直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳

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直线和椭圆位置关系总结大全

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。

直线和椭圆常考题型

直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。

3、中点坐标公式：1212,y 22x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB =或者AB =例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k-+=-121x x =。

则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。

线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。

直线与椭圆的综合应用

椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用考点一如何处理直线与椭圆的位置关系例1 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143.(1)求椭圆C 的方程；（2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.（2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22194x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。

由于该直线与椭圆无公共点，所以，()()22724108940k k ∆=-⨯⨯+<，解之得，k <<所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0.因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k4＋9k 2＝－2，解得k ＝89，此时，0∆>。

所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。

解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 214＝1① x 229＋y 224＝1② ①－②得()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=.③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89，即k ＝89。

高考数学专题07 直线与椭圆的解题方法(解析版)

专题07 直线与椭圆的解题方法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【方法总结】（一）直线与椭圆关系求离心率（二）对称问题（三）椭圆与圆（四）直线与椭圆的中点弦问题（五）定点问题（六）定值问题（七）范围问题（八）探索性问题四．【题型归纳】（一）直线与椭圆关系求离心率例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83D ．32或83【答案】A【解析】如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k = 0000022y y x a c x c-∴=++-,即00002y y c x x a c =++-,002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A.练习1.已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x yC a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y += D.2212016x y += 【答案】A【解析】由题意，过原点O 且倾斜角为30o 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，且12AF AF ⊥，且122F AF S ∆=，则可知OA c =，设(,)A x y ，则31cos30,sin 302x c y c c ====o o ，即31,)2A c , 代入椭圆的方程可得2222144c c a b+=又由122F AF S ∆=，则211122222S c c c =⨯⨯== ，解答24c =，且222c a b =-，解得226,2a b ==，所以椭圆的方程为22162x y +=，故选A.方法2，利用焦点三角形面积公式2tan ||||21221θb y F F S A ==（21AF F ∠=θ）求出坐标31,)2A c ，带入第一个面积公式求c ，利用第二个面积公式2πθ=求b练习2.已知F 1，F 2为椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，过点F 1作x 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点．当△F 2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为e 1，当△F 2PQ 为等边三角形时，椭圆C 的离心率为e 2，则e 1，e 2的大小关系为e 1______e 2 （用“＞”，“＜”或“=”连接）【答案】＜【解析】把x c =-代入椭圆方程可得：22221c y a b+=，解得：2by a =± ①当2F PQ ∆为等腰直角三角形时，可得：22b c a=，即222a c ac -=化为：211210e e +-=，101e <<解得：1212e -+== ②当2F PQ ∆为等边三角形时，22b c a=)222a c ac -=22220e +=，201e <<解得：2e =则1e ，2e 的大小关系为：12e e <本题正确结果：<（二）对称问题例2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22221y x a b+=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A．0,3⎛ ⎝⎦B．0,2⎛ ⎝⎦C．,32⎣⎦D．,33⎣⎦ 【答案】A【解析】OP Q 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP P ，∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，而MN OP a ==，可设,2a M x ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：||x =，得,2a N ⎫⎪⎪⎝⎭， α为直线ON的倾斜角，tan aa ==，,,tan 164a ππα⎛⎤∈<≤ ⎥⎝⎦，1<≤，1a b ∴<≤1b a ≤<22113b a ∴≤<，而221ab ac e -==0e ∴<≤． ∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦．故选A 项．练习1. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222cb a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A．0,2⎛ ⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦ C．3⎫⎪⎪⎣⎭ D．,12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，设点2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭，则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22a c K m c - )，∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，即2221212m m a a c c c c c--⋅=--+-， 22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21(e ≤-舍去)，e ∴≥．又椭圆的离心率 01e <<，故13e ≤<，故选：C ．练习2. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =uu u r uu u r，椭圆C 的离心率为___.【答案】12【解析】：设0(,0)Q x ，由(,0)F c -，(0,)A b 知∵FA AQ ⊥u u u r u u u r ，0FA AQ ⋅=u u u r u u u r ,∴200cx b -=，20b x c= 设11(,)P x y ，由85AP PQ =uu u r uu u r 得21813b x c =，1513y b = 因为点P 在椭圆上，所以222221851313b a c bb +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭整理得2b 2=3ac ，即2（a 2-c 2）=3ac ，2e 2+3e -2=0，故椭圆的离心率12e =（三）椭圆与圆例3.如图，1A ，2A 分别是椭圆2214xy +=的左、右顶点，圆1A 的半径为2，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q ，则2PQ QA =_______．【答案】34【解析】连结1PO PA 、，可得1POA n 是边长为2的等边三角形，所以1160PAO POA ∠∠==︒，可得直线1PA 的斜率1603k tan =︒=PO 的斜率为21203k tan =︒=- 因此，直线1PA 的方程为)32y x =+，直线PO 的方程为3y x =，设()P m n ，，由)323y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得1m =-，因为圆1A 与直线2PA 相切于点P ，所以21PA PA ⊥，因此219030PA O PAO ∠∠=︒-=︒，故直线2PA 的斜率3150k tan =︒=2PA 的方程为)32y x =-，代入椭圆方程2214x y +=，消去y 得271640xx -+=，解得2x =或27x =，因为直线2PA 交椭圆于()22,0A 与Q 点，设(),Q s t ，可得27s =，由此可得22213722427Q P A Q x x PQ s m QA x x s +--====---. 故答案为34练习1.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为222(0,0)x y r y r +=≥>，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与OAP ∆绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 【答案】223ab π 【解析】如图，这是椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，所以半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是V V V =-圆柱圆锥22212=33b a b a b a πππ-=；答案：223ab π练习2.已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______. 【答案】31e =【解析】解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=o ，260AOF ∠=o ，所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得13AF c =.根据椭圆的定义，可得)12231a AF AF c =+=，故椭圆的离心率231231c c e a a ====+. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=o，260AOF ∠=o，所以2AOF △为正三角形，故13,22A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-，整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得2423e =+2423e =-31e =.练习3.设p 是椭圆2213632x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()2221x y -+=和()22124x y ++=上的点，则PM PN +的取值范围为______【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡227221，【解析】首先将P 点固定于一处，设两圆心分别为12,C C ，则1211,2r r ==，且12,C C 为椭圆的焦点，根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得11221111,22PC PM PC PC PN PC -≤≤+-≤≤+，从而得到12123322PC PC PM PN PC PC +-≤+≤++，根据椭圆的定义可知1212PC PC +=，所以PM PN +的取值范围为2127[,]22，故答案是：2127[,]22.（四）直线与椭圆的中点弦问题例4.已知椭圆T ： 22221(>0)x y a b a b +=>的离心率为2，右焦点为()1,0F ,三角形ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设它的三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0。

直线与椭圆专题讲义

直线与椭圆专题讲义题型一：直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠52．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．思维升华：研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二：弦长及弦中点问题命题点1：弦长问题典例斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105命题点2：弦中点问题典例已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 命题点3：椭圆与向量等知识的综合典例已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值．思维升华：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0，4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．题型三：高考中求椭圆的离心率问题典例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是典例2如图，设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)． (1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．反馈练习1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.1033．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝15．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22 D.326．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23 D.137．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. 9．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是______．10．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则椭圆C 的离心率为________．11.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．12．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．。

高中数学选修1-12.2.3椭圆的综合问题之直线与椭圆的位置关系课件

2
( x1
x2
)2
4x1
x2
6 5
2
知识点2：弦长公式可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1
1 k2
|
yA
yB
|
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
题型二：弦长公式
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
解 : (2)512 912 45
椭圆的弦所在的直线方程.
A(1,1)在椭圆内。
设以A为中点的弦为MN且M (x1, y1), N (x2, y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型二：弦长公式
例焦2点:已，知过点F2F作1 、倾F斜2 分角别为是4 椭的圆直线2x2交椭1y2圆于1 的A、左B、两右点，
求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
且 x02圆的位置关系
例3：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
x2 y2 1 94

直线与椭圆的位置关系-高中数学复习

点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
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高中总复习·数学
解析：由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ，），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－，直线 PO 的斜

1

1
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1
率 kPO ＝＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－＝－，则
−

c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
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高中总复习·数学
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（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ：＋ y 2＝1的左、右焦点分别
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＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝，
1 −2

2
1 ＋2
2

故椭圆的离心率 e ＝＝

1−
2
2
＝ .
2

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高中总复习·数学
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（2）已知斜率为－且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆＋＝1相

