抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的周期性和对称性
抽象函数是一种数学概念，它是一种无限维的函数，用于描述某种连续变化的关系。
抽象函数可以具有周期性和对称性。
周期性是指函数在一段时间内重复出现的性质。
抽象函数可以具有周期性，这意味着在一个固定的时间段内，函数的值会重复出现。
对称性是指函数的形状是对称的。
抽象函数可以具有对称性，这意味着函数的形状具有对称性，即函数的左半部分与右半部分形状相似。
抽象函数的周期性和对称性可以帮助我们了解函数的性质，并为我们的数学建模和解决问题提供帮助。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数中对称性与周期性问题的做法探究
抽象函数中对称性与周期性问题的做法探究在高考真题中对于函数的考查，是重中之重，对于抽象函数的综合考察，主要体现在各种性质之间结合上。
下面我们重点析对称性和周期性在函数题型中的体现方式。
首先我们先来了解一些对称性和周期性的结论。
一．函数对称性的常见结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称二、函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=例题分析例1.（2016全国II 卷12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m解析：本题根据条件()2()f x f x -=-可以判断此抽象函数f （x ）图象关于（0,1）对称，不妨设()1f x x =+，其图象与函数111x y x x+==+的图象的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.例2.（2018年全国II 卷11）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =， 则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50解析：本题根据条件(1)(1)f x f x -=+可以判断抽象函数f （x ）图象关于x=1对称，不妨设f (x )=sin πx 2，即可得答案C. 例3.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,()f x (,)-∞+∞(2)(2)f x f x -=+(7)(7)f x f x -=+(1)(3)0f f ==()y f x =()f x )(x f y =72==x x 和)(x f y =由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.例4.已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
苏教版必修1精品教学案：第3章14抽象函数的对称性与周期性
江苏省泰兴中学高一数学教学案(36)抽象函数的对称性与周期性班级 姓名知识点梳理一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称。
推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称。
推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称。
总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程推论 3. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+， 又若方程0)(=x f 有n 个根，则此n 个根的和为na 。
定理2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(cb a +对称。
推论 1. 若函数)(x f y =定义域为R ,且满足条件：0)()(=-++x b f x a f 成立，则)(x f y = 的图象关于点)0,2(ba +对称。
推论2.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：0)()(=-++x a f x a f （a 为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称。
总结：x 的系数一个为1，一个为-1，)(x f 整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。
定理3.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象关于直线2ab x -=对称（由x b x a -=+可得）。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(b x f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -=。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. 若)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得： [][])()(a b x f b a x f -+-=-+-∴[][])()(a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x +=。
证：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00 则P 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 的对称点),(00'y x b a P --+‘[][])()()()(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C '∈P【几个重要的结论】（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期与对称轴的相关结论一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题三、具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(b x f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -=。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. 若)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2。
证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得： [][])()(a b x f b a x f -+-=-+-∴[][])()(a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x +=。
证：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00 则P 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 的对称点),(00'y x b a P --+‘[][])()()()(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C '∈P【几个重要的结论】（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性的几个结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性的几个结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.二、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x -=对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称（三）函数的周期性1、()()f x T f x ±=( 0T ≠) ⇔)(x f y =的周期为T ，kT (k Z ∈)也是函数的周期2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x = ()b a >⇔)(x f y = 周期)(2a b T -= 推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2= 11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ()b a > ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -= 推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4= 12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ()b a >⇔()f x 的)(4a b T -=。
抽象函数奇偶性对称性周期性总结 知识点
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数图像的对称性与周期性初探
