基本不等式试题(含答案)
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。
怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
基本不等式(一)周测含答案
一、均值不等式的理解1.设0<a <b ,则下列不等式中正确的是()A.a <b <√ab <a +b2B.a <√ab <a +b 2<bC.a <√ab <b <a +b2 D.√ab <a <a +b 2<b二、已知“和”求“积”的最大值2.若正实数a 、b 满足a +2b =1,则当ab 取最大值时,a 的值是()A.12B.14C.16D.183.已知x >0,y >0,且x +2y =4,则(1+x )(1+2y )的最大值为()A.36B.4C.16D.9三、已知“积”求“和”的最小值4.已知a >0,b >1,且a (b −1)=9,则a +b 的最小值为()A.5B.6C.7D.85.已知x,y 为正实数,且xy =4,则x +4y 的最小值是()A.4B.8C.16D.326.已知x >2,若y =x +1x −2当x =a 时取最小值,则a =()A.1+√2B.1+√3 C.3D.47.已知x >3,y =1x −3+x 的最小值为()A.2B.3C.4D.58.已知−1<x <1,则y =x 2−2x +22x −2有()A.最大值−1B.最小值−1C.最大值1D.最小值19.函数y =x 4+3x 2+3x 2+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5五、配系数、换元法与因式分解10.已知正实数x,y 满足(x +2)(y +3)=32,则x +2y 的最小值为()A.4B.6C.8D.1211.已知a,b >0,(a +b )(a +2b )+(a +b )=9,则3a +4b 的最小值为()A.6 B.12 C.12√2−1 D.6√2−1六、整体消元法与因式分解12.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是()A.3B.4C.92D.11213.若a >0,b >0,且ab =3a +3b +27,则ab 的最小值为()A.9B.16C.49D.8114.若实数a,b 满足1a +2b=√ab ,则ab 的最小值为()A.√2B.2C.2√2D.4第1页共2页1B2A3D4C5B6C7D8A9B10C11D12 B13D14C第2页共2页。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1. [2014·兰州调研]设x、y、z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c<6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a，b，c中至少有一个不小于2.2.若方程有实根,则实数的取值范围是___________.[【答案】【解析】原方程可变为：，【考点】方程及重要不等式.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m).【答案】20【解析】利用均值不等式解决应用问题。
设矩形高为y, 由三角形相似得:.5.设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足，的最大值是 _______ ．【答案】8【解析】由已知得，，当且仅当时等号成立,因此最大值为8．【考点】球的性质．6.设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.7.若,其中为虚数单位,则_________.【答案】【解析】，所以.【考点】复数基本运算.8.已知函数在时取得最小值，则____________.【答案】【解析】由题意得时取得最小值，所以.【考点】重要不等式.9.若（其中，)，则的最小值等于.【答案】.【解析】，因此的最小值等于.【考点】基本不等式10.设均为正实数，且，则的最小值为____________．【答案】16【解析】由，化为，整理为，∵均为正实数，∴，∴，解得，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为16，故答案为：16．【考点】基本不等式．11.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A．a2+b2>2ab B．a+b≥2C．+>D．+≥2【答案】D【解析】对于选项A,a2+b2≥2ab,所以选项A错;对于选项B、C,虽然ab>0,只能说明a、b同号,若a、b都小于0时,选项B、C错;对选项D,∵ab>0,∴>0,>0,则+≥2.故选D.12.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为() A．B．C．+D．+2【答案】C【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以+b=1,所以+=(+)(+b)=+1++≥+2=+.当且仅当=,a=b时取等号,所以+的最小值为+.故选C.13.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，当且仅当时“=”成立，所以函数的最小值为，选.【考点】基本不等式，新定义问题.14.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a＋b≥2 B．>C．≥2D．a2＋b2>2ab【答案】C【解析】因为ab>0，所以>0，>0，即≥2 ＝2，所以选C.15.设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，a＋b＝2，则的最大值为() A．B．1C．D．2【答案】B【解析】由a x＝b y＝3得＝log3a，＝log3b，所以＝log3ab≤log3＝log3＝1.16.设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．【答案】－2【解析】因为＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋取得最小值时，a＝－2.17.已知函数f(x)＝4x＋ (x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【答案】36【解析】∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4 ，当且仅当4x＝(x>0)即x＝时f(x)取得最小值，由题意得＝3，∴a＝36.18.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．【答案】58【解析】由题意知每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．19.设，若，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．【答案】B【解析】由得，，∴,又，∴，即，当且仅当，即时取等号，所以. 故.【考点】基本不等式.20.已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为【答案】2【解析】∵，∴当且仅当，即时，取得最小值8，故曲线方程为时，方程化为；当时，方程化为，当时，方程化为，当时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线与的图象，由图象可知，交点的个数为2.【考点】基本不等式，直线与圆锥曲线的位置关系.21.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.【答案】当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为米，并将宽度也用进行表示，并将绿化区域的面积表示成的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为米，则宽为米，绿化区域的总面积为平方米，6分， 8分因为，所以，当且仅当，即时取等号 12分此时取得最大值，最大值为.答：当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.14分【考点】矩形的面积、基本不等式22.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，则或，则排除与；由于恒成立，当且仅当时，取“=”，故错；由于，则，即，所以选.【考点】基本不等式.23.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析：（Ⅰ）∵，∴， 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或（舍）∴直线过定点 10分∴，点到直线的距离为∴由及知：，令即∴当且仅当时， 13分【考点】1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.24.已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先令，得，再分类去绝对值解不等式；（Ⅱ）设，去绝对值得，根据原不等式解集为空集得，从而求得.试题解析：（Ⅰ）当时，不等式即为，若，则，，舍去；若，则，；若，则，．综上，不等式的解集为．（5分）（Ⅱ）设，则，，，，即的取值范围为．（10分）【考点】含绝对值不等式的解法.25.已知，且满足，则的最小值为【答案】【解析】∵，且满足，∴，=，当且仅当时，的最小值为。