椭圆题型归纳之直线与椭圆

第3讲直线与椭圆一、直线与椭圆的位置关系解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式△ 【例1】当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？【练习】曲线22222x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围.二、弦长公式一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x (或y )的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式：()()21221221221241141y y y y k x x x x k AB -++=-++=【例2】已知直线01=-+y x 与椭圆14622=+y x 交于A ()11y x ，、B ()22y x ，两点. (1)求AB 的值；(2)求·的值； (3)求AB 中点的坐标；(4)若椭圆的左焦点为F ，求ABF ∆的面积； (5)求1221y x y x +的值.【练习】在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点.（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求k 的值.三、求最值与取值范围【例3】已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.【练习】已知椭圆()22221:10-.23x y E a b a b ⎛⎫+=>> ⎪ ⎪⎝⎭的离心率为，且过点（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 作两条直线分别与椭圆交于A ，C 与B ，D ，若0AC BD =，求四边形ABCD 面积的取值范围。

第3讲直线与椭圆的综合问题

第3讲直线与椭圆的综合问题一、知识要点(1)直线与椭圆位置关系的判断．将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ＞0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ＜0时，直线和椭圆相离．(2)直线和椭圆相交的弦长公式：AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，直线AB 的倾斜角为α，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|； ②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.③α2222sin 2c b ab AB +=．(3)直线与椭圆相交时的常见处理方法．当直线与椭圆相交时，涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“差分法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．二、典例剖析1、既设又求例1 1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直；直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .2．已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．变式题 1．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．2．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．2、弦长公式例2 1．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．2．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆右焦点F 2的直线l与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝－2，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；(2)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．变式题已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．3、设而不求例3 1．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1：x ＋my ＝3恒过椭圆C 的右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，已知△F 1PQ 的周长为8，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 相交于M ，N 两点，以线段OM ，ON 为邻边作平行四边形OMGN ，其中点G 在椭圆C 上，当12≤|t |≤1时，求|OG |的取值范围．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 相切，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l . 求四边形F 1MNF 2的面积；(3)过椭圆C 内一点T (t ，0)作两条直线分别交椭圆C 于点A ，C 和B ，D ，设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1、k 2，若|AT |·|TC |＝|BT |·|TD |，试问k 1＋k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.变式题 1．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值．4、分类讨论（直线斜率存在性）例4 1．[2017·浙江重点中学联考]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (1，32)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2.过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点. (1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求l 的方程.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，A 、B 为椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，且直线P A 、PB 的斜率之积为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.变式题 1．已知椭圆Γ：（0>>b a ）的一个顶点为)0,2(A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AF AE ⊥．(1)求椭圆的标准方程；(2)O 为坐标原点，若点P 满足OF OE OP +=2，求直线AP 的斜率的取值范围．2．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．精品练习1．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．2．一种作图工具如图所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图1-7所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程．(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l 总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．4．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．6．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．7．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值； (ii)求△ABQ 面积的最大值．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．9．如图所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程．(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．11．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .12．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．13．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率是32，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标．圆锥曲线第3讲答案答案例1 (1)1 2.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.2．解：(1)14449.(2)由题意得，t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．变式题 1．【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.【答案】 23或38[解] (1) x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2. 又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2，得⎝⎛⎭⎫8k3＋4k 22＝43＋4k 2.解得k 2＝14，k ＝±12.所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.例2解 (1) e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32，此时|AB |＝3；当m ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤(64k 4m 2)(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，|m |＞1时，|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2. 所以|AB |的最大值为2.2．解：(1)由题意知，直线l 与椭圆必相交，①当直线斜率不存在时，M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32，∴OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫1，32·⎝⎛⎭⎫1，－32＝1－94＝－54，不合题意； ②设存在直线l 为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)．(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，由(1)得， |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4·4k 2－123＋4k 2＝12（k 2＋1）3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx消去y ，并整理得x 2＝123＋4k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43（1＋k 2）3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48（1＋k 2）3＋4k 212（1＋k 2）3＋4k 2＝4为定值．变式题解：(1) x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.例3 1．解：(1) x24＋y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0，由Δ＝64k 2t 2－4(1＋4k 2)(4t 2－4)>0，可得4k 2＋1>t 2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－8kt1＋4k 2， ∵四边形OMGN 是平行四边形，∴x 0＝x 1＋x 2＝－8kt1＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝kx 0＋2t ＝2t 1＋4k2，可得G ⎝⎛⎭⎫－8kt 1＋4k 2，2t 1＋4k 2. ∵点G 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫－8kt 1＋4k 224＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋4k 22＝1，整理得4t 2(4k 2＋1)＝(4k 2＋1)2，∴4t 2＝4k 2＋1， ∴|OG |2＝x 20＋y 20＝⎝⎛⎭⎫－8kt 1＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋4k 22＝4t 2(16k 2＋1)(1＋4k 2)2＝16t 2－34t 2＝4－34t 2， ∵12≤|t |≤1，∴14≤t 2≤1，∴4－34t 2∈[1，134]，∴|OG |的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，132. 2．解 (1)x 24＋y 23＝1.(2)将直线的方程y ＝x ＋m 代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中，得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＝0，化简得：m 2＝7.设d 1＝|F 1M |＝|－1＋m |2，d 2＝|F 2N |＝|1＋m |2，又因为|d 1－d 2|＝|MN |，所以S ＝12|d 1－d 2|(d 1＋d 2)＝⎪⎪⎪⎪d 21－d 222＝|m |＝7，(3)由T (t ，0)，则直线AC 的方程y ＝k 1(x －t )，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立直线与椭圆方程得(3＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 21t3＋4k 21，x 1·x 2＝4k 21t 2－123＋4k 21，则|AT |＝（x 1－t ）2＋y 21＝1＋k 21|x 1－t |所以|AT |·|TC |＝(1＋k 21)|(x 1－t )(x 2－t )|＝(1＋k 21)|x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2|＝(1＋k 21)⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 21t 2－123＋4k 21－8k 21t 23＋4k 21＋t 2 ＝(1＋k 21)·|3t 2－12|3＋4k 21，又T (t ，0)为椭圆C 内一点，所以t 24＜1即t 2＜4，所以3t 2－12＜0，所以|AT |·|TC |＝（1＋k 21）·（12－3t 2）3＋4k 21；同理|BT |·|TD |＝（1＋k 22）·（12－3t 2）3＋4k 22所以1＋k 213＋4k 21＝1＋k 223＋4k 22，解得k 21＝k 22，又直线AC 与BD 不重合，所以k 1＋k 2＝0为定值. 变式题 1.解：(1) x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 2．解：(1)x 26＋y 23＝1.点T 坐标为(2，1)．(2)证明：由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3，|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2，所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2|＝54⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123|＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.例4 1.解：(1)x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得F 1(－1，0)．①当l 的倾斜角是π2时，l 的方程为x ＝－1，则点A －1，32，B －1，－32，此时S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227，不合题意．②当l 的倾斜角不是π2时，设l 的斜率为k ，则其直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1）消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴S △F 2AB ＝S △F 1F 2B ＋S △F 1F 2A ＝12|F 1F 2|(|y 1|＋|y 2|)＝12×2|y 1－y 2|＝|k (x 1＋1)－k (x 2＋1)|＝|k |（x 1－x 2）2＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |－8k 24k 2＋32－4×4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3.又已知S △F 2AB ＝1227，∴12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227⇒17k 4＋k 2－18＝0⇒(k 2－1)(17k 2＋18)＝0⇒k 2－1＝0，解得k ＝±1，故直线l 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.2．解 (1) x 28＋y24＝1.(2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2＋4kpx ＋2p 2－8＝0，因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋ 2k 2)(2p 2－8)＝8(4＋8k 2－p 2)＝0，即4＋8k 2＝p 2.设x 轴上存在两个定点(s ，0)，(t ，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4，则|ks ＋p |k 2＋1·|kt ＋p |k 2＋1＝|k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2|k 2＋1＝4.即 (st ＋ 4)k ＋p (s ＋t )＝0(*)，或(st ＋ 12)k 2＋(s ＋t )kp ＋8＝0 (**)由(*)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧st ＋4＝0，s ＋t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2，t ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－2，t ＝2(**)不恒成立.②当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝±22时，定点(－2，0)、F 2(2，0)到直线l 的距离之积(22－2)(22＋2)＝4.综上，存在两个定点(2，0)、(－2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4.变式题 1.【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时,由2223412y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得271640x x -+=, 6分 AE AF ⊥,所以(AE AF x ⋅=-2OP OE OF =+=2．解：(1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC . 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为 x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．练习题1．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b .又k OM ＝510，所以b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3，所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.2．解：(1)设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝⎛⎭⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得 S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |·2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m 21－4k 2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1.当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝⎛⎭⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k2＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.3．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝ 22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.4．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，所以l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9.将点⎝⎛⎭⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9），解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k >0，k ≠3，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．5．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )，设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)． 6．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以 x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x2－x 214. 令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形． 7．解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时，S 取得最大值23，由(i)知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.8．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.9．解：(1)由已知得，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎨⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点．如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，得|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0，2)．下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)．又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1，k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．10．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有kc k 2＋12＋c 22＝b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的坐标为c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.11．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：如图，设点P (x 0，y 0)，由点P 在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，得 x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而 |PF 1|2＝a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12×1＋42＋2－12＝6－ 3.方法二：如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.12．解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b . 由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1mx ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.① 将AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2的坐标代入直线方程 y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得，m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 13．解：(1)x 2＋4y 2＝1.(2)①证明：设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22(m ＞0)．由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m .因此直线l 方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)．(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1.将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因为y 0x 0＝－14m ，所以直线OD 方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上． ②由①知，直线l 方程为y ＝mx －m 22. 令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22. 又P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4， S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）. 所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1.则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫22，14. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.。

