第二章部分习题答案
第二章习题(带答案)
第二章判断题F 1 CPU中的控制器用于对数据进行各种算术运算和逻辑运算。
（判断）T 2 CPU主要由运算器、控制器和寄存器组三部分组成。
（判断）F 3 PCI总线常用于连接高速外部设备的I/O控制器，它包含有128位的数据线。
（判断）T 4 PC机采用I/O总线结构有很多优点，例如，简化了系统设计、便于系统的扩充升级。
（判断）T 5 PC机常用的输入设备为键盘、鼠标，常用的输出设备有显示器、打印机。
（判断）F 6 PC机的常用外围设备，如显示器、硬盘等，都通过PCI总线插槽连接到主板上。
（判断）F 7 PC机可以连接多种I/O设备，不同的I/O设备往往需要使用不同的I/O接口，而同一种I/O接口只能连接同一种设备。
（判断）F 8 PC机中常用外围设备的I/O控制器都必须做成适配卡插在主板上的PCI总线插槽中。
（判断）T 9 PC机中所有部件和设备都以主板为基础进行安装和互相连接，主板的稳定性影响着整个计算机系统的稳定性。
（判断）F 10 当前正被CPU执行的程序必须全部保存在高速缓冲存储器（Cache）中。
（判断）T 11 高速缓存（Cache）可以看作主存的延伸，与主存统一编址，接受CPU的访问，但其速度要比主存高得多。
（判断）T 12 光学鼠标具有速度快，准确性和灵敏度高，不需要专用衬垫，在普通平面上皆可操作等优点，是目前流行的一种鼠标器。
（判断）T 13 计算机系统中I/O设备的种类多，性能相差很大，与计算机主机的连接方法也各不相同。
（判断）F 14 键盘中的F1~F12控制键的功能是固定不变的。
（判断）F 15 随着计算机的不断发展，市场上的CPU类型也在不断变化，但它们必须采用相同的芯片组。
（判断）F 16 系统维护过程中，为了适应软硬件环境的变更而对应用程序所做的适当修改称为完善性维护。
（判断）适应性维护F 17 由于计算机通常采用“向下兼容方式”来开发新的处理器，所以，Pentium和Core 系列的CPU都使用相同的芯片组。
第二章习题及答案
思考与练习1．名词解释SNA 国内生产总值名义变量实际变量净出口间接税国内生产净值国民收入个人可支配收入绿色GDP2．试述六大经济总量包括哪些项目？各个经济量之间有何关系？4．国民收入核算方法有哪几种？5．简述两部门经济、三部门经济以及四部门经济具体如何循环的？6．在统计中，社会保险税增加对GDP、GNP、NNP、NI、PI和PDI这六个经济总量中那个总量有影响？为什么？7．如果甲乙两国并成一个国家，对GDP总和会有什么影响(假定两国产出不变)？8．储蓄-投资恒等式为什么不意味着计划的储蓄恒等于计划的投资？9．经济国民经济核算时要遵循社么样的平衡原则。
10．以中国国民经济核算体系为例介绍SNA的基本内容。
11．试用收入法说明GDP的构成。
11．如何理解产出等于收入，产出等于支出两个等式？12．假定国内生产总值是10000亿美元，个人可支配收入是8200亿美元，政府预算赤字是400亿美元，消费是7600亿美元，贸易赤字是200亿美元。
计算储蓄、投资、政府支出。
13．假定某国各项经济指标如下：消费支出：3000亿；总投资：2000亿；政府支出：900亿；进口：300亿；出口：150亿；工资：4200亿；间接税未知；利息：200亿，租金：250亿；利润：400亿；折旧：100亿；非企业收入：400亿‘根据所给资料进行：（1）用支出法计算该国国内生产总值；（2）该国间接税为多少？（3）该国国内生产净值为多少？14．假定某经济社会有A、B、C三个厂商，A厂商年产出5000美元，卖给B、C和消费者。
其中B买A的产出200美元，C买2000美元，其余2800美元卖给消费者。
B年产出500美元，直接卖给消费者，C年产出6000美元，其中3000美元由A买，其余由消费者买。
（1）假定投入在生产中用光，计算价值增加；（2）计算GDP为多少；（3）如果只有C有500美元折旧，计算国民收入。
1．名词解释(1)SNA: 即国民账户体系。
第二章传递函数习题与答案
第二章习题课一． 求图示系统结构图的传递函数)()(s R s C ，)()(s N s C ，)()(s R s E ，)()(s N s E 。
二．T 型网络如下图所示，试绘出其动态结构图，并求出传递函数)()(s U s U i o 。
1i三．系统的微分方程组为)()()(1t c t r t x -=)()()(21121t x t x k dtt dx T -=)()()(323t c k t x t x -=)()()(322t x k t c dtt dc T =+式中32121,,,,k k k T T 均为正的常数，系统的输入量为)(t r ，输出量为)(t c ，试画出动态结构图，并求)()(s R s C 。
四．求下图所示系统的传递函数。
五．用结构图化简法求系统传递函数)()(s R s Y 。
)(s六．系统动态结构图如图所示，试确定系统的闭环传递函数)()(s R s C第二章习题课一． 求图示系统结构图的传递函数)()(s R s C ，)()(s N s C ，)()(s R s E ，)()(s N s E 。
1、求)()(s R s C )1(1)1()()(5412152545421G G H G G G G G G G G GG s R s C -++--=2、求)()(s N s C))1)(1()1)(()()(5221545432G G H G G G G G G G G s N s C ++--+=)1(11)()(5412152545254G G H G G G G G G G G G G s R s E -++-+-=)1(1))(1()()(5412152543254G G H G G G G G G G G G G H s N s E -++-+--=二．T 型网络如下图所示，试绘出其动态结构图，并求出传递函数)()(s U s U i o 。
第二章练习题及参考答案
第二章练习题及参考答案《马克思主义基本原理概论》练习题及参考答案第二章认识世界和改造世界一、单项选择题1、唯物论认识论的基本原则和核心是（A ）A反映论 B实践论 C先验论 D可知论2、人类认识发展的根本动力是（B ）A科学兴趣 B社会实践 C求知欲望 D好奇心3、物质生产实践主要处理（A ）A人与自然的关系 B人与人的关系 C对抗性矛盾的关系 D非对抗性矛盾的关系4、真理总是与谬误相比较而存在，相斗争而发展的，因而（A ）A真理与谬误的对立是相对的 B真理中包含谬误的认识C谬误中包含一定的真理性认识 D谬误是真理不可摆脱的对立面5、认识的最终目的是（B ）A发现真理 B改造世界 C创立科学理论 D改造客观规律6、人的认识能力是至上的，又是非至上的属于（D）观点A客观唯心论 B主观唯心论 C旧唯物论 D辩证唯物主义7、认识的本质在于（ B ）A主体创造 B能动反映 C社会实践 D客观存在8、人类认识运动的基本过程是（C）A概念——判断——推理 B感觉——知觉——表象C个别——一般——个别 D一般——个别——一般9、马克思认为“理论一经掌握群众，就会变成物质的力量”说明（B ）A实践对理论有决定作用 B理论对实践有指导作用C理论比实践更为重要 D实践比理论重要10、真理是对客观事物和规律的（D ）A本质认识 B深刻认识 C内在认识 D正确认识11、法国科学家路易·巴斯德说：“在观察事物之际，机遇偏爱有准备的头脑”。
这句话强调了（B ）A人们对每一事物都要细心观察 B 人们在认识事物时要有理性指导C人们获得感性经验的重要性 D人们要充分发挥意识能动性12、人的认识是不是真理，要看（D）A能否满足人们的需要 B能否被大多数人认可C能否付诸实践 D能否在实践中取得预期效果13、“不唯上，不唯书，不唯师，只唯实”说明（ B ）A书本知识是不重要的 B一切从实际出发C上级的指示和决议不能成为行动的依据D没有直接经验就没有发言权14、从认识发展的规律看，“熟知”与“真知”的关系是（B ）A熟知即真知 B熟知不等于真知 C熟知起源于真知 D熟知必然转化为真知15、唯心论与不可知论的关系是（ B）A唯心论都是不可知论 B唯心论有可知论与不可知论之分C主观唯心论是可知论，客观唯心论是不可知论D客观唯心论是可知论，主观唯心论是不可知论16、认识的起点是感觉，这是（ D ）A唯物主义的观点 B唯心主义的观点C辩证唯物主义的观点 D唯物论和唯心论都可以承认的观点17、对不可知论最令人信服的驳斥是（C ）A科学知识 B丰富的经验 C社会实践 D人类的认识能力18、判断对某一事物的认识是否完成的标志是（ D）A占有的感性材料是否十分丰富真实B感性认识是否上升到理性认识C这一认识是否反复多次D理性认识是否运用于实践并取得预期效果19、唯物论和彻底的唯心论的认识论都是（B ）A反映论 B可知论 C能动的革命的反映论 D先验论20、假象是（C ）A人们认识中发生的错觉 B从正面反映本质的现象C从反面歪曲本质的现象 D不表现本质的现象21、实践作为检验认识真理性的标准具有不确定性的含义是（D）A实践标准是不可靠的 B科学理论也是检验真理的标准C除了实践标准还有其他标准D实践的历史局限性决定检验理论是一个过程22、辩证唯物主义认识论与唯心论认识论的区别是（ C ）A世界是可以被认识的 B认识发展是辩证的过程C客观事物是认识的对象 D社会实践是认识的基础23、人类活动的“两个尺度”是（C）A认识与实践 B真理与谬误 C真理与价值 D抽象与具体24、人们的下列活动中属于最基本的实践活动的是（C）A医生给病人做手术 B法官审理案件 C农民播种小麦 D科学家进行化学实验25、当代自然科学的发展日新月异，新的研究成果层出不穷，根本原因是（D）A科学家的聪明才智决定的正确的科技政策决定的C环境与资源的状况决定的 D生产实践的需要决定的26、“离开革命实践的理论是空洞的理论，不以革命的理论为指导的实践是盲目的实践”说明（C）A要重视实践对理论的决定作用 B要发挥理论对实践的指导作用C要坚持理论与实践相结合的原则 D要在实践中丰富和发展理论27、从本质上看，认识是（ D）A主体心灵的主观创造 B主体心灵对客体的直觉C主体对客体的直接反映 D主体对客体的能动反映28、“从物到感觉和思想”与“从思想和感觉到物”的对立，属于（B）A辩证法与形而上学的对立B唯物主义反映论与唯心主义先验论的对立C经验论与唯理论的对立D能动的革命的反映论与消极的被动的反映论的对立29、“人的认识是主体对客体的直接反映”的观点属于（C ）A主观唯心主义认识论B客观唯心主义认识论C形而上学唯物主义认识论 D辩证唯物主义认识论30、我们看到苹果的形状和颜色，嗅到它的气味，摸到它的光滑，尝到它的滋味，在意识中就形成对苹果的整体感性形象。
材料化学第二章习题参考答案与解析
第二章参考答案1.原子间的结合键共有几种？各自特点如何？2.为什么可将金属单质的结构问题归结为等径圆球的密堆积问题?答:金属晶体中金属原子之间形成的金属键即无饱和性又无方向性, 其离域电子为所有原子共有,自由流动,因此整个金属单质可看成是同种元素金属正离子周期性排列而成,这些正离子的最外层电子结构都是全充满或半充满状态,电子分布基本上是球形对称,由于同种元素的原子半径都相等,因此可看成是等径圆球。
又因金属键无饱和性和方向性, 为使体系能量最低，金属原子在组成晶体时总是趋向形成密堆积结构,其特点是堆积密度大,配位数高,因此金属单质的结构问题归结为等径圆球的密堆积问题.3.计算体心立方结构和六方密堆结构的堆积系数。
(1) 体心立方 a ：晶格单位长度 R ：原子半径a 34R = 34R a =，n=2, ∴68.0)3/4()3/4(2)3/4(23333===R R a R bccππζ (2)六方密堆 n=64. 试确定简单立方、体心立方和面心立方结构中原子半径和点阵参数之间的关系。
解：简单立方、体心立方和面心立方结构均属立方晶系，点阵参数或晶格参数关系为90,=====γβαc b a ，因此只求出a 值即可。
对于（1）fcc(面心立方)有a R 24=, 24R a =， 90,=====γβαc b a(2) bcc 体心立方有：a 34R = 34R a =； 90,=====γβαc b a(3) 简单立方有：R a 2=， 90,=====γβαc b a74.0)3(3812)3/4(6)2321(6)3/4(633hcp =⋅=⋅R R R R a a c R ππξ＝R a a c 238==5. 金属铷为A2型结构，Rb 的原子半径为0.2468 nm ，密度为1.53g·cm-3，试求：晶格参数a 和Rb 的相对原子质量。
解：AabcN nM=ρ 其中, ρ为密度, c b a 、、为晶格常数, 晶胞体积abc V =，N A 为阿伏加德罗常数6.022×1023 mol -1，M 为原子量或分子量，n 为晶胞中分子个数，对于金属则上述公式中的M 为金属原子的原子量，n 为晶胞中原子的个数。
物理化学 答案 第二章_习题解答
=
(0.3 × 48.66 +
0.7 ×12) KJ·mol-1
=
23.0KJ·mol-1
B
∑ ∑ ∑ S
