重庆市普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷(一)
重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测试题 数学含解析
高2024届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷（答案在最后）（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足(1i)2i z ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z z +等于（）A.iB.i- C.1D.1-2.已知集合{}22530A x x x =-++≥，{}2B x x =∈≤N ，则A B ⋂的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.83.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x ，众数为y ，则（）A.88,90x y ==B.83,90x y ==C.83,85x y == D.88,85x y ==4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与35722223!5!7!-+-+ 的值最接近的是（）A.sin 2︒B.sin 24.6︒C.cos 24.6︒D.cos 65.4︒5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且()25.5,X N σ~，(6)0.2P x >=．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）A.0.642B.0.648C.0.722D.0.7486.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1212f x x f x f x +=+，且0x >时，()0f x <，则关于x 的不等式()()220f x f x +≥的解集为（）A.[]2,0-B.[]0,2C.(][),20,-∞-+∞ D.(][),02,-∞⋃+∞7.过点P 作圆22:4150C x y x +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，若PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为（）A.(22+ B.(44-+C.22⎡-+⎣D.44⎡-+⎣8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+=C.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.4a b +>10.已知函数()32e 2xf x x x ax =+--，则()f x 在()0,∞+有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A .e 2e 1a -<<- B.e 1e a -<<C.e e 1a <<+ D.e 1e 2a +<<+11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，其准线与x 轴交于点M ，经过点M 的直线l 与抛物线交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，则下列说法正确的是（）A.5OA OB ⋅=B.存在50AMF ∠=︒C.不存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆D.当ABF △的面积为时，直线l 的倾斜角为π6或5π612.如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，M 是线段1A E 上的一点，则下列说法正确的是（）A .当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACMB.当点M 移动时，点D 到平面ACM 的距离为定值C.当M 点与E 点重合时，平面ACM 与平面11CC D D 夹角的正弦值为3D.当M 点为线段1A E 中点时，平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积为32三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,a b 满足2,3,25a b a b ==-= ，则⋅=a b ________．14.已知()()2sin cos cos20,0,0f x a x x b x a b ωωωω=⋅+>>>的部分图象如图所示，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为________．15.已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3π的直线交椭圆于,P Q两点，FP FQ FP FQ +=-，则该椭圆的离心率为________．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，记2222123n n T a a a a =++++ ，则n T =________；若数列{}n b 满足3203n n b T n =--，则123n b b b b ++++L 的最小值是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在梯形ABCD 中，//,AB CD ABC ∠为钝角，2,4AB BC CD ===，sin 4BCD ∠=．（1）求cos BDC ∠；（2）设点E 为AD 的中点，求BE 的长．18.已知首项为正数的等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，满足412S S S =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()114cos πn n n n b n a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023编号x 123456产值y /百万辆91830515980（1）若用模型e bx y a =⋅拟合y 与x 的关系，根据提供的数据，求出y 与x 的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S 店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望，参考数据：661120.88,80.58ii i i i ux u ====∑∑，其中ln i i u y =．参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n = ，其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆ,niii nii x ynx y b ay bx xnx ==-⋅==--∑∑．20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AP =，,6,45AB AD AB AD CD CDA ⊥+==∠=︒．（1）若E 为PB 的中点，求证：平面PBC ⊥平面ADE ；（2）若平面PAB 与平面PCD所成的角的余弦值为6．（ⅰ）求线段AB 的长；（ⅱ）设G 为PAD 内（含边界）的一点，且2GB GA =，求满足条件的所有点G 组成的轨迹的长度．21.已知点M 为圆22:(2)4C x y -+=上任意一点，()2,0B -，线段MB 的垂直平分线交直线MC 于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；（2）设过点C 的直线l 与Q 点的轨迹交于点P ，且点P 在第一象限内．已知()1,0A -，请问是否存在常数λ，使得PCA PAC λ∠=∠恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．22.（1）已知函数()()e xn f x x n =+，（,e n +∈N 为自然对数的底数），记()n f x 的最小值为n a ，求证：211e e ni i a =>-∑；（2）若对()()11,,e 12ln 0axx a x x x ∞⎛⎫∀∈++-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的取值范围．高2024届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足(1i)2i z ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z z +等于（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出z ，再结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ----====-++-，则13i 22z =+，所以1z z +=.故选：C2.已知集合{}22530A x x x =-++≥，{}2B x x =∈≤N ，则A B ⋂的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 、B ，可求出集合A B ⋂，可得出集合A B ⋂的元素个数，即可得出A B ⋂的真子集个数.【详解】因为{}{}2212530253032A x x x x x x x x ⎧⎫=-++≥=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}{}{}2220,1,2B x x x x =∈≤=∈-≤≤=N N ，则{}0,1,2A B = ，所以，A B ⋂的真子集个数为3217-=.故选：C.3.2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x ，众数为y ，则（）A.88,90x y ==B.83,90x y ==C.83,85x y ==D.88,85x y ==【答案】D 【解析】【分析】首先0.05a =，再根据百分位数和众数的计算方法即可.【详解】由题意得()0.0050.030.015101a +++⨯=，解得0.05a =，因为0.050.30.35+=，0.050.30.50.85++=，则0.350.750.85<<，则样本数据的75%分位数位于[)80,90，则()0.35800.050.75x +-⨯=，解得88x =，因为样本数据中位于成绩[)80,90之间最多，则众数为8090852y +==，故选：D .4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook ）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋯，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ．根据该展开式可知，与35722223!5!7!-+-+ 的值最接近的是（）A.sin 2︒B.sin 24.6︒C.cos 24.6︒D.cos 65.4︒【答案】C【解析】【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式()()sin 2sin 257.3sin 9024.6cos 24.6=≈⨯=+=，故选：C .5.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且()25.5,X N σ~，(6)0.2P x >=．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得( 5.5)0.5P x >=，则(5.56)0.50.20.3P x <<=-=，则(56)0.320.6P x <<=⨯=，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为223333C 0.60.4C 0.60.648⨯+=,故选：B .6.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1212f x x f x f x +=+，且0x >时，()0f x <，则关于x 的不等式()()220f x f x +≥的解集为（）A.[]2,0-B.[]0,2C.(][),20,-∞-+∞ D.(][),02,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.【详解】任取12t t <，则210t t ->，而0x >时，()0f x <，则()210f t t -<，()()()()()22112111f t t t t f t t f t f t ⎡⎤=-+=-+<⎣⎦，所以()f x 在R 上单调递减，12,x x ∀∈R ，()()()1212f x x f x f x +=+，取120x x ==，则(0)0f =，令21x x =-，得()()()1100f f x f x =+-=，所以()f x 为R 上的奇函数，()()220f x f x +≥，即()()22f x f x ≥-，则22x x ≤-，解得[]2,0x ∈-故选：A.7.过点P 作圆22:4150C x y x +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，若PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为（）A.(22+ B.(44-+C.22⎡-+⎣D.44⎡-+⎣【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.【详解】圆22:(2)(1C x y -+-=的圆心C ，半径1r =，由,PA PB 切圆C 于点,A B ，且PAB 为直角三角形，得90,||||APB PA PB ∠== ，连接,AC BC ，则90CAP CBP ∠=∠= ，即四边形APBC 是正方形，||PC =，因此点P 在以点C 为半径的圆上，而||4OC ==，于是max min ||4|4OP OP =+=-，所以OP 的取值范围为44⎡+⎣.故选：D8.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14【答案】A 【解析】【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】（1）按照2,2,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有24C 6=种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有122432C C A 24=种，（2）按照3,1,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3242C A 8⋅=种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2242C A 12=种，故共有62481250+++=种，故选：A .二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知3515a b ==，则下列结论正确的是（）A.lg lg a b> B.a b ab+=C.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.4a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题意得33log 15log 10a =>>，55log 15log 10b =>=，1510log 3a <=，1510log 5b<=，则110a b <<，则0a b >>，对A ，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则lg lg a b >，故A 正确；对B ，因为151511log 3log 51a b+=+=，即1a b ab +=，则a b ab +=，故B 正确；对C ，因为0a b >>，根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对D ，因为0a b >>，111a b+=，()11224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，而显然a b ¹，则4a b +>，故D 正确；故选：ABD.10.已知函数()32e 2xf x x x ax =+--，则()f x 在()0,∞+有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A.e 2e 1a -<<-B.e 1e a -<<C.e e 1a <<+D.e 1e 2a +<<+【答案】BCD 【解析】【分析】将问题转化为2e 2x a x x x =+-，令2e ()2(0)x g x x x x x=+->，利用导数讨论()g x 的单调性，求出min ()g x ，由()f x 在()0,∞+有2个不同零点的充要条件为e 1a >-，从而作出判断.