蒙特卡洛方法
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E[x1 + x2 ] E[x1] + E[x2 ] D[x1 + x2 ] D[x1] + D[x2 ] + 2 Cov[x1, x2 ]
7
几种著名分布
1) 二项式分布(Binominal: 发生几率为p, 不发生为q=(1-p), 则 N次试验中出现k次的几率
P[k ]
k !
N! N
P[k ] l k el k 0, l 0
k!
其中关于分布参数l有
E[k] D[k] l
当l∞时，Poisson分布过渡到Gaussian分布
9
3) 高斯分布(Gaussian:
f (x)
1
e
1 2
(
x 2
)2
@N(X ; , )
2
标准化x(x-/, 则正态分布
算术平均收敛于函数的期望值
1
lim N N
N
f
i 1
xi
@lim N
I
N
1 ba
b f xdx @I
a
在抽取足够多的随机样本后，积分的蒙特卡洛估计值(左边)将收敛于该积分的正确结果(右边)
即随机变量统计量为
E[ y(x)]
b a
y(x)
f
xdx
§2.0 概率与统计
古典概率： 在相同的实验条件下，随机事件A，B按各自确定的概率发生
- 和概率A.OR.B ： P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) - 与概率A.AND.B： P(A*B) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A) - 条件概率 P(A|B) = 在随机事件B发生的条件下，A发生的概率 - 互斥 P(A*B) = 0，ie 随机事件AB不能在同一实验中同时发生 - 相互独立 P(A*B) = P(A)*P(B)，ie P(A)=P(A|B)=P(A|1)
分布函数
f (x) 1 ex/l
l
x 0,l 0
z
F (z) f (x)dx 1 ez /l
5) 均匀分布(uniform:
f (x) 1 , a x b
ba
其中
E(x) a + b , D(x) (b a)2
2
12
13
大数法则: 在函数f(x)定义域[a,b]内，以均匀概率分布随机地取N个数xi，函数值之和的
2) 方差(standard deviation: 随机变量x分布对期望值的离散程度
+
D[ y( x)]
@
2 y
(y E[y(x)])2 f (x)dx E[(y yˆ)2]
３) 特征运算:
E[c] c, D[c] 0, E[cx] cE[x], D[cx] c2D[x]
11
Gaussian计数
P[k ] l k el
k!
E(k)=D(k)=l
l∞ e.g. l10
N(k;m,m)
=m=l 2=m=l
则,当统计计数时,N∞(N≥10)，过渡至高斯分布
计数期望值 N 均方根方差 √N
12
4) 指数分布(Exponential: 描述自由粒子寿命，或粒子平均自由程分布函数
1
全概率公式： 随机事件A构成互斥完备集合{Ai}，则任意随机事件B可表述为
P(B)= P(B|Ai )P(Ai )
i
贝叶斯Bayes公式：
P(Ai
|
B)
P(AiB) P(B)
P(B|Ai )P(Ai ) P(B|A j )P(A j )
j
2
随机变量Ｘ: １）在相同的确定实验条件下，对Ｘ的观测无法给出单一固定值; ２）必须依据遍举测量原则，对所有可能取值给出发生概率
离散变量举例: 3MeV光子入射屏蔽铅板的全吸收反应过程
反应类型X :
光电效应
Compton散射
反应几率 :
e1
e2
其中
e1 + e2 + e3 100%
n
i.e.
X {xi}, pi 1
i 1
电子对产生 e3
3
连续型随机变量: Ｘ在连续区间取值，其取某确定值的概率由分布密度函数给出
f xdx Px X x + dx
分布函数 则有
F
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
f
x dx
F (+) + f xdx 1
4
联合分布密度: 描述两个(i.e.多维)随机变量Ｘ与Ｙ的相互关联
+
f1 x f (x, y)dy
相互独立:
f x, y f1(x) f2(y)
f (x)
1
1 x2
e 2 @N (0,1)
2
x +
E(x) D(x) 2
10
分布函数 对称分布
y
(y)
1
1 x2
e 2 dx
2
(y) 1 ( y)
则,如[a,b]对对称,有
P(a x b) (b ) (a ) 2(b ) 1
k
!
pk
1
p N k
其中k=0,1,2,3…, 0≤p≤1, p+q≡1
E[k] Np, D[k] Np(1 p)
例: 反应触发率(trigger rate)定义为ek/N, 求其期望值Ee与方差De
8
2) 泊松分布(Poisson: 在相同实验条件下，相同时间内，随机过程发生k次的几率
x k
置信水平
P k
x + k P k
x
k
P
x
k
(k) (k) 2(k) 1
5
函数的分布密度: 随机变量Ｘ密度函数f(x),其函数Ｙ=Ｙ(Ｘ)的密度函数
f x dx g( y)dy 几率密度相同
则
g y f (x( y)) x
y
变量变换Jaccobi
6
随机变量的特征值
1) 期望值(mean: 出现几率最大或概率中心的观测值
+
E[ y(x)] @yˆ y(x) f (x)dx
ba lim N N
N i 1
y(xi )
f
(xi )
14
中心极限定理: 大量微弱因素累加而成的随机变量服从单一正态分布
例：n个相互独立分布各异的随机变量，n∞，则总和服从正态分布
N
, 2
1
2
exp
x
2
/
2
2
Gaussian分布随机测量报道
7
几种著名分布
1) 二项式分布(Binominal: 发生几率为p, 不发生为q=(1-p), 则 N次试验中出现k次的几率
P[k ]
k !