2-2 已知当 NaCl 溶液在 1kg 水中含物质的量为 n（单位为 mol）的 NaCl 时，体积 V 随 n 的变化关系为：
V/m3 = 1.00138×10-3 + 1.66253×10-5n/mol +1.7738×10-3(n/mol)3/2 + 1.194×10-7(n/mol)2
求当 n 为 2mol 时 H2O 和 NaCl 的偏摩尔体积为多少？ 解：设水用“A”表示，NaCl 用“B”表示,由题意得：
1
⎜⎜⎝⎛
∂V ∂n B
⎟⎟⎠⎞ = 1.66253 ×10−5
+ 1.7738 ×10−3
×
3 2
1
× (n / mol) 2
+ 1.194 × 10−7
× 2(n / mol)
那么当 n=2 时，NaCl 的偏摩尔体积
VB
= 1.66253 × 10−5
+ 1.7738 × 10−3
×
3
×
2
1 2
mol·dm3 = 0.547mol·dm-3
bB
=
nB mA
=
wB M (1 − wB )
=
0.095 0.18 × (1 − 0.095)
mol·kg-1 = 0.583mol·kg-1
2-4 若将 25℃、101.325KPa 纯理想气体的状态定为气体的标准状态，则氧气的标准
熵 S1O =205.03J·K-1·mol-1，现改为 25℃、100Kpa 的纯理想气体作为气体的标准态，氧气
高等工程数学第二章习题及答案
第2章 线性代数方程组数值解法 研究n 阶线性方程组Ax b =的数值解法.()ij A a =是n n⨯矩阵且非奇异，12(,,,)Tn x x x x = ,12(,,,)Tn b b b b =两类数值方法：(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.Ax b Gx d == 等价变换G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.(1)()i i Ax b x Bx k x Bx k +==+−−−−−→=+ 等价变换建立迭代格式，0,1,i =一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数【定义】 若对nK 上任一向量x ，对应一个非负实数x ，对任意,nx y R ∈及K α∈，满足如下条件(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；(2)齐次性：x xαα=；(3)三角不等式：x y x y+≤+.则称x为向量x的范数.常用的向量范数： (1) 1—范数11nii x x ==∑(2) 2—范数12221()ni i x x ==∑(3) ∞—范数1max ii nxx ∞≤≤=(4) 一般的p —范数11()pnpi pi xx ==∑2. 矩阵范数【定义】 若n nK ⨯上任一矩阵()ij n n A a ⨯=，对应一个非负实数A ，对任意的,n nA B K ⨯∈和K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；(2)齐次性：A Aαα=；(3)三角不等式：A B A B +≤+；(4)乘法不等式：AB A B≤.则称A为矩阵A的范数.矩阵范数与向量范数是相容的：Ax A x≤向量范数产生的从属范数或算子范数：10max maxx x AxA Ax x=≠==常见从属范数：(1) 1—范数111max ||nij j ni A a ≤≤==∑(2) ∞—范数11max ||nij i nj A a ∞≤≤==∑(3) 2—范数2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，iλ为H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵A 的谱半径不超过A 的任一范数，即()A A ρ≤范数等价性定理：,s t x x为n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得12,ns t s c x x c x x R ≤≤ ∀∈.注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是()*0,k x x k -→ →∞二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法 将方程Ax b =写成如下形式11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩其中记,1,1,2,,.i n i a b i n +==消元过程：第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1111/(2,3,,)i i m a a i n == ，则将方程组中第一个未知数1x消去，得到同解方程11112211,1(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=⎧⎪ ++=⎪⎨⎪⎪ ++=⎩其中， (1)11,2,3,,;2,3,,,1ijij i j a a m a i n j n n =-==+ . 1111/i i m a a =，2,3,,i n = .第二次消元：设(1)220a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第2个方程乘以(1)(1)2222/(3,4,,)i i m a a i n == ，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)33,1n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a x a ++++++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ ++=⎩其中(2)(1)(1)22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+ . (1)(1)2222/i i m a a =，3,4,,i n = .经过1n -次消元后，原方程组变成等价方程组11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++ ， 1,2,,,1j k k n n =+++ .(1)(1)/k k ik ik kkm a a --=，1,2,,i k k n =++ ；1,2,,1k n =- .回代过程：(1)(1),1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i ii n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =- ，有：除法(1)(1),,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计n k -次；乘法(1),,1,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++ 共计()(1)n k n k --+次.因此，消去过程总的计算量为1311[()(1)]3n k M n k n k n k n-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为21()2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大约为313n .2. Gauss-Jordan 消去法Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到(1)(1)(1)(1)11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n nn nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++⎧++++=⎪ +++=⎪ +++=⎨ +++= ⎪⎪⎪⎪⎩其中，(1)11,2,,,1jj a a j n n ==+ . 第二次消元：设(1)220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)2222/(1,3,4,,)i i m a a i n == ,则得到同解方程组(2)(2)(2)11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++= (2),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i 个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)/k k ik ik kk m a a --=，这里1,3,4,1,1,,i k k n =-+ .经过1n -次消元，得到(2)1111,1(1)(2)2222,1(2)(2)33,1,,,n n n n n a x a a x a a x a +++⎧ =⎪ =⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+ ；1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=- .此时，求解回代过程为(1)(1),1/,1,2,,n i i i n iix a a i n --+= = 经统计，总的计算量约为312M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法在介绍Gauss 消去法时，始终假设(1)0k kk a -≠，称(1)k kka -为主元.若(1)0k kka -=，显然消去过程无法进行.实际上，既使(1)0k kka -≠，但(1)k kka -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kka -为小主元.【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程1112120.3100.7,0.9,x x x x -⎧⨯+=⎪⎨ +=⎪⎩【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -⎧⨯+=⎪⎨ =⎪⎩其中(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-⨯，(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-⋅=-⨯于是解得(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ⎧==⎪⎨=⎪⎩而真解为120.2,0.7x x = =注：造成结果失真的主要因素是主元素11a太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.【定义】 若 (1)(1)||max ||k k k r k ik k i na a --≤≤=，则称(1)||k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r行与第k 行进行交换，使(1)||k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.【例2.3】 应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】 因为2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得1211120.9,0.3100.7,x x x x -⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为1220.9,0.7.x x x ⎧+=⎨=⎩回代求解，可以得到正确的结果.即120.2,0.7x x = =.三、三角分解法 设方程组Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即1112121222110,1,2,,.kk k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵211131111010010n m L m m -⎡⎤⎢⎥- ⎢⎥⎢⎥=- ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦ ，左乘方程组Ax b =，得11A x b =，其中11121(1)(1)122211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ，1(1)(1)111,11,1,1(,,,)Tn n n n b L b a a a -+++== .