抽象函数图像的对称性与周期性初探抽象函数f（x），由于不知道其解析式，因而不能画出其图像的全貌，对它的研究成了中学生学习的一个难点.本文介绍有关抽象函数图像对称性与函数周期性的几个定理，帮助同学们提高解决此类函数问题的能力.一、对称性定理1：函数y=f（x）图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.证明：在y=f（x）图像上任取一点，设为P（x，y），则y=f（x）.点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点为P′（2a-x，2b-y）.1.必要性若y=f（x）图像关于点A（a，b）对称，则点P′也在y=f（x）图像上，2b-y=f（2a-x），又y=f（x），f（x）+f（2a-x）=2b成立.由P点的任意性得f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.2.充分性若f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，则f（x）+f（2a-x）=2b，2b-y=f （2a-x），点P′也在y=f（x）图像上.由P点的任意性得y=f（x）图像关于点A对称.说明：f（x）+f（2a-x）=2b有许多等价形式，如f（a+x）+f（a-x）=2b，应用时关键看横坐标之和、纵坐标之和皆为常数.以上证法是证明函数图像对称性的一般方法，以后几个结论可以仿此证明.推论：函数y=f（x）图像关于原点对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0恒成立（即函数为奇函数）.定理2：函数y=f（x）图像关于直线x=a对称的充要条件是f（x）=f（2a-x）恒成立.说明：f（x）=f（2a-x）也有许多等价形式，如f（a+x）=f（a-x），应用时关键看横坐标之和为常数、纵坐标相等.推论：函数y=f（x）图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）恒成立（即函数为偶函数）.例1.如果二次函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有两个实根x、x，那么x+x=（）A. 0B.3C.6D.不能确定解析：f（3+x）=f（3-x），f（x）图像关于直线x=3对称（定理2），f（x）图像与x轴两交点关于直线x=3对称，x+x=6，故选C.例2.设f（x）是定义在R上的函数，F（x）=f（x）-f（a-x），求证：y=F（x）图像关于点（a/2，0）中心对称.解析：仿定理1的证明.在y=F（x）图像上任取一点P（x，F（x）），它关于（a/2，0）的对称点为（a-x，-F（x））.F（a-x）=f（a-x）-f[a-（a-x）]=f（a-x）-f（x）=-F（x），点P′也在y=F（x）图像上.由P点的任意性得结论成立.二、周期性定理3：若函数y=f（x）恒满足下列条件之一，则它是周期函数.|2T|是它的一个周期.（1）f（x+T）=-f（x）；（2）f（x+T）=；（3）f（x+T）=-；（4）f （x+T）=；（5）f（x+T）=，其中T≠0.下面对第四个进行证明，其他类似，请同学们自己完成.（4）证明：f（x+2T）=f[（x+T）+T]===f（x），又T≠0，|2T|是f （x）的一个周期.例3.f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=-，当2≤x≤3时，f （x）=x，那么f（5.5）= .解析：由f（x+2）=-，根据定理3，得4为f（x）的一个周期.f （5.5）=f（5.5-8）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5.三、对称性与周期性定理4：若函数y=f（x）图像满足下列条件之一，则y=f（x）是周期函数.其中前两个的一个周期为2|a-b|，第三个为4|a-b|.（1）同时关于点A（a，c）和点B（b，c）（a≠b）中心对称.（2）同时关于直线x=a和直线x=b（a≠b）轴对称.（3）既关于点A（a，c）中心对称，又关于直线x=b（a≠b）轴对称.下面对第三条进行证明，其他类似.（3）证明：y=f（x）图像关于点A（a，c）中心对称f（x）+f（2a-x）=2c①y=f（x）图像关于直线x=b轴对称f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=f（2b-2a+x）②②代入①得f（x）+f（2b-2a+x）=2c③把上式中x换成2b-2a+x得f（2b-2a+x）+f（4b-4a+x）=2c④由③④得f（x）=f（4b-4a+x）a≠b4b-4a≠04|a-b|为f（x）的一个周期.例4.设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），则函数y=f（x）的一个周期为.解析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），根据定理2得函数y=f（x）的对称轴为x=2和x=7.再根据定理4得y=f（x）的一个周期为T=2|7-2|=10.例5.f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：①f（2）=0；②f（x）是以4为周期的函数；③f （x）图像关于y轴对称；④f（x+2）=f（-x），其中正确结论的序号是.解析：①在f（x-2）=-f（x）中令x=2得f（0）=-f（2）；又f（x）是奇函数，f（0）=0f（2）=0正确；②根据定理3知一个周期为4正确；③若正确，则f（x）又为偶函数，应有f（x）恒为0，不正确；④根据周期为4，f（x+2）=f（x-2），再根据题设f（x-2）=-f（x），f （x+2）=-f（x）=f（-x）正确.因此答案是①②④.。
抽象函数的周期性与对称性(精)
抽象函数的周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号T=2|a-b| ；(2)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| ；(3)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| ；(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2ab x -=对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2(ab-对称。
（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）例：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（）A. –1 B. 0 C. 1 D. 2解：②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于对称。
练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 对称。
2、函数)(x f y =满足)(1)3(x f x f -=+，且1)3(=f ，则=)2010(f 。
3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果。
小结：此方法为数形结合法；法二：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π= ； 小结：此方法为抽象函数具体化法。
4.设f(x)是R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x ≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.55.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)=6、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A.4B.5C.6D.77、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性定理1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(b-x)$，则函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称。
推论1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$（或 $f(2a-x)=f(x)$），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。
推论2：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$，又若方程 $f(x)=0$ 有 $n$ 个根，则此 $n$ 个根的和为 $na$。
定理2：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)+f(b-x)=c$（$a,b,c$ 为常数），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。
推论1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)+f(a-x)=0$（$a$ 为常数），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(a,0)$ 对称。
定理3：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，则函数$y=f(a+x)$ 与 $y=f(b-x)$ 两函数的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称。
定理4：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，则函数$y=f(a+x)$ 与 $y=c-f(b-x)$ 两函数的图像关于点$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。
