝2tan 15°1－tan 215°＝tan30°， 因为0<cos 20°<1，则tan 30°>tan 20°＝sin 20°cos 20° >sin 20°，即c >a >b .故选C.8．解析：原式＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ，∵π<α<2π，∴π2 <α2 <π.∴cos α2<0.∴原式＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝－cos α2cos α－cos α2 ＝cos α.关键能力综合练1．答案：C解析：因为cos x ＝－14 ，x 为第二象限角，所以sin x ＝154 ，所以sin 2x ＝2sin xcos x ＝2×154 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ＝－158 .故选C. 2．答案：C解析：因为cos 2α＝2cos 2α－1＝－725 ，所以cos 2α＝925 ，又0<α<π2 ，则cos α＝35.故选C. 3．答案：A解析：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12 cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20° ＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 80°cos 80°16sin 20° ＝sin 160°16sin 20° ＝116.4．答案：C解析：因为3π<x <4π，所以3π2 <x 2 <2π，sin x 2 <0，cos x2>0.于是 1＋cos x2＋1－cos x 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2 ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2 ＝cos x 2 －sin x 2 ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x 2－22sin x 2 ＝2 sin (π4 －x2).故选C.5．答案：C解析：令t ＝α－π5 ，所以sin t ＝34 ，α＝t ＋π5 ，所以sin (2α＋π10 )＝sin (2t＋π2 )＝cos 2t ＝1－2sin 2t ＝－18.故选C. 6．答案：－12解析：由tan(π－2α)＝43 ，得tan 2α＝－43 .又tan 2α＝2tan α1－tan 2α ＝－43 ，解得tan α＝－12 或2.又α是第二象限角，所以tan α＝－12.7．答案：a <c <b解析：a ＝12 cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝1－cos 50°2＝sin 225° ＝sin25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26° ，0<cos 26°<1，∴tan 26°>sin 26°.又y ＝sin x 在(0，π2 )上为增函数，∴a <c <b .8．答案：(2 ，3 )解析：由于△ABC 为锐角三角形，故A ，B ，C 都为锐角，从而得⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<B ＝2A <π2，0<C ＝π－3A <π2，解得π6 <A <π4 ，从而sin B sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ∈(2 ，3 ). 9．解析：f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3 sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . (1)最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令π2 ＋2k π≤2x ＋π6 ≤3π2 ＋2k π，k ∈Z ，解得π6 ＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π (k ∈Z ).学科素养升级练1．答案：AC解析：由题知：f (x )＝12 sin ωx －1＋cos ωx 2 ＋12 ＝22 sin (ωx －π4)，因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （π）f （2π）≥0，T 2＝πω≥2π－π ⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin （πω－π4）sin （2πω－π4）≥0，0<ω≤1.对于A ，B ，当ω＝12 时，f (x )＝22 sin (12 x －π4 )，满足题意，最小正周期为4π，x ＝3π2是其一条对称轴，故A 正确，B 错误；对于C ，由于0<ω≤1，所以当x ∈(－π4 ，0)时，－π2 <－ωπ4 －π4 <ωx －π4 <－π4 ，函数单调递增，故C 正确；对于D ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫πω－π4≥0，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πω－π4≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58，k ∈Z ⇒14 ≤ω≤58 ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω－π4≤0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πω－π4≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18，k ∈Z ⇒0<ω≤18 ，综上：0<ω≤18 或14 ≤ω≤58，故D 错误．故选AC.2．解析：(1)∵在Rt△COB 中，CB ＝3 sin x ，OB ＝3 cos x ， ∴OA ＝DA tan π6 ＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3 cos x －sin x ，∴f (x )＝AB ·CB ＝(3 cos x －sin x )·3 sin x ＝3sin x ·cos x －3 sin 2x ＝32sin2x －32 (1－cos 2x )＝3 sin (2x ＋π6 )－32 ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 .(2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －32 ＋3 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6 －32 ＝3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －3 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12 －3 . 由0<x <π3 ，0<x ＋π4 <π3 ，得0<x <π12 ，∴5π12 <2x ＋5π12 <7π12， ∴当2x ＋5π12 ＝π2 ，即x ＝π24 时，y max ＝6 －3 .。
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两角和与差的三角函数1．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ． 2．（本小题满分12分）已知函数()sin()6f x A x πω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=． （1）求()f x 的表达式；（2）设,[0,]2παβ∈，16(3)5f απ+=，520(3)213f πβ+=-，求cos()αβ-的值．3．在非等腰△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且a=3，c=4，C=2A ．（Ⅰ）求cosA 及b 的值；（Ⅱ）求cos(3π–2A)的值． 4．已知31)6sin(=-απ，则)3(2cos απ+的值是（ ）A ．97 B ．31 C ．31- D ．97- 5．若4cos 5θ=-，θ是第三象限的角,则1tan21tan 2θθ-+=（ ） A ．12 B ．12- C ．35D ．-26．己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________．7．已知==+απα2sin ,54)4cos(则 . 8．已知==+απα2sin ,54)4cos(则 .9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且a b >，已知4cos 5C =，32c =，2221sin cos sin cos sin 222B A A BC ++=． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）求cos()B C -的值． 10．已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.11．已知函数2()2sin cos 2sin 1()f x x x x x R =-+∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =错误！未找到引用源。
，A 为锐角，且2()83f A π+=，求错误！未找到引用源。