第二次消元时，相当于用单位下三角阵1232210101001n L m m - ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= - ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎢⎥⎣⎦0 ，左乘方程组11A x b =，得22A x b =其中11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ，11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).Tn n n n n b L L b a a a a --++++==经过1n -次消元，最后得到等价方程组11n n A x b --=其中11121(1)222111111221(1)n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n Tn n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==注意到1n A -是一个上三角阵，记111111221n n n U A L L L L A -------==则121()n A L L L U LU -==其中，121n L L L L -= . 不难验证21313212_1111n n nn m L m m m m m ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎢⎥⎣⎦是单位下三角阵.于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =就得到一个与 Ax b =等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩【定理2.2】 若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ∆≠，1,2,,k n = .则存在唯一的一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两行对换的初等变换.第一次消元，将第1行与第1r 行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P ：1111r r P Ax P b=经第一次消元得11111111r r L P Ax L P b--=即系数矩阵为11111r A L P A-=，其中110111r P ⎡⎢ ⎢ 1= 1 0 1 ⎣0 0 ⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦1 列 1r列 类似地，经1n -次消元，有121111111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A----------= .如果预先知道每一个(1,2,,1)iir P i n =- ，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA----== ，其中，1211,2,1,n n n r n r r P P P P ----= .即原方程变为PAx Pb =然后再消元，相当于对PA 做三角分解PA LU =由以上讨论，可得结论 【定理2.3】 若A 非奇异，则一定存在排列矩阵 P ，使得 PA 被分解为一个单位下三角阵和一个上三角1 行1行r阵的乘积，即PA LU =成立.这时，原方程组Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解LUx Pb =令Ux y =则Ly Pb =实际求解时，先解方程组Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解方法称为三角分解法.常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法 假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记21121110n n l L l l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ , 11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ 0 ⎣⎦ 于是有1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ nn u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎣⎦从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法的中间结果(1)k ij a -.计算步骤： (1) 由L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = = .然后，由L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素1111/,2,3,,i i l a a i n = = .(2)现假设已经算出U 阵的前1r -行元素，L 阵的前1r -列元素，下面来算U 阵的第r 行元素，L 阵的第r 列元素.由L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+ ，得11r ij rk kj rjk a l u u -==+∑所以，得U 阵的第r 行元素11,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n-==- =+∑ .再由L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++ 分别去乘U 阵的第r 列,得11r ir ik kr ir rrk a l u l u -==+∑,所以，得L 阵的第r 列元素11[]/,1,2,,.r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑取1,2,,r n = 逐步计算，就可完成三角分解A LU =；(3)解与Ax b = 等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩逐次用向前代入过程先解Ly b = 得1111,2,3,,.i i i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=- =⎪⎩∑然后再用逐次向后回代过程解Ux y =得1/,()/,1,2,,2,1.n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=- =--⎪⎩∑2．Crout 分解方法仍假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即ˆA L=ˆU .与Doolittle 分解方法的区别在111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 1122ˆˆl l ⎡⎤ 0⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 122ˆ1ˆ10n u u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1 ⎣⎦ 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算ˆL 的第r 列，然后再算ˆU的第r 行.3．Cholesky 分解方法若 A 为对称正定矩阵，则有 ˆT U L =，即11()()TT T A LDL LD LD LL ===其中L 为下三角阵. 进一步展开为1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0nn l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 比较两边对应元素，容易得到12121()r rr rr rk k l a l -==-∑ ，11()/r ir ir ik rk rrk l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由21rrr rk k a l ==∑ 可以看出||1,2,,.rk l k r ≤=这表明中间量rk l得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解： 改为使用分解T A LDL =即11121121121221222121111n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ⎡⎤ 1 ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 1 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2n l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1⎣⎦其中21ˆl 1ˆn l 2ˆn l ˆnn l 1ˆn u12111()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk rk d a l d l a l d l d-=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将Ax b =分解为两个三角形方程组T Ly b L x y ⎧= ⎪⎨= ⎪⎩分别可解得111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=⎧=⎪⎨=-, =2,3,,⎪⎩∑和1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+⎧=⎪⎨=-, =--2,,2,1⎪⎩∑改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个方程组1,,T Ly b L x D y -= ⎧⎨= ⎩同理可解得1111,,2,3,,.i i i ik k k y b y b l y i n ==⎧=⎪⎨=- =⎪⎩∑和1/,/,1,2,,2,1.n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩∑ 4．解三对角方程组的追赶法若()ij n n A a ⨯=满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠> =∑则称A 为严格对角占优矩阵.若A 满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠≥ =∑且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.现在考虑Ax d = 的求解，即11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系数矩阵A 满足条件11||||0,||||||,,0,2,3,, 1.||||0,i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+ ≠=-⎨⎪>>⎩采用Crout 分解方法11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ 1n β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1 ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎣⎦其中，,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到111111,;,,2,3,,;,2,3,, 1.i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-进而可导出1111111,2,3,,.,/,,2,3,,./(),2,3,, 1.i i i i i i ii i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--⎧= =⎪= =⎪⎨=- =⎪⎪=- =-⎩由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)i n β=- ，而i α可由,i i b a 和1i β-产生.