2021届河北衡水中学新高考仿真考试(十九)数学(文科)试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(十九)数学试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（十九）数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|12xA x =≤≤，{}|ln 0B x x =≤，则A B =（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 分析】计算102A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =<≤，再计算交集得到答案.【详解】{1|1202xA x x x ⎧⎫=≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}{}|ln 001B x x x x =≤=<≤，故10,2AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦.故选：C .【点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.2.已知复数z 满足()1243z i i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第（ ）象限. A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =-，故2z i =+，得到答案. 【详解】()1243z i i +=+，则()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+， 对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 3.设命题:p 任意常数数列都是等比数列.则p ⌝是（ ） A. 所有常数数列都不是等比数列 B. 有的常数数列不是等比数列 C. 有的等比数列不是常数数列 D. 不是常数数列的数列不是等比数列【答案】B 【解析】 【分析】直接根据命题的否定的定义得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题，命题：任意常数数列都是等比数列，则p ⌝：有的常数数列不是等比数列. 故选：B .【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11C D 的中点，且1AP AD xAB yAA =++，则实数x y +的值为（ ） A. 32-B. 12-C.12D.32【答案】D 【解析】 【分析】化简得到112AP AD AA AB =++，得到12x =，1y =，得到答案. 【详解】111112AP AD DD D P AD AA AB AD xAB y AA =++=++=++，故12x =，1y =，32x y +=.故选：D .【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 5.函数()sin ln 22x xxf x -=-在区间[)(]3,00,3-上大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断函数为奇函数排除AD ，计算()30f >排除B ，得到答案. 【详解】()sin ln 22x x x f x -=-，()()sin ln 22x xxf x f x ---==--，故函数为奇函数，排除AD ； ()33sin 330ln 22f -=>-，排除B . 故选：C .【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为奇函数是解题的关键.6.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ）A. 甲得分的极差是11B. 乙得分的中位数是18.5C. 甲运动员得分有一半在区间[]20,30上D. 甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高 【答案】D 【解析】 【分析】根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 甲得分的极差是28919-=，A 错误； B. 乙得分的中位数是161716.52+=，B 错误； C. 甲运动员得分在区间[]20,30上有3个，C 错误；D. 甲运动员得分的平均值为：912131315202628178+++++++=，乙运动员得分的平均值为：914151617181920168+++++++=，故D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.7.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，2SA =，1AB =，2AC =，3BAC π∠=，则球O 的体积为（ ）A.23πB.23πC. 2πD.2π3【答案】B 【解析】 【分析】计算BC =，根据正弦定理得到1r =，22222SA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】根据余弦定理：2222cos 3BC AC AB AB AC BAC =+-⋅∠=，故BC =， 根据正弦定理：22sin BCr BAC==∠，故1r =，r 为三角形ABC 外接圆半径，设R 为三棱锥S ABC -外接球的半径22222SA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故R =343V R π==.故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.已知函数()()()201ln 0xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()()()210f x m f x m +--=有且只有两个不同实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,0,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. ()()1,11,0,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. ()()1,0,11,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】确定0x >函数的单调区间，画出函数图像，变换()()()()10f x mf x -+=，得到()1f x =-和()f x m =，根据函数图像得到答案.【详解】当0x >时，()ln x f x x =，则()21ln 'x f x x -=，()1f e e =， 函数在()0,e 上单调递增，在[),e +∞上单调递减，画出函数图像，如图所示：()()()210f x m f x m +--=，即()()()()10f x m f x -+=，当()1f x =-时，根据图像知有1个解， 故()f x m =有1个解，根据图像知()()1,11,0,2m e ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭.故选：C .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换()()()()10f x mf x -+=是解题的关键.二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得满分，部分选对得3分，错选得0分）9.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中B 层人数最多C. 样本中E 层次男生人数为6人D. 样本中D 层次男生人数多于女生人数【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040-=，A 正确； 样本中A 层人数为：94010%13+⨯=；样本中B 层人数为：244030%36+⨯=； 样本中C 层人数为：154025%25+⨯=；样本中D 层人数为：94020%17+⨯=； 样本中E 层人数为：34015%9+⨯=；故B 正确；样本中E 层次男生人数为：4015%6⨯=，C 正确；样本中D 层次男生人数为：4020%8⨯=，女生人数为9，D 错误. 故选：ABC .【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（ ）A. 卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力. 11.已知函数()sin cos f x x x =+，下列命题正确的为（ ） A. 该函数为偶函数 B. 该函数最小正周期为2πC. 该函数图象关于2x π=对称D. 该函数值域为2⎡-⎣【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数，得到函数图像，计算()()2f x f x π+=，()()f x f x π-=，讨论,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，3,22x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，计算得到答案.【详解】当cos 0x ≥时，()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当cos 0x <时，()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，画出函数图像，如图所示：根据图像知：函数不是偶函数，A 错误；()()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ+=+++=+=，该函数最小正周期为2π，B 正确； ()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，故该函数图象关于2x π=对称，C 正确；根据周期性，不妨取,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2sin 1,24f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭， 3,22x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()2sin 1,24f x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，故值域为1,2⎡⎤-⎣⎦. 故选：BCD .【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.12.如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N为边BC 上的一列点，连接nAF 交BD 于nG，点()*n G n ∈N满足()1223nn n n n G D aG A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A. 313a =B. 数列{}3n a +是等比数列C. 43n a n =-D. 122n n S n +=--【答案】AB 【解析】 【分析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案.【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误.故选：AB .【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中的横线上）13.某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）. 篮球组 书画组 乐器组 高一4530a高二 15 10 20学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a 的值. 【答案】30a = 【解析】 【分析】根据三个小组抽取的总人数为30人表示出抽样比，该抽样比就等于篮球组被抽取的人数除以篮球组总人数，由此计算出a 的值.【详解】因为抽样比为：304515301020a +++++，所以结合题意可得：3012451530102045+15a =+++++，解得30a =.【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，难度较易.分层抽样的抽样比等于每一层抽取的比例.14.如图，在棱长为1的正方体1AC 中，点E 、F 是棱BC 、1CC 的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的最小值为__________.2 【解析】 【分析】如图所示：连接1A D ，1AD ，故DP ⊥平面11BCC B ，故P 在线段CD 上，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接1A D ，1AD ，易知1//EF AD ，11A D AD ⊥，故1EF A D ⊥，1A P EF ⊥，故EF ⊥平面1A DP ，故EF DP ⊥，1CC PD ⊥，故DP ⊥平面11BCC B ，故P 在线段CD 上，故线段1A P 长度的最小值为12A D =2.【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =，则双曲线C 的离心率为__________. 【答案】 (1). 3 (2). 3【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案；122FQ QF =，则122PF PF =，故14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】取渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为223d a b==+，故3b =；122FQ QF =，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =， 根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故3e =故答案为：3【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，离心率问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在50,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭存在唯一极值点，且在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围为__________. 【答案】6453ω<≤ 【解析】 【分析】5,66186x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故5321862ππππω<+≤，根据周期得到625ω<≤，故362πππω+≤，解得答案.【详解】50,18x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5,66186x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故5321862ππππω<+≤，解得62455ω<≤， 222T πππ≥-=，故T π≥，2ω≤，即625ω<≤， ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,6266x ππππωωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，故237,26306ππππω⎛⎤+∈⎥⎝⎦， 则362πππω+≤，解得43ω≤；综上所述：6453ω<≤.故答案为：6453ω<≤.【点睛】本题考查了根据三角函数的极值点和单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题：（解答应写出文字说眀，证明过程或演算步骤.本大题共6小题，共70分）17.在条件①()2cos cos cos A b C c B a +=，②sinsin 2B Cc a C +=，③()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a =2b c -=，__________.求BC 边上的高【解析】 【分析】依次计算选择①②③的情况，根据正弦定理和余弦定理，三角恒等变换计算得到3A π=，3b =，再利用等面积法计算得到答案.【详解】若选①因为()2cos cos cos A b C c B a +=， 由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin A B C C B A +=， 即()2cos sin sin A B C A +=，1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=. 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，所以2272b c bc b c ⎧+-=⎨-=⎩，化简得：2230c +c -=，所以3c =-（舍去）或者1c =，从而3b =.设BC 边上的高是h ，所以11sin 22bc A ah =，所以14h =； 若选②由题设及正弦定理，sin sin sin sin 2B CC A C +=， 因为sin 0C ≠，所以sinsin 2B CA +=， 由180ABC ++=︒，可得sin cos 22B C A+=，故cos 2sin cos 222A A A =， 因为cos 02A ≠，故1sin 22A =，因此3A π=，下同选①；若选③由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.因为0A π<<，所以3A π=，下同选①.故答案：14. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.已知数列{}n a 的前n 项和为0121n n n n n n S C C C C -=++++，数列{}n b 满足2log n n b a =，（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求()12222212341n n nT b b b b b +=-+-++-.【答案】（1）12n na ；1nb n =-（2）22,2,2nn n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数【解析】 【分析】（1）21n n S =-，112n n n n a S S --=-=，代入计算得到1n b n =-，得到答案.（2）讨论2n k =和21n k =-两种情况，计算得到答案.【详解】（1）012121n n n n n n n S C C C C -=++++=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，当1n =时，11a =也满足12n n a ，所以12n na ，又数列{}n b 满足2log n n b a =，所以1n b n =-.（2）当2n k =，*k N ∈时，()()()2222221234212n k k T b b b b b b -=-+-++-()122k b b b =-+++()()1221k ⎡⎤=-+++-⎣⎦22k k =-+； 当21n k =-，*k N ∈时，()()()22222221234232221n k k k T b b b b b b b ---=-+-++-+()()()2122341k k ⎡⎤=-+++-+-⎣⎦2231k k =-+. 所以()()222,2231,21n k k n k T k k n k ⎧-+=⎪=⎨-+=-⎪⎩，*k N ∈，即22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==，E 、M 分别为棱AD 、PD 的中点，PA CD ⊥.（1）证明：平面//MCE 平面PAB ；（2）若二面角P CD A --的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】 【分析】（1）证明EC AB ∥，EMAP 得到答案.（2）以与AD 垂直的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，面PCD的法向量记为20,1,m h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，面ACD 的法向量为()0,0,1，根据夹角得到2h =，平面PCE 的法向量()2,2,1n =，计算得到答案.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，12BC AD =，AD BC ∥， 所以四边形ABCE 为平行四边形，即EC AB ∥. 因为E 、M 分别为棱AD 、PD 的中点，EMAP .EM EC E =，所以平面MCE平面PAB .（2）如图所示因为PA AB ⊥，PA CD ⊥，AB 与CD 为相交直线，所以AP ⊥平面ABCD ，不妨设2AD =，则112BC CD AD ===. 以与AD 垂直的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AP h =，()0,0,0A ，()0,2,0D ，()1,2,0C -，()0,0,P h ，从而()0,2,PD h =-，()1,0,0CD =，面PCD 的法向量记为()111,,m x y z =，则00m PD m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得111200y hz x -=⎧⎨=⎩，令11y =，则12z h =，20,1,m h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又面ACD 的法向量为()0,0,1，二面角P CD A --的大小为45°.22=，解得2h=，所以()002P,,，()0,1,0E，()1,2,0C-，所以()1,1,0EC=-，()0,1,2PE=-，()0,0,2AP=，设平面PCE的法向量为()222,,n x y z=，则n PEn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得：222220y zx y-=⎧⎨-+=⎩.令22y=，则22x=，21z=.所以()2,2,1n =.设直线PA与平面PCE所成角为θ，则1sin cos,39AP nAP nAP nθ⋅====.【点睛】本题考查了面面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.