高中试卷-2.2 基本不等式 练习(1)(含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b2B ．a b 2≤C ．x +1x ≥2D ．x 2+1x 2≥2【答案】D【解析】当a ,b ,x 都为负数时，A,C 选项不正确.当a ,b 为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有x 2+1x 2≥=2，故选D.2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】∵x ＞0，∴函数96y x x =+³=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．3.（2019广东高一期末）若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最小值14BC ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2【答案】C【解析】∵a >0，b >0，且a +b =1；∴1=a +b ≥∴ab ≤14；∴ab 有最大值14，∴选项A 错误；=a +b =1+1+=2，∴B 项错误.1a+1b ==1ab ≥4，∴1a +1b 有最小值4，∴C 正确；a 2+b 2=(a +b )2―2ab =1―2ab ≥1―2×14=12,∴a 2+b 2的最小值是12，不是∴D 错误．4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x >―5，则x +4x 5的最小值为（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【解析】x +4x5=x +5+4x 5―5≥2×2―5=―1，当且仅当x =―3时等号成立，故选A.5．（2019吉林高一月考）若()12f x x x =+- (2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B 【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知5x 2³,则f(x)= 24524x x x -+-有A ．最大值B ．最小值C ．最大值1D ．最小值1【答案】D【解析】()()()2211112122222x f x x x x -+éù==-+³=ê--ëû当122x x -=-即3x =或1（舍去）时， ()f x 取得最小值1二、填空题7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当1x £-时，1()1f x x x =++的最大值为__________.【答案】-3.【解析】当1x £-时，()11[(1)111f x x x x x =+=--+--++又1(1)21x x -+-³+，()11[(1)1311f x x x x x =+=--+--£-++,故答案为：-38．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9【解析】∵0m >，0n >，1m n +=，4()5414519n m m n m n m n m n æö\+=++=+++=ç÷èø…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.9．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212ma b a b+³+恒成立，则m 的最大值为【答案】9.【解析】由212m a b a b +³+得()212m a b a b æö£++ç÷èø恒成立，而()212225a b a b a b b a æö++=++ç÷èø5549³+=+=，故9m £，所以m 的最大值为9.10．（2019·浙江高一月考）设函数24()(2)(0)f x x x x x=-++>．若()4f x =，则x =________．【答案】2【解析】因为2(2)0y x =-³，当2x =时，取最小值；又0x >时，44y x x=+³=，当且仅当06（，），即2x =时，取最小值；所以当且仅当2x =时，24()(2)f x x x x=-++取最小值(2)4f =.即()4f x =时，2x =.故答案为2三、解答题11．（2016·江苏高一期中）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值；【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为【解析】（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.12．（2019·福建高一期中）设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++³ 【答案】可以运用多种方法。
高一数学基本不等式试题答案及解析
高一数学基本不等式试题答案及解析1.若实数、分别满足，，则的值为 .【答案】.【解析】由题意实数、分别满足，知，、可以看成是一元二次方程的两个实数根，然后再根据韦达定理可得：，. 由这两个式子可知实数、均为负数，所以化简原式即可得到：.【考点】一元二次方程根与系数之间的关系.2.已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由于函数的图象过（0,1）点，，代入得.【考点】基本不等式的应用.3.正数、满足，那么的最小值等于___________.【答案】.【解析】由基本不等式，可知，又∵，∴，又∵，，∴可解得，当且仅当时，“=”成立，∴的最小值为.【考点】基本不等式求最值.4.若，则函数有（）A．最小值1B．最大值1C．最大值D．最小值【答案】C【解析】因为，所以=，即最大值.故答案为：C.【考点】基本不等式.5.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】根据选项可知,所以此时不等式左边两项都是正数．根据基本不等式有,因为恒成立,所以,消掉,解得．所以．【考点】不等式恒成立;基本不等式．6.若正数,满足,则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】由已知得，所以时等号成立）。
【考点】基本不等式在求最值中的应用，注意一正二定三相等7.已知正数满足，则的最小值为．【答案】【解析】.【考点】基本不等式.8.若正数x，y满足，则的最小值是_____．【答案】5【解析】把化简得：，∴.【考点】基本不等式.9.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵，两边同除，得，要使不等式恒成立，则，，∴，∴k的最小值是1．【考点】基本不等式．10.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为且，所以，当且仅当即时取。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
必修一 基本不等式练习(精选典题)含答案