因此，实现了A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组Ly dUx y =⎧⎨=⎩从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算i β的递推公式：1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-⎧=⎪⎨=- =-⎪⎩(2) 解方程组Ly d =：11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--⎧=⎪⎨=-- =⎪⎩(3) 解方程组Ux y =：1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩追赶法的乘除法次数是66n -次.将计算121n βββ-→→→ 及12n y y y →→→ 的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解121n n x x x x -→→→→ 的过程称之为“赶”的过程.四、迭代法 将Ax b =改写为一个等价的方程组 x Bx k =+建立迭代公式 (1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =称矩阵B 为迭代矩阵.【定义】 如果对固定的矩阵B及向量k，对任意初始猜值向量(0)x ，迭代公式(1)()i i +()i()*lim i i x x →+∞=成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.如果迭代收敛，则应有**,x Bx k =+1. 收敛性()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =为第i步迭代的误差向量.则有(1)(1)*()*()(),0,1,2,.x x B x x B i εε++=-=-==所以，容易推出()(0),0,1,2,,i i B i εε= =其中，(0)(0)*xxε=-为初始猜值的误差向量.设n nB K ⨯∈，lim 0i i B →+∞=⇔ ()1B ρ<.迭代法收敛基本定理： 下面三个命题是等价的 (1) 迭代法(1)()i i x Bx k +=+收敛；(2)()1B ρ<；(3) 至少存在一种矩阵的从属范数⋅，使1B <注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或B ∞等容易求出的范数，检验11B <或1B∞<来作为收敛的充分条件较为方便.常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代 考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n = .此时，可将矩阵A 写成如下形式A D L U =++,1122(,,,)nn D diag a a a = ，21313212000n n a L a a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎣⎦ ,12131232000n n a a a a a U ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= 0 ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ,建立Jacobi 迭代公式(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++迭代矩阵11()J B D L U I D A --=-+=-J B 的具体元素为112111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- - ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- - 0 ⎢⎥⎣⎦ Jacobi 迭代法的分量形式如下1(1)()()111(),j n i i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -+==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =3．Gauss-Seidel 迭代容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i jx j n = .实际上，在计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x +++- 已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求(1)i j x+时，利用刚刚计算出的新分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x+++- ，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式1(1)(1)()111(),j ni i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -++==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =矩阵形式(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=1()G B D L U -=--+注：（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组121232342,46,4 2.x x x x x x x ⎧- =⎪-+-=⎨⎪-+=⎩初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为(1)()12(1)()()213(1)()321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).T T T T x x x x ====从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列(){}i x 逐步逼近方程组的精确解*(1,2,1)T x =,而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更3．超松弛迭代法为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成1(1)()(1)()11(),j ni i i i jjj jm m jm m m m jjj xx b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =并记1(1)(1)()11(),j ni i i jj jm m jm m m m jjj rb a x a x a -++===--∑∑称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =即1(1)()(1)()1(),j ni i i i jjj jm mjm m m m jjjxx b a xa x a ω-++===+--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =适当选取因子ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法.写成矩阵向量形式(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++0,1,2,.i =迭代矩阵为1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1） 若方程组Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则 Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当02ω<< 时迭代收敛（2）若A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于SOR 方法，当01ω<< 时迭代收敛.【例2.5】 设线性方程组为121221,32,x x x x ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】 对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为0230J B -⎡⎤=⎢⎥- ⎣⎦，显见谱半径()1J B ρ=>，故Jacobi 迭代公式发散.同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为0206G B -⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦，谱半径()61G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组121232,21,x x x x ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<【定理2.5】 如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.注：当(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确定最佳超松弛因子opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.【例2.6】 求解线性方程组Ax b =，其中10.3000900.308980.30009100.4669110.274710.30898A - -- -0.46691 0= - -- 00.274711(5.32088,6.07624,8.80455,2.67600).T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦ =-分别利用Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法，SOR 迭代法求解. 【解】其结果列入下表中，方程组精确解(五位有效数字)为*(8.4877,6.4275, 4.7028,4.0066).T x =-Jacobi 迭代法计算结果i()1i x()2i x ()3i x ()4i x ()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 6.0762 －8.8046 2.6760 5.3609 27.97113.5621 －5.2324 1.90143.631820 8.4872 6.4263 －4.7035 4.0041 0.0041 218.48606.4271 －4.7050 4.0063 0.0028Gauss-Seidel 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 7.6730 －5.2220 2.8855 3.6202 28.51506.1933 －5.1201 3.90040.49098 8.4832 6.4228 －4.7064 4.0043 0.0078 98.48556.4252－4.70554.00550.0038SOR 迭代法计算结果（1.16ω=）i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 6.1722 9.1970 －5.2320 3.6492 3.6659 29.69416.1177 －4.8999 4.43351.33136 8.4842 6.4253 －4.7005 4.4047 0.0051 78.48686.4288－4.70314.00650.0016计算结果表明，若求出精确到小数点后两位的近似解，Jacobi 迭代法需要21次，Gauss －Seidel 迭代法需要9次，而SOR 迭代法(选松弛因子 1.16ω=)仅需要7次，起到加速作用.5．