中点坐标公式与两点间的距离公式练习题
坐标系中两点间公式和中点公式
巩 固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解 设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
识
典
xD
(2) 2
0
1，yD
1 3 2
2．
型
例 题
故 | AD | (11)2 (2 0)2 2 2,
D xD, yD
即BC边上的中线AD的长度为 2 2．
1．已知点A(2,3) 和点B(8, 3)，求线段AB中点的坐标．
.
基础题：请你动笔算一算！
• 根据下列条件，求线段AB中点O的坐标：
• (1) A (8,-1) B (2,3) O4,1
• (2) A (-7,-3) B (5,-3) O-1,-3
• (3) A (-4,8) B (4,-4) O0,2
例2 已知 ABC 的三个顶点为 A(1,0)、B(2,1)、C(0,3)，试
动脑思考 探索新知
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
y
P1
P2
P2
P1
o
x
o
x
巩固知识 典型例题
平面内两点之间公式： | P1P2 | (x2 x1)2 (y2 y1)2
例1 求A（2， −5 ）、B（5，−1）两点间的距离． 解：由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为
AB x2 x12 y2 y12 (5 2)2 1 52
5
练习：求点B(1,5)与D(6,17)之间的距离
解： BD x2 x1 2 y2 y1 2
(6 1)2 17 52
13
动手做一做！你发现了什么？
8.1两点间的距离和中点坐标公式-
• 例4：已知线段MN，它的中点坐标是 (3,2) ，端点N的坐标是 (1,-2)，求另一个 端点M的坐标。
• 解：设端点M 的坐标为 (x,y) ,根据中点坐标公式，有
1 x 2 y 3 ,2 2 2
解得x=5,y=6
所以端点M 的坐标是(5,6)
1.两点间的距离公式；
2.中点坐标公式
(2 0) 0 5
2 2
4 25 29
ห้องสมุดไป่ตู้
练习(2)：求点M1(-2,0)与M2(0,5)之间的距离。
解： M M 0 6 2 1 5 2 1 2
52 2 13
中点坐标公式
合作探究（二）：中点公式 已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
y1 y 2 x1 x 2 y x 2 2 二、坐标法——将几何问题转化为代 数问题。
复习
8.1.1 两点间的距离公式 A(x1)
A
1、在数轴上两点的距离公式
B（x2）
0 B
AB x2 x1
2、两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
P1 P2
y
P
P
2
o
x
o
1
x
|P 1P 2 || x2 x1 |
|P 1P 2 || y2 y1 |
动脑思考 探索新知
y
B2（0,y2)
P2(x2，y2)
B1（0,y1) o
P1(x1，y1)
C x
A1（x1,0)
A2（x2,0)
6.1两点间距离公式和线段的中点坐标公式
和 线 段 的 中 点 坐 标 公 式
新授
一般地，设点A的坐标为（ , ）点B的坐标为（ , ），
则|AB|= ( − ) +( − )
想一想
两点间距离公式写成|AB|= ( − ) +( − ) 正确吗？
课后小结
1.两点间距离公式
2.线段的中点坐标公式
且线段AB的中点为M( , ),则有 =
+
，
+
+
即线段AB的中点坐标为（
，
）
=
+
典型例题
例2：已知点A(2,3)和B(8,-3),求线段AB的中点坐标.
解：∵
+
+ （ − ）
= ，
=
∴ 线段的中点坐标为（, ）
例1：计算P1(2,-5)与P2(5,-1)两点间的距离.
典型例题
解：由两点间的距离公式得：
|12| =
=
( − ) +[(− − （ − )]
+
=
=
练习：已知点A（-2,2）B(2,-1) C(-1,-3)，求|AB|,|BC|,|AC|．
新授
一般地，设点A的坐标为（ , ）点B的坐标为（ , ），
（）(, ), (, −)
（）(, ), (, −)
2.已知∆的三个顶点分别是A(2,2)、B(2,0)、C（0,2）
(1）求BC边上的中点D的坐标.
(2）计算BC边上的中线AD的长度.
3.已知点(, )、(, )求AB两点间的距离和线段AB的中点坐标.
典型例题
例3：已知∆的三个顶点分别是A(2,4)、B(-1,1)、C（5,3）
8.1 两点间的距离和中点坐标公式-
(6 1)2 17 5213Leabharlann 动手试一试 P36页的练一练
1A10,6, A20,2 2B13,7, B21,4
基础题:请你动手画一画！
在平面直角坐标系中，描出下列各点：
A（1，1）、B（3，4） 、C（5，7），
并计算每两点间的距离．.y 7
.C
6.
B是AC的中点，那么
.
5
4.
.B
3.