已知抛物线()2:20E x py p=>的焦点为F，圆M的方程为：220x y py+-=，若直线4x=与x轴交于点R，与抛物线交于点Q，且54QF RQ=.（1）求出抛物线E和圆M的方程.（2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，与圆M交于C、D两点（A，C在y轴同侧），求证：AC DB⋅是定值.【答案】（1）抛物线2:4E x y=，圆22:20M x y y+-=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设()04,Q y，则2y p=，代入方程计算得到答案.（2）设直线l的方程是：1y kx=+，()11,A x y，()22,B x y，联立方程得到124x x k+=，124x x⋅=-，11AF y=+，21BF y=+，计算得到答案.【详解】（1）设()04,Q y，由54QF RQ=得00524py y+=，所以2y p=，将点()4,2p代入抛物线方程得2p=，所以抛物线2:4E x y=，圆22:20M x y y+-=.（2）抛物线2:4E x y=的焦点()0,1F，设直线l的方程是：1y kx=+，()11,A x y，()22,B x y，241x yy kx⎧=⎨=+⎩有2440x kx --=，则()21610k ∆=+>，且124x x k +=，124x x ⋅=-.由条件可知圆()2211x y +-=的圆心为()0,1M ，半径为1，圆心就是焦点，由抛物线的定义有11AF y =+，21BF y =+， 则11AC AF y =-=，21BD BF y =-=，()1211AC BD y y kx ⋅==+()()22221212114411kx k x x k x x k k +=+++=-++=.即AC BD ⋅为定值，定值为1.【点睛】本题考查了抛物线方程，圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.医院为筛查某种疾病，需要血检，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取()2k k ≥个人的血样各一份混在一起进行检验，如果结果是阴性，那么对这k 个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这k 个人的另一份血样逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验岀来的概率；（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<.现取其中k （*k ∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1X ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2X . ①运用概率统计的知识，若12EX EX =，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； ②若151p e-=-，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln11 2.3978≈，ln12 2.4849≈，ln13 2.5649≈.【答案】（1）215（2）①()1*11,2kp k k k ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭N ②k 的最大值为12.【解析】 【分析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，计算概率得到答案.（2）①计算1EX k =，()211kEX k k p =+--，根据12EX EX =，计算得到答案. ②521k EX k ke-=+-，所以51k k kek-+-<，设()ln 5xf x x =-，求导得到单调区间，计算得到最值. 【详解】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，则()11224236215C C A P A A ==. （2）①1X 的取值为k ，()11P X k ==，所以1EX k =，2X 的取值为1，1k +，计算()()211k P X p ==-，()()2111k P X k p =+=--，所以()()()()2111111k k kEX p k p k k p ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦， 由12EX EX =，得()11kk k k p =+--，所以()1*11,2kp k k k ⎛⎫=-∈≥ ⎪⎝⎭N .②151p e-=-，521k EX k ke-=+-，所以51kk ke k -+-<，即ln 05kk ->.设()ln 5x f x x =-，()11555x f x x x-'=-=，0x >， 当()0,5x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,5上单调递增； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()5,+∞上单调递减. 且()12ln12 2.40f =->，()13ln13 2.60f =-<， 所以k 的最大值为12.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22.已知函数()()ln =-+xf x xe a x x .（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 极值点的个数；（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()30002f x x x >-.【答案】（1）20ex y e --=（2）当0a ≤时，()f x 无极值点；当0a >时，()f x 有一个极值点（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()()1xf x x e '=+，()1f e =，()12f e '=，得到切线方程.（2）求导得到()()()1'x x xe a f x x+-=，讨论0a ≤和0a >两种情况， 0a >时必存在00x>，使()00h x =，计算单调区间得到极值点个数.（3）()00f x '=，即00xx e a =，代入得到001ln 0x x -->，设()1ln g x x x =--，确定函数单调递减得到()00,1x ∈，令()1ln g x x x =--，确定单调性得到答案.【详解】（1）当0a =时，()xf x xe =，()()1xf x x e '=+，所以()1f e =，()12f e '=.从而()f x 在1x =处的切线方程为()21y e e x -=-，即20ex y e --=.（2）()()111xf x x e a x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭()()()11xx x xe a a x e x x +-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上是增函数，不存在极值点； ②当0a >时，令()xh x xe a =-，()()10xh x x e '=+>，显然函数()h x 在[)0,+∞是增函数，又因为()00h a =-<，()()10ah a a e =->，必存在00x >，使()00h x =，()00,x x ∈，()0h x <，()0f x '<，()f x 为减函数， ()0,x x ∈+∞，()0h x >，()0f x '>，()f x 增函数，所以，0x x =是()f x 的极小值点，综上：当0a ≤时，()f x 无极值点，当0a >时，()f x 有一个极值点.（3）由（2）得：()00f x '=，即00xx e a =，()()()000000000ln 1ln x x f x x e a x x x e x x =-+=--，因为()00f x >，所以001ln 0x x -->， 令()1ln g x x x =--，()110g x x'=--<，()g x 在()0,∞+上是减函数， 且()10g =，由()()1g x g >得1x <，所以()00,1x ∈. 设()ln 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，()111x x x xϕ-'=-=，()0,1x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ为增函数，()()10x ϕϕ<=即()0x ϕ<，即ln 1x x <-，所以ln 1x x ->-，所以()ln 1x x +<，所以10x e x >+>， 因为()00,1x ∈，所以0010x e x >+>，00001ln 110x x x x -->-+->，相乘得()()()000001ln 122x ex x x x -->+-，所以()()()()000000001ln 211x f x x e x x x x x =-->+-()()230000212x x x x =-=-，结论成立.【点睛】本题考查了切线方程，极值点，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2021届河北衡水密卷新高考仿真考试(十八)数学(文)试题
2021届河北衡水密卷新高考仿真考试（十八）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1 2 3 4 5}A =，，，，，{0 2 4 6}B =，，，，则集合A B 的子集共有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】B 【解析】 【分析】 计算{}2,4AB =，再计算子集个数得到答案.【详解】{1 2 3 4 5}A =，，，，，{0 2 4 6}B =，，，，则集合{}2,4A B =，故AB 的子集共有224=个.故选：B .【点睛】本题考查了集合的交集运算，子集个数，属于简单题. 2.已知复数z 满足()()133z i i i +-=+，则z =（ ）A. 2B.C. 4D.【答案】A 【解析】先根据复数的四则运算将复数z 表示成a bi +的形式，结合复数的模的计算公式，即可得解. 【详解】()()133z i i i +-=+，∴()()()()223313333336311112i i i i i i iz i i i i i i +++++++=====--+-， ∴32z i i i =-=，∴2z ==.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，考查考生的运算求解能力，熟记复数模的计算公式是本题的解题关键，属于基础题.3.设函数22,(0)()(3),(0)x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(5)f 的值为( )A. -7B. -1C. 0D.12【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的性质即可得出．【详解】∵函数()()()22,03,(0)x x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()()()()()()21155********f f f f f -=-==-=-=--=故选D【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．4.双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A. 2sin40°B. 2cos40°C.1sin50︒D.1cos50︒【答案】D 【解析】由双曲线渐近线定义可得tan130,tan 50b b a a -=︒∴=︒，再利用c e a == 【详解】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒，故选D ． 【点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==5.已知平面向量a ,b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则2a b -= ( ) A. 4 B. 2C. 1D.16【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.【详解】由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=，所以|2|2a b -=，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）A.34B.78C.1516D.3132【答案】C 【解析】 【分析】设输入的x 值为a ，将循环列举出来，可得出输出的x 关于a 的表达式，由输出的x 值为零，可求得a 的值，即可得解.【详解】设出入的x 值为a ，第一次循环，1i =，21x a =-，112i =+=，24i =>不成立； 第二次循环，()221143x a a =--=-，213i =+=，34i =>不成立； 第三次循环，()243187x a a =--=-，314i =+=，44i =>不成立；第四次循环，()28711615x a a =--=-，415i =+=，54i =>成立，跳出循环体. 输出的16150x a =-=，解得1516a =. 故选：C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输入结果，一般要求将程序的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.8.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是12(3,Ν)n n n a a a n n *--=+≥∈，其中11a =，21a =.若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A.13B.33100C.12D.67100【答案】B 【解析】 【分析】计算共有33个偶数，计算概率得到答案.【详解】数列第1个，第2个为奇数，故第3个为偶数，第4个，第5个为奇数，第6个为偶数.根据规律：共有偶数100333⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，故33100p =. 故选：B .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.9.已知函数π()sin()(0)3f x A x b A =++>的最大值、最小值分别为3和1-，关于函数()f x 有如下四个结论： ① 2A =，1b = ；②函数()f x 的图象C 关于直线5π6x =-对称； ③函数()f x 的图象C 关于点2π(,0)3对称； ④函数()f x 在区间π5π(,)66内是减函数． 其中，正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】计算得到π()2sin()13f x x =++，再根据函数的对称性和单调性判断每个选项得到答案. 【详解】π()sin()(0)3f x A x b A =++>的最大值、最小值分别为3和1-，故3,1A b A b +=-+=-，解得2,1A b ==，故π()2sin()13f x x =++，①正确；当5π6x =-时，32x ππ+=-，故②正确；函数()f x 的图象C 的中心对称点纵坐标为1，故③错误；当π5π(,)66x ∈时，7,326x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故④正确；故选：C .【点睛】本题考查了三角函数的解析式，对称性和单调性，意在考查学生的综合应用能力.10.设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点， 当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大 此时，OD OB R 4===233ABCSAB ==AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM 233BE ∴== Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型． 11.已知F 为抛物线24y x =的焦点，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第四象限），若2BF FA =，则AB 的值为（ ）A.52B.92C.814D. 64【答案】B 【解析】【分析】求出焦点坐标，设出直线AB 的方程、A 点坐标和B 点坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系及2BF FA =，可求出m 的值，再利用两点间距离公式即可得解. 【详解】抛物线方程为24y x =，∴焦点()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，2BF FA =，∴0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，所以，124y y m +=，124y y =-，()221,BF x y =--，()111,FA x y =-，2BF FA =，∴()()22111,21,x y x y --=-，∴212y y -=，122142y y my y +=⎧⎨-=⎩，解得14y m =-，28y m =，124y y =-，∴484m m -⨯=-， 0m >，∴24m =， ∴122y y +=()()221212A y B x x y -+-=()()22121211my my y y =+--+-()22121m y y =+-=4=92=所以，AB 的值为92. 故选：B.【点睛】本题考查直线与抛物线相交所得弦的弦长问题，其中涉及到抛物线的性质、向量相等的坐标表示及两点间的距离公式，属于中档题.在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一般要用到根与系数的关系. 12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若对任意(0,)x ∈+∞，()ln ()0xf x x f x '+>恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ） A. {}01x x << B. {}1x x >C. {}x x e >D. {}0x x e <<【答案】C 【解析】 【分析】依据题意，构造函数()()ln 1=-F x f x x ，然后计算()F x '，可知函数()F x 的单调性，简单判断可得结果.【详解】由题可知：(0,)x ∈+∞，()0f x >，所以1ln ()x f x <，即()ln 10->f x x 令()()ln 1=-F x f x x ，则()ln ()()'+'=xf x x f x F x x又对任意(0,)x ∈+∞，()ln ()0xf x x f x '+>恒成立 所以()0F x '>，可知函数()F x 在(0,)+∞单调递增 又()1f e =，所以()()ln 10=-=F e f e e所以()ln 10->f x x 即()()F x e F >的解集为{}x x e >即不等式1ln ()x f x <的解集为{}x x e > 故选：C【点睛】本题考查通过构造函数利用导数求解不等式，针对这种题型，重在构造函数，如本题关键在于构造函数()()ln 1=-F x f x x ，审清题意，仔细观察，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________． 【答案】22y x =- 【解析】 【分析】求导2()f x x'=，可得斜率(1)2k f '==，进而得出切线的点斜式方程. 【详解】由()2ln y f x x ==，得2()f x x'=，则曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2k f '==， 则所求切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.14.已知实数,x y 满足约束条件11040y x y x y ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+取最大值时的最优解是_________．【答案】(3,1) 【解析】 【分析】画出图像，找到可行域，画出目标函数的等值线20x y +=，并在可行域中进行平移，可得目标函数取最值的最优解. 【详解】如图令0z =，可得20x y +=，平移该直线，根据图形可知 当经过点C 时，z 有最大，40311x y x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，则()3,1C 故可知2z x y =+取最大值时的最优解为()3,1 故答案为：()3,1【点睛】本题考查线性规划的问题，解决线性的目标函数最值问题的一般步骤为：（1）作图，（2）作出目标函数的一条等值线，（3）理解z 的含义，在可行域中平移等值线，属基础题.15.在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，直线1DC 与平面ABCD 所成的角为45，则异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值为______. 10【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值.【详解】解：以D 为原点，AD 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==.直线1DC 与平面ABCD 所成的角为45， ∴145C DC ∠=，∴12DC CC ==，∴()1,0,0A ，()10,0,2D ，()0,0,0D ，()10,2,2C ，()11,0,2AD =-，()10,2,2DC =，设异面直线1AD 与1DC 所成角为θ，则11111110cos cos ,58AD DC AD DC AD DC θ⋅====⋅⋅. ∴异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值为105. 故答案为：105【点睛】本题考查异面直线所成角，用向量法或用定义法结合余弦定理在解三角形中的应用，是中档题． 16.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B +sin A （sin C ﹣cos C ）＝0，a ＝2，c 2=C＝______. 【答案】6π 【解析】 【分析】根据和差角公式化简可得34A π=,再根据正弦定理求解C 即可. 