误差分析 【定理2.6】设 *x 是方程 Ax b = 的惟一解，v ⋅ 是某一种向量范数，若对应的迭代矩阵其范数1v B <，则迭代法(1)(),0,1,2,.i i xBx k i +=+ = 收敛，且产生向量序列(){}i x 满足()*()(1)||||||||||||1||||i i i vv vvB x x x x B --≤--()*(1)(0)||||||||||||1||||i i vv vvB x x x x B -≤--【证明】 由迭代收敛基本定理的(3)知，迭代法(1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =收敛到方程的解*x .于是，由迭代公式立即得到(1)*()*(1)()()(1)(),().i i i i i i x x B x x x x B x x ++--=--=-为书写方便把v 范数中v 略去，有估计式(1)*()*||||||||||||,i i x x B x x +-≤⋅-(1)()()(1)||||||||||||.i i i i x x B x x +--≤⋅-再利用向量范数不等式||||||||||||x y x y -≥-于是得第一个不等式()(1)(1)()()*(1)*()*||||||||||||||||||||(1||||)||||,i i i i i i i B x x x x x x x x B x x -++ -≥-≥--- ≥--再反复递推即第二个不等式.注：（1）若事先给出误差精度ε，利用第二个不等式可得到迭代次数的估计(1)(0)(1||||)ln ln ||||||||v v v B i B x x ε⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦ （2）在||||v B 不太接近1的情况下，由第一个不等式，可用()(1)||||i i v x x ε--<作为控制迭代终止的条件，并取 ()i x 作为方程组 Ax b = 的近似解.但是在||||v B 很接近1时，此方法并不可靠.一般可取1,2,v =∞或F .【例2.7】 用Jacobi 迭代法解方程组123123123202324,812,231530.x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪-+=⎩问Jacobi 迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)T x =，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-?【解】 Jacobi 迭代的分量公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2423)201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x +++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩Jacobi 迭代矩阵J B 为130102011088210155J B ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，由5251||||max ,,1208153J B ∞⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭知，Jacobi 迭代收敛. 因设(0)(0,0,0)Tx =，用迭代公式计算一次得(1)(1)(1)12363,, 2.52x x x = = =而(1)(0)|||| 2.x x ∞-=于是有6110(1)13ln ln 13.23i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代14次.【例2.8】 用Gauss －Seidel 迭代法解例2.11中的方程组，问迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)Tx =，需要迭代多少次，才能保证各分量误差的绝对值小于610-?【解】 Gauss －Seidel 迭代矩阵G B 为102403601()03025524000G B D L U - - ⎡⎤⎢⎥=-+= -⎢⎥⎢⎥ 38 -3⎣⎦显然1||||14G B =<，所以迭代收敛. Gauss －Seidel 迭代分量公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(2423),201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x ++++++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩因取(0)(0,0,0)T x =，故迭代一次得(1)(1)(1)1231.2, 1.35, 2.11x x x = = =于是有(1)(0)|||| 2.11x x ∞-=，计算得6110(1)14ln ln 10.2.114i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所在，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代11次.。
第二章习题及答案
电工学第二章习题一、填空题1． 两个均为40F μ的电容串联后总电容为 80 F μ，它们并联后的总电容为 20F μ。
2. 表征正弦交流电振荡幅度的量是它的 最大值 ；表征正弦交流电随时间变化快慢程度的量是 角频率ω ；表征正弦交流电起始位置时的量称为它的 初相 。
三者称为正弦量的 三要素 。
3. 电阻元件上任一瞬间的电压电流关系可表示为 u = iR ；电感元件上任一瞬间的电压电流关系可以表示为dtdiLu =L ；电容元件上任一瞬间的电压电流关系可以表示为dtduCi =C 。
由上述三个关系式可得， 电阻 元件为即时元件； 电感 和 电容 元件为动态元件。
4. 在RLC 串联电路中，已知电流为5A ，电阻为30Ω，感抗为40Ω，容抗为80Ω，那么电路的阻抗为 50Ω ，该电路为 容 性电路。
电路中吸收的有功功率为 750W ，吸收的无功功率又为 1000var 。
二、选择题1. 某正弦电压有效值为380V ，频率为50Hz ，计时始数值等于380V ，其瞬时值表达式为（ B ）A 、t u 314sin 380=V ；B 、)45314sin(537︒+=t u V ；C 、)90314sin(380︒+=t u V 。
2. 一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。
把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P/2，则正弦交流电源电压的最大值为（D ） A 、； B 、5V ； C 、14V ； D 、10V 。
3. 提高供电电路的功率因数，下列说法正确的是（ D ）A 、减少了用电设备中无用的无功功率；B 、减少了用电设备的有功功率，提高了电源设备的容量；C 、可以节省电能；D 、可提高电源设备的利用率并减小输电线路中的功率损耗。
4. 已知)90314sin(101︒+=t i A ，︒+=30628sin(102t i ）A ，则（ C ）A 、i1超前i260°；B 、i1滞后i260°；C 、相位差无法判断。
第二章习题与答案
第二章会计科目、会计账户和借贷复式记账法一、单项选择题1.账户是根据（）开设的，用来连续、系统地记载各项经济业务的一种手段。
A.会计凭证B.会计对象C.会计科目D.财务指标2.根据借贷记账法的原理，记录在账户贷方的是（）。
A.费用的增加B.收入的增加C.负债的减少D.所有者权益的减少3.会计科目是（）的名称。
A.会计账户B.会计等式C.会计对象D.会计要素4借贷记账法的记账规则是（）。
A.同增、同减、有增、有减B.同收、同付、有收、有付C.有增必有减，增减必相等D.有借必有贷，借贷必相等5.在借贷记账法中，账户的哪一方记录增加，哪一方记录减少是由（）决定的。
A.账户的性质B.记账规则C.账户的结构D.业务的性质６.复试记账法的基本理论依据是（）的平衡原理。
A.资产=负债+所有者权益B.收入–费用=利润C.期初余额+本期增加数-本期减少数=期末余额D.借方发生额=贷方发生额８.按照借贷记账法的记录方法，下列四组账户中，增加额均记在贷方的是（）。
A.资产类和负债类B.负债类和所有者权益类C.成本类和损益类D.损益类中的收入和支出类９.会计科目与账户之间的区别在于（）。
A.反映经济内容不同B.账户有结构而会计科目无结构C.分类的对象不同D.反映的结果不同10.按照借贷记账法的记录方法，下列账户的贷方登记增加额的是（）。
A.库存现金B.应收账款C.应付账款D.原材料11.按照借贷记账法的记录方法，下列账户中，账户的借方登记增加额的是（）。
A.实收资本B.应付职工薪酬C.累计折旧D.所得税费用12.目前我国会计制度规定，企业会计采用的记账方法是（）。
A.增减记账法B.现金收付记账法C.借贷记账法D.财产收付记账法13.账户的基本结构分为左右两方，其基本依据是（）。
A.登记收支业务B.借贷原理C.收付原理D.资金在运动中量的增加和减少14.不属于损益类会计科目的是（）。
A.投资收益B.管理费用C.主营业务成本D.生产成本15．下列属于资产类的会计科目是（）。
第2章习题参考答案
R12 (Rab // 8 Rbc //12) //(Rac //10) 4
(b) R12 (10 // 14) //(6 // 12 8) 3.92 5. 对图 x2.5 所示电桥电路， 应用 Y 等效变换求： （1） 对角线电压 U ； （2） 电压 U ab 。
。
A 为 0。因为已经被短路掉，没有电流。
2. 电路如图 x2.2 所示，求电压 U 12 以及电流表 A1 和 A2 的读数。
解：如图 x2.2a 所示： R12 20 // 20 10 ， R13 4 // 6 2.4
i2
30 0.97 A ， i1 i2 0.5 0.48 A 31
解： R12 4 得到 R1
R13 6
R23 10
R2 R12 R23 2 R12 R23 R13
R13 R12 6 R12 R23 R13 5 R23 R13 3 R12 R23 R13
R3
3 2 U 5 3 5 2 5V 5 5
A. U S 40V 的理想电压源 B. I S 4A 的理想电流源 C. U S 0.4V 的理想电压源与 R 10 的电阻相并联的电路 D. U S 40V 的理想电压源与 R 10 的电阻相并联的电路 3.有 3 个电阻相并联，已知 R1 2，R2 3，R3 6 。在 3 个并联电阻的两端 外加电流 I S 18A 的电流源，则对应各电阻中的电流值分别为（ A. I R1 3A, I R 2 6A，I R 3 9A C. I R1 6A，I R 2 9A，I R 3 3A B ） 。
U ab (
24 6 24) 5 150V 5 5
第 章 部分习题答案
注意位数对齐
第8页
第二章 习题解答
22. 已知x和y，用原码阵列除法器计算x÷y。
(1)x=0.10011 y=-0.11011
被除数/余数
商
【解】： [x]原=0.10011
01001100000
[y]原=1.11011
(2) 尾数相加减：
相加
00.100101
相减
00.100101
+ 11.000100
+ 00.111100
11.101001
01.100001
(3) 规格化处理
加法结果不是规格化数，向左规格化，即
[x+y]补=11 100，11.010010 阶码减1 减法结果不是规格化数，向右规格化，即
[x-y]补=11 110，00.1100001 阶码加1
-7.2812510＝-111.010012 然后移动小数点，使其在第1，2位之间
111.01001＝1.1101001×22
e＝2
于是得到： e =Ｅ – 127
S＝1，E＝2＋127＝129=1000,0001，M＝1101001
最后得到32位浮点数的二进制存储格式为
1100 0000 1110 1001 0000 0000 0000 0000
第11页
第二章 习题解答
27. 设浮点数的表示格式中阶码占3位，尾数占6位（都不包括符号位），阶 码采用双符号位的补码表示，尾数用单符号位的补码表示。要求用直接补 码阵列乘法完成尾数乘法运算，运算结果的尾数取单字长（含符号位共7 位），舍入规则用“0舍1入”法，用浮点运算方法计算x×y。
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇二部分习题解答公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)2
2
1 e
1 2
(
x1
4)2
2
X1 ~ N (4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)
2
2 2
X 2 ~ N (3,2).
