从而,01
2→+n a
)1...()1)(1(22
lim n
a
a a n +++∞
→=
a
-11 二、利用变量代换求极限
利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限1
1lim 1
--→n
m
x x x ，其中m,n 为正整数。
分析 这是含根式的（0
0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。 解 令11,1
→→=t x x t mn
时，则当
原式=m
n
t t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限
利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限o
x →lim x
x 2csc )
(cos
解 原式=o
x →lim 2
1sin sin 21
lim csc )1(cos 2202
-
--==→e
e e x
x x
x x
四、利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限∞
→n lim n n
n !
分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。 解 因为n n n n n n n n
n o n
1121!≤⋅-⋅⋅=≤
， 且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以∞
→n lim n n
n !
=0 五、利用单调有界准则求极限
利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式
)(1n n x f x =+的数列极限。在确定∞
→n lim n x 存在的前提下，可由方程A=f(A)
解出A ，则∞→n lim n
x =A 。 例5、设)3(41,0,031
1n
n n x a
x x x a +=>>+，（n=1,2,…）,求极限∞
→n lim
n x 。
分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。
解 由)3(41,0,0311n
n n x a
x x x a +=
>>+易知n x >0。 根据算术平均数与几何平均数的关系，有
4
4331)(41a x a x x x x a x x x x n
n n n n n n n n =≥+++=+
所以，数列n x 有下界4a ，即对一切n >1,有n x ≥4
a
又 1)3(41)3(4141=+≤+=+a
a
x a x x n n n 所以,1n n x x ≤+即数列单调减少。由单调有界准则知数列n x 有极限。 现设∞
→n lim
n x =A,则由极限的保号性知A ≥4
a >0.
对式子)3(4131
n n n x a x x +=+两边同时取极限得)3(413A
a A A += 解得 A=4a ,即∞
→n lim n x =4
a （已舍去负根） 六、利用等价无穷小求极限
利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷
小替换。 例6、求极限x
x x ln )
1sin(sin lim
1-→
分析 此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx 均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。 解 当1→x 时，
1~)11ln(ln ,1~)1sin(~)1sin(sin ,01--+=---→-x x x x x x x 则
故原式=11
1
lim
1
=--→x x x 七、利用导数定义求极限
利用导数定义求极限适用于b
a b x f a x f b a -+-+→-)
()(lim
000)(型极限，并且需要
满足)('0x f 存在。
例7、求n n a
n a ]sin )
1
sin([lim +∞→，其中10<解 n n a
n a ]sin )
1
sin([lim +∞→=]sin )
1
sin(ln[
lim a
n a n n e +⋅∞→
而 n a
n a a
n a n n n 1sin ln )1
sin(ln lim ]sin )1sin(ln[lim -+=+⋅∞→∞→
由导数的定义知，n
a
n a n 1
sin ln )1
sin(ln lim -+∞→表示函数lnsinx 在x=a 处的
导数。即a x a
n a n a
x n cot ]'sin [ln ]sin )
1
sin(ln[lim ==+⋅=∞→。 八、利用洛必达法则求极限