【详解】sinB ＝sin （A +C ）＝sinAcosC +cosAsinC , ∵sinB +sinA （sinC ﹣cosC ）＝0,∴sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC ﹣sinAcosC ＝0,∴cosAsinC +sinAsinC ＝0, ∵sinC ≠0, ∴cosA ＝﹣sinA , ∴tanA ＝﹣1, ∵0＜A ＜π, ∴A 34π=, ∵a ＝2,c =∴由正弦定理可得c asinC sinA=,可得：sinC 1222c sinAa⋅===, ∵a ＞c , ∴C 6π=. 故答案为：6π【点睛】本题主要考查了和差角公式以及解三角形进行边角互化求角度等方法,属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，1a ，31a a -，81a a +成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（I ）21n a n =-；（II ）321n nS n =+. 【解析】 【分析】（I ）设{}n a 的公差为d ，由条件列出方程组，求得1,a d 的值，即可得到数列的通项公式； （II ）由（I ）可得1331122121n n n b a a n n +⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，利用裂项法，即可求解数列的前n 项和.【详解】（I ）设{}n a 的公差为(0)d d >，由条件得()()121132720a d a a d d d +=⎧⎪+=⎨⎪>⎩，∴112a d =⎧⎨=⎩， ∴()12121n a n n =+-=-． （II ）由（I ）可得()()133311212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴311111312335212121n n S n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪-++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式和“裂项法”求数列的前n 项和，其中解答中根据题意，列出方程组求得1,a d 的值，求得数列的通项公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，6PB PC ==.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若点E 为线段PA 的中点，求E 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）见解析（25【解析】 【分析】(1）取AD 中点F ，连结,PF CF ，推导出PF CF ⊥，PF AD ⊥，从而PF ⊥平面ABCD ，由此能证明平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）推导出AB AD ⊥，2AB =，AB PA ⊥，从而11221333P ABC ABC V S PF -∆=⋅=⨯⨯=, 记点A 到平面PBC 的距离为d ，由1233P ABC PBC V S d -∆=⋅⋅=,得25d =，由此能求出点E 到平面PBC 的距离.【详解】证明：（1）取AD 中点F ，连结,PF CF ， ∵底面ABCD 是边长为2的正方形，∴1DF =，5CF =，∵6PC =，∴222PF CF PC +=，∴PF CF ⊥，∵2PA PD ==，∴PF AD ⊥，∵ADCF F =，∴PF ⊥平面ABCD ，∵PF ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .解：（2）∵底面ABCD 是边长为2的正方形，∴AB AD ⊥，2AB =， ∵2PA =，6PB =，∴222PA AB PB +=，∴AB PA ⊥，又2APC S ∆=，∴11221333P ABC ABC V S PF -∆=⋅=⨯⨯=， 在PBC ∆中，2BC =，6PB PC ==，∴5PBC S ∆=，记点A 到平面PBC 的距离为d ， ∴1233P ABC PBC V S d -∆=⋅⋅=，解得25d =， ∵点E 为线段PA 的中点，∴点E 到平面PBC 的距离为5.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i x (1,2,3,,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 月销售单价x （元/件） 45 678 9（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：ˆ4105yx =-+，ˆ453y x =+和1ˆ304y x =-+，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用2y ax bx c =++模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为20.3750.87590.25ˆyx x =-++，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为0.9702和0.9524，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01） 80.91≈.【答案】（1）甲；（2）20.3750.87590.25ˆy x x =-++；（3）9.77【解析】 【分析】（1）根据数据知,x y 负相关，排除乙，计算中心点验证排除丙得到答案.（2）2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702>，得到答案.（3）32ˆ0.3750.87590.25z xyx x x ==-++，求导得到单调区间，得到答案. 【详解】（1）根据数据知,x y 负相关，排除乙.456789 6.56x +++++==，898382797467796y +++++==.代入验证知，丙不满足，故甲计算正确.（2）2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702>，故选用20.3750.87590.25ˆyx x =-++更好.（3）根据题意：32ˆ0.3750.87590.25z xyx x x==-++，故297361844z x x '=-++. 令'0z =，则79x =（舍去）或x =. 故当x ⎛∈ ⎝⎭时，函数单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，函数单调递减.故当79.779x =≈时，商品的月销售额预报值最大. 【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【详解】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．（2）先求出点P 的坐标，解出m ，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．详解：（1）设()11A x y ，，()22B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m =-． 由题设得211,043m m +<>∴302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设()33P x y ，，则()()()()33112211100x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得()31231x x x =-+=，()31220y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3||=2FP ． 于是(1||242x FA x ===-⎪⎭．同理2||=22x FB -． 所以()121|43|||2FA FB x x +=-+=． 故2||=||+||FP FA FB ．点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m ，得到FP ,再有两点间距离公式表示出,FA FB ，考查了学生的计算能力，难度较大．21.已知函数21()ln ()2f x x x ax a R =++∈，23()2g x x x =- （1）当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是(0,2)-++∞，()f x 的单调递减区间是(22；（2）1a ≥． 【解析】 【分析】（1）把4a =-代入()f x ，计算()f x '，分别令0f x f x '()>0,'()<求解即可.（2）令()F x x =，然后采用分离变量可得()2ln 0-=>x x a x x ，构造函数2ln ()-=x xh x x，利用导数判断函数()h x 单调性并计算min ()h x ，简单判断可得结果. 【详解】（1）由题可知：函数()f x 定义域为(0,)+∞，当4a =-时，21()ln 42f x x x x =+- 2141()4x x f x x x x'-+=+-=．当()0f x '>，即2410x x -+>时，02x <<2x >+当()0f x '<，即2410x x -+<时，22x <<()f x ∴的单调递增区间是(0,2)-++∞，()f x 的单调递减区间是(22+．（2）2213()()()ln 22=-=++-+F x f x g x x x ax x x 2()ln (0)=-++>F x x x ax x x()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln x xa x-=在(0,)+∞上有解．今2ln ()(0)x x h x x x -=>，221ln ()x x h x x'-+= 令2()1ln (0)m x x x x =-+>，1()20m x x x'=+> 所以()m x 在(0,)+∞单调递增且(1)0m =，即()0m x =有唯一根1x = 所以()0,1h x x '==所以min ()(1)1h x h ==所以2ln x xa x-=在(0,)+∞上有解的a 的取值范围是1a ≥【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性以及利用导数研究能成立问题，熟悉分离参数的方法以及提升对新概念的理解，属中档题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所作的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线22cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线1cos :sin x t l y t ββ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线C 与直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交，交点为,A B ，直线与x 轴交于Q 点，求||||QA QB +的取值范围． 【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为sin()sin ρθββ-=；（2）． 【解析】 【分析】（1）先将曲线C 与直线l 化为普通方程，然后再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可求解.（2）将l 的参数方程代入到C 直角坐标普通方程，整理可得26cos 50t t β-+=，然后利用参数t 的几何意义即可求解.【详解】（1）曲线22:(2)4C x y -+=，即224x y x +=， 即24cos ρρθ=，即0ρ=或4cos ρθ=． 由于曲线4cos ρθ=过极点，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．直线:(1)sin cos l x y ββ+=，即sin cos sin 0x y βββ-+=， 即cos sin sin cos sin 0ρθβρθββ-+=，即sin()sin ρθββ-=，∴直线l 的极坐标方程为sin()sin ρθββ-=．（2）由题意得(1,0)Q -，将l 的参数方程代入到C 直角坐标普通方程， 可得26cos 50t t β-+=， 由>0∆，得25cos9β>，6cos A B t t β+=，50A B t t ⋅=>其中||,||A B QA t QB t ==∣， 所以|||||6cos |A B A B QA QB t t t t β+=+=+= 得||||QA QB +的取值范围为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化、参数的几何意义，考查了考生的计算能力，属于基础题.23.已知对任意实数x ，都有|2||4|0x x m ++--≥恒成立.（1）求实数m 的范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足415326n a b a b +=++时，求47a b +的最小值. 【答案】(1) 6m ≤ (2)9【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式，代入即可求得m 的取值范围．（2）根据柯西不等式，代入即可求得47a b +的最小值．【详解】解（1）对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立， 又24246x x x x ++-≥+-+=6m ∴≤（2）由（1）知6n =，由柯西不等式知：()4747a b a b +=+ 41532a b a b ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭ ()532a b a b =+++ 41532a b a b ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭9≥ 当且仅当313a =，1513b =时取等号， 47a b ∴+的最小值为9.【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用，柯西不等式的用法，属于中档题．。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(八)数学(文)试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}0,2,1,1,0,1,2A B ==-，则A B ⋂=（ ） A. {}0,2 B. {}1,2C. {}0D. {}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】 【分析】直接利用集合的交集运算，找出公共元素，即可得到结果. 【详解】{}{}0,2,1,1,0,1,2A B ==-{0,2}A B ∴=.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求zi得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元【答案】D 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题． 4.等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若141,0k a a a =+=，则k=（ ）A. 10B. 7C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得70a =，然后再次利用等差数列的性质确定k 的值即可. 【详解】由等差数列的性质可知：9579468750S S a a a a a a -=++++==,故70a =，则410720a a a +==，结合题意可知：10k =.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题. 5.将三个数0.37，70.3，ln 0.3从小到大排列得( ) A. 0.37ln 0.370.3<< B. 70.3ln 0.30.37<< C. 70.30.3ln 0.37<< D. 0.377ln 0.30.3<<【答案】B 【解析】 【分析】分别与中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得700.31<<，0.371>，ln0.30<，∴70.3ln 0.30.37<<． 故选：B.【点睛】本题考查幂与对数的大小比较，解题时不同类型的数一般借助于中间值如0，1等比较． 6.函数()sin(2)2f x x π=-的图象以下说法正确的是（ ）A. 最大值为1，图象关于直线2x π=对称B. 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为偶函数C. 在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D. 周期为π，图象关于点(,0)π对称【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式，将该函数化简为()cos2f x x =-，分析其性质，即可选出正确答案.【详解】()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，其最大值1，为偶函数，周期为π.令2,()x k k Z π=∈，得,2k x k Z π=∈ 则该函数的对称轴为,2k x k Z π=∈，选项A 正确； 由222k x k πππ≤≤+得,2k x k k Z πππ≤≤+∈，则该函数的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ+∈，选项B 错误；单调递减区间为[,],2k k k Z ππππ++∈，选项C 错误；令2,()2x k k Z ππ=+∈，得,24k x k Z =+∈ππ， 则该函数的对称中心为(,0),24k k Z ππ+∈，选项D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，由三角函数的解析式判断其性质，属于中档题. 7.已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12-的概率为（ ） A.712B.23C.34 D.56【答案】B 【解析】 【分析】 求出满足12y ≥-的角x 的范围，由长度比，即可得到该几何概型的概率. 【详解】1sin ,[,]2y x x ππ=≥-∈-，5[,][,]66x ππππ∴∈--⋃-，则满足12y ≥-的概率为： 5()()266()3P ππππππ---+--==--.故选：B.【点睛】本题考查了三角不等式的求解，几何概型的计算，属于中档题.8.若3sin()25πα-=，则cos2α=（）A. 725B.2425C.725- D.2425-【答案】C 【解析】【分析】根据题意先求出3cos5α=，然后再用倍角公式求解即可得到结果．【详解】由条件得3 sin cos25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237 cos22cos121525αα⎛⎫=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选C．【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题．9.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x的值为（）A. 2B. 2C. 1D. 1 2【答案】C【解析】【分析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x的值. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S ABC-，如下图所示由棱锥的体积公式得：311442223233S ABC V x x x x -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，解得：1x = 故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题. 10.对于函数()21xf x e =+的图象，下列说法正确的是 （ ） A. 关于直线1x =对称 B. 关于直线y x =对称 C. 关于点()1,0对称 D. 关于点()0,1对称【答案】D 【解析】 【分析】由()21111x x x e f x e e -==+++，设()()11xx e g x x R e -=∈+,可得()g x 为奇函数,由图像平移可得答案.【详解】∵()2111111xx x e f x e e -=-+=+++，令()()11x x e g x x R e -=∈+，则()()1111x x x xe e g x g x e e-----===-++， ∴()g x 为奇函数，其图象关于原点对称，将()g x 图象向上平移1个单位长度可得()f x 图象， 所以()f x 图象关于()0,1对称. 故选：D【点睛】本题考查函数图像的平移和函数的奇函数的图像的对称性，属于基础题.11.已知函数2()(0)x f x x e x =+<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,)e -∞B. 1(,)e-∞C. 1(,)e e-D. 1(,)e e-【答案】A 【解析】分析：函数()2(0)xf x x e x =+<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，等价于存在0x <，使()()0f x g x --=，即()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，从而化为函数()()ln x m x e x a =--(),0-∞上有零点，进而可得结果.详解：若函数()()20xf x x ex =+<与()()2ln g x x x a =++图象上存在关于y 轴对称的点， 则等价为()()f x g x --，在0x <时，方程有解， 即()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，令()()ln xm x e x a =--+，则()()ln xm x e x a =--+在其定义域上是增函数，且x →-∞时，()0m x <， 若0a ≤时，x a →时，()0m x >， 故()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，当0a >时，则()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解可化为，()0ln 0e a ->即ln 1a <，故0a e <<， 综上所述，(),a e ∈-∞，故选A.