问 它们之间的坐标有什
题
么关系呢？
.2 .
1 . . A. . . . . . . o 1 23 4 5 6 7 8x
动脑思考 探索新知
一般地，设 P1(x1, y1) 、P2 (x2 , y2 ) 为平面内任意两点， 则线段P1P2中点P0 (x0 , y0 ) 的坐标为
Y
临在平海面市直到角涌坐泉标镇系下的求
直点A线到距点离B的是距多离少？
A
B
O
X
复习
1、在x轴上两点的距离公式
-3
3
A
0
B
AB 3 3 6
复习
一般地，在X轴上两点的距离公式
xA
xB
A
0
B
AB xB xA
复习
2、请同学们思考：在y轴上两点的距离 公式为：
AB yB yA
3、平行于x轴或y轴的两点间的距离
巩固知识 典型例题
| P1P2 | (x2 x1)2 (y2 y1)2
例1 求A（2， −5 ）、B（5，−1）两点间的距离．
解：由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为
AB x2 x12 y2 y12 (5 2)2 1 52
【高中数学】新人教A版高二2.3.2 两点间的距离公式(练习题)
新人教A 版高二2.3.2 两点间的距离公式(2016)1.直线3x +4y −2=0与直线2x +y +2=0的交点坐标是（） A.(2,2)B.(2,−2)C.(−2,2)D.(−2,−2)2.已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC 的形状是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形D.等腰直角三角形3.若三条直线l 1:ax −y +1=0，l 2:x +y =0，l 3:x −y =1交于一点，则a =（） A.1B.−1C.3D.−34.直线x −2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是（ ） A.x +2y −1=0 B.2x +y −1=0 C.2x +y −3=0D.x +2y −3=05.已知直线l:kx −y +2−k =0过定点M ，点P(x,y)在直线2x +y −1=0上，则|MP|的最小值是（ ） A.√10B.3√55C.√6D.3√56.若直线3x +2y −2m −1=0与直线2x +4y −m =0的交点在第四象限，则实数m 的取值范围是（） A.(−∞，−2)B.(−2，+∞)C.(−∞，−23)D.(−23，+∞)7.若光线从点A(−3，5)射到直线l ：3x −4y ＋4=0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从A 点经反射后到B 点所经过的路程为（） A.5√2B.5√13C.5√17D.5√58.对于直角坐标平面内任意两点A(x 1，y 1),B(x 2,y 2)，定义它们之间的一种“新距离”：|AB|=|x 2−x 1|+|y 2−y 1|.给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则|AC|+|CB|=|AB|； ②在△ABC 中，若∠C =90∘，则|AC|2+|CB|2=|AB|2；③在△ABC 中，|AC|+|CB|>|AB|.其中是真命题的为（ ） A.①③B.①②C.①D.③9.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P(2，−1)，则|AB|= . 10.过点A(4,a)，B(5,b)的直线与直线y =x +n 平行，则|AB|= . 11.直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为60∘，且交直线x −y −2=0于点M ，则|MM 0|= .12.与直线x−3y+1=0关于直线x+y=0对称的直线方程是.13.已知点A(1,−1)，B(2,2)，点P在直线y=x上，求|PA|2+|PB|2取得最小值时点P的坐标.14.已知直线l:kx−y+2+4k=0(k∈R).(1)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.15.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的距离的最大值是（）A.3B.√6C.1+√2D.√516.(1)在x轴上求一点P,使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差的绝对值最大,并求出最大值;(2)在x轴上求一点P,使得P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.参考答案1.【答案】:C【解析】:联立{3x +4y −2=0,2x +y +2=0,解得{x =−2,y =2.故所求交点坐标是(−2,2).2.【答案】:C【解析】:由两点间的距离公式，可得|AB|=3√2，|BC|=|CA|=√17，且|BC|2＋|CA|2≠|AB|2，∴△ABC 为等腰三角形.3.【答案】:D【解析】:由{x +y =0,x −y =1,解得{x =12,y =−12,∴直线l 2与l 3的交点坐标为(12,−12). 由题意得点(12,−12)在直线l 1上，∴12a +12+1=0，解得a =−3.故选D.4.【答案】:D【解析】:设所求直线上任意一点为(x ，y)，它关于直线x =1的对称点为(x 0,y 0)，是{x 0=2−x ，y 0=y ，因为(x 0,y 0)在直线x −2y +1=0上，∴2−x −2y +1=0，化简得x +2y −3=0，故选D.5.【答案】:B【解析】:直线l:kx −y +2−k =0，即k(x −1)−(y −2)=0，∴直线l 过定点M(1,2)， 点P(x,y)在直线2x +y −1=0，上∴y =1−2x ，∴|MP|=√(x −1)2+(1−2x −2)2 =√5x 2+2x +2 =√5(x +15)2+95，故当x =−15时，|MP|取得最小值为3√55，故选 B.6.【答案】:D【解析】:联立两直线的方程得{3x +2y −2m −1=0，2x +4y −m =0， 解得{x =3m+24，y =−m−28.∵交点在第四象限，∴{3m+24>0，−m−28<0，解得m >−23.故选 D.7.【答案】:B【解析】:设A(−3，5)关于直线l ：3x −4y ＋4=0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则根据题意有{3×x ′−32−4×y ′+52+4=0,y ′−5x ′+3×34=−1，解得{x ′=3,y ′=−3.