【详解】因为32()e 2(0)x f x x x ax x =+-->，令()0f x =，则2e2xa x x x=+-，令2e ()2(0)xg x x x x x=+->，则22223e e 22()(1e ())2x x x x x x x g x x x x-+-+'-==，注意到2e 20x x +>，令()0g x '=，解得1x =，所以当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则min ()(1)e 1g x g ==-，且当x 趋近于0或∞+时，()g x 都趋近于+∞，若()f x 在()0,∞+有2个不同零点的充要条件为函数()y g x =与y a =图象在第一象限有2个交点，所以e 1a >-，即()f x 有2个零点的充要条件为e 1a >-，若符合题意，则对应的取值范围为()e 1,∞-+的真子集，结合选项可知：A 错误，BCD 正确；故选：BCD.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，其准线与x 轴交于点M ，经过点M 的直线l 与抛物线交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，则下列说法正确的是（）A.5OA OB ⋅=B.存在50AMF ∠=︒C.不存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆D.当ABF △的面积为时，直线l 的倾斜角为π6或5π6【答案】AD 【解析】【分析】设直线AB 的方程为1x my +=，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，将其整体代入即可判断ACD ，求解直线与抛物线相切时的情况即可判断B.【详解】对A ，由题意得()1,0F ，准线方程为=1x -，则()1,0M -，显然当直线AB 的斜率为0，即直线AB 的方程为0y =，此时不合题意，设直线AB 的方程为1x my +=，联立抛物线方程24y x =，得2440y my -+=，216160m ∆=->，解得1m >或1m <-，124y y m +=，124y y ⋅=，2114y x =，2224y x =，则()2121216y y x x =，121616x x =，则121=x x ，()11,OA x y = ，()22,OB x y =，则1212145OA OB x x y y ⋅=+=+=，A 正确；对B ，当直线AB 与抛物线相切时，AMF ∠最大，则216160m ∆=-=，解得1m =±，根据抛物线对称性取1m =分析：此时直线方程为1y x =+，此时直线斜率为1，则45AMF ∠=︒，因此不存在50AMF ∠=︒，B 错误；对C ，假设存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆，则0FA FB ⋅=，()()11221,,1,FA x y FB x y =-=- ，则()()1212110FA FB x x y y ⋅=--+=，即()12121210x x x x y y -+++=，()212121211242x x my my m y y m +=-+-=+-=-,即()121220x x y y -++=，即()224240m --+=，m =，满足1m >或1m <-，即存在以AB 为直径且经过焦点F 的圆，C 错误；对D ，211122ABF S MF y y =-=⨯== ，m =此时直线斜率为3±，则直线l 的倾斜角为π6或5π6，故D 正确.故选：AD.12.如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，M 是线段1A E 上的一点，则下列说法正确的是（）A.当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACMB.当点M 移动时，点D 到平面ACM 的距离为定值C.当M 点与E 点重合时，平面ACM 与平面11CC D D 夹角的正弦值为3D.当M 点为线段1A E 中点时，平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积为32【答案】ACD【解析】【分析】对A ，根据平行线确定一个平面即可判断，对BC 建立空间坐标系进行判断，对D 作出截面图形，并求出相关长度，利用面积公式即可求出.【详解】对A ，因为11//AA CC ，所以点11,,,A A C C 四点共面，当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACM ，故A 正确；对B ，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为E 为11C D 中点，则设()12,,1M t t -，10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1,0,0A ，()0,1,0C ，则()1,1,0AC =- ，()2,,1AM t t =- ，()1,0,0DA =，设平面ACM 的方向量为(),,m x y z = ，则0AC m AM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y tx ty z -+=⎧⎨-++=⎩，令1y =，则1,x z t ==，所以()1,1,m t =，则点D 到平面ACM的距离DA m d m ⋅== B 错误；对C ，当M 点与E 点重合时，由B 知此时12t =，11,1,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，平面11CC D D 的法向量()1,0,0n = ，设平面ACM 与平面11CC D D 夹角为θ，2cos 3m nm n θ⋅===，则sin 3θ==，故C 正确；对D ，连接11A C ，并在上底面内将直线11A C 沿着11B D的方向平移，直至该直线经过点M ，交11D A 于点P ，交11C D 于点N ，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以四边形11AA C C 为平行四边形，所以11//A C AC ，因为11//PN A C ，所以//AC PN ，因为点M PN ∈，所以平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得的图形为四边形APNC ，不妨以1D 为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，则()110,1,,02A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为M 为线段1A E 中点，则11,42M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据直线11//PN A C ，则1PN k =，设直线PN 的方程为y x b =+，代入点M 坐标得1124b -=+，解得34b =-，则34y x =-，则点P 位于线段11A D 的四分之一等分点处，且靠近点1A ，点N 位于线段11C D 的四分之一等分点处，且靠近点1C ，则174AP CN ===，AC =，PN =//AC PN ，则四边形APNC8=,则12832APNC S =⨯=梯形，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题BC 选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面角的空间向量求法进行计算判断，对D 选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰梯形，最后计算面积即可.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,a b 满足2,3,25a b a b ==-= ，则⋅= a b ________．【答案】154【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由25a b -= ，得224425a b a b +-⋅= ，而2,3a b == ，则4494·25a b +⨯-= ，所以154a b ⋅= .故答案为：15414.已知()()2sin cos cos20,0,0f x a x x b x a b ωωωω=⋅+>>>的部分图象如图所示，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为________．【解析】【分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【详解】因为()()2sin cos cos2sin 2cos20,0,0f x a x x b x a x b x a b ωωωωωω=⋅+=+>>>，设()()()sin 20,0f x A x A ωϕω=+>>，由图可知，函数()f x 的最小正周期为ππ4π612T ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭，则2π2π22πT ω===，又因为()()max min22222f x f x A -+===，则()()2sin 2f x x ϕ=+，因为ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得πsin 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，()ππ2π62k k ϕ-=+∈Z ，则()2π2π3k k ϕ=+∈Z ，则()2π2π2sin 22π2sin 233f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3π04x ≤≤时，2π2π13π2336x ≤+≤，故()max 2π2sin 232f x ==⨯=.15.已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3π的直线交椭圆于,P Q两点，FP FQ FP FQ +=-，则该椭圆的离心率为________．【答案】1-##1-【解析】【分析】分析得四边形FPF Q '为矩形，则得到OFP △为正三角形，再利用椭圆定义和离心率定义即可.【详解】令椭圆的左焦点为F '，半焦距为c ，分别连接F P '，F Q '，由FP FQ FP FQ +=-，得四边形FPF Q '为矩形，而π3FOP ∠=，则OFP △为正三角形，所以||FP c =，F P '=，2|1)a PF PF c ∴=+'=∣，则椭圆离心率为1ce a==-，1.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，记2222123n n T a a a a =++++ ，则n T =________；若数列{}n b 满足3203n n b T n =--，则123n b b b b ++++L 的最小值是________．【答案】①.413n -②.48-【解析】【分析】由n a 与n S 的关系推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可求得n T 的表达式，分析数列{}n b 的单调性，找出数列{}n b 所有非正数项，即可求得123n b b b b ++++L 的最小值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，当1n =时，则11121a S a ==-，解得11a =，当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，上述两个等式作差可得122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则11122n n n a --=⨯=，所以，214n na -=，则2121444n n n n a a +-==，且211a =，所以，()222212311441143nnn nT a a a a ⋅--=++++==- ，32034204n n n b T n n =--=--，则()()114201442043420n n nn n b b n n ++⎡⎤-=-+----=⋅-⎣⎦，当1n =时，210b b -<，即12b b >，当2n ≥时，134200nn n b b +-=⋅->，则1n n b b +<，故数列{}n b 从第二项开始单调递增，因为1200b =-<，且340b b =<，所以，123n b b b b ++++L 的最小值为1232028048b b b ++=--+=-.故答案为：413n -；48-.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在梯形ABCD 中，//,AB CD ABC ∠为钝角，2,4AB BC CD ===，sin 4BCD ∠=．（1）求cos BDC ∠；（2）设点E 为AD 的中点，求BE 的长．【答案】（1）78；（2）2【解析】【分析】（1）在BCD △中利用余弦定理求出BD ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出BE 的长.【小问1详解】在梯形ABCD 中，由//,AB CD ABC ∠为钝角，得BCD ∠是锐角，在BCD △中，sin 4BCD ∠=，则1cos 4BCD ∠==，由余弦定理得4BD ==，即BCD △为等腰三角形，所以27cos cos(π2)cos 212cos 8BDC BCD BCD BCD ∠=-∠=-∠=-∠=.【小问2详解】由//AB CD ，得ABD BDC ∠=∠，由点E 为AD 的中点，得1()2BE BA BD =+，所以||2BE = .18.已知首项为正数的等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，满足412S S S =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()114cos πn n n n b n a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+（2）当n 为偶数时，11233n T n =-+，当n 为奇数时，11233n T n =--+.【解析】【分析】（1）根据等差数列前n 和公式即可求出1a ，则得到其通项公式；（2）分n 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.【小问1详解】由题意得{}n a 是公差为2的等差数列，且412S S S =⋅，即()11141222a a a +=+，又因为10a >，所以13a =，所以数列{}n a 的通项公式1(1)21n a a n d n =+-=+.【小问2详解】由（1）知()()()()()2123214111cos πc 23os πn n b n n n n n n +⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⋅⎝+++⎭+，当n 为偶数时，11111111113557792123233n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，当n 为奇数时，1111111,(3)2132123233n n n T T b n n n n n -=+=---=--≥++++，经检验，1n =时，满足11233n T n =--+，综上，当n 为偶数时，11233n T n =-+，当n 为奇数时，11233n T n =--+.19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023编号x 123456产值y /百万辆91830515980（1）若用模型e bx y a =⋅拟合y 与x 的关系，根据提供的数据，求出y 与x 的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S 店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望，参考数据：661120.88,80.58ii i i i ux u ====∑∑，其中ln i i u y =．参考公式：对于一组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n = ，其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆ,niii nii x ynx y b ay bx xnx ==-⋅==--∑∑．【答案】（1） 1.980.43e x y +=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）令ln ln e ln bx u y a bx a ===+，利用最小二乘法求出，即可得解；（2）分析可知，利用超几何分布()4,5,8X H ~可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求【小问1详解】令ln ln e ln bx u y a bx a===+123456 3.56x +++++==，20.883.486u ==，则12222222622618ˆ0.586 3.5 3.480.431234566 3.5i i i ii x unx xbunx ==-⋅-⨯⨯==+++++-⨯-=∑∑，ˆln 3.480.43 3.5 1.98a=-⨯=，所以 1.98ˆe a =，所以 1.980.43 1.980.43e e e e x x bx y a +⋅=⨯==【小问2详解】由题意得1,2,3,4X =，()135348C C 511C 7014P x ====，()225348C C 3032C 707P x ====，()315348C C 3033C 707P x ====，()405348C C 514C 7014P x ====，分布列为：X1234P1143737114数学期望()452.58E X ⨯==20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AP =，,6,45AB AD AB AD CD CDA ⊥+==∠=︒．