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，函数()2(0)xf x x e x =+<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，转化为存在0x <，使()()0f x g x --=是解题的关键.12.已知直线1x y +=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥（其中O 为坐标原点），若椭圆的离心率e满足32e ≤≤，则椭圆长轴的取值范围是（ ）A.B. C. 53[,]42D. 5[,3]2【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程得（a 2+b 2）x 2﹣2a 2x+a 2﹣a 2b 2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由OP ⊥OQ ，得•OP OQ＝0，由根与系数的关系可得：a 2+b 2＝2a 2b 2．由椭圆的离心率ee，化为2221132a b a -≤≤，即可得出．【详解】联立222211x y x y ab +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：（a 2+b 2）x 2﹣2a 2x+a 2﹣a 2b 2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）△＝4a 4﹣4（a 2+b 2）（a 2﹣a 2b 2）＞0，化为：a 2+b 2＞1．x 1+x 2＝2222a a b + ，x 1x 2＝22222a ab a b -+．∵OP ⊥OQ ，∴•OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝2x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝0，∴2×22222a a b a b -+﹣2222a a b++1＝0．化为a 2+b 2＝2a 2b 2．∴b 2＝2221a a -． ∵椭圆的离心率e满足3≤e≤2，∴21132e ≤≤，∴2221132a b a -≤≤，211113212a ≤-≤-，化为5≤4a 2≤6．≤2a．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是]． 故选A ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y-的最大值为__________.【答案】6 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时， 在y 轴上截距最小，又()3,0A ， 此时max 236z =⨯=. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14.已知函数()x f x e ax =+的图象在点(0,(0))f 处的切线为21y x =+，a =______． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导，得()xf x e a '=+.根据导数的几何意义，列出方程，即可解得a 的值.【详解】由()x f x e ax =+得()x f x e a '=+，()f x 的图象在点点(0,(0))f 处的切线为21y x =+，(0)12f a '∴=+=，则1a =.故答案为：1.【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数的求导公式，属于基础题. 15.已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 【答案】2425【解析】 【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值.【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.16.在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为____. 【答案】28π【解析】【分析】取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，可知外接球的球心在面AEC 中，再作OG CE ⊥，分别求出OG 与CG 的长度后即可得解. 【详解】如图1，取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，由已知易知面AEC ⊥面BCD ，则外接球的球心在面AEC 中.由二面角A BD C --的大小为120︒可知120AEC ∠=.在面AEC 中，设球心为O ，作OG CE ⊥，连接OE ，易知O 在面BCD 上的投影即为G ，OE 平分AEC ∠，∴G 为BCD ∆的中心，∴22CG GE ==，∴tan 603OG GE =⋅=， ∴227OC GC GO +=∴2=47=28S ππ⨯球.故答案为：28π【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？【答案】（1）12；（2）40；（3）选B款订餐软件.【解析】【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A款订餐、使用B款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b甲，,{},a c甲，,{},a d甲，,{},a e甲，,{},b c甲，,{},b d甲，,{},b e甲，,{}{},,c d c e甲，甲，,{},d e甲，,{},,a b c,{},,a b d,{},,a b e,{},,a c d,{},,a c e,{},,a d e,{},,b c d, {},,b c e,{},,b d e,{},,c d e.甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b甲，,{},a c甲，,{},a d甲，,{},a e甲，,{},b c甲，,{},b d甲，,{},b e甲，,{},c d甲，, {},c e甲，,{},d e甲，记事件A为甲商家被抽到，则()101 202P A==.（2）依题意可得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.（3）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<所以选B款订餐软件．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．18.如图，在四棱锥-P ABCD 中，PAD ∆和BCD ∆都是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且24==AD AB ，23BC =．（1）求证：CD ⊥P A ；（2）E ，F 分别是棱P A ，AD 上的点，当平面BEF //平面PCD 时，求四棱锥-C PEFD 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）152 【解析】【分析】（1）由已知即可证得：AB BD ⊥，且30ADB ︒∠=，再利用BCD 是等边三角形即可证得：CD AD ⊥，再利用面面垂直的性质即可证得：CD ⊥平面PAD ，问题得证.（2）利用平面BEF //平面PCD 可得：BF //CD ，结合CD AD ⊥可得BF AD ⊥，即可求得：DF =3，从而求得153PEFD S =四边形，利用（1）可得四棱锥-C PEFD 的高CD 23=，再利用锥体体积公式计算即可. 【详解】证明：（1）因为BCD ∆是等边三角形，所以23BC BD CD ===又4=AD ，2AB =，所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，且30ADB ︒∠=．又BCD 是等边三角形，所以306090ADC ADB BDC ︒∠=∠+∠=+=，所以CD AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ．所以CD ⊥P A ．（2）因为平面BEF //平面PCD ，所以BF //CD ，EF //PD ，又CD AD ⊥所以BF AD ⊥．又在直角三角形ABD 中，DF =3︒=，所以1==AE AF ．所以1144sin 6011sin 6022=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒=PEFD S 四边形 由（1）知CD ⊥平面PAD ，故四棱锥-C PEFD 的体积11532PEFD V S CD =⋅=四边形． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线线垂直的判定、面面平行的性质及锥体体积计算公式，还考查了转化思想及空间思维能力，属于中档题.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c b B A b -=. （1）求A ；（2）设5b =，ABC S =若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长.【答案】（1）3π；（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理变换互化为sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=，再化简求得1cos 2A =，求角A ； （2）根据面积求8AB =，ADC ∆中，根据余弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为sin cos 2sin cos A B c b B A b-=， 由正弦定理可得sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=， 化简得：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=.又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.则sin 2sin cos C C A =.因0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为11sin 5sin 223ABC S AB AC A AB AB π=⋅⋅=⨯⨯⨯=，因为ABC S =AB =8AB =， 因为3AD DB =，即34AD AB =，所以6AD =. 在ACD 中，563AC AD A π===，，，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅， 则212536256312CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.20.已知函数()ln ,()a f x x a R x=+∈. （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间2[,)e -+∞上零点的个数.【答案】(1) 当a e ≥时，()f x 的最小值为ln a e e +； 当a e <时，()f x 的最小值为ln 1a +;(2)见解析. 【解析】分析：⑴求导后分类讨论a 的取值，结合单调性求出最小值⑵分离参量，转化为图像交点问题详解：（Ⅰ）因为0x >，()221a x a f x x x x='-=- ①当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(20,e ⎤⎦上是增函数，无最小值； ②当0a >时，又()0f x '>得x a >，由()0f x '<得x a <∴()f x 在()0,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，若a e ≥，则()f x 在()0,e 上是减函数，则()()min ln a f x f e e e ==+； 若a e <，则()f x 在()0,a 上是减函数，在(),a e 上是增函数，∴()()min ln 1f x f a a ==+综上：当a e ≥时，()f x 的最小值为ln a e e+； 当a e <时，()f x 的最小值为ln 1a + （Ⅱ）由()ln 0a f x x x =+=得ln a x x -= 令()21ln ,g x x x x e =>，则()ln 1g x x ='+，由()0g x '>得1x e >，由()0g x '<得1x e<，所以()g x 在211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， 且2212110,0g g e e e e ⎛⎫⎛⎫=-<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且211g g ee ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以，当1a e>时，()f x 无有零点； 当1a e =或22a e<时，()f x 有1个零点； 当221a e e ≤<时，()f x 有2个零点. 点睛：本题考查了含有参量的导数题目，依据导数，分类讨论参量的取值范围，来求出函数的单调性，从而得到最小值，在零点个数问题上将其转化为两个图像的交点问题．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆222:()0O x y r r +=>.（1）若PF x ⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；（2）若圆O 的半径为2，点P ，Q 满足34OP OQ k k ⋅=-，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值. 【答案】（1）223x y +=（2【解析】【分析】（1）根据题意先计算出P 点坐标，然后得到直线AP 的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；（2）先计算PQ 斜率不存在时，被圆O 截得弦长，PQ 斜率存在时设为y kx b =+，与椭圆联立，得到12x x +和12x x ，代入到34OP OQ k k ⋅=-得到,k b 的关系，表示出直线PQ 被圆O 截得的弦长，代入,k b 的关系，从而得到弦长的最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆C 的方程为22143x y +=， 所以(2,0)A -，(1,0)F ， 因为PF x ⊥轴，所以31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭， 根据对称性，可取31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则直线AP 的方程为1(2)2y x =+，即220x y . 因为直线AP 与圆O 相切，得222512=+， 所以圆的方程为 2245x y +=. （2）圆O 的半径为2，可得圆O 的方程为224x y +=.①当PQ x ⊥轴时，234OP OQ OP k k k ⋅=-=-，所以32OP k =±， 22324y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2167x =， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为1621477-=. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，()11,P x y ，()()2212,0Q x y x x ≠， 首先由34OP OQ k k ⋅=-，得1212340x x y y +=， 即()()1212340x x kx b kx b +++=，所以()()22121234440k x x kb x x b ++++=（*）.联立22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223484120k x kbx b +++-=， 在>0∆时，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k-=+ 代入（*）式，得22243b k =+，由于圆心O 到直线PQ 的距离为21bd k =+，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为2222481l d k =-=++， 故当0k =时，l 有最大值为10. 综上，因为421107>， 所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为10.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求圆的方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，对计算能力要求较高，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ．（1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线π(0)2θαα=<<与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （与原点不重合），求||||ON OM 的最大值.【答案】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=.2C 的极坐标方程为8cos ρθ=（21【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程；（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．【详解】（1）消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=， 故4cos sin ρθθ=+． 由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =，设(),Q ρθ，则,4P ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由点P 是曲线1C 上的动点，可得2cos 4ρθ=，即8cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．（2）因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cos sin ρθθ=+，8cos ρθ=， 所以4cos sin OM αα=+，||8cos ON α=，所以()||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当π8α=时，||||ON OM 1．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1-（1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果. 【详解】（1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故() 2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c ++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 23321112233b c a c a b a a b b c c=++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c ======时，等号成立． 所以239a b c ++≥.【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十一)数学(文科)