直线与椭圆的位置关系题型归纳

直线与椭圆的位置关系题型一：直线与椭圆位置关系的判断例1：已知：直线:l y x m =-与椭圆2242x y +=，判断它们的位置关系。

练习：已知直线2y x m =+与椭圆22194x y +=相交，求m 的取值范围。

方法小结：题型二：弦长问题例2：求直线11:22l y x =-被椭圆2214x y +=所截得的弦长变题：已知直线y x m =+被椭圆2241x y +=m 的值。

方法小结：题型三：中点弦问题例3：已知椭圆221164x y +=过点(2,1)P 引一弦AB ，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程。

练习：中点在原点，一个焦点为F 的椭圆被直线32y x =-所截得的弦的中点的横坐标是12，求椭圆方程。

方法小结：题型四：求范围（最值）问题例4 ：已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为（3，0），右顶点为（2，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>•OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围.练习：已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．方法小结：题型五：定点定值问题例5 ：如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. （I ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（II ）过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，与OD 所在直线交于E 点， 1212,,:EM MB EN NB λλλλ==+求证为定值.练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1P ，且离心率为21．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交B A ,两点（B A ,不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．方法小结：。

考向3直线与椭圆的综合问题

考向3 直线与椭圆的综合问题(高频考点)命题视角直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有： (1)由已知条件求椭圆的方程或离心率； (2)由已知条件求直线的方程； (3)中点弦或弦的中点问题； (4)弦长问题；(5)与向量结合求参变量的取值．【典例3】 (2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线P A ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，335，试求直线P A 的方程；(3)记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．[思路点拨](1)根据椭圆定义求出a 的值，再由c ＝1求出b 的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A ，P 点坐标，就可写出直线P A 的方程，(3)先根据直线AB 垂直x 轴的特殊情况下探求y M ，y N 的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值．本题难点在如何利用条件消去参数．点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键．[解] (1)由题意，得2a ＝ (1－1)2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋(1＋1)2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵B ⎝⎛⎭⎫85，335，∴P ⎝⎛⎭⎫－85，－335，又F (1，0)，∴k AB ＝3，∴直线AB ：y ＝3(x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x －1)，解得A (0，－3)，∴直线P A ：y ＝－34x －3，即3x ＋4y ＋43＝0. (3)当k AB 不存在时，易得y M y N ＝－9，当k AB 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)，∴x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4＝－(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3， ∴(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k P A ·k AB ，令k AB ＝k ＝y 2x 2－1，则k P A ＝－34k ，∴直线P A 方程：y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，∴y M ＝－34k (x 2＋4)－y 2，∴y M ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2，∴直线PB 方程：y ＝y 2x 2·x ，∴y N ＝4y 2x 2，∴y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2，又∵x 224＋y 223＝1，∴4y 22＝12－3x 22， ∴y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.,【通关锦囊】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． (3)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．(4)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交． (5)与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可．【变式训练3】 (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．[解] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，则b 2＝2又因为a 2－c 2＝b 2，从而a 2＝3，c 2＝1，所以所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.根据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2.掌握1条规律椭圆焦点位置与x 2，y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m >n >0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0<m <n .熟记2种方法求椭圆标准方程的方法1．定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． 2.待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a 2，b 2.掌握3种技巧与椭圆性质、方程相关的三种技巧1．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)． 2.待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用． 3.椭圆上任意一点M 到焦点F 的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .规范解答之11直线与椭圆的综合问题(14分)(2014·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.(2分)因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.(4分)故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(6分)(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.(8分)因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15，因此e ＝55.(14分),【智慧心语】易错提示：(1)忽略a ，b ，c 三者的关系，造成运算量大而出现错误； (2)不知把直线BF 2的方程写成截距式x c ＋yb＝1，导致无法得出关于a ，b ，c的等式；(3)方程整理错误； (4)方程求解错误．防范措施：(1)注意题已知条件关系的挖掘；(2)写直线方程时，要注意分析已知条件，选取恰当的形式； (3)要强化化简及运算能力．【类题通关】(2014·苏州市高三调研测试)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，点P ⎝⎛⎭⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率)．(1)求椭圆的方程；(2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB →＝0，求实数λ的值． [解] (1)由条件，a ＝2，e ＝c 2，代入椭圆方程，得c 24＋14b 2＝1.∵b 2＋c 2＝4，∴b 2＝1，c 2＝3.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1即x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x ＝21＋4k2.则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵x A ＝2，∴x B ＝2(4k 2－1)1＋4k 2.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(4k 2－1)1＋4k 2，－4k 1＋4k 2. ∵OC →·OB →＝0，∴2(4k 2－1)1＋4k 2·21＋4k 2＋－4k 1＋4k 2·2k1＋4k 2＝0. ∴k 2＝12.∵C 在第一象限，∴k >0，k ＝22.∵OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋4k2，2k1＋4k 2，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2(4k 2－1)1＋4k 2，4k 1＋4k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 2，4k 1＋4k 2，由OC →＝λBA →，得λ＝k 2＋14.∵k ＝22，∴λ＝32. 课堂练习：一、填空题1．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．[解析]设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∴AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23. ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.[答案]x 2＋32y 2＝12．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________．[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2).∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案]x 218＋y 29＝1二、解答题3．(2014·课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.4．以定点A (2,8)和动点B 为焦点的椭圆经过点P （－4,0）、Q (2,0)． (1)求动点B 的轨迹方程；(2)是否存在实数k ，使直线y =kx +2与上述B 点轨迹的交点Ｃ，Ｄ恰好关于直线l ：y=2x 对称？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：⑴设B(x,y)，依题设及椭圆定义有：|PA|+|PB|=|QA|+|QB|∴|QB|－|PB|=|PA|－|QA|＝288)42(22=-++∴B 的轨迹是以P ，Q 为焦点的双曲线的左支，由2a ＝2，2c ＝6，得b 2=c 2－a 2=32－12＝8 故所求的轨迹方程为(x+1)2－82y =1(x ≤－2) ⑵若存在，设交点为C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)∵C 、D 关于l :y=2x 对称，∴CD 中点在l 上，y 1+y 2＝2(x 1+x 2)…①．又C 、D 在直线y =kx +2上，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4…②，由①、②得x 1+x 2=k-24……③ 由⎪⎩⎪⎨⎧=-++=18)1(222y x kx y 得(8－k 2)x 2+4(2－k)x －4＝0 ∴x 1+x 2=－2844k k --⋅）（……④．由③、④得28)4(424k k k --=- 解得k =38但k CD ·k ＝316238=⨯≠－1，故直线CD 与l 垂直∴这样的实数k 不存在。