性质1：对函数 $y=f(x)$，若 $f(a+x)=-f(b-x)$ 成立，则$y=f(x)$ 的图像关于点 $(2,0)$ 对称。
性质2：函数 $y=f(x-a)$ 与函数 $y=f(a-x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。
性质3：函数 $y=f(a+x)$ 与函数 $y=f(a-x)$ 的图像关于直线 $x=0$ 对称。
浅析抽象函数的对称与周期
浅析抽象函数的对称与周期1 投象函数的对称定理1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任意的x∈R，若有f(m+x)=f(n-x)成立（其中m,n为常数），则函数y=f(x)的图象关于直线x=m+n2对称。
定理2：定义在R上的函数y=f(x),对于任给的x∈R.若有f(m+x)=-f(n-x)成立（其中m,n为常数），则函数y=f(x)的图象关于点（m+n2,0)对称.以上定理证明略.推论1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(a+x)=f(a-x)成立（其中a为常数），则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.推论2：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(a+x)=-f(a-x)成立（其中a为常数），则函数y=f(x)的图象关于点(a,0）对称.推论3：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x).推论4：定义在R上的函数y=f(x),对于任给的x∈R，若函数y=f(x)的图象关于点（a,0)对称，则有f(a+x)=-f(a-x).2 抽象函数的周期周期函数的定义：一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时都有f(x+T)=f(x). 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.定理3：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R,若有f(m+x)=f(n+x)成立（其中m,n为常数且m≠n)，则函数y=f(x)是周期函数.T=m-n 为函数的一个周期.定理4：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(m+x)=-f(n+x)(或f(m+x)=±1f(n+x)成立（其中m,n为常且m≠n)，则函数y=f(x)是周期函数.T=2（m-n)为函数的一个周期.以上定理证明略.推论1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R,若有f(x+a)=f(x-a)成立（其中a为常数且a≠0)，则函数y=f(x)是周其函数，T=2a为函数的一个周期。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .
抽象函数周期性、对称性、奇偶性
抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。
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抽象函数的对称性与周期性
一、 抽象函数的对称性
定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，
则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 2a b
+对称。
推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。
推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。
定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，
（a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点(
,)22a b c + 对称。
推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。
定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两
函数的图象关于直线x=2b a
-对称。
定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －
x)两函数的图象关于点(
,)22b a c -对称。
性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（2b
a +,0）对称。
性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。
性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。
性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（2a
b -,0）对称。
二、抽象函数的周期性
定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为周期的周期函数。
定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。
定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。
定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a)为周期的周期函数。
定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则
y=f (x) 是以 T=4(b －a)为周期的周期函数。
性质1：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2(a －b)；
性质2：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周期2(a －b).
特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.
性质3：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)= － f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0)，则函数有周期4(a －b).
特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 。
练习：
1．
设1)(2+=x x f ,求f(x+1)关于直线x=2对称的曲线方程。
2．函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A ． f(1)<f(25)<f(27) B. f(27)<f(1)< f(25)
B ． C. f(27)<f(25)<f(1) D f(25)<f(1) <f(27
). 3．已知函数f(x －1)的图象，通过怎样的变换可以得到函数f(－x+2)的图象。
4. 若函数 f (x)=x 2+bx+c 对一切实数都有 f (2＋x) = f (2－x)则（ ）
（A ） f (2)<f (1)< f(4) (B)f (1)<f (2)< f(4)
(C) f (2)<f (4)< f(1) (D)f (4)<f (2)< f(1)
5、设函数y= f (x)定义在实数集R 上，则函数y= f (x －1)与y= f (1－x)的图象关于（ ）对称。
（A ）直线y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=1
6、设函数y= f (x)定义在实数集R 上，且满足 f (x －1)= f (1－x)，则函数y= f (x)的图象关于（ ）对称。
（A ）直线y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线y=1 (D)直线 x=1
7、设函数f (x)=(x ＋a)3 对任意实数x 都有 f (2+x) =－f (2－x) ,则 f (－3)+f (3) = ( )
(A) －124 (B) 124 (C) －56 (D) 56
8、已知实系数多项式函数f (x) 满足f (1－x) = f (3＋x) , 并且方程 f (x)=0有四个根，求这四个根之和。
9、函数 f(x)的定义域为R ，且满足 f (12－x) = f (x) ,方程f (x) =0 有
n个实数根，这n个实数根的和为1992，那么n为（）
（A）996 （B）498 （C）332 （D）116 10、设f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足f (10+x) = f (10－x)与f (20－x)= －f (20+x)，则f (x)是（）
（A）偶函数，又是周期函数，（B）偶函数，但不是周期函数（C）奇函数，又是周期函数，（D）奇函数，但不是周期函数
11、设y=f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足f (－x) = f (x)与
f (4－x)=f (x)，若当
x∈[0,2]时，f (x) =-－x2 +1 ,则当x∈[－6 , －4 ]时f (x)= （）（A）－x2 +1 (B) －(x－2)2 +1 (C)－(x+4)2 +1 (D) －(x+2)2 +1 12、设f (x)= x2 +1 , 若g (x)的图象与y= f (x+2) 的图象关于点（1，1）对称，求g (x).。