[理学]群论群论基础

物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐教材教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群的基本概念和基本性质1.11.21.3131.41.51.6161.71.81.1抽象代数的基本概念1抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。

对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。

变换有性质：f f -1= f -1f = e3定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。

二元运算般也称为乘法二元运算一般也称为“”——数值加法数值乘法对称操作……AmlOC kBe a b k l m D3e e a b k l ma ab e m k lb b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e4设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法· 和×，若有满射f，使得对于y i f( x i ), y j f( x j)来说，=f(i)=f(f( x i · x j) = f( x i) ×f( x j)——即像的乘积=乘积的像则称f 为A到B的同态，记为A ~ B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一数学上同构即是同→1:1= {e= a4, a, a2, a3} →G ={ 1, i, -1, -i}例如：C4物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：C 2= {e, c 2} 和C i = {e, c i }同态：A 到B 的等比例缩小保持了乘法结构3:1例如{{1→ 3:1例如：C 4= {e, a, a 2, a 3}→ G ' ={ 1, -1}二对一的同态二对的同态1.2什么是群？1G ={ e, g2, …, g i, …} 是一个集合，其中定义了乘法。

如果对于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G称为群：1)闭合律：g i g j∈G, ׊g i,g j∈G2)结合律：g i(g j g k)=(g i g j)g k, ׊g i,g j, g k∈G3)存在单位元：g i e = e g i= g i, ׊g i∈G4)存在逆元素：׊g i∈G ，׌g i-1∈G ，使得g i g i-1 = g i-1 g i= e广群，半群，幺半群广群半群幺半群21){ 1 }：只含一个元素的群, 1 即是单位元e 。

2){1，-1 }：这个集合对普通乘法构成一个群。

{e，I}：e为恒等操作，I为反演操作；乘法：变换合成。

3){1，i，-1，-i}：四个元素的集合对普通数值乘法构成群。

{e, a, b, c}：乘法定义为：a2= b2= c2= e,ab= c, bc= a, b乘法定义为b b bca = b ，其中乘法可交换次序。

4)全体实数对普通加法构成群。

除0 之外的所有实数对普通乘法构成群。

5)全体n 阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。

6)D3群。

3)1)阿贝尔群：可交换群2)有限群：可给出群表3)无限群：离散群，连续群4)群元素的阶：g n= e群阶：|G|5)生成元：通过乘法产生群G的最小子集6)循环群：一个生成元4设G {g i}是个群G=是一个群׊g i, g∈G, 方程g i x = g，x g i= g有唯一解j j j( g i-1)-1=g i( g i g j)-1= g j-1g i-1单位元唯一；唯一逆元素唯若群G= { e, g2, …, g i,…} 与群G'= { e', g'2, …, g'j,…} 同态或同构，则：态或构则G的单位元e的象是G'的单位元e'׊g∈G，设g的象是g，则g的逆元g1的象是g1设'则-'-设G 是个N 阶群则G 的每个元素在群表的每G 是一个N 阶群，则G 的每一个元素在群表的每一行以及每一列中出现且只出现一次。

若f 是群元的任意函数，则有N Nxg x G =∀∈∑()()11,i ii i f g f g ==∑1.3群的乘法联系起来的内部结构1设的个子集若它则称H 为G 的一个子集，若它对G 的乘法构成群，则称H 为G 的子群平凡子群，真子群判别方法 判别方法：符合以下两个条件的G 的子集H 是G 的子群：g H g 若׊g i , g j ∈H ，有g i g j ∈H若׊g i ∈H ，则g i -1∈H对于有限群，只要满足第一个条件，即乘法的封闭性，就可证明H 是G 的子群。

2设H = { e , h 2, …, h m } 是G 的一个子群，对于某个元素x ∈G ，={}的一个集合xH = { x , xh 2, …, xh m } 称为H 的个左陪集。

H 的所有左陪集都包含有相同数目的元素若x ∈H ，则xH = H若x בH ，则xH ∩ H = ׎若某个g ∈xH ，则有gH = xH ：陪集中任意元形成的陪集相同，或者说陪集中任意元可作为此陪集的“代表元” 右陪集：H 的右陪集和左陪集有同样的性质。