必修一基本不等式练习(精选典题)一．选择题（共19小题）1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为（）A．5B．C．D．22．若关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式bx2+ax﹣1＜0的解集是（）A．B．{x|x＜﹣1或C．D．或x＞1}3．若a，b∈R+，且a+b=1，则的最小值为（）A．B．5C．D．254．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．15．若a＞0，b＞0，ab=a+b+1，则a+2b的最小值为（）A．3+3B．3﹣3C．3+D．76．下列说法正确的是（）A．的最小值为2B．的最小值为4，x∈（0，π）C．x2+1的最小值为2xD．4x（1﹣x）的最大值为17．不等式的解集为（）A．[0，1]B．（0，1]C．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）8．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣4=0，则ab的最大值为（）A．B．1C．2D．49．已知a＜b，则的最小值为（）A．3B．2C．4D．110．若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2+b2＞2ab D．（）2＞12．若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）13．若m+n＞0，则关于x的不等式（m﹣x）（n+x）＞0的解集是（）A．{x|﹣n＜x＜m}B．{x|x＜﹣n或x＞m}C．{x|﹣m＜x＜n}D．{x|x＜﹣m或x＞n} 14．关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4=0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．（4，5]B．[3，6]C．（5，]D．[）15．若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．﹣5D．﹣316．若关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）≥0的解集是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）17．不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），则不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0的解集为（）A．B．C．D．18．已知关于x的不等式ax2+x＜0的解集中的整数恰有2个，则（）A．＜a≤B．≤a＜C．＜a≤或﹣≤a＜﹣D．≤a＜或﹣＜a≤﹣19．若不等式（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．二．解答题（共7小题）20．解下列不等式：（1）x4﹣x2﹣2≥0；（2）．21．解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a≥0（a∈R）．22．已知函数f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若f（x）≤0的解集为[﹣1，3]，求a+b的值；（Ⅱ）若a∈[﹣1，0]，b=0，求f（x）＞0的解集．23．（1）已知a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求证：；（2）解关于x的不等式：ax2﹣2≥2x﹣ax（a＜0）．24．若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}．（1）求证：b+c=﹣7a；（2）求不等式cx2+bx+a＜0的解集．25．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．26．已知关于x的不等式：x2﹣mx+m＞0，其中m为参数．（1）若该不等式的解集为R，求m的取值范围；（2）当x＞1时，该不等式恒成立，求m的取值范围．不等式练习参考答案一．选择题（共19小题）1．C；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．D；；12．C；13．A；14．C；15．C；16．D；17．B；18．B；19．D；二．解答题（共7小题）20．【解答】解：（1）将原不等式因式分解得（x2+1）（x2﹣2）≥0，∵x2+1＞0，所以，x2﹣2≥0，解得x≤或x≥，因此，原不等式的解集为{x|x≤或x ≥}；（2）由，得，化简得，等价于，解得x＜﹣4或x≥﹣1，因此，原不等式的解集为{x|x＜﹣4或x≥﹣1}．21．【解答】解：关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a≥0化为（x﹣1）（x﹣a）≥0，不等式对应方程的实数根为a和1；当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1]∪[a，+∞）；当a=1时，不等式的解集为R，当a＜1时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[1，+∞）．22．【解答】解：函数f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a+b（a，b∈R）．（Ⅰ）由f（x）≤0的解集为[﹣1，3]，即方程ax2﹣（a2+1）x+a+b的两个根分别为﹣1，3．∴a＞0∴，解得：a=1，b=﹣4．则a+b=﹣3．（Ⅱ）由b=0，可得f（x）=ax2﹣（a2+1）x+a=（ax﹣1）（x﹣a）∵a∈[﹣1，0]，∴当a=0时，可得f（x）=﹣x，则f（x）＞0，即﹣x＞0，∴x＜0∴解集为{x|x＜0}；∴当即a=﹣1时，f（x）＞0，可得（x﹣a）2＜0．此时无解；当a∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，即（ax ﹣1）（x﹣a）＞0．∵∴解集为{x|＜x＜a}；综上可得：当a∈（﹣1，0）时，不等式的解集为{x|＜x＜a}；当a=﹣1时，不等式的无解；当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}．23．【解答】解：（1）∵a+b+c=1，代入不等式的左端，∴====．∵a，b，c∈（0，+∞），∴．∴．∴（当且仅当时，等号成立）．（2）原不等式可化为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，化简为（x+1）（ax﹣2）≥0．∵a＜0，∴．1°当﹣2＜a＜0时，；2°当a=﹣2时，x=﹣1；3°当a＜﹣2时，．综上所述，当﹣2＜a＜0时，解集为；当a=﹣2时，解集为{x|x=﹣1}；当a＜﹣2时，解集为．24．【解答】解：（1）证明：关于x的一元二次不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，∴a＜0，且﹣3，2是一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根，∴=﹣3+2=﹣1，=﹣3×2=﹣6；∴b=﹣a，c=﹣6a；∴b+c=﹣7a；（2）b=﹣a，c=﹣6a代入不等式cx2+bx+a ＜0，得﹣6ax2﹣ax+a＜0，又a＜0，则﹣6x2﹣x+1＞0，化为6x2+x﹣1＜0，解得﹣＜x＜；∴所求不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．25．【解答】解：（1）当a=2时f（x）≤0可化为2x2﹣5x+2≤0，可得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，解得，∴f（x）≤0的解集为；（2）不等式f（x）≤0可化为ax2﹣（2a+1）x+2≤0，a＞0时，则不等式为a（x﹣）（x﹣2）≤0；①当时，有，解不等式得：；②当时，有，解不等式得：x=2；③当时，有，解不等式得：；综上：①时，不等式的解集为；②时，不等式的解集为{x|x=2}；③时，不等式的解集为．26．【解答】解：（1）关于x的不等式x2﹣mx+m＞0的解集为R，则△＜0，即m2﹣4m＜0；）解得0＜m＜4，∴m的取值范围是0＜m＜4；（2）当x＞1时，关于x 的不等式x2﹣mx+m＞0恒成立，等价于m＜恒成立，设f（x）=，x＞1；则f（x）=（x﹣1）++2≥2+2=4，当且仅当x=2时取“=”；∴m的取值范围是m＜4．。
基本不等式测试卷(难)答案
参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．考点：不等式比较大小。
专题：计算题。
分析：利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案．解答：解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选B．点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．2．考点：基本不等式在最值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选C点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．3．考点：基本不等式。