∵所求的路程即为|A ′B|，∴由两点间的距离公式得所经过的路程为|A ′B|=√(3−2)2+(−3−15)2=5√13.8.【答案】:C【解析】:对于直角坐标平面内的任意两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，对于①，若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0,y 0),x 0在x 1，x 2之间，y 0在y 1，y 2之间， 则|AC|+|CB|=|x 0−x 1|+|y 0−y 1|+|x 2−x 0|+|y 2−y 0|=|x 2−x 1|+|y 2−y 1|=|AB|成立，故①为真命题.对于②，平方后不能消除x 0，y 0，故②为假命题；对于③，在△ABC 中，|AC|+|CB|=|x 0−x 1|+|y 0−y 1|+|x 2−x 0|+|y 2−y 0|⩾|(x 0−x 1)+(x 2−x 0)|+|(y 0−y 1)+(y 2−y 0)|=|x 2−x 1|+|y 2−y 1|=|AB|,当(x 0−x 1)与(x 2−x 0)同号，且(y 0−x 1)与(y 2−y 0)同号时，等号成立，故③为假命题. 因此只有命题①为真命题，故选 C.9.【答案】:2√5【解析】:设A(a,0)，B(0，b)，由中点坐标公式，得{a+02=2,b+02=−1,解得{a =4,b =−2∴|AB|=√(4−0)2+(0+2)2=2√5.10.【答案】:√2【解析】:∵过点A(4,a)，B(5,b)的直线与直线y =x +n 平行，∴b−a5−4=1，∴b −a =1，∴|AB|=√(5−4)2+(b −a)2=√1+1=√2.11.【答案】:6√3+6【解析】:∵直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为60∘，∴直线l 的方程为y −5=√3(x −1)，即√3x −y +5−√3=0， 则由{√3x −y +5−√3=0,x −y −2=0,得交点M(−2−3√3,−4−3√3)，∴|MM 0|=√(1+2+3√3)2+(5+4+3√3)2=6√3+6.12.【答案】:3x −y +1=0【解析】:根据题意，由{x −3y +1=0,x +y =0,得{x =−14,y =14,即交点坐标为(−14,14)，易知点(2,1)在直线x −3y +1=0上，点(2,1)关于直线x +y =0的对称点为(−1,−2),∴直线x −3y +1=0关于直线x +y =0对称的直线过点(−14,14)和(−1,−2)，故所求直线方程为y+214+2=x+1−14+1，即3x −y +1=0.13.【答案】:设P(t,t)，则|PA|2+|PB|2 =(t −1)2+(t +1)2+(t −2)2+(t −2)2=4t 2−8t +10，当t =1时，|PA|2+|PB|2取得最小值，此时P(1,1)， ∴|PA|2+|PB|2取得最小值时点P 的坐标为(1,1).14(1)【答案】直线l 的方程可化为y =kx +2+4k ，则直线在y 轴上的截距为4k +2， 要使直线l 不经过第四象限，则{k ⩾0，4k +2⩾0，故k 的取值范围是k ⩾0.(2)【答案】依题意，直线l 在x 轴上的截距为−4k+2k，在y 轴上的截距为4k +2，且k >0，所以A (−4k+2k,0)，B(0,4k +2)，故S =12|OA|×|OB|=2(2k +1)2k=2(4k +1k+4)⩾2×(4+4)=16，当且仅当4k =1k ，即k =12时取等号，故S 的最小值为16，此时直线l 的方程为y =12x +4.15.【答案】:C【解析】:取AC的中点D，连接OD，BD，显然OD，BD的长都为定值.∵|OB|⩽|OD|+|BD|，∴当O，D，B三点共线时OB取得最大值.∵|BD|=√12+12=√2，|OD|=|AD|=12|AC|=1，∴点B到原点O的距离的最大值为1+√2.故选C.16(1)【答案】由题意知当点P为直线AB与x轴的交点时，点P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差的绝对值最大，此时，||PA|−|PB||=|AB|=√(0−4)2+(4−1)2=5.∵直线BA的斜率k BA=1−44=−34,∴直线BA的方程为y=−34x+4.令y=0，得x=163,即P(163,0).故所求距离之差的绝对值的最大值为5,此时P点的坐标为(163,0).(2)【答案】作A关于x轴的对称点A′,则A′(4,−1),连接CA′,则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求的点.又|CA′|=√(4−3)2+(−1−4)2=√26，直线CA′的斜率k CA′=−1−44−3=−5,则直线CA′的方程为y−4=−5(x−3).令y=0得x=195,即P(195,0).故所求距离之和的最小值为√26,此时P点的坐标为(195,0).。
2019-2020学年人教B版必修第二册 6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式
6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b ＝( ) A ．(－1,2) B ．(1，－2) C ．(－1，－2) D ．(1,2)答案 A解析 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝( 12－32，12＋32 )＝(－1,2)．2．已知点M 的坐标为(4，－1)，且AB →＝(4，－1)，下列各项中正确的是( ) A ．点M 与点A 重合 B ．点M 与点B 重合 C ．点M 在AB→上 D ．OM →＝AB →(O 为坐标原点) 答案 D解析 由于M (4，－1)，所以OM→＝(4，－1)＝AB →.3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 答案 B解析 由已知可设c ＝x a ＋y b ⇒⎩⎨⎧ 4＝x －y ，2＝x ＋y ⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.所以c ＝3a －b .4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 答案 D解析 由题意得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．故选D ．5．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅答案 C解析 设a ∈M ∩N ，则存在λ和μ使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎨⎧ 4μ－3λ＝3，5μ－4λ＝4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝0.