第10页 10
第二章 多元正态分布及参数预计
22 22
22 14
12
4 3
第13页
13
第二章 多元正态分布及参数预计
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且
E(
X
)
4 3
,
D(
X
)
1 1
21
解三:两次配办法
(1)第一次配方 : 2x12 2x1x2 x22 (x1 x2 )2 x12
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
1 0
BB,
令y
y1 y2
11
10
x1 x2
x1
x1
x2
,
则2
x12
2x1x2
x22
y12
y22
(2)第二次配方.由于
x1 x2
y2 y1
y2
第14页 14
第二章习题答案
第二章主机习题答案一、名词解释1.中央处理器：又叫做CPU，它是微型计算机的核心部件，它反映了不同时代微型计算机的档次和基本性能2.主频：CPU的时钟频率称为主频, 主频越高, 则计算机工作速度越快。
3.外频：系统的前端总线频率（FSB）也就是所谓的外频，是由主板为CPU提供的基准的时钟频率。
4.倍频：倍频即主频与外频之比。
5.BIOS：即计算机的基本输入输出系统(Basic Input-Output S ystem)，是集成在主板上的一个ROM芯片，其中保存有计算机重要的基本输入/输出程序、系统信息设置、开机通电自检程序和系统启动自检程序。
6.CMOS：本意是指互补金属氧化物半导体，一种大规模应用于集成电路芯片制造的原料。
在计算机中是指微机主板上的一块可擦写的RAM芯片，用来保存当前系统的硬件配置和用户对某些参数的设定。
7.只读存储器：它是一种存储芯片，其中的内容一经写入就不能修改，并且在主机关掉后内容也不会消失。
8.随机存储器：它是一种可以通过在紫外线的照射或者使用电来擦除其中内容的特殊的PROM芯片。
其中的内容被擦除后，可以重新写入新内容。
9.SDRAM：SDRAM是同步动态存储器的缩写，其时钟频率与CPU前端总线的系统时钟频率相同，利用一个单一的系统时钟同步所有的地址数据和控制信号。
使用SDRAM不但能提高系统表现，还能简化设计、提供高速的数据传输。
在功能上，它类似常规的DRAM，且也需时钟进行刷新。
可以说，SDRAM是一种改善了结构的增强型DRAM。
目前的SDRAM有10ns和8ns两种参数类型。
10.DDR SDRAM：DDR SDRAM是双速同步动态存储器，是内存的一种，它支持数据在每个时钟周期的两个边沿进行数据传输，从而使内存芯片的数据吞吐率提高了一倍。
DDR-SDRAM还降低了能耗，是目前主流的内存。
二、填空题1.CPU的主频与外频的关系：主频是cpu的频率，外聘是主板的频率。
第二章 练习题 --外部环境(含答案)新1
【例题9· 多选题】
• 甲公司决定进军欧洲市场，为此进行了详细的市场分析。 下列选项中，属于宏观环境分析的情况有（ ）。 A.欧盟针对来自我国的相关产品制定了进口限制 B.欧盟国家整体经济增速下降 C.欧盟技术创新能力较强 D.欧盟市场中人口平均受教育程度较高
• 正确答案：ABCD
•
【例题10· 多选题】
• 甲公司计划通过设立合资企业的形式进入某发展 中国家。下列选项中，属于甲公司对该国经济环 境进行分析时需要考虑的有（ ）。 A.甲公司所在行业在该国技术进步速度较快 B.该国近年来GDP增速较快 C.甲公司在该行业拥有较多专利 D.该国汇率波动较大 • 正确答案：BD
•
【例题11· 多选题】
• 甲公司是国内第二大互联网游戏企业，公司除了考虑继续 增加市场份额之外，还要考虑新资本进入给企业带来的威 颁布法规对互联网游戏产业进行限制 B.互联网游戏产业整体增长速度 C.互联网游戏的同质性普遍较强 D.现有互联网游戏企业是否在基础设施方面投入足够 的资金 • 正确答案：AD
•
【例题8· 多选题】
• 甲公司是一家日用化学品生产企业，在对 本产业进行分析时，公司管理层认为产业 竞争出现加剧的迹象。下列选项中，能够 帮助该公司管理层判断产业竞争出现加剧 现象的有（ ）。 A.产业成长缓慢 B.竞争对手实力相当 C.生产能力过剩 D.进入障碍低而退出障碍高 • 正确答案：ABCD
【例题12· 多选题】
• 下列针对产品生命周期进行描述的选项中，不正确的 有（ ）。 A.导入期的经营风险非常高 B.成熟期表现为市场增长率下降 C.成长期对资金的需求较旺盛，会出现现金短缺 D.衰退期的战略目标是重点转向在巩固市场份额 的同时提高投资报酬率 • 『正确答案』BD 『答案解析』产品生命周期四个阶段中，衰退期表现 为市场增长率下降，选项B错误。成熟期的战略目标 是重点转向在巩固市场份额的同时提高投资报酬率， 选项D错误。
大学化学(第二版)部分习题参考答案
(PNH3/Pө)2
(PN2/Pө)1 ·(PH2/Pө)3
ΔrGm(T) = ΔrGmө(T)+2.303RT lgQ
Sn(s)+O2(g)= SnO2(s)
[P34:8题] 设汽车内燃机内温度因燃料燃烧反应达到1300℃， 试计算该反应: N2 (g) + O2 (g) = 2NO(g) 在1300℃时的标准摩尔吉布斯函数变和标准平衡常数Kө。
p(O2) = 101.325Kpa×21％ = 21.28Kpa
P(O2)
Pө
1
P(O2)/Pө
21.28Kpa
100Kpa
解： 查表可知： Sn(s) + O2(g) = SnO2(s) ΔfGmө (298.15K)/( kJ·mol-1) 0 0 -519.7
(1) 在标准态下自发进行的温度T的计算：
△rSmө(298.15K) ＝∑viSmө(生成物) -∑viSmө(反应物) ＝[ 1×106.7] –[1×39.75 + 1×248.22 + 1/2×205.14] ＝ -283.84J·mol-1·K-1
(1000/100)1 ·(1000/100)3
(1000/100)2
ΔrGm(T) = ΔrGmө(T) + 2.303RTlgQ = -21.63 + 2.303×8.314×10-3×573.15×lg(100) = 0.318(kJ·mol-1)
ΔrGm(T) =ΔrGmө(T) +2.303RTlgQ = -145.28 + 2.303×8.314×10-3×1250×lg(22.37) = -112.98kJ·mol-1＜0
运筹学清华大学第四版答案
运筹学清华大学第四版答案【篇一：运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案】s=txt>2．1 题（p. 77）写出下列线性规划问题的对偶问题：????（1）?????maxz?2x1?2x2?4x3s.t.x1?3x2?4x3?22x1?x2?3x3?3x1?4x2? 3x3?5x1?0，x2?0,x3无约束；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：?maxw?2y1?3y2?5y3?s.t.y1?2y2?y3?2??3y1?y2?4y3?2 ? ?4y1?3y2?3y3?4?y1?0,y2?0,y3?0??mn?minz???cijxij?i?1j?1?n???cijxij?ai,i?1,?,m（2）? j?1?n??cijxij?bj,j?1,?,n?j?1???xij?0,i?1,?,m;j?1,?,n解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：mn??maxw??aiui??bjvji?1j?1??ui?vj?cij ??i?1,?,m;j?1,?,n???ui无约束，vj无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。