分析：①由ab＞0，bc﹣ad＞0可得出﹣＞0．②bc﹣ad＞0，两端同除以ab，得﹣＞0．③ab＞0．这三个都是正确命题．解答：解：由ab＞0，bc﹣ad＞0可得出﹣＞0．bc﹣ad＞0，两端同除以ab，得﹣＞0．同样由﹣＞0，ab＞0可得bc﹣ad＞0.ab＞0．故选D．点评：本题考查基本不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．4．考点：基本不等式。
分析： 3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．解答：解：∵a+b=2，∴3a+3b故选B点评：本题考查基本不等式求最值和指数的运算，属基本题．5．考点：基本不等式。
专题：计算题。
分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v==∵0＜a＜b∴a+b＞0∴∵v﹣a===∴v＞a综上可得，故选A点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．二．填空题（共5小题）6．考点：基本不等式在最值问题中的应用。
基本不等式练习题(带答案)
学习必备 欢迎下载《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共 10 小题，每小题4 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 若a R ，下列不等式恒成立的是（）A ． a21a B ． 1 1C ． a296a21)lg | 2a |2D ． lg( aa 12. 若 0 ab 且 a b1，则下列四个数中最大的是（） Ａ．1Ｂ．a 2b 2Ｃ． 2abＤ． a23. 设 x>0,则 y3 3x1的最大值为（）xＡ． 3Ｂ． 3 3 2Ｃ． 3 23Ｄ．－ 14. 设 x, yR , 且 x y 5, 则 3 x 3 y 的最小值是 ()A. 10B. 6 3C. 4 6D. 18 3 5. 若 x, y 是正数，且 1 4 1，则 xy 有（）xyＡ．最大值 16Ｂ．最小值 1 Ｄ．最大值1Ｃ．最小值 16 16166. 若 a, b, c ∈ R ，且 ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）A ． a2b2c22B ． (a b c ) 231 1 12 3D ． a bc3 C ．bca7. 若 x>0, y>0,且 x+y 4,则下列不等式中恒成立的是（）A ． 1y 1B ．1 11C ． xy 2D ．11x 4xyxy8. a,b 是正数，则ab , ab , 2ab 三个数的大小顺序是 （）2 a bＡ．ab ab2abＢ．aba b 2ab2a b2 a bＣ． 2ababa b Ｄ．ab2ab aba b2a b29. 某产品的产量第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ． x p qＢ． xpqＣ． xpq Ｄ． xp q222210. 下列函数中，最小值为4 的是（）Ａ． yx4Ｂ． ysin x4(0 x)xsin xＣ． y e x4e xＤ． y log3 x4log x 3二、填空题 , 本大题共4小题，每小题 3 分，满分 12 分，把正确的答案写在题中横线上.11.函数 y x1x2的最大值为.12.建造一个容积为18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每 m2的造价为 200元和 150 元，那么池的最低造价为元 .13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14.若 x, y 为非零实数，代数式x2y28( x y) 15 的值恒为正，对吗？答.y2x2y x三、解答题 , 本大题共 4 小题，每小题12 分，共 48 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：x2y2 a , m2n 2b(a, b 0) , 求 mx+ny 的最大值 .16. 设 a, b, c (0,111), 且a+b+c=1，求证：(1)(1)( 1) 8.a b c17. 已知正数a, b满足a+b=1（ 1）求ab 的取值范围;（ 2）求ab1的最小值. ab18. 是否存在常数x y x y对任意正数 x, y 恒c,使得不等式c2x y x 2 y x 2 y 2x y成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号12345678910答案A B C D C A B C C C 二．填空题11.12114.对12.360013.22三、解答题15．ab16. 略17. (1)0,11718．存在，c2(2)443。
基本不等式专题练习(含参考答案)
数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
基本不等式(含答案)
3.4 基本不等式一、选择题（共10小题；共50分）1. 设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=( )A. 3B. 32C. 23D. 132. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )A. v1+v2+v33B.1v1+1v2+1v33C. √v1v2v33 D. 31v1+1v2+1v33. 若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√344. 若a,b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√345. 设0<a<b，a+b=1，则12，b，2ab，a2+b2中最大的是( )A. 12B. bC. 2abD. a2+b26. 已知正实数a，b满足1a +2b=√ab，则ab的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是( )A. 5.2mB. 5mC. 4.8mD. 4.6m8. 设正实数a，b，c满足a2−3ab+4b2−c=0，则当abc 取得最大值时，2a+1b−2c最大值为( )A. 0B. 1C. 94D. 39. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件10. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A. y=x+1x B. y=cosx+1cosx(0<x<π2)C. y=2√x2+2D. y=e x+4e x−2二、填空题（共5小题；共25分）11. 设a,b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为．12. 将一根长10米的铁丝围成一个矩形，当矩形的宽为米时，所围成矩形的面积最大．13. 给出下列不等式的证明过程：①若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2；②若x>0，则cosx+1cosx ≥2√cosx⋅1cosx=2；③若x<0，则x+4x ≤2√x⋅4x=4；④若a,b∈R，且ab<0，则ba +ab=−[(−ba)+(−ab)]≤−2√(−ba)⋅(−ab)=−2．其中证明过程错误的是（填序号）．14. 已知x>0，y>−1，且x+y=1，则x2+3x +y2y+1最小值为．15. 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(V20)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要小时（不计货车的车身长）．三、解答题（共3小题；共39分）16. 已知0<x<13，求函数y=x(1−3x)的最大值．17. 回答下列问题：（1）已知x<3，求4x−3+x的最大值；（2）已知x，y是正实数，且x+y=4，求1x +3y的最小值．18. 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）答案第一部分 1. D【解析】由题意得 ab =1λ×a ×(λb )≤1λ×(a+λb 2)2=1λ，当且仅当 a =λb =1 时，等号成立，所以 1λ=3，即 λ=13． 2. D【解析】设三个连续时间段的时长分别为 t 1，t 2，t 3，依题意有 v 1t 1=v 2t 2=v 3t 3=l ，总的增长量为 3l ，则 t 1+t 2+t 3=l (1v 1+1v 2+1v 3)．故该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为3l t 1+t 2+t 3=31v 1+1v 2+1v 3．3. B 【解析】3a +3b ≥2√3a ⋅3b =2√3a+b =6，当且仅当 3a =3b ，即 a =b =1 时，3a +3b 取得最小值 6．