中学生标准学术能力基础性测试2020年9月测试数学试卷(A)-含答案
河南省2020年九年级第三次学业水平测试 数学试卷A(含答案)
根据图示信息，解答下列问题;
(1) 本次被抽查的学生共有
人:
(2)a =
, b = _____ 将条形统计图补充完整;
(3) 课外阅读量的众数是______本 ;
(4) 若规定: 4 月份阅读 3 本以上(含 3 本)课外书籍者为完成阅读任务.据此估计该校八年级 800 名学生中完
2020 年河南省第三次学业水平测试数学试卷(A)
一、选择题：（每小题 3 分，共计 30 分） 1.在实数 −3, 1 , 0, − 8 中，最小的是（ ）
3
A． −3
B． 1 3
C． 0
D． − 8
2. 我国是世界上.严重缺水的国家之“. 目前我国年可利用的谈水资源总量为 27500 亿米.这个数用科学记数
D．
−2+ 2
2
2
二、填空题:（每题 3 分，共 15 分）
11.计算： 3 8 − −2 =
．
12. 如图，直线 m / /n , Rt∆ABC 的顶点 A 在直线 n 上, ∠C =90° ，若 ∠=1 25°, ∠=2 75° ,则 ∠B 的度数
为
．
13. 为迎接理化生实验操作考试，某校成立了物理化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、
于点 D ,将 ABCD 以 CD 为对称轴翻折.得到 ∆CDE .设点 C 的坐标为 ( x, 0) , ∆CDE 与 ∆AOB 重叠部分的
面积为 S, S 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则 m =
．
15. 如图,矩形 ABCD 中= , AB 3= , AD 5 ,点 E 为射线 BA 上一个动点,连接 CE ,以 CE 为对称轴折叠 ∆BCE ,
2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学(A)试卷(含答案)
2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a,b∈R，那么log2a>log2b是(12)a<(12)b的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合A={x∣y=ln(x2−2x−3)},B={y∣y=x2−2x+3,x∈A}，则A∩∁R B=( )A. (−∞,−1)B. (−∞,−1)∪(3,6]C. (3,+∞)D. (−∞,−1)∪[6,+∞)3.已知复数z满足z⋅z=5，则|z−2+4i|的最大值为( )A. 5B. 6C. 35D. 364.已知非零向量a,b满足3|a|=|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是，则a与b夹角的余弦值为( )A. 33B. 13C. −33D. −135.设函数f(x)的定义域为R，且f(−x+4)+f(x)=2，f(x+2)=f(−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+x+b，f(3)+f(0)=−3，则b−a=( )A. −9B. −6C. 6D. 96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是( )A. 82，73B. 80，73C. 82，67D. 80，677.已知sin(40∘−θ)=4cos50∘⋅cos40∘⋅cosθ，且θ∈(−π2,π2)，则θ=( )A. −π3B. −π6C. π6D. π38.已知函数f(x)=x−22x+1+2，则不等式f(t2)+f(2t−3)>2的解集为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)C. (−∞,−3)∪(1,+∞)D. (−3,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
THUSSAT中学生标准学术能力2023年9月诊断性测试数学答案
中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2425−14．46− 15．64316．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）()22111,22n n n n n n S S −−+−+=∴=， ()11,n n n S S n c n n −∴−==>∈N ·································································· 2分又()111,,3nn n c S c n n a ==∴=∈∴=N + ······················································· 3分（2）()()()2212326511313n n n n d n n n n +⎡⎤=⨯++=++⨯−+⨯⎣⎦····························· 7分()()()()2222322213113313213n T =+⨯−+⨯++⨯−+⨯++∴()()()()2221121311311313n n n nn n n n −+⎡⎤⎡⎤+⨯−−+⨯+++⨯−+⨯⎣⎦⎣⎦()()221113113n n +⎡⎤=−+⨯+++⨯⎣⎦()212236n n n +=++⨯− ····································································· 10分18．（12分） （1）()2cos cos cos2c a A B b A A B =−≤，sin 2sin cos cos sin cos 2C A A B B A ∴=− ···················································· 2分 ()sin sin 2cos sin cos2sin 20C A B B A A B ∴=−=−> ··································· 4分又02A B <−<π，则2C A B =−或2C A B +−=π，若2C A B =−，则3A π=； 若2C A B +−=π，则2A B =，又A B ≤，不符合题意，舍去，综上所述3A π= ························································································· 6分 （2）()22222,,33AB ACAB AC BD DC AD AD ⎛⎫++=∴=∴= ⎪⎝⎭···························· 8分 224236b c bc ∴++= ①，又222a b c bc =+− ②，①÷②得：222222242131426c c b b a b c bc c c b c b bc b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==+−⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝········································ 9分 令cx b=，又22222,,,A B a b a b b c bc b ≤≤≤∴+−≤∴∴， ,01cc b x b∴≤∴<=≤， 令()()()222142111,6430f x x f x x x x x x x x +=<≤=+−+−+−+ ······························ 10分令363,6t x t x +−==， ()()()()23636433,4332727t f t t f t t t t t∴=+−<≤∴=+−<≤++，又2712t t +≥或()2273612,17,7,7t f t a t a +<−∴<≤∴≤∴≥， 所以当三角形ABC 为等边三角形时a最小，最小值为7····························· 12分 19．（12分）（1）设事件1A 为A 员工答对甲类问题；设事件2A 为A 员工答对乙类问题；设事件1B 为B 员工答对甲类问题；设事件2B 为B 员工答对乙类问题；设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题； 三人得分之和为20分的情况有：①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则()()()()()121112110.50.40.40.60.048P A A B C P A P A P B P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯= ·············································································································· 2分 ②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.60.50.50.60.09P B B A C P B P B P A P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=·············································································································· 4分 ③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与B 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.40.250.50.40.02P C C A B P C P C P A P B ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=，所以三人得分之和为20分的概率为0.048+0.09+0.02=0.158 ·································· 6分 （2）A 员工得100分的概率为()()()12120.3P A A P A P A ⋅=⋅=，B 员工得100分的概率为()()()12120.3P B B P B P B ⋅=⋅=，C 员工得100分的概率为()()()12120.3P C C P C P C ⋅=⋅=，·············································································································· 9分()~3,0.3X B ∴······················································································ 11分∴()30.30.9E X =⨯= ············································································ 12分20．（12分）（1）取AB 的中点N ，连接MN ，NC ，则线段MN 为三角形SAB 的中位线， MNSA ∴，又,SA BD BD MN ⊥∴⊥ ························································ 2分设直线CN 与直线BD 交于Q 点， 则1,3NQ BQ BNQCDQ NC BD ∆∆∴==，设,,,26AD a CD NC a NQ =∴=∴=∴=，同理,3BD BQ a ==， 又222222632a a a NQ BQ BN +=+== ··························································· 5分 ,BD CN BD ∴⊥∴⊥面,MNC MC BD ∴⊥ ··················································· 6分（2）分别以直线AD ，AB ，AS 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,2,,,A S C B M ， 设SP SC λ=，()()()()2,21,2,21P AP λλλλ∴−∴=− ································· 8分 又()()0,2,1,AM AC ==，设平面AMC 的法向量(),,n x y z =，则(20,2,1,20n AM y z n n AC x ⎧⋅=+=⎪∴=−⎨⋅=+=⎪⎩ ·········································· 10分设直线AP 与平面AMC 所成的角为θ，则sin cos ,10AP n θ===， 11,22SP SC λ∴=∴= ·················································································· 12分 21．（12分） （1）设1122,MF r MF r ==，在12MF F ∆中，设12F MF θ∠=，22221212122cos 4F F r r r r c θ=+−=，22212122cos 4r r r r c θ∴=+−，又()1212MC MF MF =+， ()()2222222212121212121122cos 4422r r MC MF MF MF MF r r r r c θ∴=++⋅=++=+−，()222121222222122254222r r r r r r MC c c a c +−∴=+−=−=−−= ························· 3分 2222229,6,3,3a c a c b ∴−==∴=∴=，所以椭圆C 的方程为：22163x y += ······························································· 4分 （2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，()222221226063x y y t y t x y t λλλ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩， 2121211222226,,,22t t y y y y x y t x y t λλλλλ−∴+=−==+=+++，22121222426,22t t x x x x λλλ−+==++ ································································ 7分 设()()()()()()01020201010201020102y y x x y y x x y y y y x x x x x x x x −⋅−+−⋅−−−+=−−−⋅− ()()()()000121201221201222x y y x x y y t x y y x x x x x x λ−+++−+=−++ ()()()()20000022202212462x y tx y x t p xx t λλλ+−+−==−+−若p 为常数，则02120tx −= ····································································· 10分 即06tx =，而此时()()()000002200042262y x t x y y x t x x t −==−−−，又06x t<<<<，即t >t <综上所述，t >t <存在点6,A t ⎛ ⎝，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值02y x t− ············································································ 12分 22．