（1）若E 为PB 的中点，求证：平面PBC ⊥平面ADE ；（2）若平面PAB 与平面PCD 所成的角的余弦值为66．（ⅰ）求线段AB 的长；（ⅱ）设G 为PAD 内（含边界）的一点，且2GB GA =，求满足条件的所有点G 组成的轨迹的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）2；（ⅱ）π3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，再结合面面垂直的判定推理即得.（2）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，设AB t =，利用面面角的向量求法结合已知求出t ，再求出AG 并确定轨迹求解即得.【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则PA AD ⊥，而,,,AB AD AB PA A AB PA ⊥=⊂ 平面PAB ，于是AD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥，由AB AP =，E 为PB 的中点，得,,,AE PB AE AD A AE AD ⊥=⊂ 平面ADE ，因此PB ⊥平面ADE ，而PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC⊥平面ADE .【小问2详解】（ⅰ）由（1）知，直线,,AB AD AP 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，过C 作CF AD ⊥于F，由45CD CDA =∠=︒，得1CF DF ==，令(05)AB t t =<<，则(0,0,),(0,6,0),(1,5,0)P t D t C t --，(0,6,),(1,1,0)PD t t CD =--=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = ，则(6)00n PD t y tz n CD x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令y t =，得(,,6)n t t t =- ，由AD ⊥平面PAB ，得平面PAB 的一个法向量(0,1,0)m =，依题意，|||cos ,|||||m n m n m n ⋅〈〉==24120t t +-=，而0t >，解得2t =，所以线段AB 的长为2.（ⅱ）显然AB ⊥平面PAD ，而AG ⊂平面PAD ，则AB AG ⊥，又2BG AG =，于是222(2)2AG AG =+，解得3AG =，因此点G 的轨迹是以点A为圆心，3为半径的圆的14，所以点G 的轨迹的长度为1233ππ233⋅=.21.已知点M 为圆22:(2)4C x y -+=上任意一点，()2,0B -，线段MB 的垂直平分线交直线MC 于点Q ．（1）求Q 点的轨迹方程；（2）设过点C 的直线l 与Q 点的轨迹交于点P ，且点P 在第一象限内．已知()1,0A -，请问是否存在常数λ，使得PCA PAC λ∠=∠恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2λ=，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用双曲线定义即可得到其方程；（2）先得到特殊情况时2λ=，再证明其对一般情况也适用.【小问1详解】连接QB ，则||||||2(||42)QB QC QM QC CM BC -=-===>‖‖‖‖，Q ∴点的轨迹是以点C ，B 为焦点的双曲线，Q ∴点的轨迹方程为:2213y x -=.【小问2详解】因为Q 点的轨迹方程为:2213yx -=，则1,2a c ==.当直线l 的方程为2x =时，则22213y -=，解得3y =（负舍，）则(2,3)P ，而3AC a c =+=，易知此时ACP △为等腰直角三角形，其中,24ACP PAC ππ∠=∠=，即2ACP PAC ∠=∠，即:2λ=，下证：2ACP PAC ∠=∠对直线l 斜率存在的情形也成立，设()11,P x y ，其中11x ≥，且12x ≠，因为()1,0A -，则111PA y k x =+，且221113y x -=，即()221131y x =-，()()()1111222221111221212tan tan 21tan 1111PA PAy x y k x PACPAC PAC k x y y x ⋅++∠∠====-∠-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，()()()()()()1111122111112121tan 22122131x y x y y PAC x x x x x ++-∴∠===-+--+--，11tan tan 22PC y ACP k PAC x -∴∠=-==∠-，∴结合正切函数在ππ0,,π22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的图象可知，2ACP PAC ∠=∠.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用先猜后证的思想，先得到直线斜率不存在时2λ=，然后通过二倍角得正切公式证明一般情况即可.22.（1）已知函数()()e xn f x x n =+，（,e n +∈N 为自然对数的底数），记()n f x 的最小值为n a ，求证：211e e ni i a =>-∑；（2）若对()()11,,e 12ln 0axx a x x x ∞⎛⎫∀∈++-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）对()n f x 求导，利用导数求出()n f x 最小值，即n a ，然后得到1ini a =∑，进而证明不等式；（2）将()1e12ln 0axa x x x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭变形为()()22e 11ln ax ax x x +≥+，构造函数()()ln 1g x x x =-，利用导数求单调性和最值，证明恒成立，求出a 的取值范围.【详解】（1）证明：因为()()e xn f x x n =+，()()()e e 1e xxxn f x x n x n =+'=+++，因为x +∈N ，()()1e xn f x x n =++'，当()()1e 0xn f x x n +'=+=时，即1x n =--，当1x n >--时，()0n f x '>，()n f x 在()1,n ∞--+，x +∈N 上单调递增，当1x n <--时，()0n f x '<，()n f x 在(),1n ∞---，x +∈N 上单调递减，当1x n =--时，()()1min 1e n n n f x f n --=--=-所以1en n a --=-，()211234112121e e e 1e e e e +e1e e e n n nn in i aa a a -----------=-⨯-=+++=-+++=-=--∑ 因为210e e <-，所以221e 1e e e e n -->--，即211e e ni i a =>-∑.综上，211e e ni i a =>-∑.（2）()()11,,e 12ln 0axx a x x x ∞⎛⎫∀∈++-+≥ ⎪⎝⎭，即()21e 12ln 0axx a x x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭，所以()()2e 121ln 0axax x x +-+≥，即()()22e 11ln axax x x +≥+，令()()ln 1g x x x =-，()()ln 11x g x x x =-+-'，()()()22112111x g x x x x -=-=---''，当12x <<时，()0g x ''<，当2x >时，()0g x ''>，所以()g x '在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()()22g x g ''≥=，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，因为()()22e 11ln axax x x +≥+，所以()()2e 11axg g x +≥+，即2e 111ax x +≥+>，即2e ax x ≥，即2ln ax x ≥，即2ln xa x≥，令()2ln x h x x =，()21ln 2xh x x -'=⨯，当()0h x '=时，e x =，当1e x <<时，()0h x '>，即()h x 在()1,e 上单调递增，当e x >时，()0h x '<，即()h x 在()e,∞+上单调递减，，所以()()max 2ln e 2e e eh x h ===，所以()max 2 ea h x≥=，所以a的取值范围为2,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：将原不等式进行构造，利用函数的单调性转化为2ln xax≥在()1,+∞上恒成立，利用分离参数思想再求最值即可.。
2020年7月重庆市普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷附答案
2020年7月重庆市普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷附答案一、单项选择题（共28小题 ，每小题3分，共84分）从每个小题的三个备选项中，选出一个最符合题目要求的答案。
1.已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2}，B={5}，那么（∁UA ）∪B=（ ）A.{0，1，2}B.{3，4，5}C.{1，4，5}2.对于实数a ，b ，c ，“ac2＞bc2”是“a ＞b ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件3.已知实数x ，y 满足xy-2=x+y ，且x ＞1，则y （x+11）的最小值为A.21B.24C.274.不等式-x2+2x-4＞0的解集为（ ）A.RB.∅C.{x|x ＞0，x ∈R ）5.已知实数a 满足：a2-1≤0．命题P ：函数y=x2-4ax-1在[-1，1]上单调递减．则命题P 为真命题的概率为（ ）A. 14B. 13C. 12 6.已知三个函数y=x3，y=3x ，y=log3x ，则A.定义域都为RB.值域都为RC.在其定义域上都是增函数 7.已知函数f (x )=2x cosx 4x +a 是偶函数，则函数f （x ）的最大值为） A.1B.2C. 12 8.函数f （x ）=cos x 2-√3sin x 2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象A.向左平移π3个单位B.向左平移2π3个单位C.向右平移π3个单位 9.已知sinβ+cosβ=−√2，β∈（0，2π），则tan β=( )A.1B.-1C.±110.化简AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 11.已知数列{an}的前n 项和Sn=n2，则数列{1an a n+1}的前2020项和为( ) A. 20194039 B. 40384039 C. 2020404112.将一个球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的( )A.2倍B.4倍C.8倍13.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是( )A. 2√3πB. 4√3πC. 4√3π314.已知直线l1：3x+（a-2）y+a=0与直线l2：ax+y+3=0平行，则实数a=( )A.-1或3B.3C.-115.如果A （1，3）关于直线l 的对称点为B （-5，1），则直线l 的方程是( )A. x-3y+8=0B.3x+y+4=0C.x+3y-4=016.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是( )A.模型1的相关指数R=0.2B.模型2的相关指数R=0.8C.模型3的相关指数R=0.917.某平台为一次活动设计了“a”、“b”、“c”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“aaab”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“aabb”），即可获奖．已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为( )A.9B.10C.1218.国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A.378B.306C.19819.已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|a＜x＜a+3}．若A∩B={x|0＜x＜2），则A∪B=( )A.{x|-2＜x＜3}B.{x|-1＜x＜3}C.{x|0＜x＜3}20.下列选项中，说法正确的是( )A.“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∃x0∈R，x02-x＞0”B.若向量满足，则与的夹角为钝角C.“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的必要条件21.已知函数f（x）=e x−1e x+1，a=f（20.3），b=f（0.20.3），c=f（log0.32），则a，b，c的大小关系为( ) A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.b＜c＜a22.设f（x）={elnxx,x>02020x,x≤0（其中e为自然对数的底数），g（x）=f2（x）-（2m-1）f（x）-2，若函数g（x）恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为( )A.m＜0B.m＜1C.m＞223.下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是( )A.y=cosxB.y=ln（x+1）C.y=cos(π2+x)24.已知向量=（-2，3），=（3，m），且⊥，则m =( )A. 92B.-2C.225.数列{an}中，若a1=2,a n+1=2a na n+2，则a7=( )A. 18B.17C.2726.等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=a2+2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m的值为A.1B.17C.6727.在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P-ABC的三视图的面积之和最大值为( )A.6B.7C.828.若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( )A.异面或平行B.异面或相交C.相交、平行或异面二、判断题（本大题共 8小题，每小题 2 分，共 16分）判断下列各小题的正误，正确的填涂“√”，错误的填涂“×”。
重庆市七校联盟2022-2023学年高一上数学期末学业水平测试模拟试题含解析
f
(x)
x
，将点 (4, 2) 代入得 4
=2
，解得
1 2
，则
f
x
1
x2 ，
1
所以
f
1 4
1 2 4
1 2
，答案
B.
【点睛】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.
9、B 【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点 M 和点 N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点 M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺, 可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
【详解】弧长为 π cm 的弧所对的圆心角为 π ，则 r r 4 44
S 1 r2 1 16 2
2
24
故选 C
【点睛】本题考查了扇形 面积，求出半径是解题的关键.
6、B 【解析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间.
【详解】因为 f 2 lg 2 4 5 lg 2 1 0 ， f 3 lg3 6 5 lg31 0 ， 所以函数 f x lg x 2x 5 在区间 2,3内有零点，所以 n 3 .
15．142(5) ______ (2) .