4. B5. B【解析】取 a =14，b =34，得 b >a 2+b 2>12>2ab ．6. C7. B8. B9. B 【解析】设平均每件产品的生产准备费用和仓储费用之和为 y ，则 y =800x+x 8≥2√800x⋅x 8=20，当且仅当 800x=x8，即 x =80 时取得最小值．10. D【解析】对于选项A ：当 x <0 时，A 显然不满足条件； 选项B ：y =cosx +1cosx≥2，当 cosx =1 时取等号，当 0<x <π2 时，cosx ≠1，B 显然不满足条件； 对于C ：不能保证 √x 2+2=√x 2+2，故错；对于D ：因为 e x >0，所以 e x +4e x −2≥2√e x ⋅4e x −2=2， 故只有D 满足条件． 第二部分 11. 3√2【解析】(√a +1+√b +3)2=a +b +4+2√a +1⋅√b +3≤9+2×(√a+1)2+(√b+3)22=9+a +b +4=18,所以 √a +1+√b +3≤3√2，当且仅当 a +1=b +3 且 a +b =5，即 a =72，b =32 时等号成立． 12. 5213. ①②③14. 2+√315. 8【解析】提示：物资全部运到B市需要的时间为：400V +16×(V20)2V=400V+V25≥2√400V⋅V25=8，当且仅当400V =V25，即V=100时，等号成立．第三部分16. 因为0<x<13，所以1−3x>0．y=x(1−3x)=13[3x⋅(1−3x)]≤13[3x+(1−3x)2]2=112．当且仅当3x=1−3x，即x=16时，取等号．所以当x=16时，函数取得最大值112．17. （1）因为x<3，所以x−3<0，所以4 x−3+x=4x−3+(x−3)+3=−[43−x+(3+x)]+3≤−2√43−x(3−x)+3 =−1.当且仅当43−x=3−x，即x=1时，等号成立，所以43−x+x的最大值为−1．（2）因为x，y是正实数，x+y=4，所以1 x +3y=(1x+3y)x+y4=14(4+yx+3xy)≥1+2√34=1+√32,当且仅当yx =3xy，即x=2(√3−1)，y=2(3−√3)时等号成立．故1x +3y的最小值为1+√32．18. 由于＂年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元＂，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年总维修费用为0.2+0.2x2⋅x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y =10+0.9x +0.2+0.2x2⋅x x=1+10x +x 10≥1+2√10x ⋅x10=3当10x=x10，即 x =10（负值直接舍去）时取到等号，即当汽车使用 10 年报废，年平均费用 y 最小．答：这种汽车使用 10 年报废最合算．。
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对x y ＋y x 说法正确的是()A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是()A ．400B ．100C ．40D ．203．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x 有最小值____．4．已知f (x )＝12x ＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0时，求f (x )的最大值．一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A ．x ＋12x B ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是()A ．32－3B ．－3C ．62D ．62－33．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是()A ．200B ．100C ．50D ．204．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2?－x y ??－y x?＝－2.其中正确的推导过程为()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是()A ．2B ．22C ．4D ．56．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有()A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164二、填空题7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________．8．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________．9．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)·(1b－1)·(1c－1)≥8.12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．答案：1.答案：B2.答案：A3.答案：244.解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝83.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·?－4x ?＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1.答案：C2.解析：选D.y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3.解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立．4.解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的；④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5.解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6.解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题7.答案：18.解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.答案：大1169.解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4时取等号．答案：3三、解答题10.解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.11.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c，以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12.解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式（一）1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0ab <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3.设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3-3- 14.设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C.5.若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有（ ） Ａ．最大值16Ｂ．最小值116Ｃ．最小值16Ｄ．最大值1166.若a ,b ,c ∈R ，且ab +bc +ca =1,则下列不等式成立的是（） A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111a b c ++≥．a b c ++≤7.若x >0,y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+B ．111x y+≥C 2 D ．11xy ≥8.a ,b 是正数，则2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++22a b ab a b +≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++Ｄ．