（12分）（1）()()()2221ln ln 1ln ,1x x x x g x x g x x x x−−+'=+=+= ······································ 1分 令()()211ln ,20h x x x h x x x '=−+=−+>，即2x >，所以函数()h x在区间2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭单调递增，在区间0,2⎛ ⎝⎭单调递减 ················· 3分又()()()min 0,0,02h x h h x g x ⎛⎫'=>∴>∴> ⎪⎪⎝⎭， 所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增 ····························································· 5分 （2）不等式ln e ee 0axxa x−−>等价于1e ln 0ax x x ax −−−> 令()()()()111e ln 01e 1ax ax g x x x ax g x ax x x−−=−−>'=+−， ···························· 7分 设()()()11e 1,1e ax ax h x x h x ax −−=−∴'=+，当()10,0x h x a<<−'>， 所以函数()h x 在10,a ⎛⎫−⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()()2max 11e h x h a a a −⎛⎫∴=−=−+ ⎪⎝⎭，()22max 1e ,e 0a h a a−−<−∴=−+<， 所以函数()g x 在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在10,a⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递减 ··························· 10分 ()2min 2111e ln 1e g x g a a a −−⎛⎫∴=−=−−− ⎪⎝⎭，令21e t a−=，则()()()()()min1ln 10,1,1g t t t m t t m t t =−−=∈'=−， ()m t ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ()()()min 10,0m x m m t ∴==>，()()min 0,0g x g x ∴>∴> ········································································ 12分即2e a −<−时，不等式()0f x >恒成立．。
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题含解析
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1( ) A ．cos160︒ B ．cos160±︒ C ．cos160±︒D ．cos160-︒2．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．103．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．角α的终边经过点221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值为（ ）A ．12B ．C ．3-D ．5．得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左移动6π B ．向右移动6π C ．向左移动3π D ．向右移动3π 6．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+7．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B ．32C ．3D ．238．执行如图所示的程序框图，若输入3k =，则输出S =（ ）A ．13B ．15C ．40D ．469．三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
THUSSAT2020年9月诊断性测试理科数学答案
中学生标准学术能力诊断性测试2020年9月测试理科数学答案一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． (2,1)(1,7)−−14． (2,± 15． 120 16． 134−三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17.解： （1）由3sin 21S ==∆C ab ABC ，得4=ab ①…………2分又由44cos 222222=−+=−+=b a C ab b a c ，得822=+b a ②…………4分 联立①②解得2==b a .…………5分 （2）因为334sin c 2==C R ，…………6分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛−+=+=+A A B A b a 32sin sin 334)sin (sin 334π3sin cos 4sin 3226A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………8分 因为ΔABC 是锐角三角形，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππ，A ，从而⎪⎭⎫⎝⎛∈+3236πππ，A ，所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,236sin πA ，…………10分所以(]4,32∈+b a ，即b a +的取值范围是(]4,32.…………12分18. 解：（1）证明：取PC 中点G ，连接,EG FG ，则AF DC ,EG EG//DC//AF ==21，…………2分 所以AEGF 是平行四边形，AE//FG ，…………3分AE PEC ⊄面，⊂FG 面PFC ,∴//AE 平面PFC …………5分（2）因为//AF 平面PDC ，所以点,A F 到平面PCD 的距离相等 …………6分由CD AD ⊥，平面⊥PAD 平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD=AD ，可得CD PAD ⊥平面 ，所以CD AE ⊥，…………7分 由E 是PD 中点，PAD ∆是正三角形，所以PD AE ⊥，…………8分CD PD D =，所以PCD AE 面⊥…………9分设a AB 2=，则CF 与平面PCD 所成角的正弦值为=+=432a CFAE46…………11分 所以2=a ，即4AB =.…………12分（建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分）19. 解： （1）∵1131()122n n n n n a a n −−=−⋅−−∴1131()122n n n a a n n −−=−⋅−−，…………2分 由累加法，当2n ≥时，211313131()()()1222222n n aa n −−=−⋅−−⋅−−−⋅− 代入112a =得，2n ≥时，1111()(1())13111122(1())1()12222221()2n n n n a n −−−⋅−−=−⋅=+−−=+−−−…………4分又112a =适合上式，故*1()()2n n a n n n N =+−∈．…………5分 （2）解法一：223523+5002n n n nS n n S −−>⇔−>，数列{}34n −的前n 项和为2352n n−，…………6分 令134242nn n c a n n n ⎛⎫=−+=⋅−−+ ⎪⎝⎭，其前n 项和为2352n n n n C S −=− ，…………8分则有132c =，212c =，3198c =−，故10C >，20C >，30C <。
2020届清华中学生标准学术能力(9月)数学(文)试题(解析版)
2020届清华中学生标准学术能力（9月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,0,1},{||1|,}A B y y x x A =-==+∈，则A B =（ ）A.{1,0}-B.{0,1}C.{1,1}-D.{1,0,1}-【答案】B【解析】根据集合A ，可求出集合B 中的具体元素，即可得A B 。
【详解】 解：{1,0,1},{0,1,2}A B =-=∴，{,}01A B ∴=故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题。
2．已知复数123iz i+=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）B.12【答案】A 【解析】求出1710iz +=，即可求出||z 。
【详解】 解：12(12)(3)173(3)(3)10i i i iz i i i ++++===--+，||102z ∴==故选：A 。
【点睛】本题考查复数乘除法及模的计算，是基础题。
3．若向量,a b 满足||1,||2a b ==，且|3|19a b -=，则向量,a b 的夹角为（ ） A.30° B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】将|3|19a b -=两边同时平方，利用数量积的定义，即可求出夹角。
【详解】解：|3|a b -=222(3)9619a b a a b b ∴-=-⋅+=即912cos ,419a b -+=，解得1cos ,2a b =-，向量,a b 的夹角为120°， 故选：C 。
【点睛】本题考查已知向量的模求夹角，属于基础题． 4．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A.向左平移6π个长度单位 B.向右平移6π个长度单位。
C.向左平移12π个长度单位D.向右平移12π个长度单位【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式，将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形为sin(2)6y x π=+，再根据函数图象平移的公式加以计算，即可得到答案． 【详解】解：cos 2sin 2sin(2)3326y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度，即sin 2()sin(2)1236y x x πππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦ 故选：D 。
2020年河南省九年级第三次学业水平测试数学试卷(A)
2020年河南省第三次学业水平测试数学试卷(A)考生须知：1． 本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2． 答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3． 请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.4． 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5． 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一、选择题：（每小题3分，共计30分）1.在实数13,,0,3- ）A ．3-B ．13C ．0D ． 2. 我国是世界上.严重缺水的国家之“. 目前我国年可利用的谈水资源总量为27500亿米.这个数用科学记数法可表示为（ ）A ．1027510⨯B ．1127.510⨯C ．122.7510⨯D ．132.7510⨯3. 下列代数式变形正确的是（ ）A ．221x y x y x y -=--B ．22x y x y -++=- C ．11111xy x y y x⎛⎫÷+=+ ⎪⎝⎭ D ．()222x y x y x y x y --=++ 4. 某村引进了甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1100 kg /亩，方差分别为22141.7.2,433.3s s ==甲乙,则产量稳定，适合推广的品种为( )A.甲、乙均可B.甲C.乙D.无法确定5. 如图是由6个同样大小的正方体提成的几何体,将正方体①移走后,所得几何体（ ）A.主视图改变,左视图收变B.俯视图不变，左视图不变C.俯视图改变,左视图改变D.主视图改变,左视图不变6. 不等式组431630x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的为（ ） A ． B ．C.D ． 7. 抛物线245y x x m =++-与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m <-B ．01m <≤C.1m < D ．1m >8. 如图,在Rt ABC ∆中， 90,3,4,A AB AC D ︒∠===为AC 的中点,P 为AB 上的动点，将DP 烧点D 逆时针旋转90︒得到DP ，连接'CP .则线段'CP 的最小值为（ ）A ． 1.6B ．2.4C. 2 D ．9. 如图，矩形ABCD 中,()()()2,0,82,0,2,2A C -，将AB 烧点A 旋转,使点B 落在边CD 上的点E 处，则点E 的坐标为（ ）A ．)2 B ．()2,2C.()1,2 D ．()2 10. 如图，在ABC ∆中，45,2ABC AB BC ︒∠===.在同一平面内将ABC ∆绕点A 旋转到'ABC ∆的位置,使得点C 在''B C 上.其中点B 的运动路径为弧'BB .则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．12π-C. 22π+- D ．22π-+二、填空题:（每题3分，共15分）11.2-= ．12. 如图，直线//m n ,Rt ABC ∆的顶点A 在直线n 上,90C ︒∠=，若125,275︒︒∠=∠=,则B ∠的度数为 ．13. 为迎接理化生实验操作考试，某校成立了物理化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取个 参加，则小华和小强都选取生物小组的概率是 ．