高中数学分析法
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§2综合法与分析法
综合法：
复习
①利用已知条件和已知的定义、定理、公理等，
②经过一系列的推理、论证，
③最后推导出所要证明的结论成立的证明方法
特点：
由因导果
例1、已知：a，b是不相等的正数。求证：
a3 b3 a2b ab2
证明：要证明 a3 b3 a2b ab2 ，
只需证明 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) ， 只需证明 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) 0 ，
只需证明 (a b)(a2 2ab b2 ) 0 ，
只需证明 (a b)(a b)2 0 ， 只需证明 (a b) 0且(a b)2 0 。 由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它 保证上式成立。这样就证明了命题的结论。
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止，这种证明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
特点： 执果索因 即： 要证结果Q，只需证条件P
例2、求证： 8 7 5 10
证明：要证明 8 7 5 10 只需证明 ( 8 7 )2 ( 5 10 )2
即 8 7 2 56 5 10 2 50
只需证明 56 50 即 56>50，这显然成立。 这样就证明了 8 7 5 10
例3、求证：函数 f (x) 2x2 12 x 16 在区间
（3，+∞）上是增加的。
证明：要证明函数 f (x) 2x2 12 x 16
在区间（3，+∞）上是增加的，
只需证明 对于任意 x1，x2 ∈（3，+∞），且 x1 > x2 时，有 f (x1) f (x2 ) 0 ，
x 只需证明 对任意的 x1> 2 >3，有
f (x1 ) f (x2 ) (2x12 12x1 16)(2x22 12x2 16) 2x12 2x22 (12x1 12x2 ) 2(x1 x2 )(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 2(x1 x2 )(x1 x2 6) 0
x x ∵ x1> 2 >3 ∴ x1- 2 >0，且
x1+ x2 >6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f (x) 2x2 12 x 16
在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
S
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
小结：
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方 法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证 结论或需求问题出发，一步一步地探索下去， 最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学 题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最 后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来 说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由 果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考 方法，应用十分广泛。
综合法：
复习
①利用已知条件和已知的定义、定理、公理等，
②经过一系列的推理、论证，
③最后推导出所要证明的结论成立的证明方法
特点：
由因导果
例1、已知：a，b是不相等的正数。求证：
a3 b3 a2b ab2
证明：要证明 a3 b3 a2b ab2 ，
只需证明 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) ， 只需证明 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) 0 ，
只需证明 (a b)(a2 2ab b2 ) 0 ，
只需证明 (a b)(a b)2 0 ， 只需证明 (a b) 0且(a b)2 0 。 由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它 保证上式成立。这样就证明了命题的结论。
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止，这种证明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
特点： 执果索因 即： 要证结果Q，只需证条件P
例2、求证： 8 7 5 10
证明：要证明 8 7 5 10 只需证明 ( 8 7 )2 ( 5 10 )2
即 8 7 2 56 5 10 2 50
只需证明 56 50 即 56>50，这显然成立。 这样就证明了 8 7 5 10
例3、求证：函数 f (x) 2x2 12 x 16 在区间
（3，+∞）上是增加的。
证明：要证明函数 f (x) 2x2 12 x 16
在区间（3，+∞）上是增加的，
只需证明 对于任意 x1，x2 ∈（3，+∞），且 x1 > x2 时，有 f (x1) f (x2 ) 0 ，
x 只需证明 对任意的 x1> 2 >3，有
f (x1 ) f (x2 ) (2x12 12x1 16)(2x22 12x2 16) 2x12 2x22 (12x1 12x2 ) 2(x1 x2 )(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 2(x1 x2 )(x1 x2 6) 0
x x ∵ x1> 2 >3 ∴ x1- 2 >0，且
x1+ x2 >6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f (x) 2x2 12 x 16
在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
S
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
小结：
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方 法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证 结论或需求问题出发，一步一步地探索下去， 最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学 题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最 后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来 说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由 果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考 方法，应用十分广泛。