椭圆综合题中定值定点范围问题总结

椭圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别2.设交点坐标；提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”3.联立方程组；4.消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”提醒：需讨论K 是否存在⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系120K K +=或12K K =； ④“共线问题”如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法；如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式的合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明;4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法转化为二次函数的最值、三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成,但难以实施;这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的; 1直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M-1,0关于直线0l 的对称点为N,直线PN 恒过一定点G,求点G 的坐标;2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点;1求P 点坐标；2求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -, 求证：MA MB ⋅为定值.4、在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.Ⅰ求22m k +的最小值；Ⅱ若2OG OD =OE ,求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. 1从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围;5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B , 且3AP PB =,求m 的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． Ⅰ求动点P 的轨迹C 的方程；Ⅱ设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -⋅-≤≤,求直线l 的斜率的取值范围.3利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为3.1求椭圆的方程.2设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的取值范围.9. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上, 点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . I 求曲线E 的方程；II 若过定点F 0,2的直线交曲线E 于不同的两点,G H 点G 在点,F H 之间,且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为)0,2(H .1求椭圆E 的标准方程；2对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ若过点M 2,0的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+O 为坐标原点,-时,求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： 1利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值; 2利用函数求最值,13.如图,DP x ⊥轴,点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时; I 求点M 的轨迹C 的方程；Ⅱ过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A,B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标;14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点,其中点A 的坐标为)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==•．1求椭圆m 的方程；2过点),0(t M 的直线l 斜率存在时与椭圆m 交于两点P,Q,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP上,点G 在MP 上,且满足NP ＝2NQ ,GQ ·NP ＝0． 1若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程；2若动圆M 和1中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数；若不存在,说明理由．3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．Ⅰ求椭圆C 的标准方程；Ⅱ若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点A B ，不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M 2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点; 1求椭圆的方程； 2求m 的取值范围；3求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：1设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===所以椭圆的方程为22142y x +=则122),(0,2)F F -,设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=,得02y =则点P 的坐标为2);2由1知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,设PB 斜率为(0)k k >,则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k ---=-=++同理可得222222A k k x k +-=+,则2422A B kx x k-=+ 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值;3、解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>,2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49=; 4、解：Ⅰ由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kny kx n k n k-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上,所以OE OD k K =,即133mk -=-, 解得1m k =,所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. Ⅱ证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =OE ,所以222313m n m m k =⋅++, 又由Ⅰ知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、解：1当直线斜率不存在时：12m =±2当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-=22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =,∴123x x -=,∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ,得212123()40x x x x ++=, 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时,上式不成立； 214m ≠时,2222241m k m -=-, ∴22222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m ; 6、解：Ⅰ设动点(, )P x y ,则(4, )MP x y =-,(3, 0)MN =-,(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--,化简得223412x y +=,得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13422=+y x . Ⅱ由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内,所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=,所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 7、解： (1,3)AP =,设Qx ,y ,(3,1)AQ x y =--,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是0,36．3x y +的取值范围是－6,6．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是－12,0． 8、解：1依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,则右焦点)F3=,解得23a =,故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=2设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ,P 为弦MN 的中点,由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交,22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P APP y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k++-=-,即2231m k =+,②把②代入①得22m m <,解02m <<,由②得22103m k -=>,解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 9、解：Ⅰ.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x Ⅱ当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴10、解：1由题意可得,1c =,2a =,∴3b =．∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． 2设),(00y x M )20±≠x （,则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=,由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ,即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x , ∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--.11、解：Ⅰ由题意知22c e a ==, 所以22222212c a b e a a -===．即222a b =．又因为2111b ==+,所以22a =,21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x ． Ⅱ由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->,212k <. 2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,21228(12)x x k x t t k +==+, 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴22216(12)k t k =+.∵PB PA -＜253,∴2122513k x x +-<,∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴214k >. ∴21142k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623t -<<-或2623t <<, ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===,故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ,得0422422=-++m mx x , 由0)4(16)22(22>--=∆m m ,得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =,则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ;当且仅当()22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2; 13、解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x ,则0x x =,02y y =,所以x x =0,20yy =, ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ②将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． Ⅱ由题意知,1||≥t ．当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ；当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得：222122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+．又由l 与圆122=+y x 相切,得,11||2=+k t 即.122+=k t所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222kt k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径,所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ∆面积S 的最大值为1,相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．14、解：由题意知,||1m ≥.当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-, 此时||3AB =；当1m =-时,同理可得||3AB =；当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切,211k =+,即2221m k k =+.所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243|3m m =+. 由于当1m =±时,||3AB 243|43||233||||m AB m m m ==≤++,当且当3m =,||2AB =.所以|AB|的最大值为2.选做1、解1椭圆m ：141222=+y x2由条件D0,－2 ∵M0,t 1°当k=0时,显然－2<t<2 2°当k≠0时,设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是1,4综上t ∈－2,4 2、解：12,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点,又0GQ NP ⋅=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且2,1a c ==,∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=2解：不存在这样一组正实数,下面证明：由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k ,故直线MN 的方程为：(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．注意到12121y y x x k -=--,且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得：04x =．因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内,故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在．当直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =,则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=,这与,A B 是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．3、解：Ⅰ椭圆的标准方程为22143x y +=． Ⅱ设11()A x y ，,22()B x y ，,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则，又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾；当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，．所以,直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，． 4、解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x 2∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距m, 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为：由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m3设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形;。

直线与椭圆位置关系及焦点三角形等题型大全(教师版)

椭圆的有关题型大全(教师版)一、直线与椭圆位置关系：1..点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)在椭圆12222=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ；在椭圆上的充要条件是122220=+by a x .2.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+by a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l 与C 相离的⇔Δ<0； l 与C 相切⇔Δ=0； l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0. 3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)⇒|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y k x x k-+=-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或者2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k=-+-=-+-=+-2121221(1)[()4]y y y y k=++-) 4.椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，【则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0】则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.例题讲解：一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交（2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切（3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m 当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m 51≠≥∴m m 且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。

高考数学题型归纳,直线和椭圆综合应用

第二课时直线与椭圆的综合问题考点一弦中点问题[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55[解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝ 1－b 2a 2＝32，故选C. [答案] C[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．1．已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝0解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 219＋y 21＝1，x229＋y 22＝1，两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)9＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－19，所以弦所在的直线方程为y －12＝－19⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋9y －5＝0. 2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________．解析：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37. 将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎨⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝1考点二弦长问题[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. [解题技法] 弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±12C. 2D ．±2解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m 消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝433－m 2＝423，解得m ＝±1.2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．解：(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2，又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1，所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－85，所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪3＋335＝835.考点三椭圆与向量的综合问题[典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，则Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2，所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. [解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．1．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选C 根据题意不妨设B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，因为BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，BF 1―→＝(－c ，－b )，BF 2―→＝(c ，－b )，|F 1F 2|2＝4c 2，所以b 2≥2c 2，又因为b 2＝a 2－c 2，所以a 2≥3c 2，所以0＜c a ≤33.2．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM ―→·OP ―→的值．解：(1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，又△AOF 的面积为1，所以12bc ＝1，解得b ＝c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2,4k )，所以OM ―→·OP ―→＝(2,4k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4.同步练习题A 级1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2D ．2解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy－b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF ―→＝2FB ―→，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)， ∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，－2y 22＝－b 4a 2＋b2.∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B. 5．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由|AB |＝3，知点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 答案：328．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1 ①，x 224＋y 222＝1 ②， ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝09．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△F AB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)因为S △F AB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 20＝－1a 2＝－13，所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＝63.10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2.∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.B 级1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程．解：(1)由e ＝12，得a ＝2c ，易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2，即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×12＝a 2，解得a ＝2，则c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 3＋4k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ⎝⎛⎭⎫0，18，则k MN ＝18＋3k3＋4k 20－4k 23＋4k 2＝－24k ＋3＋4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或32，则k MN ＝－2或k MN ＝－23，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0.2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧ x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2，即k ＝±2，此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.。