14. 如图1.在平面直角坐标系中，直线()102y x m m =-+>与直线2y x =交于点A ,与x 轴 交于点,B O 为坐标原点，点C 在线段OB 上，且不与点B 重合，过点C 作重直于x 轴的直线，交直线AB 于点D ,将ABCD 以CD 为对称轴翻折.得到CDE ∆.设点C 的坐标为(),,0x CDE ∆与AOB ∆重叠部分的面积为,S S 关于x 的函数图象如图2所示，则m = ．15. 如图,矩形ABCD 中,3,5AB AD ==,点E 为射线BA 上一个动点,连接CE ,以CE 为对称轴折叠BCE ∆,得到FCE ∆,点B 的对应点为点F ，当点F 落在直线AD 上时,BE 的长为 ．三.解答题：（本大题共8个小题，满分75分）16.先化简，再求值()()()()25322253a a a a b a b a b +-+-+÷-，其中13,2a b ==- 17.某校为了了解八年级学生的课外阅读情况，随机抽查部分学生,并对其4月份的课外阅读量进行统计分析绘制成如图所示的统计图(数据不完整).根据图示信息，解答下列问题;()1本次被抽查的学生共有 人:()2a = ,b =_____ 将条形统计图补充完整;()3课外阅读量的众数是______本 ;()4若规定:4月份阅读3本以上(含3本)课外书籍者为完成阅读任务.据此估计该校八年级800名学生中完成4月份课外阅读任务的约有多少人?18.如图，点C 是以AB 为直径的O 上一个动点,CD 为O 的切线,并交AB 延长线于点D ,作//AM CD 交O 于点M ,连接,.BM OC()1求证://.OC MB()2若8AB =,填空:① 连接,OM BC ,当BD = 时，四边形MOCB 为菱形;② 当BD = 时,.MA MB =19.周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，AD 是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部D 处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙3m 的B 处，当他到达C 处时，妈妈看向他的仰角为30︒，当他到达墙顶A 处时，妈妈看向他的仰角为75︒(小岚妈妈的身高均忽略不计) ,此时攀岩教练开始释放手中的绳子，使小岚以1.5 /m s 的速度下落到C 处，再减速下落到地面，则他从A 处下落到C 处需要多长时间? (结果保留整数,参考数据:750.97,750.26, 75 1.73sin cos tan ︒︒︒≈≈≈≈)20.如图，过点()1,3A 作//AB x 轴、交反比例的数k y x=()0x >的图象于点B ，连接OA ,以A 为顶点,OA 为直角边作等腰直角三角形OAC .点C 恰好落在反比例函数图象上。
精品解析：河北省2020年9月普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
A. 2
B. 2
8. 若两个单位向量 a, b 互相垂直，则 a b （
1 C.
2 ）．
D. 1
D. 1 2
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
9. 下列函数中，在 0, 上是增函数的是（ ）．
A. y ex
B. y x3
C. y ln 1 x
D. y sin x
10. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 是 CC1 的中点，则异面直线 A1E 是 AD1 所成角的余弦值等于（ ）．
故选：A.
4. 若角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴，且终边经过点 P 12,5 ，则 sin （ ）．
12
A.
13
5
B.
13
C. 12 13
D. 5 13
【答案】B
【解析】 【分析】 根据任意角的三角函数的定义，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】因为角 终边经过点 P 12,5 ，
0.100
0.075
0.075
A. 108
B. 108.5
C. 109
D. 109.5
30. 为了解全年级 1180 名学生的数学成绩分布情况，在一次数学调研测试后，某教师随机抽取了 80 份试卷并对试
卷得分(满分：150 分)进行了整理，得到如下频率分布表：
分 60, 70 70,80 80,90 90,100 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150
B. x kπ π ， k Z 3
C. x 2kπ π ， k Z 6
D.
x
kπ
π 6
，
k
THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题(含解析)
THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)证明：MC BD ⊥；(2)若SA AD ⊥，2SA =，点1010，求SP SC ．21．已知椭圆222:1(6x y C b +=上的一点满足MF MF ⋅=参考答案：【详解】中点，连接,AE BE ，,,AB BC BD ABC ABD =∠=∠，≌ABD △，AC AD ∴=，AE ∴π,3BD DBC ∠=，BCD ∴△是边长为,26CD BE =，故选：C 8．DGGB选项A ，函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故GGB故选：BCD.12．ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线距离为定值，即可判断A；∠的平分线根据椭圆的对称性，AOB【详解】AI ：如图，作OM AB⊥于M，则点AB斜率不存在时，设直线AB设2AB a =，高PO h =，则2OD a =,在Rt MOD 中，所以正四棱锥的体积13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--，故当0V '<，函数V 单调递减，因为2SA =，则()0,0,0A 、(S 设平面AMC 的法向量为(m x =则222020m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取设()(2,22,22SP SC λλ==-=()(f x>恒成立．即2a-e<-时，不等式()0。
湖北省武汉市江岸区2020届上学期九年级9月月考数学试卷含解析
武汉市江岸区2019-2020学年上学期九年级9月月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣4＝0B．6x2+2＝6x2﹣xC．﹣3x+2＝0D．x2+2xy﹣3y2＝02．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3B．﹣3C．2D．﹣23．（3分）某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2＝64B．25（1﹣x）2＝64C．64（1+x）2＝25D．64（1﹣x）2＝254．（3分）要得到二次函数y＝﹣x2+2x﹣2的图象，需将y＝﹣x2的图象（）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位5．（3分）对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3的说法错误的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）C．抛物线的对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而增大6．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．127．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠58．（3分）8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信．A．10B．11C．12D．139．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3D．y的最小值是﹣410．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n两点，以A n B n 表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．12．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD 是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．13．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．14．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为．15．（3分）已知a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，则的值是．16．（3分）已知二次函数y＝（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2（用合适的方法）（2）3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）18．（8分）将二次函数一般式：y＝x2﹣6x+21用配方法化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并指出其对称轴，顶点坐标，增减性．19．（8分）已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：（1）x1x22+x12x2（2）（x1﹣x2）220．（8分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．22．（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S 平方米，且x＜y．（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围：（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？23．（10分）已知：如图，正方形ABCD，点E是DC边上的一动点，过点C作AE的垂线交AE延长线于点F，过D作DH⊥CF，垂足为H，点O是AC中点，连HO．（1）如图1，当∠CAE＝∠DAE时，证明：AE＝2CF；（2）如图2，当点E在DC上运动时，线段AF与线段HO之间是否存在确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；（3）当E为DC中点时，AC＝2，直接写出AF的长．24．（12分）如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．2019-2020学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣4＝0B．6x2+2＝6x2﹣xC．﹣3x+2＝0D．x2+2xy﹣3y2＝0【解答】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B、由原方程得到x+2＝0，未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；C、该方程中未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；D、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误；故选：A．2．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴x1•x2＝＝﹣3．故选：B．3．（3分）某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2＝64B．25（1﹣x）2＝64C．64（1+x）2＝25D．64（1﹣x）2＝25【解答】解：设每月的平均增长率为x，依题意得：25（1+x）2＝64．故选：A．4．（3分）要得到二次函数y＝﹣x2+2x﹣2的图象，需将y＝﹣x2的图象（）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线．故选：D．5．（3分）对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3的说法错误的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）C．抛物线的对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而增大【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2﹣3中a＝﹣＜0，开口向下，顶点坐标为（1，﹣3），对称轴为x＝1，当x＞1时，y随着x的增大而减小．故选：D．6．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．12【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0∴x1＝4，x2＝2，由三角形的三边关系可得：腰长是4，底边是2，所以周长是：4+4+2＝10．故选：B．7．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5【解答】解：分类讨论：①当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．8．（3分）8月23号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，小希给（）个同学发了短信．A．10B．11C．12D．13【解答】解：设小希给x个同学发了短信，依题意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝﹣13，x2＝12．故选：C．9．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3D．y的最小值是﹣4【解答】解：y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．又y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x＝﹣1．A、无法确定点A、B离对称轴x＝﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；B、无法确定点A、B离对称轴x＝﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．故选：D．10．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n两点，以A n B n 表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（）A．