浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试

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高等数学

请考生按规定用笔将所有试题答案涂、写在答题卡上

选择题部分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上

2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设a x n n =+∞

→lim ，则说法不正确的是（） A. 对于正数2，一定存在正整数N ，使得当N n >时，都有2n <-a X

B. 对于任意给定的无论多么小的正数δ，总存在整数N , 使得N n >时，不等式δ<-a X n 成立

C. 对于任意给定的a 的邻域()δδ+-a a ,,总存在正整数N ，使得当N n >时，所有的点n X 都落在()δδ+-a a ,内，而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外

D. 可以存在某个小的整数0δ，使得有无穷多个点0δ落在这个区间()00,δδ+-a a 外

2. 设在点0x 的某领域内有定义，则在点0x 出可导的一个充分条件是（）

A. ()()h

x f h x f h 0002lim

-+→存在 B. ()()h

h x f x f --→000h -lim 存在 C. ()()h h x f h x f --+→000h lim 存在 D. ()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→001lim x f h x f h h 存在

3. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++++++∞→n n n n n x πππsin 1...2sin 1sin 11lim 等于（）

A.

⎰10sin dx x π B.

⎰+10sin 1dx x π C.

⎰+10sin 1dx x D. ⎰+10

sin 1dx x π 4. 下列级数或广义积分发散的是（）

A. ()∑∞=-+-1

11001n n n

B. ∑∞=12cos

n n

C. ⎰212x -41

dx

D. ()dx x ⎰∞

+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+12211 5. 微分方程044=+'-''y y y 的通解为（）

A. ()x e c x c x y 221-+=

B. ()()x e x c x c x y 221-+=

C. ()()x e x c x c x y 221+=

D. ()()x xe x c c x y 221-+=

非选择题部分

注意事项：

1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2. 在答题纸上作图，可先用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔填写

二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）

6. 极限=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+∞→n n n 1sin 1lim 7. 设一雪堆的高度h 与时间t 的关系为()2100t t h -=，则雪堆的高度在时空5=t 时的变化率等于

8. 当a= 时，极限()()

x x e a x x -+-→301ln cos 1lim 存在且不等于0 9. 设⎩⎨⎧==t

y t x cos sin ，则=22dx y d 10. 设()dt t x g x

20sin ⎰=，且当0→x 时，()x g 与n x 是同阶无穷小，则=n 11. 定积分=⎰dx x 1

02-1 12. 设函数()x y y =由方程0=-+xy e y x 确定，则

=dx

dy 13. 曲线()233x x x y +=的拐点是 14. 由曲线x y =，1=x ，2=x 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所围成的旋转体体积=

15. 设x y 23=，则()=n y

三、计算题（本大题共 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分， 计算题必须写出计算过程，只写答案不给分）

16. 极限()201ln lim x

x x x -+→.

17. 设()()x x x x y ++=πcos 2ln ，求函数()x y 在1=x 处的微分.

18. 求不定积分dx x ⎰sin .

19. 设()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=πππ,2,2,0,cos x x x x x f ，求()()⎰=x dt t f x p 0在[]π，0上的表达式.

20. 一物体由静止考试以速度()1

3+=t t t v （米/秒）作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离.

21. 问是否存在常数a 使得函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=0

,10,2x e x a x x f ax 在0=x 处可导？若存在，求出常数a ，若不存在，请说明原因.

22. 求过点()2,0,1A 且与两平面01:1=++-z y x π，

0:2=-z x π都平行的直线的方程.

23. 求幂级数∑∞

=-111n n x n 的收敛区间及和函数，并计算级数∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11211n n n .

四、综合题（本大题共三题，每题10分，共30分）

24. 设()x f y =是第一象限内连接点()4,0M ，()0,2N 的一段连续曲线，()y x P ,为该曲线上任意一点，点B 为P 在x 轴上的投影，O 为坐标原点。若梯形OBPM 的

面积与曲边三角形BPM 的面积之和等于另一曲线3244x x y +=在点⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+324,4x x x 处的切线斜率，求曲线()x f 的方程（注：曲边三角形BPM 是指由直线段BP ，x 轴以及曲线段PN 所围成的封闭图形）