16．函数 y log0.5 4x 3 的定义域为_________.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数 f x sin x 3 cos x
（1）求不等式 f x ≤1的解集；
重庆市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷
重庆市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（）A．B．C．D．1第(2)题已知为复数单位，，则的模为（）A．B．1C．2D．4第(3)题“是第二象限角”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件第(4)题已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（）A．B．C．D．第(5)题在的二项展开式中，二项式系数的和为（）A．8B．16C．27D．81第(6)题已知命题p：若，则；命题q：若方程只有一个实根，则.下列命题中是真命题的是（）A．B．C．D．第(7)题已知命题，，则p的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(8)题已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列说法正确的有（）A．曲线在处的切线方程为B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解第(2)题a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，则第(3)题红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（）．A．事件A与事件C是独立事件B．事件A与事件B是互斥事件C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.第(2)题一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．第(3)题已知向量，，，且，则实数_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l 1交椭圆E于，两点，连接，，．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PA，PB的斜率分别为，．（ⅰ）求的值；（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值．第(2)题已知数列是首项为9，公比为的等比数列．(1)求的值；(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．第(3)题在直角坐标系中，直线的参数方程为，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求点的直角坐标；（2）若直线与曲线相交于两点，线段的中点横坐标为，求直线的普通方程.第(4)题某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．图1-图3中的相关边、角满足以下条件：直线与的交点是，，．米．小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．(1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长；(2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；(3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．第(5)题如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．(1)证明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．。
2023-2024学年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟试题(一)数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟试题（一）数学模拟试题一、单项选择题（共28小题，每小题3分，共84分）在每小题给出的三个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，则M N ⋂＝（）A.{}2 B.{3,4}C.{2,3,4,5}【正确答案】B【分析】根据交集运算法则即可计算得出M N ⋂.【详解】由{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，利用交集运算可得{}3,4M N ⋂=.故选：B2.已知函数3()23f x x x =-+，那么(2)f 的值（）A.3B.5C.7【正确答案】C【分析】把2x =代入解析式即可求解.【详解】3(2)22237f =-⨯+=.故选：C3.下列函数是奇函数的是（）A.sin y x =B.cos y x= C.ln y x=【正确答案】A【分析】根据函数奇偶性定义判断.【详解】对()sin ,R f x x x =∈，()()sin f x x f x -=-=-，故()sin f x x =为奇函数，故A 正确；对()cos ,R g x x x =∈，()()cos g x x g x -==，故()cos g x x =为偶函数，故B 错误；对()()ln ,0,h x x x =∈+∞，因为定义域没有对称性，故()ln h x x =既不是奇函数也不是偶函数，故C 错误.故选：A4.22log l 00og 81-=（）A.70B.2log 70C.3【正确答案】C【分析】根据对数运算公式求解.【详解】2322228080108231log log log log 0log ====-.故选：C5.若实数a ，b ，c 满足a b >，0c <，则（）A.ac bc >B.ac bc< C.a c b c+<+【正确答案】B【分析】根据不等式性质判断.【详解】因为a b >，0c <，所以ac bc <，故A 错误，B 正确；根据不等式可加性知a c b c +>+，故C 错误.故选：B6.下列值域是[)0,∞+的是（）A.y x= B.1y x=C.y =【正确答案】C【分析】分别求出各函数的值域.【详解】对A ：y x =值域为R ，故A 错误；对B ：1y x=值域为(),0(0,)-∞⋃+∞，故B 错误；对C ：y =的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭－，在定义域上为增函数，故值域为[)0,∞+，故C 正确.故选：C.7.圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A.1:1B.1:2C.2:1【正确答案】A【分析】按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.【详解】设球的半径的r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ，圆柱的侧面积=22π24πr r r ⋅=，球的表面积为24πr ，其比例为1:1，故选：A.8.已知圆锥的体积是3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径是（）A. B.C.3【正确答案】B【分析】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据圆锥的体积公式可得29h r =，根据圆锥的侧面积公式可得2l r =，再结合h =即可求解.【详解】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，如图所示：则圆锥的体积21π3π3V r h ==，所以29r h =，即29h r=，又212π2π2S rl r =⋅=侧，则2l r =，又h ==39=，故r =.故选：B9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，12AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积是（）A.6B.9C.18【正确答案】A【分析】根据题意证得AC ⊥平面11BDD B ，得到四棱锥11A BB D D -的高为2h =，结合体积公式，即可求解.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，连接AC 交BD 于点O ，可得AC BD ⊥，又由1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为1BD BB B ⋂=，且1,BD BB ⊂平面11BDD B ，可得AC ⊥平面11BDD B ，所以四棱锥11A BB D D -的高为322h AO ==，所以11A BB D D -的体积11113226332BB D D V S h =⋅=⨯⨯=.故选：A.10.若实数a ，b 满足i i(1i)a b +=-，则a b +=（）A.2B.2- C.1【正确答案】A【分析】利用复数相等求出,a b 即可.【详解】因为i i(1i)1i a b +=-=+，所以1,1a b ==，所以2a b +=，故选：A.11.点(1,1)到直线3420x y +-=的距离是（）A.1B.2C.【正确答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】515d ===，故选：A12.已知圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，则圆的标准方程是（）A.()222(2)1x y -+-=B.()222(2)2x y -++=C.()222(2)2x y -+-=【正确答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C 的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O 和(3,3)A ，所以圆心为(2,2)M ，直径为2R ==，所以圆的标准方程是()222(2)2x y -+-=.故选：C.13.直线:20+-=l x y 被圆22:9C x y +=截的的弦长为（）A. B. C.【正确答案】B【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理求出弦长.【详解】22:9C x y +=的圆心为()0,0，半径为3，则圆心到直线:20+-=l x y 的距离为d ==则:20+-=l x y 被圆22:9C x y +=截的的弦长为=故选：B14.王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（）组别数学小组写作小组体育小组音乐小组科技小组频率0.10.20.30.150.25A.10人B.9人C.8人【正确答案】A【分析】根据参加科技小组的频率，求出参加科技小组的人数.【详解】参加科技小组的频率0.25,则本班报名参加科技小组的人数是0.254010⨯=人.15.袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球是白球的概率为（）A.13B.23C.12D.15【正确答案】A【分析】根据样本空间和样本点和古典概型的概率即可求解.【详解】在任取1个球的事件中，取记i A 为取的是第i 个红球，记i B 为取的是第i 个白球，记i C 为取的是第i 个黄球，记取出的球是白球的事件为M ，所以样本空间{}123412345123456Ω,,,,,,,,,,,,,,A A A A B B B B B C C C C C C =,取出的球是白球的事件{}12345,,,,M B B B B B =，则取出的球是白球的概率为51153=，故选：A.16.函数()cos 6f x x =的最小正周期是（）A.π2B.π3 C.π4【正确答案】B【分析】利用周期公式2πT ω=，即可得答案.【详解】∵函数()cos 6f x x =，∴2π2ππ63T ω===，故选：B.17.已知角α的终边位于第二象限，则点(sin ,cos )P αα位于（）A.第二象限B.第三象限C.第四象限【正确答案】C【分析】根据角的终边所在象限，确定其正弦值和余弦值的符号，即可得出结果.【详解】因为角α的终边在第二象限，则sin 0α>，cos 0α<，所以点P 在第四象限．18.在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，则AC =（）A.a b +B.a b-C.2a b+【正确答案】A【分析】根据向量加法的平行四边形法则求解.【详解】平行四边形ABCD 中，AC AB AD a b =+=+.故选：A19.已知向量(1,2)a = ，(3,4)b = ，则32a b -=r r（）A.(3,4)B.(3,2)C.(3,2)--【正确答案】C【分析】根据向量的坐标运算，准确运算，即可求解.【详解】由向量(1,2)a = ，(3,4)b =，根据向量的坐标运算，可得32(3,2)a b -=--r r .故选：C.20.已知角α是第一象限角，3cos 5α=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.310B.34310- C.310【正确答案】B【分析】利用两角和差公式和同角三角函数的基本关系即可【详解】3cos 5α=，且角α是第一象限角，4sin 5α∴==，πππ3143cos cos cos sin sin 333525210ααα-⎛⎫∴+=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭.故选：B.21.若3cos210cos 1αα+=则cos2cos αα+=（）A.49-B.﹣1C.109【正确答案】A【分析】利用二倍角公式解出cos α即可.【详解】23cos210cos 6cos 310cos 1,αααα+==-+23cos 5cos ,20αα+-=∴cos ,576α-±=且11cos α≤≤-，,57163cos α∴-+==且2cos ,25cos 3αα-=2410cos 1741,cos cos2cos 23cos 1cos cos 39ααααααα∴-+--=+==-=-+故选：A.22.在ABC 中，若21,3cos 3,BC AC C ===，则sin B =（）A.6B.5C.6【正确答案】A【分析】根据余弦定理求得c =，再根据正弦定理即可求解.【详解】由题意可得1,3BC a AC b ====，AB c =，由余弦定理可得2222222cos 1321363c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c ，又2cos ,(0,π)3C C =∈，可得sin 3C =，利用正弦定理可知sin sin b cB C =,所以53sin 3sin 6b CB c⨯===.故选：A.23.下列数列中等差数列的是（）A.31n a n =+B.31nn a =+ C.2log 1n a n =+【正确答案】A【分析】根据等差数列的定义依次分析即可.【详解】对于A ，13n n a a +-=，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B ，113323n n nn n a a ++-=-=⨯，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C ，()2221log log l 1og 1n n n a a n n n++-=+-=，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A24.已知等差数列{}n a 的公差为2，前5项之和为25，则2a =（）A.2B.3C.4【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质求解.【详解】在等差数列{}n a 中，()155355252a a S a +==＝，所以35a =，所以23523a a d =-=-=.故选：B25.已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，则5S =（）A.162B.486C.242【正确答案】C【分析】根据等比数列求和公式求解即可.【详解】依题意，知等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，所以()5552133124213S ⨯-==-=-.故选：C.26.设a ，R b ∈，则“a b >”是“33a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件【正确答案】C【分析】根据()3f x x =单调性及充要条件的定义来判断即得．【详解】因为()3f x x =在R 上为增函数，则a b >可以推出33a b >，反之，若33a b >，则可推出a b >，所以“a b >”是“33a b >”的充分必要条件.故选：C.27.已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝4，则ab 的最大值是（）A.B.2C.4【正确答案】D【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】()211212422222a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭，等号成立条件是2a b =，即244a b b +==时取等号，即当且仅当2,1a b ==时取等号，所以ab 的最大值是4.故选：D .28.已知0.12a =，0.20.5b =，0.5log 1.1c =，则（）A.c<a<bB.c b a<< C.b a c<<【正确答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1进行比较即可.【详解】由已知0.12a =，0.20.20.210.522b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭∵指数函数()2xf x =在R 上单调递增，且值域为()0,∞+，∴()()()00.200.1f f f <-<<，∴0.200.102212-<<=<，即01b a<<<又∵对数函数()0.5log g x x =在区间()0,∞+单调递减，∴()()1.11g g <，即0.50.5log 1.1log 10<=，即0c <.综上所述，a ，b ，c 的大小关系为c b a <<.故选：B.二、判断题（共8个小题，每个题2分，共16分）判断下列各小题正误，正确的写正确，错误的写错误29.方向相同的两个向量是相等向量.（）【正确答案】×【分析】根据相等向量的定义即可判断.【详解】因为方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，所以方向相同的两个向量是相等向量是错误的.故×30.已知直线l //平面α，则直线l 平行平面内任意一条直线.（）【正确答案】错误【分析】根据线面的位置关系以及直线与平面平行的性质定理判定.【详解】已知直线l //平面α，根据线面平行的性质定理，直线l 平行于过直线l 的平面与平面α的形成的交线.故错误.31.已知点(1,3),(2,9)A B ，则直线AB 的斜率为6.（）【正确答案】正确【分析】根据直线的斜率公式，即可求解.【详解】由(1,3),(2,9)A B ，根据斜率公式，可得93621AB k -==-，所以是正确的.故正确32.方差反应了一组数据的离散程度.（）【正确答案】√【分析】根据方差的意义即可判断.【详解】根据方差的意义可知，方差反应了一组数据的离散程度，所以方差反应了一组数据的离散程度是正确的.故√33.掷一枚骰子，事件“双数朝上”的概率为12，则掷100次，刚好有50次双数朝上.（）【正确答案】错误【分析】根据概率的意义判断.【详解】掷一枚骰子，事件“双数朝上”的概率为12，当此试验重复多次后双数朝上”的概率稳定在12附近，它是一个随机事件，所以不能确定掷100次中双数朝上的次数.故错误34.对于函数1ln 1y x x =+-的定义域为{|1}x x ≠.（）【正确答案】×【分析】根据对数函数和分式函数的定义域即可求解.【详解】因为1ln 1y x x =+-而ln x 中的真数0x >，分式11x -中的1x ≠，所以1ln 1y x x =+-的定义域为{|0x x >且1}x ≠，故×.35.圆锥是以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体.（）【正确答案】正确【分析】根据圆锥的定义判断.【详解】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥，故以上说法正确.故正确.36.函数y x =与函数2y =表示同一个函数.（）【正确答案】×【分析】利用函数的定义进行判断即可【详解】因为y x =的定义域为R ，而2y =的定义域为[)0+∞，，所以函数y x =与函数2y =不是同一个函数.故×。