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|11M x Z x =∈-≤≤，(){}20|N x Z x x =∈-≤，则MN =（ ） A. {}1,2-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. 1,0,1,2 【答案】B【解析】【分析】化简集合，再求交集即可.【详解】{}{}|1,0,111M x Z x =-=∈-≤≤，(){}{}20|0,1,2N x Z x x ==∈-≤ M N ={}0,1故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若341i z iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A. 32 B. 2 C. 52 D. 3【答案】C【解析】【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可．【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．3.已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A. 2B. 3C. 8D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a ba b a b ⋅∴<>=== 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.4.已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，成等差数列，则3S =（ ）A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，且q 不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．【详解】数列{}n a 是公比q 不为l 的等比数列，满足22a =，即12a q =，且1471692a a a ，，成等差数列，得41718162a a a =+，即3611198a q a a q =+，解得121q a ==，， 则3312S 712-==-． 故选C ．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D【解析】【分析】 本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==> 13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等．6.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A. 2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性可排除A、C；再由(1)f的正负可排除D.【详解】()21e1cos cos 1e1exx xf x x x-⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，()1ecos()1exxf x x----=-=+e1cose1xxx-+()f x=-，故()f x为奇函数，排除选项A、C；又1e(1)cos101ef-=<+，排除D，选B.故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.8.已知实数,x y满足约束条件121x yx yy a+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数3z x y=-的最大值为2，则a的值为（）A. -1 B.12C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中(1,)A a a--，1(,)2aB a+，(0,1)C-，目标函数3z x y=-可化为3y x z=-，当直线过点B时z最大，所以3(1)22aa+-=，解得1a=，故选:C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.已知曲线sin(2)6y x π=+向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点(,1)12π-，则（ ） A. 函数()y g x =的最小正周期2T π=B. 函数()y g x =在1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 曲线()y g x =关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D. 曲线()y g x =关于直线6x π=对称 【答案】C【解析】【分析】 根据左右平移和112g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求得()g x 解析式；根据余弦型函数的最小正周期、单调性和对称轴、对称中心的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则sin 2112g πϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭222k πϕπ∴=+，k Z ∈ ()cos 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ()g x 最小正周期22T ππ==，可知A 错误； 当1117,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]22,36x πππ+∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误； 当23x π=时，3262x ππ+=且3cos 02π=，所以2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当6x π=时，262x ππ+=且cos 02π=，所以,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误. 本题正确选项：C【点睛】本题考查图象平移变换、余弦型函数的周期性、单调性、对称性的相关问题.判断余弦型函数的单调性和对称性的关键是能够通过整体对应的方式，结合余弦函数的图象来进行判断.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2【答案】D【解析】【分析】 分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1，在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE ，在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE ，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D ．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．11.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 4π B. 39160π C. 19180π+ D. 19280π+【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，再求出矩形ABCD 的面积，根据几何概型的计算公式进行求解.【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为(())()()()()2222211111S 1123524444πππππ=-•+••+••+••+••()92514444πππππ=-++++ 38191142ππ=+=+， 矩形ABCD 的面积为1S 5840=⨯=， 故此点取自阴影部分的概率为19121924080ππ++=， 故选D.【点睛】本题考查了几何概型的问题，几何概型往往以长度、面积、体积为测度，熟记几何概型的计算公式是关键. 12.设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A. 23B. 34C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据222AF F B =表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【详解】222AF F B =设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某单位有360名职工，现采用系统抽样方法，抽取20人做问卷调查，将360人按1，2，…，360随机编号，则抽取的20人中，编号落入区间[181,288]的人数为__________．【答案】6【解析】【分析】首先计算出样本间隔为18，在区间[]181,288中共有108人，然后进行计算即可．【详解】样本间隔为3602018÷=，在区间]181[288，内共有2881811108-+=人，108186÷=， 即在区间]181[288，内的抽取人数为6人，故答案为6. 【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题.14.已知圆22:(3)(1)3C x y -+-=及直线:220l ax y a +--=，当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为________.【答案】0x y -=【解析】【分析】由题得直线l 过定点P （2，2），当直线l 垂直于过点P 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长最短，利用垂直关系得直线l 的斜率即可求解方程【详解】由l ：:220l ax y a +--=得a （x -2）+y -2=0 ∴不论a 取何值，直线l 恒过点P （2,2） ∵221123+=< ∴点P （2,2）在圆C 内故当直线l 垂直CP 时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，此时1,1CP l k k =-∴=,故直线l 的方程为0x y -= 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程及圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______. ①存在某个位置，使得CN AB ⊥； ②翻折过程中，CN 的长是定值； ③若AB BM =，则1AM B D ⊥；④若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN ⊥NF ，又EN ⊥CN ，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC ＝∠MAB 1（定值），NE 12=AB 1（定值），AM ＝EC （定值），由余弦定理可得NC 是定值． 对于③，取AM 中点O ，连接B 1O ，DO ，易得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，从而AD ＝MD ，显然不成立． 对于④：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π． 【详解】对于①：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则NE ∥AB 1，NF ∥MB 1，如果CN ⊥AB 1，可得到EN ⊥NF ，又EN ⊥CN ，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC ＝∠MAB 1（定值），NE 12=AB 1（定值），AM ＝EC （定值）， 由余弦定理可得NC 2＝NE 2+EC 2﹣2NE •EC •cos∠NEC ，所以NC 是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM 中点O ，连接B 1O ，DO ，易得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，从而AD ＝MD ，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，易得AD 中点H 就是三棱锥B 1﹣AMD 的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确． 故答案为②④．【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________. 【答案】442+ 【解析】 【分析】由4c =，42sin a A =，利用正弦定理求得4C π=.，再由余弦定理可得22162a b ab =+，利用基本不等式可得(82222ab ≤=+-，从而利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为4c =，又42sin sin c a C A== 所以2sin 2C =，又C 为锐角，可得4C π=.因为(2222162cos 222a b ab C a b ab ab =+-=+≥， 所以(82222ab ≤=+-，当且仅当a b =时等号成立，即1sin 42ABC S ab C ab ∆==≤+即当a b ==时，ABC∆面积的最大值为4+. 故答案为4+.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-；（2）69nn +. 【解析】 【分析】（1）先设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果； （2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果．【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为 24S =，525S =，则：1124545252a d a d +=⎧⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩， 所以12(1)21n a n n =+-=-． （2）由于21n a n =-，所以()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭．则1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．18.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明：//DF 平面PBE ； （Ⅱ）求点F 到平面PBE 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）63. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得//DE FG 且DE FG =，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得//DF EG ，再由线面平行的判定可得//DF 平面PBE ；（Ⅱ）利用等积法可得：D PBE P BDE V V =﹣﹣，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离． 试题解析：（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且12DE BC =， ∴//DE FG 且DE FG =， ∴四边形DEGF 为平行四边形， ∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=， ∵5PE BE ==，23PB =，∴6PBE S ∆=，∴6d =．点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.19.近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在C 省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的A 指标x 和B 指标y ，数据如下表所示：城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A 指标2 4 5 6 8 B 指标34445（1）试求y 与x 间的相关系数r ，并说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系（若||0.75r ≥，则认为y 与x 具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）.（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测当A 指标为7时，B 指标的估计值.（3）若某城市的共享单车A 指标x 在区间(3,3)x s x s -+的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至A 指标x 在区间(3,3)x s x s -+内现已知C 省某城市共享单车的A 指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由. 参考公式：回归直线y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，，a y bx =-相关系数()()niixx yyr --=∑参考数据：2s ==0.55≈0.95≈.【答案】（1）0.95r ≈，y 与x 具有较强的线性相关关系；（2）0.3 2.5y x =+，B 指标的估计值为 4.6；（3）城市的交通管理部门需要进行治理，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出,x y ，求出相关系数公式中的各个量，即可得出结论；（2）利用（1）中的数据求出,b a ，求出线性回归方程，即可求出7x =时，y 的值； （3）分别求出3,3x s x s -+的值，13与3x s +对比，即可得出结论. 【详解】（1）由题得2456855x ++++==，3444545y ++++== 所以()()516i i i x xy y =--=∑，()52120i i x x=-=∑，()5212i i y y=-=∑则0.95r ==≈.因为0.75r >，所以y 与x 具有较强的线性相关关系. （2）由（1）得60.320b ==，40.35 2.5a =-⨯=， 所以线性回归方程为0.3 2.5y x =+. 当7x =时，0.37 2.5 4.6y =⨯+=， 即当A 指标为7时，B 指标的估计值为4.6. （3）由题得(3,3)(1,11)x s x s -+=-，因为1311>，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.【点睛】本题考查两个变量间的相关性判断、线性回归直线方程及应用，考查计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=的距离为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为25y x =+或25y x =+.【解析】 【分析】（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22352050k xkx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，结合韦达定理可得到参数值. 【详解】（1）直线1x ya b+=的一般方程为0bx ay ab +-=.依题意2222ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=. 由()2240020350k k∆=-+>，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-+，122535x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++.要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，即(1212y y x x++ ()(()21212129k x x k x x =++++ 0=，所以()(2225201293535kk k kk+-+++ 0=，整理解得k =或k =所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数()()21ln (0)2a f x x x x a =--+>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a e <<，试判断()f x 的零点个数.【答案】（1）当1a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数， 当01a <<，()f x 在()0,1上是增函数，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数； （2）1 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导后对a 进行分类讨论，找到()0f x '>和()0f x '<的区间，即为()f x 的单调区间. （2）由（1）可知1a e <<时，()f x 有极大值1f a ⎛⎫⎪⎝⎭和极小值()1f ，研究他们的正负，并且找到令()0f x >的点，根据零点存在定理，找出零点个数.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()11111x ax f x a x x x--=--+='，令()0f x '=，则11x =，21x a=， （i ）若1a =，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上是增函数， （ii ）若01a <<，则11a>， 当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数，当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， （iii ）若1a >，则101a<<， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， 当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数， 综上所述：当1a =时，()f x 在()0,+∞上是增函数， 当01a <<，()f x 在()0,1上是增函数，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数； （2）当1a e <<时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()f x 的极小值为()110f =-<，()f x 极大值为2111111ln ln 1222a a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()1ln 122a g a a a=---，其中()1,a e ∈， ()()2222211112102222a a a g a a a a a--+='=+-=>,所以()g a 在()1,e 上是增函数， 所以()()e 1e 2022e g a g <=--<， 因为()()2114414ln494ln4ln40222a f =--+>⨯-+=+>，所以有且仅有1个()01,4x ∈，使()00f x =. 所以当1a e <<时，()f x 有且仅有1个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：4cos ρθ=，直线l的参数方程为：1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点. （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点()3,0P，求11PM PN-的值. 【答案】（1）22(2)4x y -+=0y --=；（2）13【解析】 【分析】（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l参数方程为普通方程；（2）先化直线l 的参数方程为标准式，再代入曲线C 方程，最后根据参数几何意义求解． 【详解】解：（1）曲线:4cos C ρθ=，24cos ρρθ∴=，∴曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即22(2)4x y -+=，直线l的参数方程为：1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， ∴直线l0y --=（2）直线l的参数方程为：132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入224x y x +=，得230t t +-=，121t t ∴+=-，123t t =- ∴2121121212||||||111||||||||||311t t t t t PM P t t t t t N --+=-===． 【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属于中档题．23.已知函数()12f x x a a x =--+-（Ⅰ）若()13f <，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2,3a x R ≥∈，判断()f x 与1的大小关系并证明. 【答案】（Ⅰ）24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()1f x ≥，证明见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）通过讨论a 的范围，去掉绝对值，解不等式，确定a 的范围即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质判断即可．【详解】（I ）因为()13f <，所以123a a +-<.① 当0a ≤时，得()123a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤; ② 当102a <<时，得()123a a +-<，解得2a >-，所以102a <<; ③ 当12a ≥时，得()123a a --<，解得43a <，所以1423a ≤<;综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫-⎪⎝⎭ （II ）()1f x ≥ ，因为2,3a x R ≥∈, 所以()12f x x a a x =--+- ()()1213311x a a x a a ≥----=-=-≥【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(十八)文科数学