22ab a b a b +≤+ 9.某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x +=Ｂ．2p q x +<Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p q x +≥ 10.下列函数中，最小值为4的是（ ） Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+(0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+Ｄ．3log 4log 3x y x =+11.函数y =的最大值为.12.建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14.若x ,y 为非零实数，代数式22228()15x y x y y x y x+-++的值恒为正，对吗？答. 三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15.已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>,求mx +ny 的最大值.16.设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥ 17.已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18.是否存在常数c ,使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x ,y 恒成立？试证明你的结论. 《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.1212.3600 14.对 三、解答题15略 17. (1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)17418．存在，23c =。
基本不等式基础知识(题目与答案)
基本不等式基础类型题复习一：求下列函数的值域1. y ＝x ＋1x(x>0) 2. y ＝x ＋1x3. （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）3.y ＝3x 2＋12x2 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） 4求1 (3)3y x x x =+>-的最小值. 5：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
6. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
7：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
基本不等式 典型题 详细解答
基本不等式一、单选题1．已知正实数x ，y 满足等式8x y xy ++=，若对任意满足条件的x ，y ，求x y +的最小值（ ）A ．8B ．9C ．172D ．192 2．已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，则当x y +取得最小值时，y =（ ） A ．16 B ．6 C ．18 D ．12 3．若0x >，0y >，且47x y +=，则111x y ++的最小值为（ ） A ．2 B ．98 C ．94 D ．324．已知0a >，0b >，211a b+=，若不等式23a b m +≥恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 5．已知正实数x ，y 满足2log (7)0x y +=，则能使得不等式22log log x y m +≤恒成立的整数m 的最小值为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6- 6．若0,0m n >>，3m n +=，则14m n +的最小值为（ ） A ．2 B ．6 C ．9D ．3 7．设x ，y 为正实数，则433x y M x y x =++的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知0t >，函数y =） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设0a >，0b >，92a b ab +=，若不等式a b m +≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],9-∞B ．(],8-∞C ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．[)8,+∞ 10．已知0a >，0b >，且2ab =，那么（ ）A ．4a b +≥B ．4a b +≤C ．224a b +≥D ．224a b +≤11．设0<x <1，则4x ＋11x-的最小值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．27212．已知a >1，b >1，记M ＝11a b +，N M 与N 的大小关系为（ ） A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．不确定 13．已知函数()411y x x x =+>-，则函数的最小值等于（ ）A ．B ．1C ．5D ．9二、填空题 14．已知0x >，0y >，且1x y +=，若不等式1423a x y+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是__________.15．已知14xy =，x ，(0,1)y ∈，则1211x y +--的最小值为___________. 16．若正数a ，b 满足111a b+=，则1911a b +--的最小值___________.17．若02x <<，则y _______18．已知正数,a b 满足2a b +=，则411a b a b +++的最大值是_______ 19．已知正数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为___________ 20．若0mn >，143m n+=，则m n +的最小值为______参考答案1．A【分析】利用基本不等式结合一元二次不等式即可.【详解】 解：正实数x ，y 满足等式8x y xy ++=22()824x y x y x y xy ++⎛⎫∴++== ⎪⎝⎭（当且仅当4x y ==时取等号） 令t x y =+则284t t +≤ ∴8t ≥或4t ≤-（舍弃）8x y ∴+≥ 故选：A ．2．B【分析】根据已知条件可得281y x +=，将()28x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0x >，0y >，28x y xy +=所以281y x += 所以()28281010241018x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⨯+= ⎪⎝⎭． 当且仅当28280x y y x x y xy ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩即126x y =⎧⎨=⎩时取等号， 所以当x y +取得最小值时，6y =故选：B.3．B 【分析】根据47x y +=，可将111x y++化为111[(1)4]()81x y x y ++++，结合结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：若0x >，0y >，且47x y +=，则(1)48x y ++=， 所以111111411419[(1)4]()(5)[25]18181818y x x x y x y x y x y x y +++=+++=++⨯+=+++， 当且仅当47411x y y x x y +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即5343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．故选：B ．4．C【分析】 根据基本不等式中“1”的代换求出2a b +的最小值，即可得到m 的最大值．【详解】因为()2222415921b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+=+++≥+= ⎪⎝⎭+，当且仅当3a b ==时取等号，所以39m ≤，即3m ≤，m 的最大值为3．故选：C ．5．B【分析】通过2log (7)0x y+=解出71x y +=，进而通过基本不等式求出xy 的最大值，再求出22log log x y +的最大值，最后求出m 的范围，进而得到m 的最小整数值.