B．C．D．【解答】解：当y＝0时，x2﹣x+＝0，（x﹣）（x﹣）＝0，解得x1＝，x2＝，∴A n，B n两点为（，0），（，0），∴A n B n＝﹣，∴A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1，则当m＝1或2时，它为正比例函数；当m＝1或2时，它为一次函数；当m m≠1且m≠2时，它为二次函数．【解答】解：m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数；故答案为：1或2；1或2；m≠1且m≠212．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD 是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点，当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝1+，x2＝1﹣，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．故答案为（1+，2）或（1﹣，2）．13．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≥﹣，且k≠0．【解答】解：∵a＝k，b＝2（k+1），c＝k﹣1，∴△＝4（k+1）2﹣4×k×（k﹣1）＝3k+1≥0，解得：k≥﹣，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．故本题答案为：k≥﹣，且k≠0．14．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3．【解答】解：B（2，y2），C（5，y3），在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵2＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，A（﹣1，y1）中，与D（3，y）对称，可得y1＞y3，故y2＞y1＞y3，故答案是：y2＞y1＞y3．15．（3分）已知a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，则的值是﹣．【解答】解：由已知可得：a、b为方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，∴a+b＝6，ab＝﹣5．∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．16．（3分）已知二次函数y＝（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝．【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1），设x＝2a①，y＝a﹣1②，①﹣②×2，消去a得，x﹣2y＝2，即y＝x﹣1．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2（用合适的方法）（2）3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）【解答】解：（1）（x﹣2）2＝（2x+3）2，（x﹣2）＝±（2x+3），x﹣2＝﹣（2x+3）或x﹣2＝2x+3，解得x1＝﹣，x2＝﹣5；（2）3x2﹣4x+2＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，x＝，x1＝，x2＝．18．（8分）将二次函数一般式：y＝x2﹣6x+21用配方法化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k的形式，并指出其对称轴，顶点坐标，增减性．【解答】解：y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，则该函数的对称轴是直线x＝6，顶点坐标为（6，3），当x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y 随x的增大而增大．19．（8分）已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：（1）x1x22+x12x2（2）（x1﹣x2）2【解答】解：x1+x2＝，x1x2＝，（1）原式＝x1x2（x1+x2）＝×＝；（2）原式＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝．20．（8分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？【解答】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0）求得：a＝．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），令x＝0，则y＝＝2.25．故水管长为2.25m．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．【解答】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）＝4k2+4k+1﹣16k+12＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，∵（2k﹣3）2≥0，∴△＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，而AB2+BC2＝AC2＝（）2，∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0，∴k的值为2，∴AB+BC＝5，∴矩形ABCD的周长为10．22．（10分）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S 平方米，且x＜y．（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围：（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？【解答】解：（1）y＝﹣2x+44，自变量x的取值范围5≤x＜；（2）S＝﹣2x2+44x，﹣2x2+44x＝192解得x1＝6，x2＝16，∵x2＝16＞∴不合题意，舍去．∴AD长6米，AB长32米．23．（10分）已知：如图，正方形ABCD，点E是DC边上的一动点，过点C作AE的垂线交AE延长线于点F，过D作DH⊥CF，垂足为H，点O是AC中点，连HO．（1）如图1，当∠CAE＝∠DAE时，证明：AE＝2CF；（2）如图2，当点E在DC上运动时，线段AF与线段HO之间是否存在确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；（3）当E为DC中点时，AC＝2，直接写出AF的长．【解答】（1）证明：如图1，延长AD、CH交于M，∵AF⊥CF，∴∠AFC＝∠AFM＝90°，∵∠DAE＝∠CAE，AF＝AF，∴△ACF≌△AMF（ASA），∴CF＝FM，∴CM＝2CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠CDM＝90°，∵∠ADE＝∠EFC＝90°，∠AED＝∠CEF，∴∠ECF＝∠EAD，∴△ADE≌△CDM（ASA），（2）解：AF＝OH，理由是：如图2，过O作ON⊥DH于N，OM⊥CH于M，连接OD，∴∠OMH＝∠ONH＝∠MHN＝90°，∴四边形MONH为矩形，∴∠MON＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠MOC＝∠DON，∵∠OMC＝∠OND＝90°，∴△OMC≌△OND（AAS），∴OM＝ON，∴矩形MONH是正方形，∴OH＝OM，△ACF中，∵OA＝OC，OM∥AF，∴CM＝FM，∴AF＝2OM，∴＝，即AF＝OH；（3）∵∠ADE＝∠EFC＝90°，∠AED＝∠CEF，∴△ADE∽△CFE，∴＝＝2，∵四边形ABCD是正方形，且AC＝2，∴AD＝CD＝2，∵E是CD的中点，由勾股定理得：AE＝＝＝，设EF＝x，则CF＝2x，∴CE＝x＝1，x＝，∴EF＝，∴AF＝+＝；故答案为：．24．（12分）如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）由抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5得，顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0＝a（1+2）2﹣5，解得a＝；（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB＝MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，∴顶点M的坐标为（4，5），（也可以用中点坐标公式）抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3的表达式为y＝（x﹣4）2+5；（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴EF＝AB＝2BH＝6，∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（﹣2，0），K坐标为（m，﹣5），∵顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），根据勾股定理得：PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，NF2＝52+32＝34，①当∠PNF＝90°时，PN2+NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）．②当∠PFN＝90°时，PF2+NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）．③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90°综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．。
2024-2025学年清华大学附属中学九年级上学期9月月考数学试题及答案
2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（ ）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°3. 已知30m +< ） A. 33m m −<<−<B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A 1k <B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠5. 正六边形的外角和是（ ） A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A 35.2510×B. 45.2510×C. .41510×D. 41.0510×7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（ ）..A. 1B.23C.32D. 28. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌． 给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二．填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 10. 因式分解：3269x x x ++=____________． 11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下： 稻穗长度 5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.5 6.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥稻穗个数5816147根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BEEC的值为________．15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号AB CD E修复时间（分钟） 15 8 29 710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D BE A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()112024π12−−−−+18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+−−<．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭，其中5x =．20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B −， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a ．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H ；b ．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p ；c ．运动员该次试跳的得分A ＝难度系数H ×完成分p ×3． 在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分7.58.54.09.08.08.57.0（1）甲运动员这次试跳完成分P 甲＝ ， 得分A 甲＝ ； （直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P 甲'，那么与（1）中所得的P 甲比较，判断P 甲' P 甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P 乙至少要达到多少分．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表的a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t 0 3 6m10 12 14 16 18 20 22 24 26 …T 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()222y x m x m =−++的对称轴为直线x t =． （1）求t 值（用含m 的代数式表示）；（2）点()1,A t y −，()2,B t y ，()31,C t y +在该抛物线上．若抛物线与x 轴一个交点为()0,0x ，其中002x <<，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27. 