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（十八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集(0,)A =+∞，集合{|3,0}xM y y x ==≤，N x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则()A C M N ⋂=（ ） A. (1,)+∞ B. (1,2) C. [2,)+∞D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的性质化简集合M ，利用由一元二次不等式的解法化简集合N ，利用补集与交集的定义求解即可.【详解】因为{|3,0}xM y y x ==≤(]0,1,=()1,A M ∴=+∞，又因为N x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩()0,2=， ()()1,2A M N ∴⋂=，故选B.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇. 2.已知复数321iz i-=-，i 为虚数单位，则2||z =A.2B.132C.134D.2【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z 求出z ，再求2||z .【详解】由题得32(32)(1)5,1(1)(1)2i i i i z z i i i --++===∴==--+， 所以213||2z =. 故答案为B【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数模的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z =3.在ABC ∆中，22,120AB AC BAC ==∠=︒，点D BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD ⋅=（ ） A. 3 B. 2C.73D.23【答案】D 【解析】∵1111233333AD CD AC CB AC AB AC AC AB AC =+=+=-+=+ ∴21242233333AB AD AB AB AC ⋅=+⋅=-=故选D.4.运行如图所示程序框图，输出的x 是（ ）A. 2-B. 3-C. 4-D. 5-【答案】A【解析】【分析】模拟运行如图所示的程序框图，即可得出该程序运行后输出的x值．【详解】解：模拟运行如图所示的程序框图知，该程序运行后输出的9832x=--=-．故选A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.916B.913C.716D.413【答案】A 【解析】【分析】由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S ，则图（3）中阴影部分的面积为：9S ，又图（3）中大三角形的面积为16S ，由几何概型中的面积型得解 【详解】设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S ， 则图（3）中阴影部分的面积为：9S ， 又图（3）中大三角形的面积为16S ， 由几何概型中的面积型可得： 此点取自阴影部分的概率为9S 916S 16=， 故选A.【点睛】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，熟练计算面积是关键，属简单题． 6.若函数()()πf x 2sin 2x φ(φ)2=+<的图象向左平移π12个单位长度后关于y 轴对称，则函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为( )A. B. 1-C. 1【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：()πg 2sin 2φ6x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用对称性求得πφ3=，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可得42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的单调性可得结果. 【详解】函数()()π2sin 2φ(φ)2f x x =+<的图象向左平移π12个单位长度后， 图象所对应解析式为：()ππg 2sin 2φ2sin 2φ126x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()g x 关于y 轴对称，则62k ππϕπ+=+，可得3k πϕπ=+，k Z ∈，又πφ2<，所以πφ3=， 即()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()32minf x f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数图象的对称性、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81126a a =+，则9S =（ ） A. 27 B. 36C. 45D. 54【答案】D 【解析】由题意，可得：()1127d 610d a a +=++ ∴146a d +=，即56a = ∴()199599542a a S a+⨯===故选D 8.函数28(sin )()2x x f x x x -=+-的部分图像大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】()()()()28sin ,2x x f x f x f x x x -+-==-∴+-为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时，设()sin g x x x =-，则()'1cos 0g x x =-≥，即()sin g x x x =-在区间()0,1上递增，且()()00,0g g x =∴>，又()()22210,x x x x +-=+-<∴在区间()0,1上()0f x <，排除B ；当1x >时，()0f x >，排除C ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 9.已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式()()1xf x f e +>在()1,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 2a ≤ B. 2a ≥ C. 0a ≤ D. 02a ≤≤【答案】A 【解析】 【分析】先证明11x x e <+<恒成立，得函数()f x 在()1,+∞上递减，即当1x >时，()'0f x ≤恒成立，问题转化为2(1)a x x ≤>恒成立，即可求出a 的范围．【详解】设()1,xg x e x =--则()'1xg x e =-，当0x >时()0110x g x e e =->-='，所以()1xg x e x =--在()0,∞+上递增，得()()00010,g x g e >=--=所以当0x >时，11x x e <+<恒成立. 若不等式()()1xf x f e+>在()1,x ∈+∞上恒成立，得函数()f x 在()1,+∞上递减，即当1x >时，()'0f x ≤恒成立，所以()20af x x-'=≤ 即2ax≤，可得2(1)a x x ≤>恒成立，因为22x >,所以2a ≤， 故选A ．【点睛】本题考查了构造新函数，也考查了导数的应用以及由单调性求参数的问题，属于中档题． 10.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是( )A. 1BC MN ⊥B. 1B N //CMC. 平面ABN //平面11C MDD. 平面CDM ⊥平面1111A B C D【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，由N 与C 重合排除选项B ；由N 与1A 重合且M 与1B 重合排除选项C ；M 与1B 重合时，排除选项D ，从而可得结果.【详解】N 与C 重合时，1//B N CM 不成立，排除选项B ；N 与1A 重合且M 与1B 重合时，平面//ABN 平面11C MD 不成立，排除选项C ；M 与1B 重合时，平面CDM ⊥平面1111D C B A 不成立，排除选项D .故选A.【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断、排除法解选择题，属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 11.已知函数1()2x f x x -=-与()1sin g x x π=-，则函数 ()()()F x f x g x =-在区间[2,6]-上所有零点的和为 A. 4 B. 8C. 12D. 16【答案】D 【解析】 【分析】()()()F x f x g x =-在区间[]2,6-上所有零点的和，等价于函数()()g x f x ，的图象交点横坐标的和，画出函数()()g x f x ，的图象，根据函数()()g x f x ，的图象关于()2,1点对称可得结果.【详解】()()()F x f x g x =-在区间[]2,6-上所有零点的和，等价于函数()()g x f x ，的图象交点横坐标的和， 画出函数()()g x f x ，的图象，函数()()g x f x ，的图象关于()2,1点对称，则()0F x =共有8个零点， 其和为16. 故选D.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.12.已知A (是双曲线2213x y -=上一点，1F 是左焦点，B 是右支上一点， 1AF 与1ABF 的内切圆切于点P ，则1F P 的最小值为 ( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由内切圆得到111AF BF ABFP 2+-=,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.【详解】1AF 与1ABF 的内切圆切于点P ，∴111AF BF AB FP 2+-=,由双曲线定义1112211AF BF ABBF BF 2a BF AF FP 2+-=+=+===22BF AB AF 22-≥=当且仅当A,B,2F 共线时取等 故选B【点睛】本题考查双曲线定义，内切圆的性质，三角形边长关系，准确运用内切圆与双曲线定义转化是关键，是难题.第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．【答案】-1 【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1 zx y2=-+的最小值．【详解】画出约束条件10210x yx yx--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数1z x y2=-+过点A时取得最小值，由{x0x y10=--=，解得()A0,1-，代入计算()z011=+-=-，所以1z x y2=-+的最小值为1-．故答案为1-．【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，则n的值为__________．【答案】100【解析】由频率分布直方图可得支出的钱数在[)30,40的同学有0.038100.38n n⨯=个，支出的钱数在[)10,20的同学有0.012100.12n n ⨯=个，又支出的钱数在[)30,40的同学比支出的钱数在[)10,20的同学多26人，所以0.380.120.2626100n n n n -==∴= 故答案为10015.如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．【答案】64【解析】 【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===，故16cos 422223C BD ∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________．【答案】11[,]54【解析】设()'1,0F -，则'2PF PF a +=，即2'PF a PF =-，又椭圆E 上存在一点P 使得9,PA PF +=2'9PA PF PA a PF ∴+=+-=，即'92PA PF a -=-，'''AF PA PF AF -≤-≤，1'1PA PF ∴-≤-≤，即1921a -≤-≤，解得1145,1,54a c e ≤≤=∴≤≤，故答案为11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分別为,,a b c ，()(),2,sin cos ,sin m b c n B A C =-=且//mn ． （I ）求角A ；（II ）若2sin 1a B C =+=，求ABC ∆ 的面积． 【答案】（I） 23A π=（II ） (36S -=【解析】试题分析：（I ）因为//m n ，所以2sin cos sin c B A b C -=，根据正弦定理，它可以化简为1cos 2A=-，故23A π=．（II ）因为23a A π==，所以利用正弦定理把sin 2sin 1B C +=可以转化为22bc +=，再利用余弦定理有223b c bc =++，解关于,b c 的方程组即可得到,b c ，从而求出面积．另一方面，我们也可以把sin 2sin 1B C +=化成sin 2sin 13B B π⎛⎫+-=⎪⎝⎭，从而求得cos 3B =，也就得到sin 3B =和3sin 6C -=，再利用正弦定理求出3,33b c ==，最后求出面积． 解析：（I ）因为//m n ，所以有2sin cos sin c B A b C -=，由正弦定理可得2sin sin cos sin sin C B A B C -=，因(),0,B C π∈，故sin 0,sin 0B C ≠≠，所以得到1cos 2A =-，∵()0,A π∈所以23A π=． （II ）法1：根据正弦定理2sin sin sin 3b cB C π==，于是可得sin ,sin 22b c B C ==．∵sin 2sin 1B C +=，∴22b c +=，又因为23A π=，由余弦定理得223b c bc =++，两式联立得23610c c -+=，解得13{3c b =-=或13{3c b =+=-（负值舍去）．∴(312sin 236S bc π=⋅==．法2：因为23A π=，所以3C B π=-，代入sin 2sin 1B C +=得sin 2sin sin sin 13B B B B B B π⎛⎫+-=+-== ⎪⎝⎭，所以cos B B ==sin 2sin 1B C +=，所以sin C =sin sin sin 3b cB C ==，于是可得2sin 2sin b B c C ====，∴(312sin 236S bc π=⋅==18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92. （1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x和方差2s；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s-+之间，则满意度等级为“A级”．试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？5.92≈≈≈）【答案】（1）见解析；（2）均值83x=，方差233s=（3）50%【解析】【分析】（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据；（2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；（3）根据题意，分析评分在(83，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案．【详解】（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.（2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x=+++++++++=，则有()()()()()()()()()()2222222222 219283848386837883898374838383788377838983 10S⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦33=所以均值83x=，方差233s=.（3）由题意知评分在(83即()77.26,88.74之间满意度等级为“A级”，由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为50.550%10==【点睛】本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题．19.四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，3BADπ∠=，PAD∆是等边三角形，F为AD 的中点，PD BF⊥.（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且14EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）112. 【解析】 【分析】（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ； （2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积． 【详解】连接PF ，BD,∵PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点， ∴PF ⊥AD ，∵底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点， ∴BF ⊥AD ，又PF ，BF ⊂平面PBF ，PF ∩BF ＝F ， ∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ⊂平面PBF ， ∴AD ⊥PB ．（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ⊂平面PAD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ，由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥平面ABCD ，连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=13CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ⊂面GED ，则面GED⊥平面ABCD ，此时CG=13CP, ∴四面体D CEG -的体积11131122338312D CEG G CED CEDV V S GH PF --==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112D CEG V -=. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．20.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，定点(2,3)M 与点F 在抛物线E 的两侧，抛物线E 上的动点P 到点M 的距离与到其准线l 的距离之和的最小值为10． （1）求抛物线E 的方程； （2）设直线12y x b =+与圆229x y +=和抛物线E 交于四个不同点，从左到右依次为,,,A B C D ，且,B D 是与抛物线E 的交点，若直线,BF DF 的倾斜角互补，求AB CD +的值． 【答案】（1）212y x =；（2）．【解析】试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）借助题设运用直线与抛物线的位置关系建立方程探求． 试题解析：（1）过P 作1PP l ⊥于1P ，则1PM PP PM PF MF +=+≥， 当,,P M F 共线时，1PM PP +取最小值2(2)9102pMF =-+=解得6p 或2p =．当6p时，抛物线E 的方程为212y x =，此时，点M 与点F 在抛物线E 同侧，这与已知不符． ∴2p =，抛物线E的方程为24y x =．（2）(1,0)F ，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由21{24y x by x =+=，得22(416)40x b x b +-+=， 所以24164x x b +=-，2244x x b =，且由0∆>得2b <．因为直线,BF DF 的倾斜角互补，所以0BF DF k k +=， ∵2424422424(1)(1)11(1)(1)BF DF y y y x y x k k x x x x -+-+=+=----， ∴2442(1)(1)0y x y x -+-=，即244211()(1)()(1)022x b x x b x +-++-=，24241()()202x x b x x b +--=，214()(164)202b b b b +---=，12b =，由2211{229y x x y =++=，得252350x x +-=， 所以1325x x +=-，2143))AB CD x x x x +=-+-24132))5x x x x =+--=+=． 考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题．