【详解】正实数x ，y 满足2log (7)0x y +=，71x y ∴+=.1∴≥128xy ≤，当且仅当11,214x y ==时取等号. 所以()2222log log log log 128x y xy +=≤，所以211228og 28l m m ≥⇒≥ ∴能使得不等式22log log x y m +≤恒成立的整数m 的最小值为4-.故选：B.6．D【分析】根据给定条件利用“1的妙用”再结合均值不等式求解即得.【详解】因0,0m n >>，3m n +=，则14114141()()(5)(53333n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当22n m ==时取“=”，所以1,2m n ==时，14m n+取最小值为3. 故选：D7．C【分析】 将433x y M x y x =++变形为43(1)131y y xx ++-+，利用基本不等式求最小值，注意检验等号成立的条件.【详解】解：因为x ，y 为正实数， 所以43434(1)12141333311x y y M y y x y x x x =+=++-=-=+++， 当且仅当23(1)4y x+=，即3x y =时取等号， 故433x y M x y x =++的最小值为3.故选：C .8．B【分析】先换元，再运用基本不等式求解.【详解】 令1(1)m m +=>，则t = 所以22882929121m m y m m m m m ====≤=-+++--， 当且仅当3m =等号成立.9．B【分析】由92a b ab +=可得91122b a +=，则可得91()22a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后可求出a b +的最小值，从而可求出m 的取值范围【详解】解：由92a b ab +=可得91122b a+=， 所以91()22a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 9192222a b b a=+++ 9522a b b a=++58≥= 当且仅当922a b b a =，即2,6a b ==时取等号， 所以a b +的最小值为8，由不等式a b m +≥恒成立，可得8m ≤，所以实数m 的取值范围为(],8-∞，故选：B10．C【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】因为0a >，0b >，由基本不等式可得a b +≥=2224a b ab +≥=，上述两个不等式当且仅当a b ==ABD 选项错误，C 选项正确.故选：C.11．B【分析】首先利用“1”的变形，得()4141111x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅+⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭，展开后利用基本不等式求最小值.01x <<，10x ∴->，()4141111x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅+⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭()4141552291x x x x -=+++≥++⨯=- 当且仅当()411x x x x -=-， 即23x =时，等号成立． 411x x∴+-的最小值为9． 故选：B12．A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为1,1a b >>，所以11a b M a b ab +=+=≥11a b =取等号，N=>=，故选：A ．13．C【分析】利用基本不等式求最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】因为1x >，所以44(1)11511y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立.故选：C.14．36a -≤≤【分析】根据“1的妙用”方法求14x y+的最小值，再根据绝对值的几何意义求解绝对值不等式即可 【详解】 ∵1243y a x -≤+恒成立，∴min4312x y a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭-，而14144()1459y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即13x =，23y =时等号成立，所以239a -≤，解得36a -≤≤.故答案为：36a -≤≤.15．4 【分析】 由已知得14y x =，则1211x y +=--14188623141x x x x --⎛⎫+++ ⎪--⎝⎭，再利用基本不等式可得答案. 【详解】 因为14xy =，x ，(0,1)y ∈， 所以14y x =，由1014y x<=<得41x >，114x <<， 则121218122111114114114x x y x x x x x x+=+=+=++--------， 所以()12421122444121144413141x x x y x x x x ⎛⎫+=++=+-+-+ ⎪------⎝⎭，(14188162642431413x x x x --⎛⎫=+++++=+ ⎪--⎝⎭ 当且仅当4188141x x x x --=--，即x =y = 则1211x y +--的最小值为4， 故答案为：416．6【分析】 正数a ，b 满足111a b +=，可得1a >，且1b >；即10a ->，且10b ->；由111a b+=变形为111a b -=-；化1911a b +--为19(1)1a a +--应用基本不等式可求最小值．【详解】 解：正数a ，b 满足111a b+=，1a ∴>，且1b >； 111a b +=变形为1a b ab +=，ab a b ∴=+，0ab a b ∴--=，(1)(1)1a b ∴--=，111a b ∴-=-； 10a ∴->，∴19119(1)261111a ab a a +=+-⋅----， 当且仅当19(1)1a a =--，即113a =±时取“=”（由于1a >，故取4)3a =， ∴1911a b +--的最小值为6； 故答案为：6．17【分析】 由基本不等式求最大值．【详解】∵02x <<，∴20x ->，∴22x x y +-==当且仅当2x x =-即1x =时取等号，∴当1x =18．114 【分析】把411a b a b +++变形，再借助“1的妙用”进行推理计算即可作答. 【详解】4114(1)4145()111111a b a b a b a b a b +-+-+=+=-+++++++， 由2a b +=，得(1)(1)4a b +++=，因此[]141141144()(1)(1)()11411411a b a b a b a b +=⋅⋅+=⋅+++⋅+++++++114(1)195541144b a a b ⎡++⎡⎤=⋅++≥⋅+=⎢⎢⎥++⎣⎦⎣， 当且仅当14(1)11b a a b ++=++时取等号，即21b a =+，亦即15,33a b ==时取等号， 于是得4114(1)4149115()511111144a b a b a b a b a b +-+-+=+=-+≤-=++++++，所以当15,33a b ==时，411a b a b +++取得最大值为114. 故答案为：114 19．9【分析】借助“1”的灵活运用，由基本不等式即可求解最小值.【详解】解：因为正数a ，b 满足21a b +=，所以121222(2)1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立． 故答案为：9．20．3【分析】由题意知0m >，0n >，将()1143m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0mn >，143m n +=，所以0m >，0n >， 所以()11531434n m m n m n m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()115523233⎛≥+=+= ⨯⎝， 当且仅当4143n m m n m n⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即12m n =⎧⎨=⎩时等号成立， 所以m n +的最小值为3．故答案为：3.。
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1.若∙R ,下列不等式恒成立的是
2.
3.
D.
4.
D.
5.
6.
7. A. a
D.
0 ：：•
a :.-b
设x>0,
a !：；
・b =I ,
C.