但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
maxz?3x1?x2例如原问题s.t.?x1?x2?1?x2?3??x?0,x?02?1有可行解，但其对偶问题minw?y1?3y2s.t.?3?y1?y2?1?y1??y?0,y?02?1无可行解。
（2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。
（3）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。
答：错。
正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。
02习题及答案
第二章热力学第一定律思考题1设有一电炉丝浸于水中,接上电源，通过电流一段时间。
如果按下列几种情况作为系统，试问ΔU，Q，W为正为负还是为零?(1)以电炉丝为系统；(2)以电炉丝和水为系统；(3)以电炉丝、水、电源及其它一切有影响的部分为系统。
2设有一装置如图所示，(1)将隔板抽去以后，以空气为系统时，ΔU，Q，W为正为负还是为零?(2)如右方小室亦有空气，不过压力较左方小，将隔板抽去以后，以所有空气为系统时，ΔU，Q，W为正为负还是为零？作业题1 (1)如果一系统从环境接受了160J的功，内能增加了200J，试问系统将吸收或是放出多少热?(2)一系统在膨胀过程中，对环境做了10 540J的功，同时吸收了27 110J的热，试问系统的内能变化为若干？[答案：(1) 吸收40J；(2) 16 570J] 2在一礼堂中有950人在开会，每个人平均每小时向周围散发出4．2xl05J的热量，如果以礼堂中的空气和椅子等为系统，则在开会时的开始20分钟内系统内能增加了多少?如果以礼堂中的空气、人和其它所有的东西为系统，则其ΔU＝?[答案：1.3×l08J;0] 3一蓄电池其端电压为12V，在输出电流为10A下工作2小时，这时蓄电池的内能减少了1 265 000J，试求算此过程中蓄电池将吸收还是放出多少热？[答案：放热401000J]4 体积为4.10dm3的理想气体作定温膨胀，其压力从106Pa降低到105Pa,计算此过程所能作出的最大功为若干?[答案：9441J]5 在25℃下，将50gN2作定温可逆压缩，从105Pa压级到2×106Pa，试计算此过程的功。
如果被压缩了的气体反抗恒定外压105Pa作定温膨胀到原来的状态，问此膨胀过程的功又为若干？[答案：–1.33×104J；4.20×103J]6 计算1mol理想气体在下列四个过程中所作的体积功。
已知始态体积为25dm3终态体积为100dm3；始态及终态温度均为100℃。
高等数学第二章习题详细解答答案
1 ⎧ 2 1 ⎪ x sin , x ≠ 0 （2）∵ y = ⎨ ，而 lim y = lim x 2 sin = 0 = y x = 0 ，所以函数在 x = 0 处连续 x x →0 x →0 x ⎪ x=0 ⎩ 0,
1 x = 0 ，所以函数在 x = 0 点处可导. 而 lim x →0 x−0 x 2 sin
−2 sin cos (x + Δx) − cos x 3．解： ( cos x)′ = lim = lim Δx → 0 Δx →0 Δx Δx sin 2 x + Δx 2 = − sin x = - lim sin ⋅ lim Δx → 0 Δx → 0 Δx 2 2
4. 解：（1）不能，（1）与 f ( x ) 在 x0 的取值无关，当然也就与 f ( x ) 在 x0 是否连续无关， 故是 f ′( x0 ) 存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1） 5 x
9 −1 = 4 ，而 y′ = (x 2 )′ = 2 x ，令 2 x = 4 ， 3 −1
得： x = 2 ，所以该抛物线上过点 (2, 4) 的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为
f (0+ h )− f (0 ) = h
因而 lim
h→0
3
h −0 1 = 2/ 3 h h
f (0 + h) − f (0) 1 = lim 2 / 3 = +∞ ，即导数为无穷大。 → h 0 h h
∴ f +′(0) ≠ f −′(0) = −1 ，所以 f ′(0) 不存在.
13. 解 ： 当 x > 0 时 ， f ( x) = x 是 初 等 函 数 ， 所 以 f ′( x) = 3 x ； 同 理 ， 当 x < 0 时
微观经济学第五版部分习题参考答案1
第二章部分练习题参考答案1.已知某一时期内某商品的需求函数为Q d=50-5P，供给函数为Q s=-10+5p。
（1）求均衡价格P e和均衡数量Q e，并作出几何图形。
（2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Q d=60-5P。
求出相应的均衡价格P e和均衡数量Q e，并作出几何图形。
（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Q s=-5+5p。
求出相应的均衡价格P e和均衡数量Q e，并作出几何图形。
（4）利用（1）（2）（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。
（5）利用（1）（2）（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响.解答：(1)将需求函数= 50-5P 和供给函数=-10+5P 代入均衡条件= ，有：50- 5P= -10+5P 得： Pe=6以均衡价格Pe =6代入需求函数=50-5p ，得：Qe=50-5或者，以均衡价格 Pe =6 代入供给函数 =-10+5P ，得：Qe=-10+5所以，均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 ， Qe=20 如图1-1所示.(2) 将由于消费者收入提高而产生的需求函数=60-5p和原供给函数=-10+5P，代入均衡条件=，有：60-5P=-10=5P得以均衡价格代入=60-5p ，得 Qe=60-5或者，以均衡价格代入=-10+5P，得Qe=-10+5所以，均衡价格和均衡数量分别为，将原需求函数=50-5p 和由于技术水平提高而产生的供给函数Q s=-5+5p ，代入均衡条件=，有：50-5P=-5+5P 得以均衡价格代入=50-5p ，得或者，以均衡价格代入=-5+5P ，得所以，均衡价格和均衡数量分别为，.如图1-3所示.(4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征.也可以说，静态分析是在一个经济模型中根据给定的外生变量来求内生变量的一种分析方法.以(1)为例，在图1-1中，均衡点E就是一个体现了静态分析特征的点.它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点.在此，给定的供求力量分别用给定的供给函数=-10+5P 和需求函数=50-5p表示，均衡点E 具有的特征是：均衡价格且当时，有==;同时，均衡数量，且当时，有.也可以这样来理解静态分析：在外生变量包括需求函数中的参数(50，-5)以及供给函数中的参数(-10，5)给定的条件下，求出的内生变量分别为，。
