线性代数习题二解答

习 题 二 解 答

1. 两个零和对策问题.两个儿童玩石头--剪刀--布的游戏，每人的出法只能在{石头--剪刀--布}选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势”，也就得出了各自的输赢.若规定胜者得1分，负者得-1分，平手各得零分，则对于各种可能的局势（每一局势得分之和为零即零和），试用赢得矩阵来表示的A 得分.

解

011101110B A

→-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭↓

策略石头剪刀布石头策剪刀略布

删了2. 有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于3；选手2胜选手4，5，6负于1，3；选手3胜选手1，2，4负于5，6；选手4胜选手5，6负于1，2，3；选手5胜选手3，6负于1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.

解 123456

11011120

011131

110040001150010160

0100⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.

2. 某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B .且

357220430123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132021570648B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.

解 357213202043215701230648A B ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

48924191007611⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

3. 设111123111124111051A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，求32AB A -与T

A B .

解 1111231113331111242111111051111AB A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪

-=----- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

21322217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭

058123056124290051T

T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

002123058559124056860051290⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

4. 某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：

234123241A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

甲乙丙方法一

方法二

方法三 若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利

最多.

解 1072844759A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，方法一获利最多.

5. 设12101312A B ⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，问 （1）AB BA =吗？

（2）()2

2

2

2A B A AB B +=++吗？ （3）()()2

2

A B A B A B +-=-吗？

解 （１）AB BA ≠， 因为34124638AB BA ⎛⎫⎛⎫==

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，所以AB BA ≠． （２）()2

2

2

2A B A AB B +≠++

因为 2225A B ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

()2

222281425251429A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

但 2238681010162411812341527A AB B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++=++=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

所以

()

2

222A B A AB B +≠++

（３）()()22A B A B A B +-≠- 因为 22022501A B A B ⎛⎫⎛⎫

+=-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，， ()()220206250109A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+-== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

而 223810284113417A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

， 故

()()22A B A B A B +-≠-

6. 举反例说明下列命题是错误的： （1） 若2

A O =，则A O =； （2）若2A A =，则A O =或A E =； （3）若AX AY =，且A O ≠，则X Y =. 解 （1）取1111A O ⎛⎫=≠

⎪--⎝⎭

，而2

A O =，

（2）取1000A ⎛⎫=

⎪⎝⎭

，有A O A E ≠≠，，而2

A A =， （3）取101010000001A X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

===

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，，，有X Y ≠，而AX AY =.

7. 设101A λ⎛⎫=

⎪⎝⎭

，求23k

A A A ，，，.

解 21010101121A AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

===

⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

；

3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；

由此推出 ()10231k

A k k λ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，

， 下面利用数学归纳法证明这个结论．

当12k k ==，时，结论显然成立． 假设1k -时结论成立，即有 ()1

1

011k A

k λ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