面积S 的最大值． 12．已知函数log (1)3a y x =-+，(0a >且1)a ≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则2sin sin 2αα-的值等于_______． 13．已知),0(πα∈，且1sin cos 2αα+=，则α2cos 的值为（ ） A ．47±B ．47C ．47-D ．43-14．已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若1()23f απ=错误！未找到引用源。
，求2cos()3πα-的值．15．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 ． 16．已知2sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos2α的值为 ． 17．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ． 18．已知4(,0),cos()25παπα∈--=-，则tan 2α= ．19．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________．20．设)cos()(cos 223)2sin()2(sin cos 2)(223θθπθπθπθθ-+++-++-+=f ，求)3(πf 的值。
π1sin 0x <；③x y tan =在其定义域内为增函数；④)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数； ⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π， 以上命题错误的为____________。
22．在△ABC 中，若sin （A+B-C ）=sin （A-B+C ），则△ABC 必是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰或直角三角形 （D ）等腰直角三角形 23．x y 2sin 2=的值域是（ ）A ．[－2，2]B ．[0，2]C ．[－2，0]D ．R 24．已知θs i n 是方程06752=--x x 的根，且θ是第三象限角，求)2sin()2cos()(tan )23cos()23sin(2θπθπθπθππθ+-----的值。
25．xf(x)=cos ,2则下列等式成立的是（ ）（A ）)()2(x f x f =-π （B ）)()2(x f x f =+π （C ）)()(x f x f -=- （D ）)()(x f x f =-26．已知函数)0(),2cos()(πθθ<<-=x x f 的图像过点)1,6(π．（1）求θ的值；（2）将函数)(x f y =图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g y =在]2,0[π上的最大值和最小值．27．将函数)3sin(2)(π+=x x f （x ∈R ）的图像向左平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，（1）求m 的最小值；（2）在（1）的条件下，求函数)4(x f -π的单调减区间。
28．已知31)25cos(=-θπ，求)23c o s ()s i n ()23c o s ()2s i n (]1)[s i n (s i n )s i n (πθπθπθπθθπθθπ---+-+--+的值．29．求证：2（1-sin α）（1+cos α）=2(1sin cos )-α+α． 30．已知()()()233sin sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+-->⎪⎝⎭的最小正周期为T π=．（1）求2f π⎛⎫⎪的值；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2c o s c o s a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围．31．已知函数22()3cos 2sin cos sin f x x x x x =++． （1）求()f x 的最大值，并求出此时x 的值； （2）写出()f x 的单调区间．32．已知向量)3,cos 2(2x m =，)2sin ,1(x n =，函数n m x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在A B C ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且3)(=C f ，1=c ，ABC ∆的面积为23，且a > b ，求,a b 的值． 33．已知函数()()22sin cos 23cos 30,0f x a x x x a ωωωω=+->>的最大值为2，且最小正周期为π.（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程； （2）若()4,sin 436f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求的值. 34． 若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ=_________. 35．已知函数()2333sin cos 33cos 2f x x x x =-+,R x ∈. （1）求()f x 的最大值和取得最大值时x 的集合. （2）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，29325f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，53621213f βπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值．36．已知3tan 5α=-，则sin2=α（ ） A.1517 B.1517- C.817- D.81737．已知3tan 5α=-，则sin2=α（ ）A.1517B.1517-C.817-D.81738．已知35,,cos ,tan 2παπαα⎛⎫∈=- ⎪=（ ）.A ．43 B ．-43C ．D ．239． 已知函数52sin cos 22++-+=a a x a x y 有最大值2，求实数a 的值． 40．已知函数2()sin (2cos sin )cos f x x x x x =⋅-+． (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)设42ππα<<，且52()13f α=-，求sin 2α的值． 41．已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由. 42．已知.02cos 22sin =-xx （1）求x tan 的值；（2）求xx xsin )4cos(22cos +π的值。
43． 已知π<<x 0，且2572sin -=x ，则⎪⎭⎫⎝⎛-x 4sin π的值为__________. 44．已知1027)4(sin =-πα，257cos2=α，=αsin （ ） A ．54 B ．54- C ．53- D ．5345．已知51cos sin =+θθ，且2πθπ≤≤，则θ2cos = .46．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ．47．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．（用数值表示）2-.48．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,cos 22P y α⎛⎫⎪⎝⎭，则等于 A.12-B.12C.32-D.149．函数1()2sin cos()2262π=++x x f x 的最大值为 _________ ． 50．已知,41)4cos()43sin(-=--ππx x 则x 4cos 的值等于（ ）A.14 B. 42 C. 21D. 2251．已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++． （1）求()12f π的值； （2）求函数)(x f 的单调区间； （3）函数)(x f 的图像可由sin y x =的图像如何变换得来，请详细说明．52．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=（ ）（A ）917 （B ）179± （C ）179- （D ）31753．已知，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若(2)a cA B B C c B C C A -⋅=⋅（Ⅰ）求B ∠的大小； （Ⅱ）若()2sin 2cos2cos 2sin 22B B f x x x =⋅+⋅，5[,]1212x ππ∈- ，求()f x 的最大值和最小值．54．已知α为锐角，且满足cos2sin αα=，则α等于（ ）A ．30或270B ．45C ．60D ．30 55．已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan 2α的值为（ ） A ．54 B ．723- C ．724- D ．3-参考答案1．13 2．（1）()4sin()36x f x π=+；（2）63cos()65αβ-=. 3．（Ⅰ）32,37．（Ⅱ）181154-． 4．D ． 5．D 6．43-7．725- 8．725- 9．（Ⅰ）5,1a b ==; （Ⅱ）3125010．（1）2；（2）2616+． 11．（1）最小正周期T π=，单调递增区间为3[,]88k k ππππ-++；（2）3(32)4+．12．313-． 13．C ． 14．（1）()2sin()6f x x ππ=+；（2）1718-． 15．725 16．725 17．247-18．247-19．3 20．21- 21．①②③⑤． 22．C 23．B 24．916- 25．D26．（1）3π；（2）11,2 27．（1）6π；（2）Z k k k ∈++],452,42[ππππ。