H H 不定相等左陪集xH 和右陪集Hx 不一定相等。

3根据陪集的性质，可以得到结论：任意两个左陪集xH 和yH ，要么完全相同，要么完全不同母群的每个元素都一定在子群的某个陪集中；每个陪集的元素个数相同；所有陪集要么没有公共元，要么全同——所以母群一定可以划分为子群的不同陪集的集合拉格朗日定理：的一个子群则所以母群定可以划分为子群的不同陪集的集合设H 是G 的一个子群，则G 的阶|G|一定是H 的阶|H|的整数倍，即|G| = k |H|。

其中k 是正整数，称为H 在G 中的指数，实际上也就是G 中含H 的陪集数。

推论 1.2 （定理.的推论）：若群G 的阶为素数时，G 没有真子群，而且G 必为循环群。

D 只有三阶子群和二阶子群，即C C C 3 = {e, a, b }例：3只有阶子群和阶子群，即3和2左陪集（两个）右陪集（两个）======eC 3aC 3bC 3{e ，a ，b }C 3e C 3a C 3b {e ，a ，b }kC 3=lC 3=mC 3={k ，l ，m }C 3k =C 3l =C 3m ={k ，l ，m }C 2 = {e, k }左陪集（三个）右陪集（三个）====eC 2kC 2{e ，k }C 2e C 2k {e ，k }aC 2=mC 2={a ，m }C 2a =C 2l ={a ，l }====bC 2lC 2{b ，l }C 2b C 2m {b ，m }1.4等价关系联系起来的内部结构1g是G的一个元素，׊h∈G，元素g'= hgh-1称为g的设的个元素元素共轭元素，而g和g'具有共轭关系。

如果G是矩阵群，则共轭关系就是相似变换，共轭元素就是相似矩阵。

自反性：即G的任一元素与自身共轭对称性：即g i是g j的共轭元素，则g j也是g i的共轭元素 传递性：若g i与g j共轭，而g j与g k共轭，则g i也是g k的共轭元素——共轭关系是种等价关系共轭关系是一种2G中所有相互共轭的元素构成的集合，称为共轭类设g'是gi 的共轭元素，即有x∈G，使得g'=x gix-1，当x走遍G的所有元素时，所有不同的'构成的G的一个子集称g为G中含gi 的共轭类，记为Ci= { g1, g2, …, g m}同类元素有相同的阶。

直接验证即可。

两个类不能有公共元素，否则它们是同一个类。

可知若两个类有公共元素则根据共轭关系的传递性可知，若两个类有公共元素，则这两个类的所有元素都是相互共轭的，自然组成一个类。

单位元自成一类单位元可与任何元素交换乘积次序阿贝尔群的所有元素各成一类；循环群等，群元乘积可交换次序矩阵群：共轭关系对于矩阵是相似变换，而矩阵的相似变换不改变矩阵的迹，所以迹相同的矩阵属于同一个类群G 中任何一个类C i 满足：׊x ∈G ，xC i x -1 = C i 。

-1因为所有形如xg i x 的元素都是共轭的，而且每个都互不相同，个数与C i 中一样，所以xC i x -1 = C i 。

逆类：若C i = {g 1, g 2, …, g m } 是群G 的一个共轭类，集合C i '= { g 1-1, g 2-1, …, g m -1 } 也是G 的一个共轭类，称为C i 的逆类逆类。

设,g ∈-1=g g i , g j C i ，有xg i x g j ，所以可以得到(xg i x -1) -1= (g j ) -1——也就是说xg i -1x -1= g j -1，可见g i -1和g j -1也属于一个类。

又因为xC i x -1 = C i ，所以有xC i ' x -1 = (xC i x -1 )-1= C i -1= C i ' ，成立所以'的一个类称为的逆类׊x ∈G 成立，所以C i 是G 的个类，称为C i 的逆类。

可以把群分解为不相交的共轭类的并集 可以把群分解为不相交的共轭类的并集：G = C 1∪C 2…∪C c 式中C i 为第i 个共轭类，G 按共轭关系分成c 个不同的类。

D 3群的共轭类D 3群有三个共轭类：C 1= { e }，C 2= { a , b }，C 3= { k , 因为）称之为绕l , m }。