第3讲：直线与椭圆的位置关系【八大题型】

第3讲：直线与椭圆的位置关系【八大题型】【题型1点与椭圆的位置关系】【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】【题型4椭圆的弦长问题】【题型5椭圆的“中点弦”问题】【题型6椭圆中的面积问题】【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】【题型8椭圆中的最值问题】【知识点1点与椭圆的位置关系】1.点与椭圆的位置关系（1）点与椭圆的位置关系：（2）对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：点在椭圆外+>1；点在椭圆内+<1；点在椭圆上+=1.【题型1点与椭圆的位置关系】1．已知椭圆22:143x y C +=，则下列各点不在椭圆内部的是（）A ．()1,1B ．)1-C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2．点(),1A a 在椭圆22142x y +=的外部，则a 的取值范围是（）A ．(B ．(),-∞⋃+∞C ．()2,2-D ．()1,1-3．点P (4cos α，α)(α∈R )与椭圆C ：24x ＋23y ＝1的位置关系是（）A ．点P 在椭圆C 上B ．点P 与椭圆C 的位置关系不能确定，与α的取值有关C ．点P 在椭圆C 内D ．点P 在椭圆C 外4．已知椭圆C 关于x 轴､y 轴均对称，焦点在y 轴上，且焦距为2(0)c c >，若点A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭不在椭圆C 的外部，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．⎫⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎛ ⎝⎭【知识点2直线与椭圆的位置关系】1.直线与椭圆的位置关系（1）直线与椭圆的三种位置关系类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.（2）利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：>0直线与椭圆相交有两个公共点；=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；<0直线与椭圆相离无公共点.【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】5．已知直线30l x y +-=：，椭圆2214x y +=，则直线与椭圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定6．已知直线l ：10kx y ++=，曲线C ：221164x y +=，则直线l 与曲线C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定7．若直线4mx ny +=和圆224x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（）A ．2个B ．至少一个C ．1个D ．0个8．已知直线0022:1x x y y l a b +=与椭圆2222:1x y C a b+=，点()00,A x y ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在椭圆C 外，则直线l 与椭圆C 相离B ．若点A 在椭圆C 上，则直线l 与椭圆C 相切C ．若点A 在椭圆C 内，则直线l 与椭圆C 相交D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与椭圆C 的位置关系不确定【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】9．若直线1y x =-与椭圆223x y a +=有且只有一公共点，那么a 的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．110．若直线2y mx =+与焦点在x 轴上的椭圆2219x y n+=总有公共点，则n 的取值范围是（）A ．(]0,4B ．()4,9C ．[)4,9D ．[)()4,99,∞⋃+11x b =+有解，则b 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．2⎡-⎣C ．⎡⎣D ．[]22-,12．已知交于点P 的直线1l ，2l 相互垂直，且均与椭圆22:13xC y +=相切，若A 为C 的上顶点，则PA 的取值范围为（）A ．B ．⎡⎣C ．⎤⎦D ．[]1,3【知识点3弦长与“中点弦问题”】1.弦长问题（1）定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.（2）弦长公式：设直线l :y =kx +m 交椭圆+=1（a >b >0）于，两点，则或.2.“中点弦问题”（1）解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.设，，代入椭圆方程+=1（a >b >0），得，①-②可得+=0，设线段AB 的中点为，当时，有+=0.因为为弦AB 的中点，从而转化为中点与直线AB 的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法.（2）弦的中点与直线的斜率的关系线段AB 是椭圆+=1（a >b >0）的一条弦，当弦AB 所在直线的斜率存在时，弦AB 的中点M 的坐标为，则弦AB 所在直线的斜率为，即.【题型4椭圆的弦长问题】13．已知斜率为1的直线l 过椭圆22143x y +=的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为（）A ．207B ．227C ．247D ．26714．已知椭圆2212x y +=与直线y x m =+交于A ，B 两点，且3AB =，则实数m 的值为（）A ．±1B ．±12C D ．15．过椭圆2219x y +=的左焦点作直线和椭圆交于A 、B 两点，且23AB =，则这样直线的条数为（）A ．0B ．1C ．2D ．316．斜率为1的直线l 与椭圆2212x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为（）A ．2BCD 【题型5椭圆的“中点弦”问题】17．若椭圆22143x y +=的弦AB 被点()1,1M -平分.则直线AB 的方程为（）A ．3470x y -+=B ．3410x y +-=C ．4370x y -+=D ．4310x y ++=18．已知直线l 交椭圆22142x y +=于A ，B 两点，且线段AB 的中点为()1,1-，则直线l 的斜率为（）A ．-2B ．12-C ．2D ．1219．若椭圆22194x y +=的弦AB 被点()1,1P 平分，则AB 所在直线的方程为（）A ．49130x y +-=B ．94130x y +-=C ．230x y +-=D ．340x y +-=20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()4,0F ，过点F 且斜率为1的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为()3,1-，则E 的方程为（）A ．2214529x y +=B ．2213620x y +=C ．2213216x y +=D ．221248x y +=【题型6椭圆中的面积问题】21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦点坐标为()11,0F -、()21,0F，点2A ⎛ ⎝⎭为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点2F 且倾斜角为45 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积.22．已知点()1,1M 为椭圆222:l(02)4x y C b b+=<<上一点，直线l ：()10R x ty t +-=∈与椭圆C 交于A ､B 两点.(1)当1t =时，求ABM 的面积；(2)设直线AM 和BM 分别与直线4x =交于点P ，Q ，若ABM 与PQM 的面积满足5PQM ABM S S = ，求实数t 的值.23．已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左､右焦点，直线1l 过点2F 与椭圆交于,A B 两点，且12AF F △的周长为(2a .(1)求椭圆M 的离心率；(2)直线2l 过点2F ，且与1l 垂直，2l 交椭圆M 于,C D两点，若a =ACBD 面积的范围.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且C经过点1,2⎛ ⎝⎭．(1)求椭圆C 方程；(2)直线(0)y kx k =>与椭圆C 交于点,M N F 、为C 的右焦点，直线MF NF 、分别交C 于另一点1M 、1N ，记FMN与11FM N △的面积分别为12S S 、，求12S S的范围．【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】25．已知点(2,0)A ，64,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x yM a b a b+=>>上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于,C D 两个不同的点（异于,A B ），过C 作x 轴的垂线分别交直线,AB AD 于点,P Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,2P 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP MB AM PB ⋅=⋅，证明：点M 总在某定直线上．27．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，且椭圆E 上的点到焦点的距离的最大值为3．(1)求椭圆E 的方程．(2)设A 、B 是椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，P 在椭圆E 上，且点P 异于A 、B 两点，O 为原点，直线AP 交x 轴于点M ，直线BP 交x 轴于点N ，试问OM ON ⋅是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．28．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为)F，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值；(3)在（2）的条件下，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：点M 在定直线上.【知识点4椭圆中的最值问题】1.椭圆中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个（或多个）变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型8椭圆中的最值问题】29．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上，且椭圆C过点M ⎛ ⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2),P Q 为椭圆C 上两个动点，且直线AP 与AQ 的斜率之积为1,,6MD PQ D -⊥为垂足，求AD 的最大值.30．已知点A 是圆()22:116E x y -+=上的任意一点，点()1,0F -，线段AF 的垂直平分线交AE 于点P .(1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)若过点F 的直线交轨迹Γ于M 、N 两点，B 是FM 的中点，点O 是坐标原点，记MEB 与ONF △的面积之和为S ，求S 的最大值.31．已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的左，右顶点分别为A ，B ，左焦点为(F ,点1)2在椭圆上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于不同于B 的M ，N 两点，且BM BN ⊥，求||||BM BN ⋅的最大值．32．已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F 和)2,ΓF 的下顶点为A ，直线:0l x y +-=，点M 在l 上.(1)若2a =，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；(2)若直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM 中有一个内角的余弦值为35，求b ；(3)在椭圆Γ上存在一个点()[]()cos ,sin 0,2π,P a b P θθθ∈到l 的距离为d ，使126PF PF d ++=，当a 变化时，求d 的最小值.参考答案：1．C【详解】由椭圆方程为22:143x y C +=，因为11714312+=<，所以点()1,1在椭圆内部，A 错误；因为2151436+=<，所以点)1-在椭圆内部，B 错误；因为2271436+=>，所以点在椭圆外部，C 正确；因为1119414348+=<，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆内部，D 错误.故选：C.2．B【详解】因为点(),1A a 在椭圆22142x y +=的外部，所以21142a +>,解得()a ∈-∞-+∞ ，,故选：B.3．D【详解】把点P (2cos αα)(α∈R )代入椭圆方程的左边为()24cos 4α＋()23α＝4（cos 2α＋sin 2α）＝4>1，因此点P 在椭圆外．故选:D .4．B【详解】设椭圆C 的方程为()222210y x a b a b +=>>，因为2A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭不在椭圆C 的外部，所以2222614c c a b +≤，因为222b ac =-，所以22222614c c a a c+≤-，化简得：422461440c a c a -+≥，同除以4a 得：4261440e e -+≥，结合()0,1e ∈，解得：2103e <≤，故3e ⎛∈ ⎝⎦.故选：B 5．C【详解】联立221430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消去y ，整理得到2524320x x -+=，该方程判别式()2244532576640640∆=--⨯⨯=-=-<，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选：C 6．