第二章 习题及答案
第二章 金属切削原理与刀具班级_____________ 学号____________姓名_____________ 成绩____________一、 选择题：1、车削细长轴时，车刀的主偏角应取[ D ]A 、30ºB 、45ºC 、60 ºD 、90 º2、粗车时，选择切削用量的顺序是[ B ]A 、f v a c p →→B 、c p v f a →→C 、c p v a f →→D 、f a v p c →→3、车细长轴时，为防止工件产生弯曲和振动，应尽量减少[ D ]A 、轴向力B 、前角C 、主偏角D 、径向力4、积屑瘤对粗加工有利的原因是[ A ]A 、保护刀具、增加实际前角B 、积屑瘤硬度高C 、提高加工表面质量D 、加大切削深度5、增加一般外圆粗车刀的刀刃的抗冲击能力的角度是[ B ]A 、大主偏角B 、负刃倾角C 、正刃倾角D 、大后角6、车削加工中影响已加工表面残留面积大小的主要因素是[ B ]A 、切削速度c vB 、进给量fC 、背吃刀量p aD 、工件转速n7、降低切削温度最有效的措施是[ A ]A 、浇注切削液B 、增大刀尖圆角半径C 、增大主偏角D 、适当增大前角8、与高速钢刀具的耐热性相比，硬质合金刀具的耐热性[ C ]A 、较低B 、相等C 、较高D 、不确定9、当刀尖是主切削刃上最低点时，刃倾角为[ A ]A 、负B 、零C 、正D 、不确定10、纵向走刀车外圆时消耗功率最大的力是[ A ]A 、切向力B 、径向力C 、轴向力D 、不确定11、车外圆时，若刀尖低于工件中心，则将增大的工作角度是[ B ]A 、前角B 、后角C 、主偏角D 、副偏角12、YG 类硬质合金刀具主要用于加工[ D ]A 、陶瓷B 、金刚石C 、钢D 、铸铁13、在切削平面中测量的主切削刃与基面之间的夹角是[ D ]A 、前角B 、后角C 、主偏角D 、刃倾角14、YT 类硬质合金刀具主要用于加工[ A ]A 、钢B 、铸铁C 、陶瓷D 、金刚石二、判断题1、积屑瘤使刀具的实际前角增大，并使切削轻快省力，所以对精加工有利。
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习题
6、试从动态性、并发性和独立性上比较进程和程序。
答：（1）从动态性角度：进程的实质是进程实体的一次执行过程，因此，动态性是进程的最基本的特征。
动态性还表现在：“它由创建而产生，由调度而执行，由撤消而消亡”。
可见，进程实体有一定的生命期，而程序则只是一组有序指令的集合，并存放于某种介质上，其本身并不具有运动的含义，因而是静态的。
（2）从并发性角度：这是指多个进程实体同存于内存中，且能在一段时间内同时运行。
并发性是进程的重要特征，同时也成为OS的重要特征。
引入进程的目的也正是为了使其进程实体能和其它进程实体并发执行；而程序(没有建立PCB)是不能并发执行的。
（3）从独立性角度：在传统的OS中，独立性是指进程实体是一个能独立运行、独立分配资源和独立接受调度的基本单位。
凡未建立PCB的程序都不能作为一个独立的单位参与运行。
7、试说明PCB的作用，为什么说PCB是进程存在的惟一标志？
答：（1）进程控制块PCB的作用是使一个在多道程序环境下不能独立运行的程序(含数据)，成为一个能独立运行的基本单位，一个能与其它进程并发执行的进程。
（2）在进程的整个生命期中，系统总是通过PCB对进程进行控制的，亦即，系统是根据进程的PCB而不是任何别的什么而感知到该进程的存在的。
所以说，PCB 是进程存在的惟一标志。
9、为什么要引入挂起状态？该状态有哪些性质？
答：引入挂起状态的原因：（1）终端用户的请求。
（2）父进程请求。
（3）负荷调节的需要。
（4）操作系统的需要。
处于挂起状态的进程最大的特点是主动放弃CPU调度。
引入挂起状态后，进程状态转换图中增加了活动阻塞、静止阻塞、活动就绪、静止就绪四个状态，并增加了活动就绪与静止就绪之间的相互转换，活动阻塞与静止阻塞之间的相互转换。
16、进程在运行时存在哪两种形式的制约？并举例说明之。
答：(1)间接相互制约关系。
同处于一个系统中的进程，通常都共享着某种系统资源，如共享CPU、共享I/O设备等。
所谓间接相互制约即源于这种资源共享，
例如，有两个进程A和B，如果在A进程提出打印请求时，系统已将惟一的一台打印机分配给了进程B，则此时进程A只能阻塞；一旦进程B将打印机释放，则A进程才能由阻塞改为就绪状态。
(2) 直接相互制约关系。
这种制约主要源于进程间的合作。
例如，有一输入进程A通过单缓冲向进程B提供数据。
当该缓冲空时，计算进程B因不能获得所需数据而阻塞，而当进程A把数据输入缓冲区后，便将进程B唤醒；反之，当缓冲区已满时，进程A因不能再向缓冲区投放数据而阻塞，当进程B将缓冲区数据取走后便可唤醒A。
18、同步机构应遵循哪些基本准则？为什么？
答:(1) 空闲让进。
当无进程处于临界区时，表明临界资源处于空闲状态，应允许一个请求进入临界区的进程立即进入自己的临界区，以有效地利用临界资源。
(2) 忙则等待。
当已有进程进入临界区时，表明临界资源正在被访问，因而其它试图进入临界区的进程必须等待，以保证对临界资源的互斥访问。
(3) 有限等待。
对要求访问临界资源的进程，应保证在有限时间内能进入自己的临界区，以免陷入“死等”状态。
(4) 让权等待。
当进程不能进入自己的临界区时，应立即释放处理机，以免进程陷入“忙等”状态。
24、在生产者-消费者的问题中，如果将两个wait操作即wait(full)和wait(mutex)互换位置，或者将signal(mutex)与signal(full)互换位置，结果会如何？
答：在生产者-消费者的问题中，如果将两个wait操作即wait(full)和wait(mutex)互换位置就违反了必须先执行对资源信号量的wait操作，然后再执行对互斥量的wait操作。
有可能出现这样的结果：消费者通过wait(mutex)进入了仓库，而仓库里面没有产品，因而消费者将被卡在wait(full)操作上，而生产者因为仓库里有人而无法进仓库放产品，也就是生产者卡在了wait(mutex)操作上，其结果为死锁。
如果signal(mutex)与signal(full)互换位置，不会有任何影响。
29、画图说明管程由哪几部分组成，为什么要引入条件变量？
答：管程由四部分组成：①管程的名称；②局部于管程内部的共享数据结构说
明；③对该数据结构进行操作的一组过程；④对局部于管程内部的共享数据设置初始值的语句。
当一个进程调用了管程，在管程中时被阻塞或挂起，直到阻塞或挂起的原因解除，而在此期间，如果该进程不释放管程，则其它进程无法进入管程，被迫长时间地等待。
为了解决这个问题，引入了条件变量condition。
41、何谓用户级线程和内核支持线程？
答：用户级线程：用户级线程ULT(User Level Threads)仅存在于用户空间中。
对于这种线程的创建、撤消、线程之间的同步与通信等功能，都无须利用系统调用来实现。
对于用户级线程的切换，通常发生在一个应用进程的诸多线程之间，这时，也同样无须内核的支持。
内核支持线程：内核支持线程KST(Kernel Supported Threads)，也都同样是在内核的支持下运行的，即无论是用户进程中的线程，还是系统进程中的线程，他们的创建、撤消和切换等也是依靠内核，在内核空间实现的。
此外，在内核空间还为每一个内核支持线程设置了一个线程控制块，内核是根据该控制块而感知某线程的存在，并对其加以控制。