求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用题设中的条件建立方程求出抛物线的方程为212y x =．第二问再借助直线与抛物线的位置关系的弦长公式分别求出2143))AB CD x x x x +=-+-,进而求出其值为,从而使得使问题获解．21.已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析； （2）2e 2ea 2e 2-≥-.【解析】 【分析】()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范围．【详解】()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()()()()22x 2a 1x 2a2x 1x a f'x (x 0)xx-++--∴==>，由得1x a =，2x 1=，当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时 ，在()x a,1∈时，()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；当a 1=时，在()x 0,∞∈+时，()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，在()x 1,a ∈时．()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点，()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，即有()()f 112a 10=-+≤且()()2f e e 2a 1e 2a 0=-++≤，解得2e 2ea 2e 2-≥-．即实数a 的取值范围是2e 2ea 2e 2-≥-．【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．22.在极坐标系中，已知三点()0,0O ，2,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，4B π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求经过O ，A ，B 三点的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩，（θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.【答案】（1）)4πρθ=-；（2）a =【解析】试题分析：（1）求出圆1C 的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆2C 化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a ．试题解析：（1）()0,0,2,,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应的直角坐标分别为()()()0,0,0,2,2,2O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，又因为cos {sin x y ρθρθ==，代入可求得经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （2）圆21cos :{1sin x a C y a θθ=-+=-+（θ是参数）对应的普通方程为()()22211x y a +++=，因为圆1C 与圆2C 外a =，解得a = 考点：1.圆的参数方程；2.简单曲线的极坐标方程． 23.已知函数()54f x x x =-++.（1）求不等式()12f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{112x x ≤-或132x ⎫≥⎬⎭；（2）[]8,10-【解析】试题分析：（1）绝对值函数去绝对值得到分段函数，分段解不等式即可；（2）不等式恒成立，则()1min f x a ≥-即可，由（1）知，19a -≤，解得答案．试题解析：∵函数()54f x x x =-++，∴当5x ≥时，()219f x x =-≥；当45x -<<时，()9f x =； 当4x ≤-时，()219f x x =-+≥ （1）当5x ≥时，不等式()12f x ≥化2112x -≥，解得132x ≥， 当45x -<<时，不等式()12f x ≥化为912≥，无解， 当4x ≤-时，不等式()12f x ≥化为2112x -+≥，解得112x ≤-， 综上，不等式的解集为{112x x ≤-或132x ⎫≥⎬⎭（2） 由上述可知()f x 的最小值为9，因为不等式()1f x a ≥-恒成立，所以19a -≤，所以810a -≤≤，故实数a 的取值范围为[]8,10-点睛：绝对值问题最常用的方法就是去绝对值得到分段函数，本题中得到分段函数后，再分段解不等式，注意观察各自分段的范围即可；函数不等式恒成立问题，只需()1min f x a ≥-即可，本题中通过前面的讨论得到()min f x ，解绝对值不等式即可．。
2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)
2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十九)文科数学试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R ，{2M x x =<-或}2x >，{}2430N x x x =-+<，则()U C M N ⋂=（ ）A. {}21x x -≤< B. {}22x x -≤≤C. {}12x x <≤D. {}2x x <【答案】C 【解析】 【分析】：首先解一元二次不等式，求得集合N ，应用补集的定义求得集合M ，再结合交集定义求得(){}|12U C M N x x ⋂=<≤，从而求得结果．【详解】：由于{}|22M x x x =-或，所以{}|22U C M x x =-≤≤，{}|13N x x =<<，所以(){}|12U C M N x x ⋂=<≤，故选C ．【点睛】：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合中元素的特征，从而求得结果． 2.以下说法错误的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B. “2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C. 若命题:P 存在0x R ∈，使得20010x x -+<，则p ⌝:对任意x R ∈，都有210x x -+≥D. 若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出,A C 正确；解方程得到解集和2x =的包含关系，结合充要条件的判定可知B 正确；根据复合命题的真假性可知D 错误，由此可得结果.【详解】A 选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”，可知A 正确；B 选项：由2320x x -+=，解得1,2x =，因此“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要，可知B 正确；C 选项：根据命题的否定可知:p ⌝对任意x ∈R ，都有210x x -+≥，可知C 正确；D 选项：由p 且q 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，因此D 不正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象.【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的， 由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题.4.已知,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 33a b > B.11a b< C. 22a b >D. ||a b b >+【答案】D 【解析】 【分析】：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A 项是充要条件，B,C 是既不充分也不必要条件，只有D 项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果.【详解】对于A ，根据函数3y x =的单调性可知，33a b a b >⇔>，是充要条件； 对于B ，11a b <时，可以得到0a b ab->，对应的结果为当0ab >时，a b >；当0ab <时，a b <，所以其为既不充分也不必要条件；对于C ，由22a b >，可以得到a b >，对于,a b 的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C ，经分析，当a b b >+时，得到,a b b b a b >+≥∴>,充分性成立，当a b >时，a b b >+不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.点睛：该题主要考查必要、充分条件的判定问题，其中涉及到不等式的性质的有关问题，属于综合性问题，对概念的理解要求比较高.5.己知函数()f x 的定义域是R ，对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=.当[)1,1x ∈-时，()f x x =.给出下列四个关于函数()f x 的命题： ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 是周期函数；③函数()f x 的全部零点为2x k =，k Z ∈； ④当算[)3,3x ∈-时，函数()1g x x=的图象与函数()f x 的图象有且只有4个公共点. 其中，真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由周期函数的定义得到②正确；()()111f f =-=-，可以得到函数()f x 不是奇函数，故①错误；()00f =，又()f x 是周期为2的函数，可得③正确；求出()()1f xg x x==的根即可判断④错误，从而得解.【详解】∵对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=，∴对任意的x ∈R ，()()2f x f x +=， ∴()f x 是周期为2的函数， ∴()()()1121f f f =-=-，又∵当[)1,1x ∈-时，()f x x =，∴()()111f f =-=-，∴函数()f x 不是奇函数，故①错误，②正确. 当[)1,1x ∈-时，()f x x =，∴()00f =，又∵()f x 是周期为2的函数，∴函数()f x 的全部零点为2x k =，k Z ∈，故③正确.∵当[)1,1x ∈-时，()f x x =，令()()1f xg x x==，解得1x =（舍）或1x =-；当[)1,3x ∈时，()()22f x f x x =-=-，令()()f x g x =，则12x x-=，解得1x =+1x =（舍）；当[)3,1x ∈--时，()()22f x f x x =+=+，令()()f x g x =，则12x x+=，解得1x =--1x =-+， ∴共有3个公共点，故④错误. 因此真命题的个数为2个. 故选：B【点睛】本题主要考查函数性质的综合运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos 5C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B . 7.当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A. ()()()22fx f x f x <<B. ()()()22f xf x f x <<C. ()()()22f x f x f x <<D. ()()()22f xf x f x <<【答案】D【解析】 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2fx 的大小，从而求得最后的结果.【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->， 从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f xf x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D.【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8.已知22log aa =，1212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n 1si c c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. b a c << B. a b c << C. c b a << D. a c b <<【答案】B 【解析】 【分析】分别构造新函数()22log xf x x =-，()121()2xg x x =-，()sin 1h x x x =--，结合零点的存在定理，求得,,a b c 的范围，即可求解.【详解】由题意，设()22log xf x x =-，可得()121312,(2)2124f f ---==-=-=-， 所以()1(2)0f f -⋅-<，根据零点的存在定理，可得(2,1)a ∈--，设()121()2xg x x =-，可得11(0)1,(1)122g g ==-=-，所以(0)(1)0g g ⋅<，根据零点的存在定理，可得(0,1)b ∈，令()sin 1h x x x =--，可得()11sin11sin10,()sin 110h h ππππ=--=-<=--=->， 所以()1()0h h π⋅<，可得(1,)c π∈， 综上可得a b c <<. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在定理的应用，其中解答中根据题意设出新函数，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9.已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（ ）A. 1B. 3C. 6D. 7【答案】D 【解析】 【分析】由()()11f x f x =+-可知()f x 为周期函数，再根据()f x 为偶函数可得()f x 在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像，再根据()cos g x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像得到所有的()()f x g x =的实根之和.【详解】因为()()11f x f x =+-，则()()2f x f x =-，所以()f x 的最小正周期为2，又由()()()111f x f x f x +=-=-得()f x 的图像关于直线1x =对称.令()cos g x x π=，则()g x 的图像如图所示，由图像可得，()y f x =与()cos g x x π=的图像在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有7个交点且实数解的和为2317⨯+=,故选D .【点睛】一般地，方程()()f x g x =的解的性质的讨论，可以通过构建新函数()()()F x f x g x =-来讨论，也可以通过考虑()y f x =和()y g x =的图像的交点性质来讨论.10.若P =Q =（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ） A. P Q < B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【答案】A 【解析】∵2225[252P Q a a -=++++= 且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.11.条件p ：“0a ≤或4a ≥”是条件q ：“()3211132f x ax ax x =+++有极值点”成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】32211“()1?“()1?32f x ax ax x f x ax ax 有极值点有两个不同的零点=+++⇔=++'⇔“04?a a 或⇒“04?a a ≤≥或，故选B ．12.已知函数222,0()ln ,0x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃，且n a <，127232mn ab k +-<，则实数k 的取值范围为（ ）A. 54,167⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】易知0k >，由表达式画出函数图像，再分类讨论y k =与函数图像的位置关系，结合不等关系即可求解【详解】易知当0k >，0x 时，22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时，22724k k k <<，得1427k <<， ,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根，即2220x kx k k ++-=的两根， 故22mn k k =-； 而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<， 即2644850k k -+<，解得1588k <<，所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时，22k k 且0k >，得102k <；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-<，得51162k <≤. 所以，k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知全集为R ，集合{}2log (1)A x y x ==-，{}21B y y x ==-，则()AB =R___________.【答案】()1,2 【解析】 【分析】求解对数函数的定义域以及函数的值域，解得集合,A B ，再由集合的运算即可求得结果. 【详解】因为{}2log (1)A x y x ==-{}1x x =；{2B y y =={|2}y y =≥；故可得()AB =R()1,2.故答案为：()1,2.【点睛】本题考查对数型函数的定义域，函数值域的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题. 14.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min 分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h ，1个这种细菌可以分裂成_____________个. 【答案】64 【解析】 【分析】一个小时分裂6次，根据分裂规则，即可求解.【详解】由题：细菌每10 min 分裂1次（1个分裂成2个）， 经过1h 可分裂6次，可分裂成6264=（个）. 故答案为：64【点睛】此题考查利用指数幂的知识解决实际应用问题，关键在于合理地将实际问题转化为纯数学问题. 15.已知函数2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =≤，集合5B |(())4x f f x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是__________．【答案】 【解析】 【分析】 由题意，求得54b =，集合B 化为2255()()044x ax x ax a +++++≤，运用判别式，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数2()f x x ax b =++，则集合2{|()0}{|}0A x f x x x ax b =++≤≤=，又由255B |(()){|()()0}44x f f x x f x af x b ⎧⎫=≤=++-≤⎨⎬⎩⎭，由A B =，令25()()()[()]4f x af x b f x f x m ++-=+， 即225()()()()4f x af x b f x mf x ++-=+，解得5,4m a b ==， 所以2225()()()[()]455()()044f x af x b f x f x a x ax x ax a =++++++-=+≤+要使得A B =≠∅，则满足2122540454()04a a a ⎧∆=-⨯≥⎪⎪⎨⎪∆=-⨯+≤⎪⎩，解得15a a a ⎧≥≤⎪⎨-≤≤⎪⎩5a ≤≤，所以实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及一元二次不等式的解法等知识点的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.16.奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.【答案】511- 【解析】 【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 时，()21xf x =-即可求解【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511-【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()1log 3(0x ay a +=->且1a ≠）的图象恒过定点P ，二次函数()y f x =的图象经过点P ，且()f x ＞0的解集为（1，3） （1）求()f x 的解析式（2）求函数()2sin ,0,3y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的最值. 【答案】（1）()243f x x x =-+-；（2）min 3y =-，max 0y =【解析】 【分析】(1)先根据对数函数性质得定点P ，再根据二次不等式解集设二次函数解析式()()()13f x m x x =-- ，代入P 点坐标得m 值，(2) 令sin x t =，则得关于t 的二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法，即得结果.【详解】（1）∵()log 13a y x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点()03P -，， 由题意可设()()()13f x m x x =--，0m <，∵()f x 的图象过点()03P -，， ∴33m =-，∴1m =-，∴()()()21343f x x x x x =---=-+-．