在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是BC 中点，点E 是线段BC 上一点，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF ，连接EF ．的的（1）如图1，当点E 与点D 重合时，线段EF ，AC 交于点G ，求证：点G 是EF 的中点；（2）如图2，当点E 在线段BD 上时（不与点B ，D 重合），若点H 是EF 的中点，作射线DH 交AC 于点M ，补全图形，直接写出AMD ∠的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段a ，给出如下定义：直线11:3l y x b =+经过线段a 的一个端点，直线22:4l y x b =−+经过线段a 的另一个端点，若直线1l 与2l 交于点P ，且点P 不在线段a 上，则称点P 为线段a 的“双线关联点”．（1）已知，线段a 的两个端点分别为()0,2−和()0,5，则在点()()123413,3,1,1,,2,1,222P P P P−−，中，线段a 的“双线关联点”是___________： （2）()()12,,3,A m y B m y +是直线23y x =上的两个动点． ①点P 是线段AB 的“双线关联点”，其纵坐标为3，直接写出点P 的横坐标___________；②正方形CDEF 的四个顶点的坐标分别为()()()(),,,,3,,3,C t t D t t E t t F t t −−，其中0t >．若所有线段AB 的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形CDEF 的边上，直接写出t 的取值范围___________．2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【详解】解：选项A 、B 、C 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D ．2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（ ）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．先由对顶角性质求得35AOC ∠=°，再根据角平分线的定义求出AOE ∠，再根据邻补角之和为180°计算，即可得到答案．【详解】解：∵35AOC BOD ∠=∠=°， 又∵OC 平分AOE ∠， 270AOE AOC ∴∠=∠=°， 180110BOE AOE ∴∠=°−∠=°，故选：C ．3. 已知30m +<，则下列结论正确是（ ） A. 33m m −<<−< B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵30m +<， ∴3m <−， ∴3m −>， ∴33m m <−<<−，∴A ，B ，C 不符合题意；D 符合题意； 故选：D4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 1k < B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠【答案】D 【解析】【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式． 【详解】解： 关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，∴()2Δ64936360k k =−−××=−≥，0k ≠，解得：1k ≤，且0k ≠ 故选：D ．的5. 正六边形的外角和是（ ） A. 720° B. 540° C. 360° D. 180°【答案】C 【解析】【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 【详解】解：六边形的外角和是360°． 故选：C ．【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A. 35.2510× B. 45.2510× C. .41510× D. 41.0510×【答案】D 【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：45250210500 1.0510×==×． 故选：D ．7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（ ）A. 1B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明AFE DCE ∽ 是解题的关键．由菱形的性质得AB DC ∥，3AB DC ==，可证明AFE DCE ∽ ，则12AF AE DC ED ==，求得3122AF DC ==，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，3AB =，∴AB DC ∥，3AB DC ==，∵点F 在直线AB 上，∴AF DC ∥，∴AFE DCE ∽ ， ∴12AF AE DC ED ==， ∴1322AF DC ==． 故选：C ．8. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌． 给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得BAE CED ∠=∠，AE ED =，BE CD =，结合90B BCD ∠=∠=°，求出90AED ∠=°，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明FEC AEB ∽，得出EF CF AE AB=，即可判断③，从而得解． 【详解】解：ABE ECD ≌，BAE CED ∴∠=∠，AE ED =，BE CD =，90B BCD ∠=∠=° ，90AEB CED AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠=°，()18090AED AEB CED ∴∠=°−∠+∠=°，AE DE ∴⊥，故①正确，符合题意；AB BE AE +> ，且BE CD =，AB CD AE ∴+>，故②正确，符合题意；AE ED = ，90AED ∠=°，AD ∴=，AE AD ∴， 90FCE B ∠=∠=° ，FEC AEB ∠=∠，FEC AEB ∴ ∽，EF CF AE AB∴=，AB EF AD CF ∴⋅=⋅，EF AD CF ⋅=⋅，故③正确，符合题意；故选：D ．二．填空题（本题共162分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 【答案】5x ≠【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可． 【详解】解：∵代数式15x −有意义， ∴50x −≠，解得：5x ≠，故答案为：5x ≠．10. 因式分解：3269x x x ++=____________．【答案】()23x x +【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：3269x x x ++()269x x x =++()23x x +．故答案为：()23x x +．11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 【答案】3x =【解析】【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：1203x x −=+， 去分母得：320x x +−=，移项，合并同类项得：3x −=−，系数化为1得：3x =，检验：把3x =代入()()3333180x x +=×+=≠， ∴3x =是原方程的解，故答案为：3x =．12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．【答案】2k >【解析】【分析】根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】解： 一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，且12y y <，∴一次函数()21y k x =−+的图像y 随x 的增大而增大，20k ∴−>，2k ∴>，故答案为：2k >．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，掌握k 的正负性与一次函数y kx b =+的增减性之间的关系是解题的关键．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下： 稻穗长度5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.56.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥ 稻穗个数 5 8 16 14 7根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．【答案】1.8【解析】【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在5.5 6.5x ≤<范围内的所占比，即可解题．【详解】解：由题知，16143 1.850+×=（万棵）， 故答案：1.8．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BE EC的值为________．【答案】73##123【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，BE AF CE DF=，从而可得答案． 【详解】解：∵AB EF CD ∥∥，5AO =，2OF =，3FD =，为52733BE AF CE DF +∴===， 故答案为：73． 15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）【答案】14【解析】【分析】根据题意可得ABC DBE ∽△△，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．【详解】解：∵DE CE ⊥，A C C E ⊥， ∴90C E ∠=∠=°，根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：ABC DBE ∠=∠，∴ABC DBE ∽△△， ∴DE BE AC BC =，即1.6 2.421AC =， 解得：14AC =，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．【答案】 ①. ① ②. 1010【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：574831021529156×+×+×+×+=分钟，②总停产时间：574153292108210×+×+×+×+=分钟，③总停产时间：529415310287258×+×+×+×+=分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，7514936223101×+×+×+×+=分钟，101101010×=（元）故答案为：1010．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()1012024π12− −−−+【答案】2−【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．【详解】解：()1012024π12− −−−+112=+−−+2−．18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+ −−<． 【答案】3x ≤<-2【解析】【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可．【详解】解：()21581252x x x x +≤+ −−<①②， 解①得：2x ≥−，解②得：3x <，∴3x ≤<-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-÷ ⎪--⎝⎭，其中5x =． 【答案】3x x −，52【解析】【分析】先进行通分，和因式分解，再应用分数的除法法则，将5x =代入，即可求解，本题考查了，分式的华计件求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭ ()()2312111x x x x x x −− =−÷ −−−()()21313x x x x x −−×−− 3x x =−， 当5x =时，553532xx ==−−． 20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO=∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 【答案】（1）见解析 （2）DE =【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=°，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=°可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】证明： 四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=°， AD EO = ，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=° ，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=°，120BCD ∠=°，∴18060ABC BCD ∠=°−∠=°，∴ABC 等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，是∴122AO OC AC ===，∴BO ， ∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=°，∴DE =．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，由题意可得()1180244425101444120x x ++×=++×+． 解得6x =∴1272x =，答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()()3,5,2,0A B −， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x −+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B −，代入函数解析式得，3520k b k b += −+= ，解得12k b = =， ∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x −+>+，的即24nx−<，又2x<，∴22 4n−≥，解得：10n≥，∴n的取值范围为10n≥．