C【详解】解：由直线l ：10kx y ++=，得直线l 过定点()0,1-，因为011164+<，所以该点在曲线C ：221164x y +=内部.所以直线l 与曲线C 相交.故选：C.7．A【详解】直线4mx ny +=和圆224x y +=没有交点，∴直线与圆相离，圆心()0,0，半径2r=2，即2202m n <+<∴点(),P m n 在以原点为圆心，半径为2的圆内，又椭圆22194x y +=短轴长为4，∴圆22m n +=2内切于椭圆，∴点(),P m n 在椭圆内，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y+=的交点个数为2个.故选：A.8．B【详解】当00y =，则00x ≠，则直线2:a l x x =，①若点A 在椭圆C 外，则0x a >，则20||a x a x =<，直线l 与椭圆C 相交；②若点A 在椭圆C 上，则0x a =，则20||a x a x ==，直线l 与椭圆C 相切；③若点A 在椭圆C 内，则0x a <，则2||a x a x =>，直线l 与椭圆C 相离；当00y ≠时，联立方程0022222211x x y ya b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得：()22222224242000020a y b x x a b x x a b a y +-+-=，所以()()22442222242426220022Δ4441x y a b x a y b x a b a y a b y a b ⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭，①若点A 在椭圆C 外，则2200221x y a b+>，则Δ0>，直线l 与椭圆C 相交；②若点A 在椭圆C 上，则手2200221x y a b +=，则Δ0=，直线l 与椭圆C 相切；③若点A 在椭圆C 内，则2200221x y a b+<，则Δ0<，直线l 与椭圆C 相离；若点A 在直线l 上，则满足2200221x y a b+=，即点A 在椭圆C 上，由以上讨论可知直线l 与椭圆C 相切，D 错误.综上所述：B 正确故选：B 9．C【详解】因为方程223x y a +=表示的曲线为椭圆，则0a >，将直线1y x =-的方程与椭圆的方程联立，2213y x x y a=-⎧⎨+=⎩，可得24630x x a -+-=，则()3644316120a a ∆=-⨯⨯-=-=，解得34a =.故选：C.10．C【详解】直线2y mx =+恒过定点()0,2，若直线与椭圆总有公共点，则定点()0,2在椭圆上或椭圆内，41n∴≤，解得4n ≥或0n <，又2219x y n+= 表示焦点在x 轴上的椭圆，故09n <<，[)4,9n ∴∈，故选：C.11．B【详解】设2334x y =-，0y ≥，两边同平方得22334x y =-，化简得22143x y +=（0y ≥），则其所表示的图形为椭圆22143x y +=在x 轴及上方部分，则题目转化为直线y x b =+与上述图形有交点，设椭圆的右端点为A ，易得其坐标为()2,0，当直线y x b =+与半椭圆相切时，显然由图得0b >，联立22143x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22784120x bx b ++-=，则()22(8)474120b b ∆=-⨯⨯-=化简得27b =，解得7b =或7-（舍），当直线y x b =+经过点()2,0A 时，得02b =+，解得2b =-，则2,7b ⎡⎤∈-⎣⎦，故选：B.12．D【详解】当椭圆的切线斜率存在时，设(),P m n ，且过P 与椭圆相切的直线方程为：()y n k x m -=-，联立直线与椭圆方程()2213x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得，2221()2()()103k x k n km x n km ++-+--=所以()()2222144103kn km k n km ⎛⎫⎡⎤∆=--+--= ⎪⎣⎦⎝⎭，即()2223210m k kmn n -++-=，设12,k k 为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以22113nm-=--，即2231m n -=-，所以2224(3)m n m +=≠，当椭圆的切线斜率不存在时，此时，1m n ==±，也满足上式，所以224m n +=，其轨迹是以()0,0为圆心，2为半径的圆，又因为A 为椭圆上顶点，所以()0,1A ，当点P 位于圆的上顶点时，min 211PA =-=，当点P 位于圆的下顶点时，max 213PA =+=，所以[]1,3PA ∈，故选:D 13．C【详解】由椭圆知，224,3a b ==，所以21c =，所以右焦点坐标为()1,0，则直线l 的方程为1y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，27880x x --=，则121288,77x x x x +=⋅=-，所以247AB =.即弦AB 长为247.故选：C.14．A【详解】由2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0．设11()A x y ，，22()B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=．由题意，得AB ===1m =±．故选:A 15．B【详解】左焦点为()-，若直线垂直x 轴，则直线为x =-2819y +=，可得13y =±，此时通径长23AB =，所以，由椭圆性质知：23AB =的直线有仅只有一条.故选：B 16．D【详解】设A B ，两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为y x m =+，由2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22342(1)0x mx m ++-=，则1243m x x +=-，2122(1)3m x x -=.∴12AB x =-=3=，∴当0m =时，AB :D.17．A【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则满足22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212043x x y y --+=，即12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，又AB 被点()1,1M -平分，故12121212x x y y +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，且直线AB 的斜率存在，所以，整理得121234y y x x -=-，即34AB k =，则AB 所在直线方程为()3114y x =++，化简得3470x y -+=.故选：A.18．D【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 都在椭圆上，所以22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22221212()()04422x x y y -+-=，得1212121212y y x x x x y y -+=-⨯-+，又因为线段AB 中点坐标为()1,1-，12122x x +=-⨯=-，12122y y +=⨯=，所以1212121222AB y y k x x --==-⨯=-，故选：D.19．A【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以22221212094x x y y --+=，整理得()()1212121249x x y y x x y y +-=--+，因为()1,1P 为弦AB 的中点，所以12122,2x x y y +=+=，所以()()121212124499AB x x y y k x x y y +-==-=--+，所以弦AB 所在直线的方程为()4119y x -=--，即49130x y +-=.故选：A.20．D【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12126,2x x y y +=+=-，由已知有，2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，作差得222212212222x x y y a a b b-=-，则()()()()22212121222212121213y y y y y y b x x x x x x a -+-==-=---+，所以2222223,4,3a b c a b c b ===+=，解得228,24b a ==，则E 的方程为221248x y +=.故选：D ．21．(1)2212x y +=(2)23【详解】（1）解：由椭圆的定义可得1222a AF AF =+=所以，a 1c =，则1b ===，所以，椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）解：设点()11,M x y 、()22,N x y ，由题意可知，直线l 的方程为1y x =-，即1x y =+.联立22122x y x y =+⎧⎨+=⎩可得23210y y +-=，解得113y =，21y =-，所以，212114212233OMN S OF y y =⋅-=⨯⨯=△.22．(1)4ABM S =(2)2t =±【详解】（1）将()1,1M 代入222l 4x y b +=，得211l 4b +=，解得243b =，所以椭圆223:l 44x y C +=，联立22314410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得24610x x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121231,24x x x x +==-，则AB ===M 到直线l2=，故ABM的面积4ABM S =；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立22314410x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得()223230t y ty +--=，()222412316360t t t ∆=++=+>恒成立，则1221222333t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则AB ==，点M 到直线l的距离d12ABMS AB d =⋅ AM 的方程为()111111y y x x --=--，令4x =，则()()()1111111111313133114111111y y t y y y y x x x ty ty ---+--=⨯-+=+=+=----，即()11334,t y P ty -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理()22334,t y Q ty -+⎛⎫ ⎝⎭，()()()1221121233333t y t y y y PQ ty ty ty y -+-+-=-=因为2123y y t -==+，所以()21123y y PQ ty y t -===，因为5PQMABM S S =，所以5t t =()22335tt +=，解得t =23．(2)16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）设()()12,0,,0(0)F c F c c ->，由椭圆的定义可知12AF F △的周长为(222a c a +=+，所以2c =，所以离心率c e a ==（2）由（1）可知2c a =，又222b c a +=，所以2222a b ==，所以椭圆M 的方程为2212x y +=.①当直线12,l l 中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形ACBD的面积11222S AB CD =⋅=⨯=.②当直线12,l l 的斜率都存在，且都不为0时，设1l 的方程为()()()1122,,,,y k x c A x y B x y =-，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222124220k x k x k +-+-=，2880k ∆=+>.所以22121222422,1212k k x x x x k k-+==++.所以)2122112k AB x k +=-==+.设2l 的方程为()1y x c k=--，同理可得)2222111221k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++.所以四边形ACBD的面积))2222111122122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()()()2222222242221441412225211212121k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭====-++⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22211224k k k k ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当21k =时取等号.所以2162229121k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≤-<⎢⎥⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，即此时16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.由①②可知，四边形ACBD 面积的范围为16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24．(1)2212x y +=(2)12(1,9)S S ∈【详解】（1）由离心率为2，且C 经过点⎛ ⎝⎭可得2221112c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c =+，解得222,1a b ==，所以椭圆C 22:12x y +=；（2）设()00,M x y ，则()00,N x y --，()10F ,，令1MF FM λ= ，()001,x y MF -=- ，可得001(1),x y M λλλ+--⎛⎫⎪⎝⎭，代入2212x y +=，得[]()220022(1)12y x λλλ-+-+=，又220012x y +=，得032x λ=-，设1NF FN μ= ，()001,x F y N += ，可得001(1),x y N μμμ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入2212x y +=，得()()220022112y x μμμ⎡⎤++⎣⎦+=，又220012x y +=，得032x μ=+，∵11||||,MF NF FM FN λμ==，∴210211111||||sin 2941sin 2MF NF MFN S x S M F N F N FMλμ⋅⋅∠===-⋅⋅∠，∵(0x ∈，()200,2x ∈，∴()121,9S S ∈．