2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题(高频考点版)
一、单选题1. 中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．右图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体，、、、对应四个三棱柱，、、、对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，则四棱锥与三棱柱的体积之比为（）A ．3:1B ．1:3C ．2:3D ．1:62. 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数，若，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中，，若令，请依据上述算法，估算的近似值是（ ）A．B．C．D．3.单位圆上有两定点，及两动点，且.则的最大值是（ ）A．B．C．D．4. 已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为( )A ．3B．C．D ．25. 在的展开式中，的系数为（ ）A．B ．21C ．189D．6. 函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D ．向右平移个单位长度7. 某车间加工某种机器的零件数（单位：个）与加工这些零件所花费的时间（单位：min）之间的对应数据如下表所示：个102030405062687581892023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(高频考点版)2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题由表中的数据可得回归直线方程，则加工70个零件比加工60个零件大约多用（ ）A．B．C．D．8.如图，四棱锥中，，和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为（）A．B．C．D．9.已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）．A．B．C．D．10. 已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）A．B．⊥平面C ．在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3D．圆锥内切球的表面积为11. 已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）A．函数的一个对称点为B ．当时，函数的最小值为C．若，则的值为D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位12.若函数是定义域为的单调函数，且对任意的，都有，且方程在区间上有两个不同解，则实数的取值可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．313. 曲线在点处的切线方程为__________.14.一个圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________.15. 已知向量，，则向量与的夹角为__________．16. 某电视节目为选拔出现场录制嘉宾，在众多候选人中随机抽取名选手，按选手身高分组，得到的频率分布表如图所示.(1)请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；(2)为选拔出舞台嘉宾，决定在第、、组中用分层抽样抽取人上台，求第、、组每组各抽取多少人？(3)在（2）的前提下，电视节目主持人会在上台人中随机抽取人表演节目，求第组至少有一人被抽取的概率？组号分组频数频率第1组第2组第3组第4组第5组合计17. 已知函数．(1)如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；(2)当时，讨论的单调性；(3)当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值．18. 某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人．(1)求直方图中x，y的值；(2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为，求的分布列及数学期望．19. 如图在长方体中，，，，点为的中点，点为的中点．（1）求长方体的体积；（2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）．20. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：．(1)若为等差数列，求；(2)若，求的前项和．21. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.(1)求的概率；(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.。
2024年重庆市中考模拟测试数学试卷(一)
2024年重庆市中考模拟测试数学试卷（一）一、单选题1．5-的绝对值是（ ） A ．5B ．15C ．15-D ．5-2．下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，某人沿路线A B C D →→→行走，AB 与CD 方向相同，1128∠=︒，则2∠=（ ）A ．52︒B ．118︒C ．128︒D ．138︒4．如图，D ，E 分别是ABC ∆的边AC ，AB 上的点，ADE ABC △△∽．如果:4:7AD AB =，则:DE BC 的值为（ ）A ．16:49B ．4:7C ．4:14D ．8:75．已知点()3,A m 和点(),2B n 关于x 轴对称，则下列各点不在反比例函数mny x=的图象上的点是（ ） A ．()3,2-B ．()3,2-C ．()1,6--D ．()1,6-6．用正三角形、正四边形和正六边形按如下规律镶嵌平面图案，第一个图案中有正三角形6个，第二个图案中有正三角形10个，…，则第12个图案中正三角形的个数为（ ）A ．48B ．50C ．52D ．547．估计） A ．3和4之间 B ．4和5之间 C ．5和6之间 D ．7和8之间8．如图，BC 是O e 的切线，切点为B ，A 是O e 上一点，连接OA ，OC 和AB ，OC 和AB 交于点D ，CD CB =，22BAO ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．43︒C ．44︒D ．45︒9．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，点E 为线段BC 的中点，连接OE ，若90BAC ∠=︒，3AE =，4AC =，则OE 的长为（ ）A B ．C ．5D ．5210．对于多项式a b c d e --++，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b 和d 进行“加负运算”，得到：()()a b c d e a b c d e ---+-+=+--+．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（ ）①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到a b c d e ----；②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的代数式A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11()04π-的结果是．12．甲袋中装有一个红球和两个黑球，乙袋中装有两个红球和一个黑球，两袋中的球除了颜色不同外其他都相同，如果从两袋中各随机摸出一个球，则摸出的两个球颜色不相同的概率是．13．图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中90C E ∠=∠=︒，A B D ∠=∠=∠，则A ∠的度数是．14．如图，在ABC V 中，过点A 作AD BC ⊥于D ，过点B 作BF AC ⊥于F 交AD 于E ，已知AC BE =，5BD =，2CD =，则AE 的长为．15．2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒．后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，设每盒价格降低x 元，则可列方程为． 16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，BC ＝4，∠BCA ＝30°，E 为AD 上一点，以点A 为圆心，AE 长为半径画弧，交BC 于点F ，若BF ＝AB ，则图中阴影部分的面积为（结果保留��）．17．若数a 使关于x 的不等式组()362224x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-≤+⎩的解集为<2x -，且使关于y 的分式方程1311--=-++y ay y 的解为负数，则符合条件的所有整数a 的和为． 18．对于一个各位数字都不为零的四位正整数N ，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N 为“三生有幸数”，例如：5321N =，∵523=+，313=⨯，∴5321是个“三生有幸数”；又如8642N =，∵843≠+，∴8642不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是．若将N 的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N 的“反序数”，记作N '，例如：5321N =，其“反序数”1235N '=．若一个“三生有幸数”N 的十位数字为x ，个位数字为y ，设()1881N N xP N '--=，若()P N 除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N 的最大值与最小值的差是．三、解答题 19．化简：(1)()()2212x x x -+-；(2)221x x xy y y ⎛⎫++÷ ⎪⎝⎭． 20．在学习矩形时，小南思考怎么在矩形ABCD 里面剪出一个平行四边形，小南的思路是：连接AC ，作ADC ∠的平分线DF ，交AC 于点F ，作ABC ∠的平分线BE ，交AC 于点E ，连接DE ，BF ，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形BEDF是平行四边形．(1)尺规作图：作ABC ∠的平分线BE ，交AC 于点E ，连接DE ，BF ．（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：四边形BEDF 是平行四边形． 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD CD AB CDA ABC =∠=∠，∥，， ∵CD AB ∥， ∴BAE ∠= ，∵BE ，DF 分别平分ABC ∠，ADC ∠，∴12ABE ABC ∠=∠，12CDF CDA ∠=∠，∴ ，∴()ASA ABE CDF ≌△△， ∴BE DF AEB CFD =∠=∠，， ∵180AEB BEF ∠+∠=︒180CFD DFE ∠+∠=︒∴BEF ∠= ． ∴BE DF ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形（ ）．21．四月，正是春暖花开、草长莺飞的时节．“时光花店”里各类鲜花的销量都逐步增长，其中大家最喜欢购买的品种是香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花．店主对最近10天香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花的销售额进行统计，记录下两种鲜花的销售额（单位：元），并作了整理、描述和分析（每天的销售额用x 表示，共分为三个等级，其中A ：400500x ≤<，B ：300400x ≤<，C ：200300x ≤<），下面给出了部分信息：10天里香槟玫瑰的销售额：500，430，370，290，300，360，260，280，360，450． 10天里铃兰的销售额中“B ”等级包含的所有数据为：360，370，370，370． 10天里香槟政瑰和铃兰销售额的统计表根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a = ，b = ；(2)若四月除去休息日，共开店25天，估计“时光花店”本月的铃兰销售额达到“A ”等级的天数； (3)根据以上数据，你认为四月里香摈玫瑰和铃兰两种鲜花的销售情况哪种更好？请说明理由（写出一条理由即可）．22．如图，在矩形ABCD 中，28cm BC AB ==，点Q 是BC 边的中点，动点P 从点B 出发，沿着B A D C →→→运动，到达点C 后停止运动．已知速度2P v =cm/秒，令BPQ S y =△，运动时间为t 秒（08t <<）．请解答下列问题：(1)求出y 与t 之间的函数表达式，标明自变量的取值范围，并画出函数图象； (2)请写出该函数的一条性质； (3)当4BPQ S =△时，求出t 的值．23．绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A 、B 两种型号的颜料，若购买1盒A 种型号的颜料和2盒B 种型号的颜料需用56元；若购买2盒A 种型号的颜料和1盒B 种型号的颜料需用64元．(1)求每盒A 种型号的颜料和每盒B 种型号的颜料各多少元；(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A 种型号的颜料？24．五一假期期间，小育和小才约定一同去某公园游玩，如图，该公园有A B 、两个门．经测量，东门A 在西门B 的正东方向，400AB ＝米．小育自公园东门A 处出发，沿北偏西45︒方向前往游乐场D 处；小才自西门B 处出发，沿正北方向行走一段距离到达C 处后，然后沿北偏东60︒方向行走200米到达游乐场D 处与小育汇合．(1)求公园东门A 与游乐场D 之间的距离（结果保留根号）；(2)若小育和小才两人分别从A B ，两门同时出发，假设两人前往游乐场D 的速度相同．请计算说明小育和小才谁先到达游乐场D 1.4 1.7 2.4≈） 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x bx c =-++与直线AB 交于点()()0,4,3,0A B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一动点，连接OP 交AB 于点C ，求PCCO的最大值及此时点P 的坐标； (3)在（2）中PCCO取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后点P ，B 的对应点分别为E ，F ，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，连接BE ，DE ，且BE DE =，直线DE 交BC 于点F ．(1)如图①，当点D 在线段AB 上时，AD 4AC =，求BE 的长； (2)如图②，当D 是AB 的中点时，求证：CE CF BF +=；(3)如图③，连接CD ，将A D C △沿着CD 翻折，得到A CD '△，M 是AB 上一点，且37BM AB =，当A M '最短时，请直接写出DFBE的值．。
2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知，，那么是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ）A．B．C．D．3. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）A．B．C．D．4.已知函数，，，的最小值为，且，则下列说法正确的是（ ）A ．的最小正周期为B．的对称中心为，C ．的单调增区间为，D ．当时，的值域为5. 已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B两点，设直线的倾斜角为，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.的展开式中的系数是，则实数的值为（ ）A．B．C．D．7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．8. 已知，则等于（ ）A．B．C．D．9. 如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（）A ．直线为异面直线2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题三、填空题四、解答题B．平面C．过点的平面截正方体的截面面积为D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是10. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，将分别绕边，，所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为，，，侧面积分别记为，，，则（ ）A．B．C．D．11. 设函数，则（ ）A ．是偶函数B ．在上单调递减C．的最大值为2D．的图象关于直线对称12. 已知，设，其中则（ ）A．B．C ．若，则D．13. 函数是定义在上的奇函数，且满足.当时，，则__________.14.在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为______．15.的展开式中二项式系数和为32，则展开式中项的系数为___________.16.已知，分别为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，.且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)若过的直线与椭圆交于，两点，且与以为直径的圆交于，两点，试问是否存在常数，使为常数?若存在，求的值；若不存在，说明理由.17. 已知分别为三个内角的对边,．（1）求角A ； （2）若,的面积为,求的周长．18. 已知的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，若．(1)求角A 的值；(2)若，求面积S 的最大值．19. 如图，在四棱锥中，（1）证明.（2）若平面平面，经过的平面将四棱锥分成的左､右两部分的体积之比为，求平面截四棱锥的截面面积20. 已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若，是函数的两个极值点，且，求证：.21. 已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值.。
重庆市普通高中2020级学生学业水平考试数学模-拟试题
a
b
4.