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判1#2#3#4#5#6#7#3.5 打分7.5 8.54.0 9.0 8.0 8.5 7.0（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝，得分A甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲'P甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．【答案】（1）8.0，84；（2）<；（3）9.0分【解析】【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可；（2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案；（3）列方程求解即可．【小问1详解】解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5，平均数=7.58.08.58.03++=，∴完成分P 甲＝8.0；得分A 甲＝3.58.0384××=， 故答案为：8.0，84； 【小问2详解】 P 甲'=7.58.5 4.09.08.08.57.07.57++++++=，∵7.5<8.0， ∴P 甲'<P 甲， 故答案为<； 【小问3详解】由题意得3.638413.1P ××+乙， 解得971108P =乙， ∴这一跳乙的完成分P 乙至少要达到9.0分．【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）152OA = 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出OAB OBA ∠=∠，再根据余角和对顶角的性质可得DEB DBE ∠=∠，即可证明DB DE =．（2）连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，根据等腰三角形的性质可得90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°，根据E 是AB 的中点，12AB =，5BD =，得出6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==，勾股定理可得4DF =，即4sin 5DF DEF DE ∠==，再根据余角和对顶角可得DEF CEA AOE ∠=∠=∠，得4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==，即可求出152OA =． 【小问1详解】 证明：∵OA OB =， ∴OAB OBA ∠=∠， 又∵EC OA ⊥，BD OB ⊥，∴OAB CEA OBA DBE ∠+∠=∠+∠， ∴CEA DBE ∠=∠， 又∵CEA DEB ∠=∠， ∴DEB DBE ∠=∠， ∴DB DE =． 【小问2详解】解：连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，如图：∵OA OB =，E 是AB 的中点，DB DE =， ∴90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°， ∵E 是AB 的中点，12AB =，5BD =， ∴6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==， ∵5BD =，90DFB ∠=°，∴4DF ==，∴4sin 5DF DEF DE ∠==， ∵CEA DEB ∠=∠，90CEA OAE OAE AOE ∠+∠=∠+∠=°， ∴DEF CEA AOE ∠=∠=∠，∴4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==， ∵6AE =，∴645AO =， 解得：152OA =．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水． 【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能 【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5−=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃， ∴()10610080m −−， ∴8m =． 【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：。
2020届清华中学生标准学术能力(9月)数学(理)试题(解析版)
2020届清华中学生标准学术能力（9月）数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|2},{|15}A x x B x x =≥=≤≤，则集合()⋂=U C A B （）A.{|12}x x <<B.{|12}x x ≤≤C.{|12}x x <≤D.{|12}x x ≤<【答案】D【解析】求出U C A 后可得其与B 的交集. 【详解】{}|2U C A x x =<，(){}|12U C A B x x ⋂=≤<，故选D.【点睛】本题考查集合的交和补，属于基础题. 2．己知i 为虚数单位，12zi i=-，则复数z 的模为（）C.3D.5【答案】B【解析】利用复数的乘法计算出z 后可计算其模. 【详解】()122z i i i =-=+，故z = B.【点睛】本题考查复数的乘法及复数的模，属于基础题.3．己知函数()f x 满足(2)1f =，设()00f x y =，则“01y =”是“02x =”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用充分条件和必要条件的定义可判断“01y =”与“02x =”的关系. 【详解】若02x =，则()()0021y f x f ===，故“01y =”是“02x =”的必要条件，故“01y =”推不出“02x =”，故“01y =”是“02x =”的不充分条件， 综上，“01y =”是“02x =”的必要不充分条件.故选B. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4．双曲线22(0,0)y x n m n m-=><的离心率（）A.与m 有关，且与n 有关B.与m 无关，但与n 有关C.与m 有关，但与n 无关D.与m 无关，且与n 无关【答案】C【解析】把方程化成双曲线的标准方程，求出离心率后可得正确的选项. 【详解】双曲线22(0,0)y x n m n m -=><的标准方程为221x y n mn-=--，它的焦点在x 轴上，离心率e==n 无关，与m 有关， 故选C. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及离心率的计算，属于基础题. 5．已知42(,0)x y x y +=>，则21x y+的最小值为（）A.4B.6C.2+D.3+【答案】D【解析】利用基本不等式可求21x y+的最小值.【详解】2112118x y ⎛⎫⎛⎫因为,x y 都是正数，由基本不等式可以得到8x y y x+≥，所以213x y +≥+当且仅当x =即22,2x y ==时等号成立，故21x y +的最小值为3+故选D. 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.6．己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A.1()sin 1x x e f x x e -=⋅+B.1()sin 1xxe f x x e -=⋅+ C.1()cos 1x x e f x x e -=⋅+D.1()cos 1xxe f x x e-=⋅+ 【答案】A【解析】先根据函数的图像关于y 轴对称可得()f x 为偶函数，故排除CD ，再根据在()0,π内恒为正可得正确选项.【详解】因为()f x 的图像关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，对于C ，()()11()cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e -----=⋅-=-=-++，故该函数为奇函数，不符合，故C 错；同理D 错.对于A ，令()()()()111sin sin sin 111x x x x x x e e e x x x f x e e f x e -----⋅-=--=⋅=⎡⎤⎣⎦+++-=， 故()f x 为偶函数，当0x >时，令()0f x >，则()2,2,x k k k N πππ∈+∈，对于D ，同理可判断()f x 为偶函数，当0x >时，令()0f x >，则()*2,2,x k k k N πππ∈-∈，这与图像不符合.综上，选A. 【点睛】本题为图像识别题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从函数的图像中得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值的正负等性质，从而选出正确的函数．7．将函数2()22cos f x x x =-图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度，则所得函数图像的一个对称中心为（） A.(2,1)π- B.(2,1)π--C.(2,0)π-D.(2,0)π【答案】A【解析】先把()f x 化成()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据图像变换得到变换后的函数解析式，利用正弦函数的性质可求对称中心. 【详解】2()22cos 2cos 22sin 1612f x x x x x x π=-=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-，图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不受），再向右平移4π个单位长度， 所得图像的解析式为()222sin 12sin 134633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令2,33x k k Z ππ-=∈，故3,2k x k Z ππ+=∈， 故对称中心3,1,2k k Z ππ+⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当1k =时，对称中心为()2,1π-， 故选A. 【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π.求三角函数图像的对称轴、对称中心，应该利用正弦函数、余弦函数的性质来处理. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.23B.43C.83D.163【答案】C【解析】根据三视图可得复原后的几何体（如图所示），根据公式可计算其体积. 【详解】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又2ABCD S ==矩形，P 到底面ABCD ，故1833V =⨯=，故选C.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．如果复原几何体比较困难，那么可根据常见几何体（如正方体、圆柱、球等）的切割来考虑. 9．设函数()cos ,()2cos(0)xf x xg x t t ππ==⋅-≠，若存在,[0,1]m n ∈，使得()()f m g n =成立，则实数t 的取值范围是（）A.13,00,22⎡⎤⎛⎤-⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦ B.13,00,24⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C.13,00,42⎡⎤⎛⎤-⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D.13,00,44⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】先求出两个函数的值域，利用两个函数的值域的交集非空求实数t 的取值范围. 【详解】因为存在,[0,1]m n ∈，使得()()f m g n =成立， 所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集.又当[]0,1x ∈时，0x ππ≤≤，所以1cos 1x π-≤≤即()f x 的值域为[]1,1-， 若0t >，则()g x 的值域为11,222t t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 考虑()f x 的值域与()g x 的值域交集是空集，则0112t t >⎧⎪⎨->⎪⎩ 或01212t t >⎧⎪⎨-<-⎪⎩， 故32t >，所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集时302t <≤.若0t <，则()g x 的值域为112,22t t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 考虑()f x 的值域与()g x 的值域交集是空集，则01212t t <⎧⎪⎨->⎪⎩ 或0112t t <⎧⎪⎨-<-⎪⎩， 故12t <-，所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集时102t -≤<. 综上，102t -≤<或302t <≤，故选A.【点睛】函数中的存在性问题，需要结合题设条件进行合理转化，比如存在,m n D ∈，使得()()f m g n =，则需转化为在D 上()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集，又如对任意m D ∈，总存在n D ∈，使得()()f m g n =，则指D 上()f x 的值域是()g x 的值10．设{}n F 是斐波那契数列，则12121,n n n F F F F F --===+.下图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要表示输出斐波那契数列的前30项，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A.15i ≤B.14i ≤C.29i ≤D.30i ≤【答案】B【解析】根据每次循环输出两个值可知只需执行循环体14次即可，从而可得正确的选项. 【详解】输出两项后1i =，输出4项后2i =时，依次类推，总共输出30项后15i =时，应终止循环，故流程图中的判断框内应填写的条件是14i ≤. 故选B. 【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.11．己知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个篮球，从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为1ξ，从乙盒中取1个球，记红球的个数为2ξ，从丙盒中取1个球，记红球的个数为3ξ，则下列说法正确的是（）A.