N! N
P[k ] l k el k 0, l 0
k!
其中关于分布参数l有
E[k] D[k] l
当l∞时，Poisson分布过渡到Gaussian分布
9
3) 高斯分布(Gaussian:
f (x)
1
e
1 2
(
x 2
)2
@N(X ; , )
2
标准化x(x-/, 则正态分布
算术平均收敛于函数的期望值
1
lim N N
N
f
i 1
xi
@lim N
I
N
1 ba
b f xdx @I
a
在抽取足够多的随机样本后，积分的蒙特卡洛估计值(左边)将收敛于该积分的正确结果(右边)
即随机变量统计量为
E[ y(x)]
b a
y(x)
f
xdx
§2.0 概率与统计
古典概率： 在相同的实验条件下，随机事件A，B按各自确定的概率发生
- 和概率A.OR.B ： P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) - 与概率A.AND.B： P(A*B) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A) - 条件概率 P(A|B) = 在随机事件B发生的条件下，A发生的概率 - 互斥 P(A*B) = 0，ie 随机事件AB不能在同一实验中同时发生 - 相互独立 P(A*B) = P(A)*P(B)，ie P(A)=P(A|B)=P(A|1)
分布函数
f (x) 1 ex/l
l
x 0,l 0
z
F (z) f (x)dx 1 ez /l
5) 均匀分布(uniform:
f (x) 1 , a x b
ba
其中
E(x) a + b , D(x) (b a)2
2
12
13
大数法则: 在函数f(x)定义域[a,b]内，以均匀概率分布随机地取N个数xi，函数值之和的
2) 方差(standard deviation: 随机变量x分布对期望值的离散程度
+
D[ y( x)]
@
2 y
(y E[y(x)])2 f (x)dx E[(y yˆ)2]
３) 特征运算:
E[c] c, D[c] 0, E[cx] cE[x], D[cx] c2D[x]
11
Gaussian计数
P[k ] l k el
k!
E(k)=D(k)=l
l∞ e.g. l10
N(k;m,m)
=m=l 2=m=l
则,当统计计数时,N∞(N≥10)，过渡至高斯分布
计数期望值 N 均方根方差 √N
12
4) 指数分布(Exponential: 描述自由粒子寿命，或粒子平均自由程分布函数
1
全概率公式： 随机事件A构成互斥完备集合{Ai}，则任意随机事件B可表述为
P(B)= P(B|Ai )P(Ai )
i
贝叶斯Bayes公式：
P(Ai
|
B)
P(AiB) P(B)
P(B|Ai )P(Ai ) P(B|A j )P(A j )
j
2
随机变量Ｘ: １）在相同的确定实验条件下，对Ｘ的观测无法给出单一固定值; ２）必须依据遍举测量原则，对所有可能取值给出发生概率
离散变量举例: 3MeV光子入射屏蔽铅板的全吸收反应过程
反应类型X :
光电效应
Compton散射
反应几率 :
e1
e2
其中
e1 + e2 + e3 100%
n
i.e.
X {xi}, pi 1
i 1
电子对产生 e3
3
连续型随机变量: Ｘ在连续区间取值，其取某确定值的概率由分布密度函数给出
f xdx Px X x + dx
分布函数 则有
F
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
f
x dx
F (+) + f xdx 1
4
联合分布密度: 描述两个(i.e.多维)随机变量Ｘ与Ｙ的相互关联
+
f1 x f (x, y)dy
相互独立:
f x, y f1(x) f2(y)
f (x)
1
1 x2
e 2 @N (0,1)
2
x +
E(x) D(x) 2
10
分布函数 对称分布
y
(y)
1
1 x2
e 2 dx
2
(y) 1 ( y)
则,如[a,b]对对称,有
P(a x b) (b ) (a ) 2(b ) 1
k
!
pk
1
p N k
其中k=0,1,2,3…, 0≤p≤1, p+q≡1
E[k] Np, D[k] Np(1 p)
例: 反应触发率(trigger rate)定义为ek/N, 求其期望值Ee与方差De
8
2) 泊松分布(Poisson: 在相同实验条件下，相同时间内，随机过程发生k次的几率
x k
置信水平
P k
x + k P k
x
k
P
x
k
(k) (k) 2(k) 1
5
函数的分布密度: 随机变量Ｘ密度函数f(x),其函数Ｙ=Ｙ(Ｘ)的密度函数
f x dx g( y)dy 几率密度相同
则
g y f (x( y)) x
y
变量变换Jaccobi
6
随机变量的特征值
1) 期望值(mean: 出现几率最大或概率中心的观测值
+
E[ y(x)] @yˆ y(x) f (x)dx
ba lim N N
N i 1
y(xi )
f
(xi )
14
中心极限定理: 大量微弱因素累加而成的随机变量服从单一正态分布
例：n个相互独立分布各异的随机变量，n∞，则总和服从正态分布
N
, 2
1
2
exp
x
2
/
2
2
Gaussian分布随机测量报道