函数f x
_sin(x)的一条对称轴为()
(A )
x._
(B)x…(C)
x __
(D):
x __
4
4
2
4
2
(
)
枚骰子，掷出的点数恰好是
3的倍数的概率为
5.随机投掷1
(A)1
2
、，if八
8.函数y =sin2x+—
V6丿
I
L.
J
1
」」
I
1F i
L
1^.
n
F*—1
15.以下命题(表示m,I直线，表示平面)正确的个数有()
①若I //m, m；=氐，则III.；②若I //-, m:则I//m
③若l,m|翌匕曙，则I m④若I」二，mj_I，则mII。
A、0个B、1个C、2个D、3个
二、填空题(共4道小题，每小题3分，共12分)
16•cos75°cos15°sin2550sin1650的值是
rrr r
17.若向量a =(1, x), b =(2,1), ab，则x的值为
18.函数f(X)1的定义域为
log」(2x七1)
2
0
20.若非负数x, y满足约束条件则xy的最大值为
&子2y兰4
三、解答题(共5小题，共40分)
21.(本小题满分10分)已知直线I过点(1,2)且与直线m:x 2y1£平行。
(1)求直线I的方程；(2)求圆C:(x1)2•(y1)2-2的圆心C到直线I的距离
(1)设bn=an1一2an,求证｛ bn｝是等比数列
a
(2)设Cn__nn，求证｛ Cn｝是等差数列
重庆实验中学2023届数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析
（2）当直线 与圆 相切时，求实数 的值；
（3）若直线 与圆 交于 两点，且 ，求此时实数 的值.
20．定义在 上的函数 满足对于任意实数 ， 都有 ，且当 时， ，
（1）判断 的奇偶性并证明；
（2）判断 的单调性，并求当 时， 的最大值及最小值；
（3）解关于 的不等式 .
当 时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为 升.
【解析】（1）根据题意，可知当 时，求出 的值，结合条件得出 ，再结合 ，即可得出车速 的取值范围；
（2）设该汽车行驶100千米的油耗为 升，得出关于 与 的函数关系式，通过换元令 ，则 ，得出 与 的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出 的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【详解】（Ⅰ） ， .
因此，实验室这一天的最大温差为 ；
（Ⅱ）当 时， ，
令 ，得 ，
所以 ，解得 ，
因此，实验室从中午 点到晚上 点需要降温.
【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
17、（1） ；
（2）当 时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为 升；
11．已知点 在角 的终边上，则 ___________；
12．已知函数 ，若函数 恰有4个不同的零点，则实数 的取值范围是________.
13．设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
A. B. C. D.
14．已知函数 ，则 的值是________
15．已知 是定义域为R的奇函数，且当 时， ，则 的值是___________.
（2）根据 可知 ，从而求得结果.
【小问1详解】
重庆市区县2024学年数学高三第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
重庆市区县2024学年数学高三第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．132．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()U A B =（ ） A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+ 3．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( )A．3-B．3 C．2 D．24．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B． C．⎤⎦ D ．[]1,45．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.8 6．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x = 7．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<<D ．116a > 8．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．B ．8C ．D ．49．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种 10．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y x =±C ．y =D ．y =11．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，cos 7C -=，则ABC 的面积为（ ）A B C D 12．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2BCD ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
《试卷4份集锦》重庆市渝中区2022届数学高一(上)期末学业水平测试模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围为（） A.12(,)33B.12[,)33C.12(,)23D.12[,)232．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（ ） A.B.C.D.3．函数的图象大致是( )A. B.C. D.4．直角坐标系xOy 中，已知点P(2﹣t ，2t ﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l ：0ax by +=．若对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，则点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为 A ．(0，2)B ．(2，3)C ．(25，115) D ．(25，3) 5．圆221:460C x y x y +-+=和圆222:60C x y x +-=交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程是( ) A.30x y ++= B.250x y --= C.390x y --= D.4370x y -+= 6．直线关于直线对称的直线方程是（ ）A.B.C.D.7．关于x 的方程lg 1|(0)x a a -=的所有实数解的和为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．88．张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加 A.尺B.尺C.尺D.尺9．若实数,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A.3B.4C.5D.610．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1411．已知角的终边与单位圆交于点，则A ．B ．C ．D ．12．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A ．，B ．， C ．，，共面D ．，，共点，，共面二、填空题13．已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________． 14．在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线交于另一点.若，则直线的方程为__________，圆的标准方程为__________．15．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ϕ=_______，ω=_________．16．若直线0x y m ++=上存在点P 可作圆:O 221x y +=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，且60APB ︒∠=，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且35141350,,,S S a a a +=成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}nnb a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的最大值为222-为π，且图象过20,.4⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ()1求函数()f x 的解析式；()2求函数()f x 的单调递增区间．19．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份t(年) 1 2 3 4 5维护费y(万元) 1.1 1.5 1.8 2.2 2.4(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程；(Ⅱ)若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．(参考公式：ni ii1n22ii1x y nxyBx nx==-=-∑∑，a y bx)=-20．已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A∪B=A,求由实数m的值组成的集合.21．已知函数2()()f x x ax a R=-∈.（1）若2a=，求不等式()3f x≥的解集；（2）若[1,)x∈+∞时，2()2f x x≥--恒成立，求a的取值范围.22．在一条笔直公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑着摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲乙两人离A地的距离与行驶时间之间的函数图象，根据图象解答以下问题：直接写出，与x之间的函数关系式不必写过程，求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线对讲机保持联系，求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；若甲乙两人离A地的距离之积为，求出函数的表达式，并求出它的最大值．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B D C C A B C B B D B二、填空题13．614．15．2π2或2316．三、解答题17．（1）21na n=+；（2）3nnT n=⋅18．（1）()32π2f x2x6⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）ππkπ,kπ63⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z∈.19．（Ⅰ）y0.33t0.81$=+；（2）甲更有道理.20．110,-,-23⎧⎫⎨⎬⎩⎭21．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞. 22．（1）M （，），甲乙经过h 第一次相遇，此时离A 距离km ；（2）甲乙两人能够用无线对讲机保持联系；（3）可得f （x ）的最大值为f （2）=1600．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知ABC ∆中，2a =，3b =，60B =o ，那么角A 等于（ ）A.135oB.45oC.135o 或45oD.90o2．已知点(5,0),(1,3)A B ---，点P 是圆22:(1)1C x y -+=上任意一点，则PAB ∆面积的最大值是（ ） A.11B.232 C.13D.272 3．若[0,]x π∈，则函数()cos 3sin f x x x =-的单调递增区间为（ ) A.5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2π,π3轾犏犏臌C.50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．若数列对任意满足，下面给出关于数列的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③可以既是等差又是等比数列；④可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设函数()f x 的定义域为A ，且满足任意x A ∈恒有()()22f x f x +-=的函数是( ) A ．()2log f x x =B ．()2xf x =C ．()1xf x x =- D ．()2f x x =6．若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．27．计算cos(－780°)的值是 ( ) A ．－32B ．－12C ．1 2D ．328．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．56B ．5-C 6D 259．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( ) A.5B.6C.7D.810．某工厂生产了60个零件，现将所有零件随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为5的样本．已知4号、16号、40号、52号零件在样本中，则样本中还有一个零件的编号是（ ） A ．26B ．28C ．30D ．3211．老师给出了一个定义在R 上的二次函数()f x ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(,0]-∞上函数()f x 单调递减； 乙：在[0,)+∞上函数()f x 单调递增； 丙：函数()f x 的图象关于直线1x =对称； 丁：(0)f 不是函数()f x 的最小值．若该老师说：你们四个同学中恰好有三个人说法正确，那么你认为说法错误的同学是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比(01)q ∈，.若355a a =＋，26·4a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1211n S S S n+++L 取最大值时，n 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．8或9D ．17二、填空题13．定义新运算⊗：当m≥n 时，m ⊗n ＝m ；当m ＜n 时，m ⊗n ＝n ．设函数f （x ）＝[（2x⊗2）﹣（1⊗log 2x ）]•2x ，则f （x ）在（0，2）上值域为______．14．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||AM =u u u u r________.15．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出下列结论：①PB AE ⊥；②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE ⊥平面PDE ；④异面直线PD 与BC 所成角为45o ； ⑤直线PD 与平面PAB 所成角的余弦值为104. 其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C =________．三、解答题17．设()21g x x mx =-+．(1)若()0g x x≥对任意0x >恒成立，求实数m 的取值范围；(2)讨论关于x 的不等式()0g x ≥的解集．18．已知函数21()cos sin cos 2f x x x x =--(1)求函数()f x 的最小正周期和()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域； (2)若32()10f α=，求sin 4α的值 19．已知函数且．当时，，求实数x 的取值范围． 若在上的最大值大于0，求a 的取值范围．20．某地居民用水采用阶梯水价，其标准为：每户每月用水量不超过15吨的部分，每吨3元；超过15吨但不超过25吨的部分，每吨4.5元；超过25吨的部分，每吨6元. （1）求某户居民每月需交水费y （元）关于用水量x （吨）的函数关系式； （2）若A 户居民某月交水费67.5元，求A 户居民该月的用水量. 21．解关于 x 的不等式 ()()22140ax a x a R -++>∈．22．求经过M （-1，2），且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x+y+5=0平行； （2）与直线2x+y+5=0垂直. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B B C C C D D B BC13．()1,12 14． 15．①③④⑤ 16．29arccos 48π-. 三、解答题17．（1）2m ≤；（2）略. 18．（1）略；（2）72519．（1）；（2）20．（1）3,0154.522.5,1525660,25x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩； （2）A 户居民该月的用水量为20吨.21．答案略.22．（1）20x y +=（2）250x y -+=2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则2．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）A ．83B ．22C ．3D ．43 3．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.4．已知函数的定义域为R ，当时，，当时，，当时，，则A ．B ．C ．1D ．2 5．已知直线， ， ，若且，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．函数0.5log (43)y x =-的定义域为（ ）A.（34，1） B.（34，∞） C.（1，+∞） D.（34，1）∪（1，+∞） 7．将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（ ） A ．sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．已知a b >，则不等式22a b >，11a b <，11a b a>-中不成立的个数为A.0B.1C.2D.39．两灯塔与海洋观察站的距离都等于，灯塔在北偏东，在南偏东，则之间的距离为A ．B ．C ．D ．10．《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的12是较小的三份之和，则最小的1份为 A.53磅 B.119磅 C.103磅 D.209磅 11．