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=>B.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ<<=>C.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=<D.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ<<=<【解析】算出随机变量1ξ、2ξ、3ξ的分布列后可求各自的期望与方差，从而可得正确的选项. 【详解】随机变量1ξ可取值0,1，其中()12131032P ξ⨯===，()11211332132P ξ=⨯+⨯==，故()123E ξ=，()1242399D ξ=-=.随机变量2ξ可取值0,1， ()22120311323P ξ=⨯+=⨯=，()22131132P ξ⨯===，故()213E ξ=，()2112399D ξ=-=.随机变量3ξ可取值0,1，当30ξ=时，丙盒中无红球或有一个红球， 无红球的概率为1233⨯，有一个红球的概率为22199⨯+， 故()3122211101339922P ξ⨯⎛⎫==⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭，()3111122P ξ==-=， 故()312E ξ=，()3111244D ξ=-=. 综上，()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=<，故选C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和数学方差的计算，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等），考查运算能力和逻辑思维能力.12．如图，已知等边三角形ABC 中，AB AC =，O 为BC 的中点，动点P 在线段OB 上（不含端点），记APC θ∠=，现将APC ∆沿AP 折起至APC '∆，记异面直线BC '与AP 所成的角为α，则下列一定成立的是（）A.θα>B.θα<C.2πθα+>D.2πθα+<【解析】【详解】 设正三角形的边长为2a ，如图，在等边三角形ABC 中，过C 作AP 的垂线，垂足为E ， 过B 作BF CE ⊥，垂足为F ，因为APC θ∠=，则,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且PD =，故CP a =+，所以)sin sin sin CE CP a a θθθθ⎫=⨯=+⨯=+⎪⎪⎝⎭，2sin CF a θ=，故()sin EF a θθ=-，又2cos BF a θ=.将APC ∆沿AP 折起至APC '∆，则2sin C F C E EF CF a θ''<+==. 因C E AP '⊥，EF AP ⊥，EF C E E '=，故AP ⊥平面C EF '，因BFAP ，故BF ⊥平面C EF '， C F '⊂平面C EF '，所以BF C F '⊥，又C BF '∠为异面直线BC '、AP 所成的角， 而2sin tan tan tan 2cos C F a C BF BF a θαθθ''=∠=<=，因,0,2πθα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故θα>， 故选A. 【点睛】折叠过程中空间中角的大小比较，关键是如何把空间角转化为平面角，同时弄清楚在折叠过程各变量之间的关系（可利用解三角形的方法来沟通），此类问题为难题，有一定的综合度.二、填空题13．已知5810a b ==，则31a b+=_______________.【解析】用对数表示,a b 后可求31a b+的值. 【详解】因为5810a b ==，故58log 10,log 10a b ==， 故31lg5,lg8a b ==，所以()313lg5lg8lg 1258lg10003a b+=+=⨯==，故填3. 【点睛】本题考查指数式和对数式的互化以及对数的运算，属于基础题. 14．己知数列{}n a 满足11(2)32,(1)1n n a n n a a n n ++++==+++,数列{}n a 的通项公式为n a =___________.【答案】22313n n ++ 【解析】把11(2)32,(1)1n n a n n a a n n ++++==+++化为()()()()()1212(1)233n n a a n n n n n n +=+++++++，利用累加法和裂项相消法可求通项公式. 【详解】 因为1(2)3(1)1n n a n n a n n ++++=+++，所以1311n n n a a n +++=+， 两边同时除以()()23n n ++得到()()()()()1212(1)233n n a a n n n n n n +=+++++++，整理得到：()()()1112(1)2323n n a a n n n n n n +-=-++++++即()()1112(1)112n n n a a n n n n n --=-+++++，累加得到()1112(1)3322n a a n n n -=-+++⨯即()()21212(1)3232n a n n n n n +=-=++++，所以()()221123+133nn n n n a +++==，其中2n ≥，又1n =时，12a =符合，故数列{}n a 的通项公式为223+13n n n a +=，故填22313n n ++.【点睛】给定数列的递推关系求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下： （1）()1n n a a f n --=，用累加法. （2）11n n n pa a qa p --=+，取倒数变形为111n n q a a p --=，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用公式可求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可求{}n a 的通项公式. （3）()10n n a q p p q a -+≠=，变形为()110,1n n n n n a qpq p p pa p --+≠≠=，利用累加法可求n n a p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，也可以变形为111n n a q p p a q p --⎛⎫= ⎪⎝--⎭-，利用等比数列的通项公式求1n q p a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的通项公式，两种方法都可以得到{}n a 的通项公式. 15．己知边长为2的正方形ABCD ，,E F 分别是边,BC CD 上的两个点，AE AF xAB y AD +=+，若3x y +=，则||EF 的最小值为_____________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，用,x y 表示,E F 的坐标后可求出||EF 的表达式，消元后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】以A 为原点，AB 所在的直线建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,2,2,2A B D C ，设()()2,,,2E m F n()()2,0,0,2AB AD ==，()()2,,,2AE m AF n ==， 由AE AF xAB y AD +=+可得2222n xm y +=⎧⎨+=⎩，故2222n x m y =-⎧⎨=-⎩.(2EF ===进一步化简可得8EF x ==当32x =时，EF 有最小值且为.【点睛】平面向量中向量的模的计算，可以把欲求的向量表示为题设中给出的基底向量的线性表示，利用基地向量的模和夹角来计算，也可以根据图形建立合适的平面直角坐标系，将模的计算归结为向量坐标的计算.16．已知椭圆22:15x C y +=，过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于M 点，且点B 在线段FM 上，则MB MABF AF-=______________. 【答案】10-【解析】设:2AB y kx k =-，()()1122,,,A x y B x y ，可用,A B 的横坐标坐标表示MB MA BF AF -，联立直线AB 的方程和椭圆的方程后消去y ，利用韦达定理化简MB MA BFAF-可得所求的值.【详解】设:2AB y kx k =-，()()1122,,,A x y B x y ， 则21121221121222222422MB MA x x x x x x BF AF x x x x x x +--=-=----+， 由22255y kx k x y =-⎧⎨+=⎩可得()22221+5202050k x k x k -+-=， 所以222222222222220205224040101515102020520440205421515k k MB MA k k k k k k BF AFk k k k k -⨯-⨯-+++-===--+-+--⨯+++， 故填10-.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.三、解答题17．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且cos sin 222A A -=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当)a A C =+=，求c 的值. 【答案】（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）4c =【解析】（Ⅰ）对等式cossin 22A A -=1sin 2A =，结合角A 是三角形的内角和cos sin 222A A -=，可以确定角A 的取值范围，最后求出角A ；（Ⅱ）由三角形内角和定理和sin()14C A +=，可以求出sin 14B =，运用正弦定理，可以求出b =c 的值.【详解】（Ⅰ）由sin cos 222A A -=得21cos sin 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112sin cos 222A A -=，1sin 2A =， 又0A π<<，cossin 022A A ->，cos sin sin 2222A A A π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，222A A π->，2A π<，所以6A π=.（Ⅱ）由sin()14C A +=，得sin 14B =，由正弦定理：sin sin a b A B=，得b = 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得2733c c =+-，4c =或1c =-（舍去）， 所以4c =. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查了数学运算能力. 18．如图，在四楼锥P ABCD -中，BC ⊥面PCD ，CDAB ，22,AB CD BC PC PD AB ====⊥.（1）求PD 的长.（2）求直线AD 与面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）1PD =（2）3【解析】（1）可证PD ⊥平面ABCD ，从而得到PD DC ⊥后可计算PD 的长.（2）在直角梯形中可计算出AD =，再利用等积法求出D 到平面PAB 的距离（可转化C 到平面PAB 的距离），从而可得线面角的正弦值. 【详解】 解：（1）BC ⊥平面PCD ，BC PD ∴⊥，又,PD AB AB BC B ⊥⋂=，PD ∴⊥平面ABCD ，,PD DC PDC ∴⊥∴∆是直角三角形，由已知1PC CD ==，1PD ∴=.（2）解法1：BC ⊥平面PCD ，,BC CD BC PC ∴⊥⊥，如图，在直角梯形ABCD 中，过D 作DE AB ⊥，交AB 于E .故1DE BC AE ===，所以AD =设D 到平面PAB 的距离为d ，直线AD 与平面PAB 所成的角为θ 则sind AD θ==. AB CD ∥，CD ⊄面PAB ，AB Ì面PAB ，CD ∴平面PAB ，∴C 到平面PAB 的距离也为d .在三棱锥B PAC -中，C P A ABC P B V V --=，PD ⊥平面ABCD ，,2PD AD PA ∴⊥∴=.又,2BC PC BC PC PB ==⊥∴=，111123323p ABC ABC V PD S -∴=⨯=⨯⨯⨯=133C PAB PAB V dS d -∆==，sin 3d d AD θ∴=∴=== 即直线AD 与面PAB所成角的正弦值为3. 解法2：由（1）知PD ⊥平面ABCD ，过D 作DE AB ⊥于E ，则PD DE ⊥， 如图以D 为原点，,,DC DP DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,0,(1,0,(0,1,0)C A B P -，则(2,0,0),(1,1,2),(1,0,AB AP DA ===- 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则由00AB n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得00x x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1z =.可得(0,2,1)n =-. 设直线AD 与面PAB 所成角为θ. 则2sin |3||||n DA n DA θ⋅==，即直线AD 与面PAB 所成角的正弦值为3【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.线面角的计算，可以利用空间向量计算直线的方向向量和平面的法向量的夹角，也可以利用斜线段的长和斜线段的端点到平面的距离来计算，后者可用等积法来计算. 19．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232n c c c ++⋯+<. 【答案】（1）2nn a t =（2）详见解析【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项. （2）由{}n b 为等比数列可得13t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证1232n c c c ++⋯+<. 【详解】（1）由题意，得：()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）， 当1n =时，得()1121tS a t =--，得12a t =. 