所以a ＝(－2，－2)． 6．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则|b |＝( ) A ． 5 B ．2 5 C ． 3 D ．2 3 答案 A解析 b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)，故|b |＝1＋4＝ 5. 二、填空题7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB ＋2BC ＝________. 答案 5 2解析 AB ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，BC ＝(3－1)2＋(4－2)2＝22，故AB ＋2BC ＝2＋42＝5 2.8．已知O (0,0)和A (6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且OP P A ＝12，又点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是________．答案 (4,2)或(－12，－6)解析 ①若点P 在线段OA 上，则P A →＝2OP →，∴OA→－OP →＝2OP →，∴OP →＝13OA →＝(2,1)， ∴点P 的坐标为(2,1)．∵P 是OB 的中点，∴点B 的坐标为(4,2)． ②若点P 在线段AO 的延长线上． 则P A →＝－2OP →，∴OA →－OP →＝－2OP →. ∴OP→＝－OA →＝(－6，－3)， ∴点P 的坐标是(－6，－3)．∵P 是OB 的中点，∴点B 的坐标为(－12，－6)． 综上，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．9．如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC→＝__________；OD →＝________.答案 (1，－1) (1,1) (－1,1)解析 根据题意，知点A 与点B 关于y 轴对称，与点C 关于原点对称，与点D 关于x 轴对称，又因OA→＝(－1，－1)，O 为坐标原点，∴A (－1，－1)，∴B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)， ∴OB →＝(1，－1)，OC →＝(1,1)，OD →＝(－1,1)． 三、解答题10．已知a ＝(3x ＋4y ，－2x －y )，b ＝( 2x －3y ＋1，－3x ＋169y ＋3 )，若2a ＝3b ，试求x 与y 的值．解 ∵a ＝(3x ＋4y ，－2x －y )， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋1，－3x ＋169y ＋3， ∴由2a ＝3b 可得(6x ＋8y ，－4x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －9y ＋3，－9x ＋163y ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋8y ＝6x －9y ＋3，－4x －2y ＝－9x ＋163y ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3517，y ＝317.B 级：“四能”提升训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|O C →|＝2，若O C →＝λOA→＋μOB →，则λ＋μ＝________.答案 2 2解析 因为|O C →|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又O C →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.2．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)，D (x ，y )． (1)求3AB→－2AC →＋BC →的坐标； (2)若A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标． 解 (1)∵AB→＝(1,3)，AC →＝(2,4)，BC →＝(1,1)，∴3AB→－2AC →＋BC →＝3(1,3)－2(2,4)＋(1,1)＝(0,2)． (2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD→＝BC →，又AD →＝(x －1，y ＋2)，∴⎩⎨⎧ x －1＝1，y ＋2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 的坐标为(2，－1)．。
§8.1两点间的距离公式和中点公式
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 分别过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，
两线交于点C，点C坐标为(x2, y1)， 则|AC|=|x2–x1|, |BC|=|y2–y1|, y B(x2, y2)
还能怎样 说明？
从而，AB两点间的距离为 A(x1 , y1) C ( x2 , y1 ) O x
两点间的中点公式
问 AP PB ？
y
AP ( x x1 , y y1 ), PB ( x2 x, y2 y), x1 x2 x x x1 x2 x 2 y y1 y2 y y y1 y2 B(x2, y2) 2
AB 5 , BC 5 2 , AC 29
平面上两点间的距离公式 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
x1 x2 y y2 ,y 1 2 2 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 点 P(x，y)是AB的中点， x
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
已知点A(1, 2)，B(3,5)，求线段AB的长度. 解：根据平面内两点间的距离公式，有
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
(3 1) 2 [5 (2)]2
53
若P(3,4), Q(2, 1)，求 PQ .