25．(1)2214x y +=(2)证明见解析【详解】（1）由题知2a =，又椭圆经过64,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入可得22216141455b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得21b =，故椭圆的方程为：2214x y +=（2）由题意知，当l x ⊥轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418440k x kmx m +++-=，则()()()222222641614116410k m m k k m ∆=--+=+>-，即2241k m +>设()11,C x y ，()22,D x y ，12284+1km x x k -+=，2122444+1m x x k -=AB 的方程为1(2)4y x =-，令1x x =得112,4x P x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 的方程为22(2)2y y x x =--，令1x x =得11222,2x Q x y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，由P 是CQ 中点，得111222222x x y y x --=+⋅-，即12121222y y x x +=--，即()()()()()12211212122242kx m x kx m x x x x x +-++-=-++⎡⎤⎣⎦，即()1212(14)(422)480k x x k m x x m -+--+++=，即224(168)16160m k m k k ++++=，所以(2)(22)0m k m k +++=，得22m k =--或2m k =-，当22m k =--，此时由0∆>，得38k <-，符合题意；当2m k =-，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为22y kx k =--，即(2)2y k x =--，所以l 过定点(2,2)-.26．(1)22143x y +=(2)证明见解析【详解】（1）解：由题意可得22222129141c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为22143x y+=.（2）解：设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),M x y ，因为AP MB AM PB ⋅=⋅，记AP AMλPB MB==，则0λ>且1λ≠，又因为点P 在椭圆外，且P 、A 、M 、B 四点共线，所以，AP PB λ=- ，AM MB λ=，所以，()()11221,21,2x y λx y --=--，()()1122,,x x y y x x y y λ--=--，所以，()()12121122x x y y λλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，()()1212x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，所以，12121121x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则2211222222214343x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22222221212143x λx y λy λ--+=-，即()()()()()()()()121212121411311x λx x λx y λy y λy λλλλ-+-++=-+-+，即2143x y+=，即38120x y +-=，故点M 总在定直线38120x y +-=上.27．(1)22143x y +=(2)4OM ON ⋅=【详解】（1）解：设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，其中0a x a -≤≤，易知点()1,0F c -，1PF =[]00,c c a x a x a c a c a a =+=+∈-+，所以，椭圆E 上的点到焦点的距离的最大值为3a c +=，又因为椭圆E 的离心率为12c e a ==，所以，2a =，1c=，则b ==E 的标准方程为22143x y +=.（2）解：设点()11,A x y ，()11,B x y -，()22,P x y ，(),0M m ，(),0N n ，则直线AP 的方程为()11y y x m x m=--，直线BP 的方程为()11y y x n x n -=--，联立()11223412y y x m x m x y ⎧=-⎪-⎨⎪+=⎩，消去y 并整理可得()()22222222111111363484120xmx m y x my x m y x m -++-+--=，因为点A 在椭圆E 上，则直线AP 与椭圆E 必有公共点，所以，211222211183634my x x x mx m y +=-++，同理可得211222211183634ny x x x nx n y +=-++所以，22112222221111118836343634my ny x mx m y x nx n y =-++-++，所以，()()22222211111136343634m x nx n y n x mx m y -++=-++，化简可得()()()2211343m n xm n y mn m n -+-=-，当m n ≠时，则221133412mn x y =+=，此时，4mn =；当m n =时，M 、N 、P 三点重合，此时，2mn a ===.综上所述，4OM ON mn ⋅==，即OM ON ⋅为定值4.28．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）依题可得c e a c ⎧==⎪⎨⎪=⎩2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，因为直线l 过点()1,0D 且斜率不为0，所以可设l 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程2214x y +=得()224230t y ty ++-=，其判别式()2241240t t ∆=++>，所以12224t y y t +=-+，12234y y t =-+.两式相除得121223y y t y y +=，即()121232ty y y y =+．因为,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，所以点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()2,0，所以1111123y y k x ty ==++，2222221y y k x ty ==--．从而()()()()1211211212221122313123393323y y y y ty k y y y y k y ty y y y +--+====++++．（3）由（1）知1231k k =，设1k m =，则23k m =，所以直线AP 的方程为2y mx m =+，直线BQ 的方程为36y mx m =-，联立236y mx m y mx m =+⎧⎨=-⎩可得46x y m =⎧⎨=⎩，所以直线AP 与直线BQ 的交点M 的坐标为()4,6m ，所以点M 在定直线4x =上.29．(1)22142x y +=(2)2【详解】（1）设椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点(),m n ，则有21,25022nmm n ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪⨯--=⎪⎩4,2,m n ∴==- 椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上，24,a ∴=又椭圆C过点1,2M ⎛ ⎝⎭，可得213142b +=，解得22b =，所以椭圆C 的方程22142x y +=.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意得直线PQ 斜率不为零，设:PQ l x my t =+，由22,1,42x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22()240my t y ++-=，即()2222240m y mty t +++-=，所以12221222,24,2mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由16AP AQ k k =-，得12121226y y x x ⋅=-++，即()()12126220y y x x +++=，所以()()12126220y y my t my t +++++=，所以()()()22121262(2)0m y y m t y y t ++++++=，所以()()222224262(2)022t mtm m t t m m --+++++=++，化简得220t t +-=，所以1t =或2t =-，若2t =-，则直线:2PQ l x my =-过椭圆的左顶点，不适合题意，所以1t =，所以:1PQ l x my =+过定点()1,0S ，因为,MD PQ D ⊥为垂足，所以D 在以MS 为直径的圆上，6,2MS MS =的中点为61,4T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又()2,0A -，所以22656344AT ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以AD 的最大值为566362442MS AT +=+=，即AD 的最大值为362.30．(1)22143x y +=(2)32【详解】（1）由题意可知42PE PF PE PA EA EF +=+==>=，所以动点P 的轨迹Γ是以,E F 为焦点且长轴长为4的椭圆，则24,22a c ==，所以2,3a b ==，因此动点P 的轨迹Γ的方程是22143x y+=.（2）如图：不妨设点M 在x 轴上方，连接OM ，因为,O B 分别为,EF FM 有中点，所以MEB MOF S S = ，所以MOF OFN MON S S S S =+= ，当直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =-，则3(1,)2M -，3(1,)2N --，此时113331[()]22222MON S MN OF =⋅=⨯⨯--= ；当直线MN 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，显然直线MN 不与x 轴重合，即0k ≠，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+，所以2222121212212(1)11()434k MN k x x k x x x x k +=+-=+⋅+-=+，又点O到直线MN的距离d =12S MN d =⨯=234(3,)m k =+∈+∞，则S =(3,)m ∈+∞，所以11(0,)3m ∈，所以223211413()(0,1)33m m m --+=-++∈，所以3(0,)2S ∈.综上，3(0,]2S ∈，即S 的最大值为32.31．(1)2214x y +=(2)3225【详解】（1）依题意得222223114c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =，所以C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，则不妨设直线l 的方程为(2)x my t t =+≠，联立2214x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(4)240m y mty t +++-=，222244(4)(4)0m t m t ∆=-+->，化简整理得224m t +>，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12224mt y y m +=-+，212244t y y m -=+，因为BM BN ⊥，所以0BM BN ⋅= ，因为(2,0)B ，所以11(2,)BM x y =- ，22(2,)BN x y =-，得1212(2)(2)0x x y y --+=，将11x my t =+，22x my t =+代入上式得221212(1)(2)()(2)0m y y m t y y t ++-++-=，得2222242(1)(2)(2)044t mtm m t t m m --+⋅+-⋅+-=++，整理得2516120t t -+=，解得65t =或2t =（舍去）．所以直线l 的方程为65x my =+，则直线l 恒过点6(,0)5Q ，所以12114||||225BMN S BQ y y =⋅-=⨯!==设214p m =+，则104p <≤，BMNS =△y =1(0,]4上单调递增，所以14p =时，BMN S 取得最大值1625，又1||||2BMN S BM BN =⋅△，所以max max 32(||||)2()25BMN BM BN S ⋅==!.32．(1)(M(2)4b =83【详解】（1）由题意可得(222,Γ:1,0,42x y a c b A ==∴=+=-，AM 的中点在x 轴上，则由中点坐标公式可知：A 、M 的纵坐标之和为0，M ∴0x y +-=得：(M .（2）由直线方程可知(0,B ，由直线方程可知π4MBA ∠=，故有如下两种情况：①若3cos 5BAM ∠=，则3sin 5BMA ∠=，4tan 3BAM ∠=，即24tan 3OAF ∠=，234OA OF b ∴===②若3cos 5BMA ∠=，则4sin 5BMA ∠=，()π34,cos 4252510MBA MBA AMB ∠=∴∠+∠=⨯-=-，cos ,tan 710BAM BAM ∠∠∴=∴=.即2tan 7,7OAF OA b ∠=∴==，综上4b =或7.（3）设()cos ,sin P a b θθ，则由题意得62d a ==-，显然椭圆在直线的左下方，则62a =-()tan a b θϕϕ⎫+-=-=⎪⎭，()222,22a b θϕ=++=- ()()22,sin 1a θϕθϕ+=-+=，整理可得()()1350a a --≤，即1≤53a ≤，又53a c a ⎤>=∴∈⎥⎦从而58626233d a =-≥-⨯=.即d 的最小值为83.。