由()()11212(2)1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩，故()111n n n n n tS S a a a t ---==--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111nn n n t t b S t t t t =-=--=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又22312312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故()()()2223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =，所以13t =或0t =（舍）.所以，12,33nn n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则3212log 333nn n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333nn nT =++⋯+ 23112423333n n nT +=++⋯+，相减可得 1232332232n n n n T c c c +=+++=-<⋅ 【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 20．设函数()x exf x e=，若存在()()12f x f x t ==（其中12x x <） （1）求实数t 的取值范围， （2）证明：12122x x x x <+.【答案】（1）01t <<（2）详见解析【解析】（1）先利用导数的符号讨论函数的单调性，根据题设条件可得函数的最大值为正，再分0t ≤和0t >两种情况讨论，前者无两个不同的零点，后者可利用零点存在定理证明函数有两个零点.（2）根据（1）可把要证明的不等式转化为证明212121x x x <<-，根据函数的单调性及()()12f x f x =可把前者转为()22221x x f x f ⎛⎫⎪-⎝⎭<， 构建新函数11()ln 2u u u uϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1u >可证明该不等式.【详解】解：（1）令()x exg x t e =-，则(1)()xe x g x e-'= 1x ∴<时，()0g x '>时；当1x >，()0g x '<，()g x ∴在(,1)-∞递增，(1,)+∞递减，且max ()(1)1g x g t ==-，由题设，()g x 有两个不同的零点，故10t ->即1t <. 若0t ≤，则当1x >时，()0x exg x t e=->，故()g x 在()1,+∞无零点； 而()g x 在(,1)-∞递增，故()g x 在R 上至多有一个零点，故0t ≤不符合；若0t >，则()00g t =-<，2221e ette e t g e t t tt ---⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 考虑()22ln e h t t t =--，因为01t <<，故()22220e e th t t t t-'=-=>， ()h t 为()0,1上的增函数，故()()120h t h e <=-<即0e g t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因()g x 在(,1)-∞递增，(1,)+∞递减，且(1)0g >，结合零点存在定理可知()g x 有两个不同的零点，故01t <<.（2）由（1）知：212201,0121x x x x <<<∴<<-，要证：12122x x x x <+成立，只需证：212121x x x <<-，()f x 在(,1)-∞递增，故只需证：()()221221x f x f x f x ⎛⎫=< ⎪-⎝⎭即证()()2211212212210x x ex ----->.只需证：1120(1)u u eu u ⎛⎫- ⎪⎝⎭->>，即证：11ln 0(1)2u u u u ⎛⎫--<> ⎪⎝⎭. 令2211(1)()ln ()022,u u u u u u u ϕϕ-⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭， ()u ϕ∴在(1,)+∞上单调递减,()(1)0u ϕϕ∴<=.证毕【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易计算.与零点有关的不等式问题，可依据零点的性质及函数的单调性构建新函数来证明.21．如图，己知抛物线24x y =，直线1y kx =+交抛物线于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 分别交地物线于点,C D ，且CDAB .（1）若1k =，求点P 的轨迹方程.（2）若2PC CA =，且PA 平行x 轴，求PAB ∆面积. 【答案】（1）2(11)x y =-<<（2）121【解析】（1）设()()()112200,,,,A x y B x yP x y ，根据向量关系可用,A P 的坐标表示C的坐标，利用C 在抛物线可得P 的坐标满足的方程，同理利用D 在抛物线也可得P 的坐标满足的方程，联立直线方程和抛物线方程结合韦达定理可得P 的横坐标为2.也可以利用,C D 在抛物线上及CD AB k k =得到4C D x x +=，利用P 、AB 的中点、CD 的中点共线得到P 的横坐标为2.（2）根据（1）的相关结果可用k 表示P 的坐标、C 的坐标及AB 中点M 的坐标，根据C 在抛物线上可得k 的值并求出A 的坐标，最后利用公式120012PAB S x x y y ∆=-⋅-可求面积. 【详解】（1）解法1：CD AB Q P ，设()()()112200,,,,,,PD DB A x y B x y P x y λ=， 则()()0011,,,C C C C PC x x y y CA x x y y =--=--，由PC CA λ=可得()01C C x x x x λ-=-，故011C x x x λλ+=+，同理20141C y x y λλ+=+， 故201014,11y x x x C λλλλ⎛⎫+ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 化简得：221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=，同理得：222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=，所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 又由12221241440,44x x k y kx x kx x x x y ⎧+==+⎧⎪⇒--=∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩， 将1k =代入1200244,2x x x k x +===∴=且200124(1)4y x x x λλ+-==-①，将02x =代入①，得044121(0)4(1)11y λλλλλλ--===-+>+++，故0(1,1)y ∈-. 故点P 的轨迹方程为2(11)x y =-<<.解法2：同解法1知124x x +=1,44D c D C CD AB C D D C y y x x k k x x x x -+====∴+=-， 设线段,AB CD 的中点分别为,M N ，易知,,M N P 三点共线，MN MP μ∴=（μ为实数），所以02N M x x x ===. 以下同解法1.（2）由12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，可得：120024,2x x x k x k +==∴=.由（1）得200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC CA =，所以2λ=，故20233k y =-. AC x 轴且,A C 在抛物线上，∴,A C 关于y 轴对称. 0112213C x x k x x λλ++==+，11223k x x +∴=-及125k x =-， 222,533k k C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭且2225k x =. ∵C 在抛物线上,22224533k k ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22511k =. 设AB 的中点为M ，则()2221212212211212424M x x x x x x y k +-⎛⎫+=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭，所以()22001022=13M y y y y k -=-+，而21020111210(1)2253121PAB k S x x y y k ∆=-⋅-=⋅⨯+=. 【点睛】 直线与抛物线的位置关系中的一些长度、面积等计算问题，一般可通过联立直线方程和抛物线方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要计算的目标表示为关于两个交点的横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理可求这个几何量，有时还可根据题设条件构建关于两个交点的横坐标或纵坐标的方程，再利用韦达定理化简目标关系式进而求出几何量的值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程：（2）设曲线C 与直线l 交于点,A B 两点，求AB 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）⎣ 【解析】（1）把极坐标方程的3化为223sin 3cos θθ+，再利用cos ,sin x y ρθρθ==可求曲线C 的直角坐标方程.（2）设,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线的参数方程代入椭圆方程后可得()2223cos 4sin 8sin 80t t ααα++⋅-=，则12,t t 是该方程的两个根，而12AB t t =-，利用韦达定理可得23sin AB α+=，换元后可求其取值范围. 【详解】解：（1）由22123sin ρθ=+，可得()223sin 12ρθ+=， 223412x y +=即曲线C 的直角坐标方程为：22143x y +=. （2）将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入22143x y +=，可得： ()2223cos 4sin 8sin 80t t ααα++⋅-=，()22264sin 323cos 4sin 0ααα∆=++>.设,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则122212228sin 3cos 4sin 83cos 4sin t t t t ααααα-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，12||AB t t =-===，,[1s s =∈，则21||223s AB s s s⎡==∈⎢+⎣+，当s =AB取最大值1s =时，AB. 【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．23．己知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.求证：（1）19abc bc ca ab ≤++ （2）若存在非零实数t .使得不等式|||21||1||23|tx t t t tx t ---≥-++成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）[]3,1--【解析】（1）利用柯西不等式可证原不等式.（2）原不等式有解可化为|21||1||1||23|||t t x x t -+---+≥有解，利用绝对值不等式可求右式的最小值，从而得到|1||23|1x x --+≥，分类讨论后可得x 的取值范围.【详解】（1）证明：1111abc bc ca ab a b c=++++， 而2111111()(111)9a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时，“=”成立， 111119a b c∴≤++，19abc bc ca ab ∴≤++. （2）解：依题意得：存在非零实数t 使不等式|21||1||1||23|||t t x x t -+---+≥成立， |21||1||211|1||||t t t t t t -+--+-≥=，∴只需|1||23|1x x --+≥ 当32x ≤-时，原式1231x x -++≥，.即3332,x x ≥-∴-≤≤- 当312x -<<时，原式1231x x ---≥，即31,12x x ≤-∴-<≤- 当1x ≥时，原式1231x x ---≥，即5,x x ≤-∴∈∅，综上所得，x 的取值范围为[]3,1--.【点睛】不等式的证明常常需要根据不等式的结构特点选取常见不等式（如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等）帮助证明.含参数的不等式有解问题，可参变分离后转化为不含参数的函数的最值问题.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法和利用绝对值的几何意义来处理.。
清华大学2020年9月中学生标准学术能力基础性测试(THUSSAT)数学试卷(A)及答案
EN//PM ∴,即⊥EN 面ABC .作BC NF ⊥于F ,连接EF ,
则EFN ∠就是二面角A BC E −−的平面角.………12分
1122
EN PM =
=,433232360sin =⨯=⋅=
BN NF , (9324)
3321
tan ===∠∴NF EN
252422a a f −=⎪⎭⎫ ⎝⎛,此时()⎪⎭⎫ ⎝⎛<2min 1a f x f ,
此时不符合题意;.………12分
当()∞+∈,a 2时,由a a −≤−14
⎫⎢⎣⎡∈127,0πx 上只有一个根,
.………10分
结合图像可得:0321≤≤−
m ,或13
=m
,.………13分 即实数m 的取值范围是{}3,032m ⎡⎤
∈−⎢⎥⎣⎦
.………15分
17. 解:
(1)取AB 中点M ,连接PM,CM ,
,BC AC AB CM =∴⊥ ,
,PA PB AB PM =∴⊥,.………3分
362sin 23662cos 236=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf .………4分, 共得4分。
(2)因为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈127,0πx ,⎪⎭⎫⎢⎣⎡−∈−πππ,662x ,.………8分 ()()20m
x f x h =
⇒=,即362sin m x =⎪⎭⎫ ⎝⎛−π在⎪⎭
b a ,
.………12分
当0<a 时,⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤≤=a x a x B 24,由B A =,可得:⎪⎩⎪⎨⎧−=−=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==632324