1 已知△ABC三个顶点分别为A( , 2)，B(3, 4)，C (2, 6)， 2 求BC 边上的中线AD的长.
解：设点BC边上的中点D坐标为( x, y)， 根据中点坐标公式
3 2 1 46 x , y 5, 2 2 2 1 所以线段AB的中点D的坐标为( ,5). 2 1 1 2 AD ( ) (5 2)2 10. 2 2
中职数学中点坐标、距离
为d=_______A_2__B_2_____. 说明：当两平行直线的方程中x，y的系数不相等时，需先 化成相等后再运用公式计算．
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基础过关 1 2 3 4 5 6
1．已知A(－2，3)，B(6，1)两点，则线段AB的中点坐标是
( D) A．(4，1)
B．(4，2)
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基础过关 1 2 3 4 5 6
3．点(1，－1)到直线x－y+2＝0的距离是( D )
A．1
B．2
C． 2
D． 2 2
【提示】 由点到直线的距离公式可得d = |1 (1) 2 | 2 2 .
1 (1)2
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基础过关 1 2 3 4 5 6
4．两平行直线3x－4y+1=0与6x－8y+9=0之间的距离是( A
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基础过关 1 2 3 4 5 6
6．已知原点到直线2x－3y+m=0的距离是 13 ，则
m=_1_3_或_－__1_3_. 【提示】 d = | m | 13，∴|m|=13，即m=±13.
22 (3)2
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典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
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典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5
【变式训练3】 如果两平行直线y=3x－b 与y=3x+5之间的距离为 10 ,那么 b=_5_或__－__1_5_ .
【提示】 两直线方程化为3x－y－b=0与3x－y+5=0，则 ，解1得0 =b=|5或b b5=| －15.
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两点间的距离公式课时训练
2.3.2 两点间的距离公式选题明细表基础巩固1.已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),则△ABC的形状为( C )(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形解析:因为|AB|=√(4-2)2+(3-1)2=2√2,|AC|=√(0-2)2+(5-1)2= 2√5,|BC|=√(5-3)2+(0-4)2=2√5,所以|AC|=|BC|.又因为A,B,C三点不共线,所以△ABC为等腰三角形.故选C.2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=√13,则实数k等于( A )(A)±3 (B)3 (C)-3 (D)0解析:由题意得√(2k-k)2+(-1-1)2=√13,解得k=±3.故选A.3.(2020·贵州都匀期中)已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( D )(A)2 (B)4 (C)5 (D)√17 解析:根据中点坐标公式,得x -22=1,且5-32=y.解得x=4,y=1,所以点P 的坐标为(4,1),则点P(4,1)到原点的距离d=√(4-0)2+(1-0)2=√17.故选D.4.点M(1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为( C ) (A)2 (B)1 (C)√5 (D)5解析:由题意得N(-1,2),所以|ON|=√(-1)2+22=√5.故选C.5.已知点A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则b 等于( C ) (A)-3 (B)5 (C)-3或5 (D)-1或-3解析:由两点间的距离公式知|A B |=√(-1-2)2+(b -1)2= √b 2-2b +10,由5=√b 2-2b +10,得b=-3或b=5.故选C.6.已知点A(1,-1),B(a,3),C(4,5),且|AB|=|BC|,则a= .解析:由题意得√(a -1)2+(3+1)2=√(4-a )2+(5-3)2,解得a=12.答案:127.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P(2,-1),则|AB|等于 .解析:设A(x,0),B(0,y),由中点坐标公式得x=4,y=-2,则由两点间的距离公式得|AB|=√(0-4)2+(-2-0)2=√20=2√5.答案:2√58.(2021·上海闵行期中)已知点A(1,2)关于点M(0,-1)的对称点为A ′,则|AA ′|= .解析:由题意得|AA ′|=2|AM|=2√(1-0)2+(2+1)2=2√10.答案:2√10能力提升9.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( B ) (A)3x-y-8=0 (B)3x+y+4=0 (C)3x-y+6=0 (D)3x+y+2=0解析:设P(x,y),则√(x -1)2+(y -3)2=√(x +5)2+(y -1)2,即3x+y+4=0.故选B.10.(2021·广西柳州期中)已知点A(1,4),B(8,3),点P 在x 轴上,则使|AP|+|BP|取得最小值的点P 的坐标是( B ) (A)(4,0) (B)(5,0) (C)(-5,0) (D)(-4,0)解析:由题意,点A(1,4)关于x 轴的对称点为A ′(1,-4), 连接A ′B,交x 轴于点P,此时|AP|+|BP|取得最小值,如图所示.设点P(x,0),则A'P →=(x-1,4),PB →=(8-x,3),A'P →与PB →共线,则3(x-1)-4(8-x)=0,解得x=5, 所以点P 的坐标是(5,0).故选B.11.已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于√10,则实数m 的取值范围是( B )(A)-45<m<2 (B)m<-45或m>2(C)m<-2或m>45(D)-2<m<45解析:根据两点间的距离公式得|P Q |=√(m -1)2+(1-2m )2= √5m 2-6m+2>√10,所以5m 2-6m-8>0,解得m<-45或m>2.故选B.12.已知△ABC 的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0). (1)判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积. 解:(1)如图,因为|AB|=√(-1-1)2+[3-(-1)]2=√20=2√5,|AC|=√(3-1)2+[0-(-1)]2=√5,|BC|=√[3-(-1)]2+(0-3)2=√25=5,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形. (2)由于△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形, 所以S △ABC =12|AB||AC|=5.应用创新13.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问是否在BC 上存在一点M,使得两条小路AC 与DM 相互垂直?若存在,求出小路DM 的长.解:以B 为坐标原点,BC,BA 所在直线为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为|AD|=5 m,|AB|=3 m, 所以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0), 因为AC ⊥DM, 所以k AC ·k DM =-1, 即3-00-5·3-05-x=-1.所以x=165,即点M 的坐标为(165,0)时,两条小路AC 与DM 相互垂直.故在BC 上存在一点M(165,0)满足题意.由两点间距离公式得|DM|=√(5-165)2+(3-0)2=3√345.。