高考数学复习课件：直线与椭圆

2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x42＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
[解] 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
y＝2x＋m，
①
x42＋y22＝1，
②
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，
则bb22yy＋＋2122 44＋＋bbxx222122＝＝11，，②①
①－②得 y1－by22＋y41＋y2＋x1－x2b2x1＋x2＝0，即yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－b2b＋2 4，又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2， k＝yx11－－yx22＝3，代入上式得3×2×2×－12＝－b2b＋2 4，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为x82＋1y22 ＝1.]
MF′，NF′，由椭圆的几何性质知|NF|＝|MF′|，
则|MF′|＋|MF|＝2a＝4，得
a＝2.将点－1，
23代入
椭圆 C 的方程得a12＋43b2＝1，解得 b＝1. 故椭圆C的方程为x42＋y2＝1.
(2)证明：设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．由图可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－ 4)(k≠0)．联立方程x42＋y2＝1，消去y得，(4k2＋1)x2－32k2x＋64k2
解得ac＝＝2
2， 6，
则b2＝a2－c2
＝2，故椭圆C的方程为x82＋y22＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2 2，|MN|＝2，|AB|≠|MN|，

【高考数学考点预测】专题15 椭圆及其性质、直线与椭圆思维方法总结及8类常考题型归纳(新高考)原卷

1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．3.根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．(3)椭圆系方程①与x2a2＋y2b2＝1共焦点的椭圆系为x2a2－k＋y2b2－k＝1(k<b2)．②与x2a2＋y2b2＝1有共同的离心率的椭圆系为x2a2＋y2b2＝λ或y2a2＋x2b2＝λ(λ>0)．4.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． (3)利用公式e ＝1－b 2a 2求解．5.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围． 6.研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．7.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 8.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： ①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|； ②|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|(k ≠0)；③|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]； ④|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]. 9．注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直； (2)直线过圆锥曲线的焦点．10.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．11．直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x ＝ty ＋m ，避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y ＝kx ＋b 的形式，若平行于坐标轴的直线都包含，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．【查缺补漏】【考点一】椭圆的定义及其应用【典例1】如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为__________________________________________． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________________________________．【典例3】已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【考点二】椭圆的标准方程【典例1】已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1【典例2】已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.【典例3】过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.【考点三】椭圆的离心率【典例1】已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是椭圆短轴的端点，点N 在椭圆上，若MF 1→＝3NF 2→，则椭圆E 的离心率为( )A.13B.12C.22D.63【典例2】设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆C 上一点，且PF 1与x 轴垂直，直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q .若直线PQ 的斜率为－34，则椭圆C 的离心率为( ) A.24B.12C.22D.32【典例3】已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．【考点四】与椭圆几何性质有关的最值范围问题【典例1】已知点A (0，2)及椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点P ，则|P A |的最大值是________.【典例2】设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，3]∪[4，＋∞)【典例3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，点P 是椭圆C 上的一个动点，|PF |的最小值为3－1，且存在点P ，使得△OPF (点O 为坐标原点)为正三角形，则椭圆C 的离心率为________，焦距为________. 【考点五】直线与椭圆的位置关系【典例1】若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D.m ≥1且m ≠5【典例2】已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.【考点六】中点弦问题【典例1】已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________.【典例2】过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．【考点七】弦长问题【典例1】在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 左焦点F 1的直线l (不与坐标轴垂直)与椭圆C 交于A ，B 两点，若点H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0满足|HA |＝|HB |，求|AB |.【典例2】已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________________. 【典例3】(多选题)设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是( ) A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43D ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝432 【考点八】直线与椭圆的综合问题【典例1】已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ→＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．【典例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过A (2，0)，B (0，1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积．【典例3】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点. (1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.【真题训练】1. （2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（） A ．[√22，1）B ．[12，1）C ．（0，√22]D ．（0，12]2. （2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（） A ．13B ．12C ．9D ．63. （2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 25+y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB |的最大值为（） A ．52B ．√6C ．√5D ．24. （2021•浙江）已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0），焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0）．若过F 1的直线和圆（x ﹣12c ）2+y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是． 5. （2021•甲卷）已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为． 6. （2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点A （0，﹣2），以椭圆E 的四个顶点围成的四边形面积为4√5．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点P （0，﹣3）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 分别与直线y ＝﹣3交于点M 、N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．7. （2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |＝√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程．8. （2022•甲卷）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（） A ．√32B ．√22C ．12D ．139. （2022•甲卷）已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则C 的方程为（）A. x 218+y 216=1 B. x 29+y 28=1C.x 23+y 22=1 D.x 22+y 2=110. （2022•新高考Ⅱ）已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2√3，则l 的方程为．11. （2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE 的周长是．12. （2022•浙江）如图，已知椭圆x 212+y 2＝1．设A ，B 是椭圆上异于P （0，1）的两点，且点Q （0，12）在线段AB 上，直线PA ，PB 分别交直线y ＝﹣12x +3于C ，D 两点．（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求|CD |的最小值．13. （2022•乙卷）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A （0，﹣2），B （32，﹣1）两点．（1）求E 的方程；（2）设过点P （1，﹣2）的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ．证明：直线HN 过定点．14.（2022•北京）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），焦距为2√3．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当|MN|＝2时，求k的值．15.（2022•上海）已知椭圆Γ：x2a2+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝π6，求Γ的标准方程；（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．【热点预测】1. 已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝12. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3. 若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．44. 阿基米德(公元前287—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 的离心率为74，面积为12π，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 24＝1B.x 29＋y 216＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 216＋y 29＝15. 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝16. 已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为( )A.49B.23C.59D.537. 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 28. (多选题)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx (k ≠0)与C 交于A ，B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形AF 1BF 2为平行四边形B ．∠F 1PF 2＜90°C ．直线BE 的斜率为12kD ．S 四边形AF 1BF 2∈(0，4]9. (多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为4310. (多选题)已知P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，且cos ∠F 1PF 2＝13，则( )A ．△PF 1F 2的周长为12B ．S △PF 1F 2＝22C ．点P 到x 轴的距离为2105D.PF 1→·PF 2→＝2 11. (多选题)已知F 是椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1，2，3…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d (d ＞0)的等差数列，则( )A ．该椭圆的焦距为6B ．|FP 1|的最小值为2C ．d 的值可以为310D ．d 的值可以为2512. 已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，AF 2的中点P 恰好落在y 轴上，若BP →·AF 2→＝0，则椭圆C 的离心率为________．13. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________．14. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为C ，若△ABC是底角为30°的等腰三角形，则c b ＝________．15. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．16. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为________． 17. 椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________．18. 如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．19. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．20. 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．21.已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．22.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为55.(1)求直线BF的斜率；(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.①求λ的值；75②若|PM|sin∠BQP＝9，求椭圆的方程．。

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直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳考点一弦中点问题[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55[解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca＝ 1－b 2a 2＝32，故选C. [答案] C[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．[题组训练]1．已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝0解析：选C设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 219＋y 21＝1，x229＋y 22＝1，两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)9＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－19，所以弦所在的直线方程为y －12＝－19⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋9y －5＝0. 2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________．解析：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37. 将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎨⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝1考点二弦长问题[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．[解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. [解题技法] 弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[题组训练]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±12C. 2D ．±2解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m 消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝433－m 2＝423，解得m ＝±1.2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．解：(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2，又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1，所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－85，所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪3＋335＝835.考点三椭圆与向量的综合问题[典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，则Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2，所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. [解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题． [题组训练]1．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选C 根据题意不妨设B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，因为BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，BF 1―→＝(－c ，－b )，BF 2―→＝(c ，－b )，|F 1F 2|2＝4c 2，所以b 2≥2c 2，又因为b 2＝a 2－c 2，所以a 2≥3c 2，所以0＜c a ≤33.2．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM ―→·OP ―→的值．解：(1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，又△AOF 的面积为1，所以12bc ＝1，解得b ＝c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2,4k )，所以OM ―→·OP ―→＝(2,4k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2D ．2解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF ―→＝2FB ―→，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)， ∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b 4a 2＋b 2.∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B. 5．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点．∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a＞1)，由|AB |＝3，知点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝17．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 答案：328．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1 ①，x 224＋y 222＝1 ②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝09．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△F AB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)因为S △F AB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 20＝－1a 2＝－13，所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＝63.10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53. ∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.B 级1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程．解：(1)由e ＝12，得a ＝2c ，易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2，即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×12＝a 2，解得a ＝2，则c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 3＋4k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ⎝⎛⎭⎫0，18，则k MN ＝18＋3k 3＋4k 20－4k 23＋4k 2＝－24k ＋3＋4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或32，则k MN ＝－2或k MN ＝－23，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0. 2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎨⎧ m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2，即k ＝±2，此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.。