等比数列常考考点及经典例题

[目的]

1.利用等比数列的通项公式前n 项和公式进行基本量的计算；

2.利用等比数列的有关性质进行运算；

3.结合常见变形判断证明等比数列．

[基础梳理]

1．等比数列的有关概念 (1)定义：

①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1

a n

＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．

(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1. (2)前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.

3．等比数列的性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n

－m

(m ，n ∈N *)．

(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .

(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．

(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .

[考点例题]

考点一 等比数列的性质及基本量的计算|方法突破

(1)(2018·甘肃两市六校联考)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

(2)已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________. (3)(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和． 已知S 2＝2，S 3＝－6. ①求{a n }的通项公式；

②求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．

[跟踪训练]

1．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，则2S n ＋a n ＝( ) A ．1 B.13 C.12

D ．2

2．(2018·沈阳模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 2

7＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，

则b 3b 11等于( )

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

考点二 等比数列的判定或证明|方法突破

(1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列

D ．a 3，a 6，a 9成等比数列

(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n －1(a 是不为0的实数)，则{a n }( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列 C ．是等差数列或是等比数列

D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

(3)(2018·泰安模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋1－2a n . ①求证：{b n }是等比数列；

②设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列．

等比数列的判断与证明的常用方法

[跟踪训练]

1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4

3，则{a n }的前10项和等于( )

A ．－6(1－3－10

)

B.1

9(1－310) C ．3(1－3

－10

) D ．3(1＋3

－10

)

2．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，又b n ＝1

a 2n

，n ＝1,2,3，….判断{b n }是否为等比数列？

考点三 等比数列前n 项和及综合应用|方法突破

角度1 等比数列的求和问题

(1)(2018·大同模拟)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.1

8 B ．－18

C.578

D.558

(2)(2018·唐山模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为__________．

[跟踪训练]

1．(2018·沈阳模拟)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝__________.

角度2 等比数列的综合问题

1．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *. (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .

2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31

32，求λ.

[考点跟踪]

1.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝__________.

2.[考点三](2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.

3.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．

[高考真题]

1．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2

D ．±2

2．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 3．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋1

2}是等比数列，并求{a n }的通项公式；

(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3

2.