坐标系中两点间公式和中点公式
在平面直角坐标系中，已知下列共线 各点：A（1，1）、B（3，4） 、C（5，7），
计算每两点间的距离．
B是AC的中点，那么 问 它们之间的坐标有什 题 么关系呢？
.y
7
.C
6.
.
5
4.
.B
3.
.2 .
1 . . A. . . . . . .
o 1 23 4 5 6 7 8x
设线段的两个端点分别为 A x1, y1 和 B x2, y2 ，线段的中
| P1P2 | (x2 x1)2 (y2 y1)2
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
y
P1
P2
P2
P1
o
x
o
x
P1P2 x2 x1
P1P2 y2 y1
平面内两点之间公式：
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
• (1) A (8,-1) B (2,3) O4,1
• (2) A (-7,-3) B (5,-3) O-1,-3
• (3) A (-4,8) B (4,-4) O0,2
巩
固
例2 已知 ABC 的三个顶点为 A(1,0)、B(2,1)、C(0,3)，试
知
识
求BC边上的中线AD的长度．
典
解 设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
例1 求A（2， −5 ）、B（5，−1）两点间的距离． 解：由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为
AB x2 x12 y2 y12 (5 2)2 1 52
5
练习：求点B(1,5)与D(6,17)之间的距离
中点坐标公式与两点间的距离公式练习题
中点坐标公式与两点间的距离公式练习题1．在数轴上的两点A,B 分别表示实数m ，n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中，①A （3，4），D(3，-2），则=AD ； ②D(3，—2)，B （—5，-2），则=BD . ③此时=AB 。
3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A （x,0）和 B （2，3）的距离为23,求x 的值。
5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0）、()0,1B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21C ,试判断三角形的形状。
6：求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5，①试问满足条件的A 点有多少？②这样的A 点有何特点?他们的全体将构成什么图形？8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A -②()()71B 3,1A ---，，③()()12B 31A --，，，9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为:()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。
10。
求中点坐标:①已知()()5,4B ,3,2A ,求AB 的中点坐标.②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标.11。
试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。
12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(,)6-，试求B 点坐标。
13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ,)4，则平行四边形ABCD 中,试求D 点坐标。
14.ABC ∆中，三边AB ，BC,CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC∆三顶点的坐标。
高二数学 两点间距离公式及中点坐标公式练习_两点间距离公式韦达定理
两点间的距离公式与线段中点的坐标同步训练A 一、 选择题1、已知A （－2，5），B （0，7），则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－2，12）B 、（－1，6）C 、（－1，－1）D 、（0，27）2、已知A （2，－1），B （3，4），则︱AB ︱＝ （ ） A 、5 B 、5 C 、34 D 、263、已知A （－2，5），B 为坐标原点，则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－1，25）B 、（1，25） C 、（0，0） D 、（2，－5）4、已知A （－2，5）B 为坐标原点，则︱AB ︱＝ （ ） A 、2 B 、5 C 、29 D 、295，已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，4），C （－3，6），点D 为BC 的中点，则点D 的坐标为（ ）A 、（0，5）B 、（25，23）C 、（－21，25） D 、（0，－5）二、填空题6、已知A （2，0），B （0，－1），则线段AB 的中点M 的坐标为 ，︱AB ︱＝7、已知点P 的坐标为（1，－2），线段PQ 的中点的坐标为（－4，－5），则点Q 的坐标为 。
三、解答题8、已知M （1，－5），N （1，4），求线段MN 的中点O 的坐标和︱MN ︱。
9、已知△ABC 三个顶点坐标分别为A （3，1），B （－3，4），C （1，－6），求各个边上的中点坐标用AB 边上的中线的长度。
同步训练B 一、选择题1、已知A （－2，5），B （－2，7），则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）A 、（－2，25） B 、（－2，27） C 、（－2，－1） D 、（－2，6）2、已知A （2，－1），B （3，－1），则︱AB ︱＝ （ ） A 、5 B 、1 C 、－1 D 、293、已知点A （－2，5），点A 关于点O 的对称点B 为（2，－5），则点O 的坐标为（ ）A 、（－2，5）B 、（－1，25） C 、（0，0） D 、（2，－5）4、已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （－2，5），B （3，4），C （－3，6），则︱BD ︱＝ （ ）A 、130B 、2C 、210D 、265、已知菱形ABCD 中，︱AB ︱＝︱AD ︱＝2，∠A ＝60°，则︱BD ︱＝ （ ）A 、1B 、2C 、2D 、3二、填空题6、已知A （2，0），B （－1，y ），且︱AB ︱＝5，则y ＝ 。
2019_2020学年高中数学第6章平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式练习新人教B版