实数时图像连续不断的函数定义域中的三个数，且满足，，，则函数在区间上的零点个数为（ ）A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少是212．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A.22(2)(2)1x y ++-= B.22(2)(2)1x y -++= C.22(2)(2)1x y +++= D.22(2)(2)1x y -+-=二、填空题13．设m R ∈，过定点A 的直线1:0l x my +=和过定点B 的直线2:420l mx y m --+=，两条直线相交于点P ，点P 的轨迹为曲线C . 则 （1）定点B 的坐标是___________；（2）设点(,)x y 是曲线C 上的任意一点，那么x y +的取值范围是___________. 14．已知函数()()()2256f x x xxx =+-+，则()f x 的最小值为____.15．已知0a >，0b >，182+1a b +=，则2a b +的最小值为__________． 16．已知数列{}n a 满足：217n a n =-，其前n 项的和为n S ，则13S =_____，当n S 取得最小值时，n 的值为______. 三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP =∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若2PA PD AB DC ====，90APD ∠=︒，二面角A PB C --的大小为θ，求cos θ. 18．某学生用“五点法”作函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象时，在列表过程中，列出了部分数据如表：x ωϕ+2π π32π 2πx6π 512π()f x22-(1)求函数f x 的解析式，并求f x 的最小正周期；(2)若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．19．(1)求值：100271lg2log 5log 7log 322++⋅； (2)已知α为第四象限角，且()()()()sin 2019cos tan 13tan cos 2παπααππαα---=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭，求sin α的值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2+ay=0（a ＞0），直线l ：x-7y-2=0，且直线l 与圆M 相交于不同的两点A ，B ． （1）若a=4，求弦AB 的长；（2）设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2=16，求圆M 的方程． 21．已知直线:120()l kx y k k -++=∈R ．（1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．22．现从某学校高一年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求这50名男生身高的中位数，并估计该校高一全体男生的平均身高；（2）求这50名男生当中身高不低于176cm 的人数，并且在这50名身高不低于176cm 的男生中任意抽取2人，求这2人身高都低于180cm 的概率. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B A B A A D A D DB13．(4,2) [3-+ 14．94- 15．816．39- 8 三、解答题17．（1）略；（2）18．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期T π=；（2）(]2,1--.19．(1)11 2；(2) 3-.20．（1（2）x 2+y 2+2y=0 21．（1）k≥0；（2）面积最小值为4，此时直线方程为：x ﹣2y+4=022．(1) 这50名男生身高的中位数为168.25，该校高一全体男生的平均身高为168.72（cm ）; (2) 2()5P A =.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知数列{}n a 满足1212,(*)n n a a a a n +=>∈N ，则（ ） A ．35a a ＞B ．35a a <C ．24a a >D ．24a a <2．如图，ABC △中，E F ，分别是BC AC ，边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG =u u u r（ ）A.1122AB AC +u u ur u u u r B.1233AB AC +u u ur u u u r C.1133AB AC +uuu r uuu r D.2133AB AC +u u ur u u u r 3．已知函数的值域为，且图像在同一周期内过两点，则的值分别为（ ）A. B.C.D.4．已知两条直线,a b 与两个平面,αβ，给出下列命题:①若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥；②若,,,a b a b αββα⊂⊂P P ，则αβ∥； ③若,,a b αβαβ⊥⊥P ，则a b ∥；④若,,a b αβαβ⊥P P ，则a b ∥； 其中正确的命题个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．45．若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(,1)(1,)-∞-+∞UD ．(1,1)-6．四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③②7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，已知函数23()21x x f x +=+，则函数[()]y f x =的值域为（ ）A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2} 8．若圆锥的横截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A.πB.2πC.3πD.4π9．函数()2()212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为 ( )A.105a <≤B. 105a ≤≤C. 105a <≤D.15a >10．已知函数π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若f ()x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32,则 m 的最小值是 A ．2π B ．3π C ．6πD ．12π11．已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数的图象可能是A ．B ．C ．D ．12．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( )A ．8B ．43C ．42D ．4二、填空题13．已知函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><一部分图象如图所示，则ω=______，函数()f x 的单调递增区间为______．14．已知，则的最小值为____________。
2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题
一、单选题1.已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知向量，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 3月12日是植树节，某地区有375人参与植树，植树的树种及数量的折线图如图所示．植树后，该地区农业局根据树种用分层抽样的方法抽取75棵树，请专业人士查看植树的情况，则被抽取的柳树的棵数为（）A ．20B ．25C ．40D ．504. 在的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）A ．84B ．85C ．127D ．1285. 设[x]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有A ．[－x]=－[x]B ．[x + ]=[x]C ．[2x]=2[x]D．6.已知，，，则的最小值为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．287. 南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就．在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前n 项和为，，则的值为（）A ．4041B ．4043C ．4039D ．40378. 已知，则（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a 9. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（ ）2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题二、多选题三、填空题四、填空题A．B．C．D．10. 已知，不等式对成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．11. 下列说法不正确的是（ ）A ．存在，使得B．函数的最小正周期为C ．函数的一个对称中心为D ．若角的终边经过点，则角是第三象限角12. 关于函数，下列判断正确的是（ ）A ．是的极小值点B．函数图像上的点到直线的最短距离为C ．函数有且只有1个零点D ．不存在正实数k ，使成立13. 函数对任意实数x 都有，若，，则以下结论正确的是（ ）A ．函数对任意实数x都有B ．函数是偶函数C ．函数是奇函数D ．函数，都是周期函数，且是它们的一个周期14. 在正三棱台中，，，，，，过MN 与平行的平面记为，则下列命题正确的是（ ）A ．四面体的体积为B ．四面体外接球的表面积为C ．截棱台所得截面面积为2D ．将棱台分成两部分的体积比为15. 已知函数，则不等式的解集为______．16. 的二项展开式中的常数项是_______.(用数字作答）17.在中，，若点M 满足，则______.18.已知常数满足，其中，函数，则的最大值为_________，当取得最大值时，_______．五、解答题六、解答题七、解答题19.展开式中，项的系数为________；所有项系数的和为________.20. 已知为锐角，，求的值.21.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.22. 如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面△ABC 是边长为2的等边三角形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，AB 1＝BB 1＝2.（1）过B 1作出三棱柱的一个截面，使AB 与截面垂直，并给出证明；（2）过C 作平面α//平面AB 1C 1，且平面α∩平面ACC 1A 1＝l ，求l 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值.23. 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：（1）若甲单位数据的平均数是122，求；（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望.24. 如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝90°，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC中点．(1)求证：平面PBC ；(2)求证：AB ⊥PE ；(3)求二面角A －PB －E 的大小．八、解答题九、解答题25. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．(1)你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；(2)如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X ，求X 的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．26.已知抛物线的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F ．(1)求抛物线的方程及a ；(2)已知O 为坐标原点，过点的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若，点N 满足，且最小值为，求椭圆的离心率．。
2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．72. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数的图象经过（ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（0，0）D ．（2，0）4. 已知四棱台的下底面为矩形，，高为，且该棱台的体积为，则该棱台上底面的周长的最小值是（ ）A ．15B ．14C ．13D ．125. 如果点位于第三象限，那么角所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.过圆上的点P 作圆的切线，切点为Q ，则的最小值为（ ）A ．2B．C．D．7. 正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为，则生成它的正方体的棱长为（ ）A ．2B．C．D ．48. 已知，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知向量，，，其中，则下列命题正确的是（ ）A ．在上的投影向量为B．的最小值是C ．若，则D ．若，则10.已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，直线与圆相离B ．若直线是圆的一条对称轴，则C ．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为D ．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．是以为周期的函数B ．直线是曲线的对称轴C．函数的最大值为，最小值为D ．若函数在区间上恰有2023个零点，则2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(2)2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(2)三、填空题四、解答题12. 已知函数的部分图象如图所示，且，若为奇函数，则可能取值为（）A．B．C．D．13. 函数的周期为________．14.已知抛物线的焦点为，过点的直线在轴上方与抛物线相交于不同的A ，B 两点，若，则点到抛物线准线的距离为______．15.已知抛物线，圆，直线与交于A ，B 两点，与交于M ，N 两点，若，则______．16. 某工厂用A ，B 两台机器生产同一种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器生产的产品质量，分别用两台机器各生产了100件产品，产品的质量情况统计如表：一级品二级品合计A 机器7030100B 机器8020100合计15050200(1)若用A ，B 两台机器各生产该产品5万件，用频率估计概率，试估算此次生产的一级品的数量有多少万件？(2)能否有90%的把握认为A 机器生产的产品质量与B 机器生产的产品质量有差异？附：，其中．0.150.100.052.0722.7063.84117. （注意：在试题卷上作答无效）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．18. 现给出一位同学在7月和8月进行的米短跑测试成绩（单位：秒）：8月7月记7月､8月成绩的样本平均数分别为，，样本方差分别为，.附：①统计量可在一定程度上说明两组成绩的差异（当时，可认为两组成绩有显著差异）；②若满足，则可说明成绩有显著提高.(1)判断该同学的两组成绩是否有显著差异，并说明理由；(2)判断该同学的成绩是否有显著提高，并说明理由.19. 已知数列{a n }满足，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.20.已知实数集，定义．(1)若，求；(2)若，求集合A ；(3)若A 中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．21. 已知椭圆C ：1（a ＞b ＞0）的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为4．(1)若P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积；(2)我们称圆心在椭圆C 上运动，半径为的圆是椭圆C 的“卫星圆”，过原点O 作椭圆C 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A ，B 两点，若直线OA ，OB 的斜率存在，记为k 1，k 2．①求证：k 1k 2为定值；②试问|OA |2+|OB |2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。
2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题(3)
