[理学]群论群论基础

物理学中的群论

——群论基础

主讲翦知渐

教材

教材：自编

参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用

（徐婉棠）

物理学中的群论

（马中骐）

物理学中的群论基础

（约什）

群的基本概念和基本性质

1.1

1.2

1.3

13

1.4

1.5

1.6

16

1.7

1.8

1.1抽象代数的基本概念

1

抽象代数研究的对象

什么都不是，所以什么都是

集合的直乘：

C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的

C A表示“

一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：

, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a

A}B b b}则集合

1

C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2

定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为

就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B

f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。

对应规则函数对应规则：函数

满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射

：

体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质：

f f -1= f -1f = e

3

定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为

()()

R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)

一般记为c = a·b，或c = ab。

二元运算般也称为乘法

二元运算一般也称为“”——

数值加法数值乘法对称操作……

A

m

l

O

C k

B

e a b k l m D3

e e a b k l m

a a

b e m k l

b b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e

4

设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法· 和×，若有满射f，使得对于y i f( x i ), y j f( x j)来说，

=f(i)=f(

f( x i · x j) = f( x i) ×f( x j)——即像的乘积=乘积的像

则称f 为A到B的同态，记为A ~ B

同态映射若是一一映射→同构

同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号

数学上，同构即是同一

数学上同构即是同

→1:1

= {e= a4, a, a2, a3} →G ={ 1, i, -1, -i}例如：C

4

物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：

C 2= {e, c 2} 和C i = {e, c i }

同态：A 到B 的等比例缩小保持了乘法结构

3:1

例如{{1→ 3:1例如：C 4= {e, a, a 2, a 3}→ G ' ={ 1, -1}二对一的同态

二对的同态

1.2什么是群？

1

G ={ e, g2, …, g i, …} 是一个集合，其中定义了乘法。如果对于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G称为群：

1)闭合律：g i g j∈G, ׊g i,g j∈G

2)结合律：g i(g j g k)=(g i g j)g k, ׊g i,g j, g k∈G

3)存在单位元：g i e = e g i= g i, ׊g i∈G

4)存在逆元素：׊g i∈G ，׌g i-1∈G ，使得g i g i-1 = g i-1 g i= e

广群，半群，幺半群

广群半群幺半群

2

1){ 1 }：只含一个元素的群, 1 即是单位元e 。

2){1，-1 }：这个集合对普通乘法构成一个群。

{e，I}：e为恒等操作，I为反演操作；乘法：变换合成。

3){1，i，-1，-i}：四个元素的集合对普通数值乘法构成群。

{e, a, b, c}：乘法定义为：a2= b2= c2= e,ab= c, bc= a, b乘法定义为b b b

ca = b ，其中乘法可交换次序。

4)全体实数对普通加法构成群。

除0 之外的所有实数对普通乘法构成群。

5)全体n 阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。

6)D3群。

3

)

1)阿贝尔群：可交换群

2)有限群：可给出群表

3)无限群：离散群，连续群

4)群元素的阶：g n= e

群阶：|G|

5)生成元：通过乘法产生群G的最小子集

6)循环群：一个生成元