课时33 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式知识点一 平面向量的坐标1.如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5) 解析 将各向量向基底所在直线分解．a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)，b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)，c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．2．在平面直角坐标系中，点A (2,3)，B (－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA →＝2i ＋3j ； ②OB →＝3i ＋4j ； ③AB →＝－5i ＋j ； ④BA →＝5i －j . 答案 ①③④解析 i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA →＝2i ＋3j ，OB →＝－3i ＋4j ，AB →＝OB →－OA →＝－5i ＋j ，BA →＝OA →－OB →＝5i －j ，故①③④正确．知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系3.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)答案 A解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．4．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 答案 C解析 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 相等，则m n＝________，|n a ＋m b |＝________.答案 －1241解析 m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝4，3m ＋2n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，∴m n ＝－12. n a ＋m b ＝－2a ＋b ＝(－5，－4)，∴|n a ＋m b |＝|－2a ＋b |＝(－5)2＋(－4)2＝25＋16＝41. 知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式6.在△ABC 中，已知点A (3,7)，B (－2,5)，若线段AC ，BC 的中点都在坐标轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的三边长．解 (1)①若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．②若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)．综上C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)． (2)当C 点坐标为(－3，－5)时，AB ＝(－2－3)2＋(5－7)2＝29， AC ＝(－3－3)2＋(－5－7)2＝65， BC ＝(－3＋2)2＋(－5－5)2＝101.当C 点坐标为(2，－7)时，AB ＝29，AC ＝(2－3)2＋(－7－7)2＝197， BC ＝(2＋2)2＋(－7－5)2＝410.7．已知在△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.解 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)． 又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点． 故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．知识点四 向量的坐标运算的应用8.已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 由已知得OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．(1)若点P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2) PB →＝OB →－OP →＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t )＝(3－3t ，3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝P B →，即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不可能是平行四边形．9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2B ．(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求点M ，N 的坐标及MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18). 易错点 转换向量关系失误10.平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 并延长至点E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．易错分析 连接DC 并延长至E ，即E 在DC 的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7 正解 设坐标原点为O ，∵AC →＝12BC →，∴OC →－OA →＝12(OC →－OB →)．∴OC →＝2OA →－OB →＝(3，－6)． ∴点C 的坐标为(3，－6)．又∵|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →.设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.一、选择题1．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A ．向量a 的终点坐标为(－2,3) B ．向量a 的起点坐标为(－2,3) C ．向量a 与b 互为相反向量 D ．向量a 与b 关于原点对称 答案 C解析 a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，故a ＝－B ．故选C ． 2．已知a ＝(－2,3)，b ＝(1,5)，则3a ＋b 等于( ) A ．(－5,14) B ．(5,14) C ．(7,4) D ．(5,9)答案 A解析 3a ＋b ＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A ．3．如图所示，{e 1，e 2}为正交基底，则向量2a ＋b 的坐标为( )A ．(3,4)B ．(2,4)C ．(3,4)或(4,3)D ．(4,2)或(2,4)答案 A解析 由图可知2a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1＋3e 2，所以2a ＋b ＝3e 1＋4e 2＝(3,4)．4．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值是( )A ．－112B ．112C ．－292D ．