一、单选题二、多选题1. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ）A．B．C．D．2. 已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）A．B．C．D．3. 若是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记的斜率分别为，且，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．4.设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，． 数列的前项和为，则使得成立的的最小值为（ ）A ．1179B ．1178C ．2019D ．20185. 正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积为36，则生成它的正方体的棱长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．36. 等差数列的首项为1，对，满足．则（ ）A ．4042B ．4041C ．4040D ．40397. 已知，，且在区间内有最大值，无最小值，则可能的值为（ ）A．B．C．D．8. 已知点是角的终边与单位圆的交点，则（ ）A．B．C．D．9.已知函数，则函数的图象可能是（ ）A． B．C． D．10.若（为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）A．B．C．D．2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(3)2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(3)三、填空题四、解答题11.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P 在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则（）A ．CP长度的最小值为B ．存在点P，使得C ．存在点P ，存在点，使得D ．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为12. 下列说法正确的有（ ）A ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则B ．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立13. 若正四面体的棱长为1，在其侧面所在平面内有一动点，已知到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则的值为______.14. 平面向量､满足，且，，则与的夹角等于___________.15. 已知向量，，且，则向量与的夹角为______.16.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在，求出的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______？17. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，.(1)求A ；(2)若D 是AB 边的中点，，求的面积.18. 某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400(1)判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；(2)按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.附：，其中.0.0500.0100.0013.841 6.63510.82819. 已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．(1)若，求椭圆的标准方程；(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．20. 某中学的高二（1）班有男同学45名、女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到实验数据为68、70、71、72、74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69、70、70、72、74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．21. 已知数列的前项和为，数列满足，，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.。
2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可以是（）A．B．C．D．2.圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）A．B．C．D．3.已知集合，则A．B．C．D．4.已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为A．B．C．D．5. 设函数，给出下列两个命题：①存在，使得；②若（），则．其中判断正确的是（ ）A ．①真，②真B ．①真，②假C ．①假，②真D ．①假，②假6. 已知过坐标原点的直线与函数的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为，则下列等式成立的是（ ）A．B．C．D．7. 函数的图像大致为（ ）A．B．C．D．8. 设实数集为R，集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 设F 是抛物线C ：的焦点，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(2)2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题(2)三、填空题四、解答题A．B．C ．若点，则的最小值是5D ．若倾斜角为，且，则10.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，是抛物线上不同的两点，为坐标原点，则（ ）A ．抛物线的标准方程为B ．若直线经过点，则以线段为直径的圆与轴相切C ．若点为抛物线C 上的动点，则周长的最小值为D ．若，则11. 设正实数a ，b满足，则（ ）A ．有最小值4B ．有最大值C ．有最大值D ．有最小值12.已知点，，曲线C 上存在M点，满足，则曲线C 可以是（ ）A．B．C．D．13. 已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到函数的周期为，则的值为________.14.如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.15. 已知函数的最大值是，最小值为，则__．16. 设A ，B 两点坐标分别为，，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为．(1)求点M 的轨迹方程E ；(2)求曲线E 内接矩形面积S 的最大值．17. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.18.已知，是椭圆：长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，直线方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为.判断是否存在正数使直线的斜率为定值，并说明理由.19. 2021年元月10日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性．现有份（）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测次；（2）混合检测，将其中份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这份核酸样本全部为阴性，因而这份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这份核酸样本中存在阳性，为了弄清这份核酸样本中哪些是阳性，就要对这份核酸样本逐份检测，此时这份核酸样本检测总次数为次．假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，且每份是阳性的概率为．（Ⅰ）假设有5份核酸样本，其中只有2份为阳性．若采用逐份检测方式检测，求恰好经过3次阳性样本全部被检测出的概率；（Ⅱ）现取其中份核酸样本检测，记采用逐份检测的方式，样本需要检测的总次数为，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为．（i）求的分布列和期望；（ii）若，求关于的函数关系式．20. 在中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值.21. 已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为.（1）求的值；（2）若正实数、、满足，求的最小值.。
重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测数学试题
一、单选题1. 函数在上的图象大致为（ ）A．B．C．D．2. 如图是由线段，和优弧围成的“水滴”，其中连线竖直，，与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为2，则（）A．B．C．D．3.已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ）A．B．C．D．4. 已知向量，则（ ）A．B．C．D．5. 某校高三年级1500名学生参加高考体检，他们的收缩压数值近似服从正态分布.若收缩压大于120，则不能报考某专业.试估计该年级有多少学生不能报考该专业？ （ ）（参考数据：若随机变量，则，，.）A ．34B ．68C ．2D ．46. 函数的零点所在的区间是（ ）A．B．C．D．7.函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A．B．C．D．8.设为坐标原点，直线过定点，且与抛物线交于两点，若，则抛物线的准线方程为（ ）重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测数学试题二、多选题A．B．C．D．9. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．B．C．D．10. 设等比数列的公比为q ，前n项和为，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11. 数列满足递推公式，且，，则（ ）A ．1010B ．2020C ．3030D ．404012. 2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成：2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强､农村美､农民富全面实现.全面推进乡村振兴是继脱贫攻坚取得全面胜利后三农工作重心历史性转移重要时刻.某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2014年到2022年盈利情况如下表.年份201420152016201720182019202020212022年份代码x 123456789盈利y （百万）6.06.16.26.0■6.96.87.17.0已知由9组数据利用最小二乘法求得的y 与x 的经验回归方程为=0.15+5.75，现由于工作失误，第五组数据被污损，则被污损的数据为（ ）A ．6.3B ．6.4C ．6.5D ．6.613. 已知且，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若恒成立，则C．若有两个零点，则D．若有极值点，则或14.有一组样本数据，另一组样本数据，其中，c 为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据平均数相同B ．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等C ．两组样本数据方差相同D ．两组样本数据极差相同15. 函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）A．B．C．D．16. 已知正三棱柱的外接球的表面积为，球心为，则（ ）A．三、填空题四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题B ．该三棱柱所有棱长之和的最大值为36C ．该三棱柱侧面积的最大值为12D ．三棱锥的体积是该三棱柱的体积的17. 已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列，则数列的公差______．18.记为等比数列的前项和．若，，则______．19.已知数列满足，，，则__________．20. 已知复数（,为虚数单位），且，则______，______.21. 已知两点．点满足，则的面积是____；的一个取值为____．22. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.23. 化简：．24. 已知函数是定义在R 上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．（1）写出函数的增区间．（2）写出函数的解析式．（3）若函数，求函数的最小值．25. 设椭圆C ：（）的左､右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，求证：直线MN 恒过某定点，并求出该定点.26.已知八、解答题九、解答题（1）求证:;（2）求证:.27. 第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：分数段人数1112221规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？(2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．28. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，,，求B.。
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重庆市普通高中学生学业水平考试
数学模拟试卷（一）
（考试时间120分钟，满分100分）
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分
第I 卷（选择题 共45分）
注意事项：第I 卷选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，则用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷和答题带上.
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题15小题，每小题3分，共45分）
以下每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的
1．已知集合{
}{}5,2,4,3,2,1==N M ，则=N M ( ) A ．∅ B ．{
}5,4,3,2,1 C ．{}2 D ．{}3,2 2．函数12+=
x y 的定义域是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-,21 3．函数⎩⎨⎧=x x f x 2log 2)( 0
0>≤x x ，则=)0(f （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．等差数列{}n a 的首项11=a ，公差1=d ，则=4a （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．=0015cos 15sin （ ）
A ．2
B ．1
C ．
21 D ．41 6．圆04422=+-+y x y x 的（ ）
A ．圆心为)2,2(
B ．圆心为)2,2(--
C ．直径为22
D ．直径为2
7．投一枚骰子一次，“出现2点或3点”是（ ）
A ．必然事件
B ．随机事件
C ．不可能事件
D ．无法确定
8．直线0=+-y x 的倾斜角为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．43π
D ．3
π 9．已知)2,0(,32)(2∈++=x x x x f 的值域为（ ）
A ．[]11,2
B ．[)11,2
C ．[]11,3
D ．)11,3(
10．已知向量(3,1),(2,5)==-a b ，那么2+a b 等于（ ）
A ．（－1,11）
B ．（4,7）
C ．（1,6）
D ．（5,－4）
11．要得到函数)42cos(π+
=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向右平移8π个长度单位 B ．向左平移8
π个长度单位 C ．向右平移4π个长度单位 D ．向左平移4
π个长度单位 12．=+0
00045sin 15cos 45cos 15sin （ ） A ．22 B ．23 C ．3
3 D ．3 13．如果2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间)4,(-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围为
（ ）
A ．{}3-
B ．[)+∞,5
C ．(]3,-∞-
D ．(]5,-∞-
14．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A ．3-
B ．12-
C ．13
D ．2
15．函数a x x x f +-=2)(2在(]2,1-∈x 上恒有意义，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),1(+∞-
B ．[)+∞-,1
C ．),1(+∞
D ．[)+∞,1
第II 卷（非选择题 共55分）
注意事项：1．填空题的答案必须写在答题卷上，只填结果，不要过程.
2．解答题的解答必须写在答题卷上，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理
过程.
3．用钢笔或圆珠笔直接写在答题卷上.
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
16．函数2)(2
+=x x f 的奇偶性是
17．函数)621cos()(π-=x x f 的图象相邻的两条对称轴间的距离是 18．若54cos =α，且)0,2(πα-∈，则)2
cos(πα+的值为 19．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，则出现偶数点的概率为
20．下列几何体各自的三视图中，有且仅有有两个视图是相同的是
三、解答题：（本大题5个小题，共40分）
21．（10分）已知函数)sin()2sin()(ππ
-+-=x x x f
（1）求函数)(x f 的最值和最小正周期
（2）求函数)(x f 的对称轴和单调增区间
22．（8分）统计某校1000名学生数学会考成绩，得到样本频率分布直方图（如图）
（1）规定不低于60分的为及格，求及格率
（2）规定80分以上为优秀，求该校优秀的学生人数
23．（8分）已知圆C 的圆心在直线,1+=x y 且过点)3,1(A ，与直线072=-+y x 相切.
（1）求圆C 的方程
（2）设圆C 上总存在两点B A 、关于直线02:=--ay x l 对称，求实数a 的值
24．（8分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，AB CD AD AB CD AB 2,,/=⊥，平面⊥PAD 平面AD PA ABCD ⊥,,E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：
（1）⊥PA 底面ABCD
（2）//BE 平面PAD
（3）平面⊥BEF 平面PCD
25．（6分）定义在R 上的单调函数)(x f 满足1)2(=f 且对任意R y x ∈、都有)()()(y f x f y x f +=+
（1）证明)(x f 为奇函数
（2）若0)242()2(2<--+⋅x x f k f 对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围。