设x, y 三R ,且X ∙ y = 5,则3x
-.-3y
A. 10
18 3
若X, y是正数,
A.最大值
值丄
16
A.
C.
16
a, b,
a2 ^b2亠
C
2
a 亠9 . 6a
D . lg( a ■1) . lg I 2 a |
1
y 二 3 - 3x —
—
X
的最小值是（）
B. 6 3
1 4
且 1 ,
X y
B.最小值丄
16
则Xy有
C.最小值
C∈R ab+bc+ca=1
,
大的是
C . 3-
C.
16 D.
2ab
4.∕i
最大
则下列不等式成立的是
2
.(a ■ b C) _3
若x>0, y>0,且χ+y乞4,则下列不等式中恒成立的是
1
年平均增长率为X ,则有（
D. y =log X ■ 4 log
X
3
建造一个容积为18m 3
,深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和
池壁每m ∣的造价为200元和150元，那么池的最低造价为
2 2
14.若X , y 为非零实数，代数式二 匕-8（△丄）15的值恒为正，对吗? y X
y X
15.已知：X 2 - y 2 =a, m 2 n 2 =b(a,b .0),求 mXmy 的最大值.
16.已知 f (x) =I og s χ(a • 0且 a =1,X ∙ R ).若 x 1、 x< R ,试比较
A .丄」
B .丄丄_1
C .石_2 D
X 亠 y 4
X y
8. a , b 是正数，则 口，芥,空 三个数的大小顺序是
(
2
a +b
a
亠b
2ab A.
ab =
2
a b 2 ab a
亠b
C. < . ab <
a b
2
B. 兀3
2
—— 2 ab
D.
∙. ab
乞 <
a +b
≤ --
a
川∙b
a -
b 2
2ab 9.某产品的产量第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为
.—1
Xy
)
设这两
10. A . X =E q
2
B. Xd q
2
C ,J q
2
D.
F 列函数中，最小值为4的是
A. y =X 4
X
B. ^=SinX
4 Sin X
11. 函数y =x∙.1 .V 的最大值为
C. y =e X 亠4e -
12. 13. 若直角三角形斜边长是1 ,则其内切圆半径的最大值
1[ f (x1) ■ f (X2)]与f(x刍的大小，并加以证明
2 2
17.已知正数a, b满足a+b=1 (1)求ab的取值范围；(2)求ab • 1
ab 的最小值.
18.设a rι—1 ∙2 • ..2 3 •…∙ , n n 1 .证明不等式
对所有的正整数n都成立.
§ 3.4基本不等式
经典例题：
【解析】证法一假设(1 -a)b，(1 -b)c，(1 _c)a同时大于丄, 2
n(n •1)n T
a∏ ：：： ----
2 2
4 V 1 —a>0,
b>0,∙∙∙(^a)■b≥、,(1-a)b J =1,
3600 ;
当 a 1 时，有 I Og a (X l X2^∣og a (X ^).
1
X 1
X 2
1
X 1 X 2
即—[f (X 1
) f (X 2)]乞 f(—
-).
同理 ,宁∙1.三个不等式相加得2 I ,不可能，
••• (1 — a )b ，(1 — b)c ，(1 — c)a 不可能同时大于丄.
4
1 1 r
「、、
(1 — b)C , (1 — c)a 同时成立,
证法二 假设（1 一a ）b .丄,
4
1 — a>0 , 1 — b>0 1 — c>0 , a>0 , b>0 , c>0 ,
1 (1 —a)b(1 —b)c(1 —c)a .
64
即(1 —a)a(1 —b)b(1 —c)c —
64 *
同理(1 - b)b ≤ 1 2 ,
(1 -C)C
≤ 1
4
(1 —a ) ■ a
(*) 又∙
(1 -a)a ≤
2
(^a)a(I -b)b(I -
C)C
≤ 64 与(*)式矛盾,
故(1 _a)b,(1 _b)c,(1 _c)a 不可能同时大于1 .
4
当堂练习:
1.A;
2.B;
3.C;
4.D;
5.C;
6.A;
7.B;
8.C;
9.C; 10.C;11.丄;
2
12.
13. 14. 对;
15.
ab
16. 【解析】 f (x 1) ∙ f (X 2
) Tog
X I TOg a
X 1 +X 2
X 2 = log a (X 1X 2), f (
) = log
2
X 1 X 2
X 1、 x
2 R ,
X 1 X 1X 2 士 (
2
X 2 )2
/ •
当且仅当 X l = X 2
时，取“=”号.
2loga(XIX" w丁). 1 X1 X2
-[log a X1 Iog a X2] — log a -).
2 2
当「…1 时'有 l °g
a
(X 1 ∙X
2-
og
a
(宁)2 •
1 X 1 X
2
即卩—[f (X l
) f (X 2
)] _ f (
).
2
2
17. (1) 0, 1
(2) 17
I
4」
4
18.
【解析】 证明 由于不等式k(k∙1)*∙L 丄二竺J
V 2 2
对所有的正整数k 成立，把它对k 从1到n(n ≥ 1)求和，得到
3 5
2n +1
■ n ：：: a n
2 2 2
_ (n ■ 1)n _ 2
2n 1 1 [1 3 • 5 “
•亠(2n -1)]
2 2
λ 2
因此不等式 凹UgJ L 对所有的正整数n 都成立.
2 2
2 2
2
(n 1) 2
3 5 -+- +■ 2 2。