292答案 C解析 a ＋b ＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc ＝(4λ，x λ)，又a ＋b ＝λc ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＝4λ，7＝x λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，则λ＋x ＝－292.5．已知M (2，－1)，N (0,5)，且点P 在MN 的延长线上，|MP |＝2|PN |，则P 点坐标为( ) A ．(－2,11)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3 D ．(－2,12)答案 A解析 因为P 在MN 的延长线上且|MP |＝2|PN |， 所以MP →＝2NP →，则OP →－OM →＝2(OP →－ON →)， 所以OP →＝2ON →－OM →＝2(0,5)－(2，－1)， 即OP →＝(－2,11)． 二、填空题6．如图，正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(1,1)，试用基底向量i ，j 表示下列向量：OB →＝________，OC →＝________，AB →＝________，AC →＝________.答案 －i ＋j －i －j －2i －2i －2j 解析 如题图所示，OA →＝(1,1)＝i ＋j ， ∴OE →＝i ，EA →＝j .∴OF →＝－OE →＝－i ，FB →＝EA →＝j ，FC →＝－FB →＝－j .∴OB →＝OF →＋FB →＝－i ＋j ；OC →＝OF →＋FC →＝－i －j ；AB →＝OB →－OA →＝－i ＋j －(i ＋j )＝－2i . 同理，BC →＝OC →－OB →＝－i －j －(－i ＋j )＝－2j ，AC →＝AB →＋BC →＝－2i ＋(－2j )＝－2i －2j .7．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则|a |＋|b |＝________. 答案 18 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(2，－8)， ①a －b ＝(－8，16)， ②由①＋②得，a ＝(－3,4)， 由①－②得，b ＝(5，－12)．故|a |＋|b |＝(－3)2＋42＋52＋(－12)2＝5＋13＝18.8．已知点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →，λ∈R ，则x ＝________.答案 2解析 取O (0,0)，由OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ＋(1－λ)，5＝－λ＋3(1－λ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.9．已知边长为1的正方形ABCD ，若点A 与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案 (3,4)解析 根据题意建立坐标系如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)．∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)． 三、解答题10．(1)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →的坐标； (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标． 解 (1)∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)． ∴AB →＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； AC →＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1.(2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．11．已知点A (6,3)，O 为坐标原点，点P 在直线OA 上，且OP →＝12PA →，若P 是线段OB 的中点，求点B 的坐标及PB 的长．解 设点P (x 1，y 1)，B (x ，y )，∵OP →＝12PA →，∴(x 1，y 1)＝12(6－x 1,3－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12(6－x 1)，y 1＝12(3－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝1，∴点P 的坐标为(2,1)． ∵点P 是OB 的中点，∴2＝0＋x 2，1＝0＋y2⇒x ＝4，y ＝2，∴点B 的坐标为(4,2)．∴PB 的长为(4－2)2＋(2－1)2＝ 5.12．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c ， (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．解 (1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，∴p ＝－212a －15b ．。
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中点坐标公式与两点间的距离公式练习题
1．在数轴上的两点A ，B 分别表示实数m,n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中，
①A(3,4),D(3,-2)，则=AD ； ②D （3，-2），B （-5，-2），则=BD 。
③此时=AB 。
3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A(x,0)和 B(2,3)的距离为23,求x 的值。
5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛23,21C ，试判断三角形的形状。
6：求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5， ①试问满足条件的A 点有多少
②这样的A 点有何特点他们的全体将构成什么图形
8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A -
②()()71
B 3,1A ---，，
③()()12B 31
A --，，，
9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为：()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。
10.求中点坐标：
①已知()()5,4B ,3,2A ，求AB 的中点坐标。
②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标。
11.试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。
12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(，)6-，试求B 点坐标。
13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ，)4，则平行四边形ABCD 中，试求D 点坐标。
14.ABC ∆中，三边AB ，BC ，CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC ∆三顶点的坐标。