（2）令sin x t =，∵2π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ∴01t ≤≤，则()243y f t t t ==-+-，01t ≤≤．∵()f t 在[]01t ，∈上是增函数， ∴当0t =，即0x =时，()min 03y f ==-； 当1t =，即π2x =时，()max 10y f ==． 【点睛】本题考查三个二次关系以及二次函数最值，考查基本求解能力.18.已知函数221,20()0,021,02x mx x f x x x x x ⎧+--<<⎪==⎨⎪-++<<⎩，是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）画出函数()f x 的图象，并根据图象求解下列问题； ①写出函数()f x 的值域；②若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）作图见解析①值域为[2,1){0}(1,2]--②(1,3] 【解析】 【分析】（1）采用特殊值加检验的方法求解出m 的值； （2）先根据()f x 解析式作出()f x 的图象：①直接根据图象写出()f x 的值域；②根据图象判断出()f x 的单调递增区间，由此得到关于a 的不等式组，从而求解出a 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)f f -=-，即11(121)m --=--++. 解得2m =.又易检验知：当2m =时，()f x 是奇函数.故所求实数m 的值为2.（2）由（1）得2221,200,021,02x x x x x x x ⎧+--<<⎪=⎨⎪-++<<⎩，如图，画出函数()f x 的图象.①由图知，函数()f x 的值域为[2,1){0}(1,2]--.②由图知，函数()f x 的单调递增区间为[1,1]-， 所以根据函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，可知需满足2121a a ->-⎧⎨-≤⎩，解得13a .故所求实数m 的取值范围为(1,3].【点睛】本题考查根据分段函数奇偶性求解参数、函数图象的应用，难度一般.已知函数的奇偶性求解参数的问题，可以采用计算特殊值并检验的方法，也可以采用定义法去计算. 19.已知：函数()f x =，()m ∈R . （1）若()f x 的定义域为R ，求m 的取值范围；（2）设函数()()g x f x x =-，若(ln )0g x ，对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立.求m 的取值范围.【答案】（1）[0,4]；（2）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）分类讨论，当参数0m =时，10≥恒成立，符合题意；当参数0m ≠时，满足0m >⎧⎨∆⎩，解不等式组即可；（2）将不等式等价转化为222(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )m x m x m x m x x ⎧-+⎨-+⎩在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，令ln t x =，不等式组化为()()222101m t t m t t t⎧-+⎪⎨-+⎪⎩，[1,2]t ∈，再采用分离参数法，通过求解关于t 的函数最值，进而求解参数m 范围【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，即210mx mx -+在R 上恒成立， 当0m =时，10≥恒成立，符合题意当0m ≠时，必有0040m m >⎧⇒<⎨∆⎩综上：m 的取值范围是[0,4] （2）()()g x f x x x =-=(ln )0g x ∴，对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立，等价于220(ln )ln 1(ln )m x m x x -+在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦总成立即：222(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )m x m x m x m x x ⎧-+⎨-+⎩(*)在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立 设：ln t x =，因为2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，所以[1,2]t ∈，不等式组(*)化()()222101m t t m t t t⎧-+⎪⎨-+⎪⎩ [1,2]t ∈时，20t t -（当且仅当1t =时取等号）1t =时，不等式组显然成立当(1,2]t ∈时，()()22222211011m m t t t tt m t t t m t t ⎧⎧-⎪-+⎪⎪⎪-⇒⎨⎨--+⎪⎪⎪⎪-⎩⎩恒成立 2211121124t t t -=--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即12m -221111t t t t t t-+==+-在(1,2]上递减，所以11t +的最小值为32，32m 综上所述，m的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查由具体函数定义域范围求解参数范围，由不等式恒成立求解参数取值范围，分离参数法应用，转化与化归能力，计算能力，属于难题 20.计算下列各式的值：（1）()11023327102π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg52lg2lg5lg2-++++⋅．【答案】（1）9512；（2）3. 【解析】 【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】（1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）． （2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=． 【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 21.已知函数33()log (1)log (1)f x x a x =-++()a ∈R ，且满足311log 42f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的定义域及a 的值；（2）若关于x 的方程()30f x x t --=()t ∈R 有两个不同的实数解，求t 的取值范围. 【答案】（1）定义域为(1,1)-；1a =（2）5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据对数式的真数大于零列出关于x 的不等式组，从而定义域可求；再根据311log 42f ⎛⎫=-⎪⎝⎭求解出a 的值；（2）通过化简将问题转化为二次函数2()1g x x x t =+--在区间(1,1)-内有两个零点，根据二次函数的零点分布列出满足的不等式组，求解出t 的取值范围即可.【详解】（1）由1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<.所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. 因为311log 42f ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以33313log log 1log 422a +=-. 所以3333311log 1log 4log 1log 4222a ⎛⎫=--=-⨯ ⎪⎝⎭.又33log 02≠， 故化简得所求1a =.（2）由（1）可知()2333()log (1)log (1)log 1f x x x x=-++=-，其中(1,1)x ∈-，所以由题设得关于x 的方程210x x t +--=在(1,1)-内有两个不同的实数解.（*） 设函数2()1g x x x t =+--，则因为该函数图像的对称轴方程为12x =-，所以结合（*）知只需(1)1015024(1)10g t g t g t -=-->⎧⎪⎪⎛⎫-=--<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=->⎩，解得514t -<<-. 故所求实数t 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查对数型函数与二次函数的零点分布的综合应用，难度一般.解答有关二次函数的零点分布问题，对于对称轴2bx a=-、∆与0的关系、特殊点处函数值的分析是重要突破点. 22.投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设()f n 表示前n 年的纯利润总和（()f n =前n 年总收入-前n 年的总支出 -投资额72万元） （Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.【答案】（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 【解析】【详解】(Ⅰ)依题意()f n =前n 年总收入- 前n 年的总支出- 投资额72万元,可得()21()5012472240722n n f n n n n n ⎡⎤-=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦由()0f n >得2240720n n -+->,解得218n <<由于*n N ∈,所以从第3年开始盈利.(Ⅱ)年平均利润()362404016f n n n n ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭ 当且仅当36n n=,即6n =时等号成立 即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(四)文科数学
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（四）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.()()12ii i =++（ ）A.310i- B.310i+ C.310i-+ D.310i-- 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出分母的计算结果，即(1)(2)13i i i ++=+，然后由复数的除法可对其进行化简，(13)1310i i i i -=+，从而可选出正确答案.【详解】解：(13)3(1)(2)131010i i i i ii i i -+===+++. 故选:B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算.本题的易错点为计算的准确性，易将2i 当做1进行计算.2.已知集合{}|ln A x y x ==，{}|3B x N x =∈≤，则（ ） A. B A ⊆ B. {}|0A B x x ⋃=>C. A B ⊆D. {}1,2,3AB =【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的定义域可得{}|0A x x =>，用列举法表示出{}0,1,2,3B =，从而可选出正确选项. 【详解】解：因为{}|0A x x =>，{}0,1,2,3B =，所以{}1,2,3A B =，{}|0A B x x ⋃=≥.故选:D.【点睛】本题考查了集合的化简，考查了两集合的关系，考查了集合的交集运算，考查了集合的并集运算.本题的关键和易错点是对集合A 的化简.3.“民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】A 【解析】 【分析】首先计算出抽样比为4048243018+++，即可计算出抽取的动物性食品类种数.【详解】解：因为40401482430181203==+++，所以抽取的动物性食品类的种数是130103⨯=. 故选:A.【点睛】本题考查了分层抽样.本题的关键是计算抽样比. 4.若向量()1,2AC =，()1,4AB BC -=-，则AB =（ ） A. ()1,1-B. ()0,6C. ()2,2-D. ()0,3【答案】D 【解析】 【分析】求得AB BC +，由此求得AB .【详解】依题意()1,2AB BC AC +==，所以()()1,21,4AB BC AB BC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩， 两式相加得()20,6AB =， 所以()0,3AB =. 故选：D【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，属于基础题.5.已知圆1C ：221x y +=，2C ：()2221x y -+=，3C ：()2211x y +-=，4C ：224x y +=，若从这4个圆中任意选取2个，则这2个圆的半径相等的概率为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C 【解析】 【分析】列举出四个圆中任意选取两个所有的情况，从中找出半径相同的情况，即可计算概率.【详解】解：由题意知，123,,C C C 的半径均为1，4C 的半径为2，则从这4个圆中任意选取2个， 所有的情况为()12,C C ，()13,C C ，()14,C C ，()23,C C ，()24,C C ，()34,C C ，共6种， 其中，这2个圆的半径相等的有()12,C C ，()13,C C ，()23,C C 共3种，故所求概率3162P ==. 故选:C.【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了古典概型.求古典概型概率时，可将所有的基本事件列举出，结合古典概型概率公式进行计算；有时也可结合排列、组合的思想进行求解.6.《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列{}n a ，14a =斤，则2a =（ ） A. 2.5斤 B. 2.75斤C. 3斤D. 3.5斤【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求出等差数列的公差，结合等差数列的通项公式，即可求出第二项的值. 【详解】解：由题意可知，14a =斤，52a =斤，则公差510.551a a d -==--斤， 故21 3.5a a d =+=斤. 故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式.本题的关键是公差的求解.7.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 的坐标为()0,2b ，若直线AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（ ）A.2B.C.3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由直线AF 的倾斜角为45︒可求出直线的斜率，结合两点间直线的斜率公式可得2c b =，由椭圆中222a b c =+，可得2234c a =，从而可求出离心率的值.【详解】解：依题意得2tan 451AF bk c==︒=，所以2c b =，即()222244c b c a ==-，即2234c a =，所以c e a ==. 故选:C.【点睛】本题考查了直线的斜率公式，考查了椭圆的焦点坐标，考查了椭圆离心率的求解.本题的关键是由直线的倾斜角求出,b c 的关系.一般求圆锥曲线的离心率时，由题意列出关于,,a b c 三个参数的式子，从而进行求解.8.函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A. (]0,16B. [)16,+∞C. 10,16⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法，设265u x x =-+，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭，结合指数函数的单调性及值域，可求出()()0416f u f <≤-=，从而可求本题函数的值域.【详解】解:设2265(3)44u x x x =-+=--≥-，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭， 因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416f u f <≤-=，即值域为(]0,16. 故选:A.【点睛】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.9.在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，该三棱柱的体积的最大值为（ ）A. 3B.C. 6D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，三棱柱高最大为3，求出底面三角形的面积，结合柱体的体积公式，即可求出体积的最大值. 【详解】解：设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，则h 的最大值为3，所以该三棱柱的体积的最大值为2max max 234ABC V S h =⋅=⨯⨯=故选:D.【点睛】本题考查了柱体体积的求解.本题的易错点是混淆了柱体、椎体的体积公式.本题的关键是分析出高的最大值.10.已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为（ ） A. 36y x =-+ B. 612y x =-+C. 36y x =-D. 612y x =-【答案】B 【解析】 【分析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，即可容易求得结果. 【详解】设函数()(1)(3)(4)(5)g x x x x x =----，则()(2)()(2)()()(2)()f x x g x x g x g x x g x ''''=-+-=+-， 所以(2)(2)6f g '==-，则曲线()y f x =在点(2,0)处的切线方程为612y x =-+. 故选：B .【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A.254πB.643πC. 25πD. 32π【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图知几何体是一个三棱锥，画出直观图，AB ⊥平面,PAC且2,4PA PC AC AB ====得到球心在过PAC 外心且与AB 平行的线段上，且到底面的距离是AB 的一半，利用直角三角形勾股定理求出球半径，得解.【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥B PAC -， 其中AB ⊥平面,PAC .作三角形PAC 重心E ， 过E 作//OE BA 且12OE BA =(如图)则OE ⊥平面,PAC PE CE AE ==，所以OP OC OA == 作BA 中点G 连结OG ,则OEAG是矩形，OG AB ⊥ 所以OA OB =OP OC OA OB ∴===，O ∴是球心，2,4PA PC AC AB ====设外接球的半径为,R PAC △外接圆的半径23PE =， 则222163R PE OE =+=，所以外接球的表面积26443S R ππ==.故选：B.【点睛】本题考查三视图及几何体的外接球问题.（1）几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．（2）与球有关外接问题关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 12.已知函数()14sin cos f x x x =-，现有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4πx =-对称； ③()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④方程()2f x =[],ππ-上有4个不同的实根. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ②④ B. ①③④C. ②③④D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】结合二倍角公式对函数进行变形可得112sin 2,sin 22()12sin 21,sin 22x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，作出()f x 在[],ππ-上的图象，可知四个命题的正确性.【详解】解：()1 12sin2,sin2214sin cos12sin212sin21,sin22x xf x x x xx x⎧-<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≥⎪⎩，作出()f x在[],ππ-上的图象（先作出2sin2y x=-的图象，再利用平移变换和翻折变换得到12sin2y x=-的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了分段函数的图像的做法，考查了三角函数的图像，考查了三角函数的性质，考查了数形结合.本题的关键是对已知函数进行整理变形后，画出其函数的图像.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若21xy=，则24x y+的最小值为_______.【答案】4【解析】【分析】结合基本不等式可得224244x y xy+=≥.【详解】解：因为21xy=，20y≥，所以0x>，20y>，则224244x y xy+=≥，当且仅当24x y=，即21,22x y==时，等号成立，所以24x y+最小值为4.故答案为:4.【点睛】本题考查了基本不等式.运用基本不等式求解最值时，需要注意一正二定三相等.14.在3log0.6，2log5，0.43这3个数中，最大的是_______.【答案】2log5【解析】 【分析】由对数函数的单调性可知，3log 0.60<，2log 52>，由指数函数的单调性可知，0.403<<出三个数中的最大值.【详解】解：由33log 0.6log 10<=，22log 5log 42>=，0.40.5033<<=2log 5.故答案为: 2log 5.【点睛】本题考查了指数函数单调性的应用，考查了对数函数单调性的应用.本题的关键是利用性质求出三个数和中间值0,2.15.在公比大于零的等比数列{}2n a n +，12a =，310a =，则4a =_______，数列{}n a 的前n 项和n S =______.【答案】 (1). 24 (2). 2224n n n +--- 【解析】 【分析】由已知12a =，310a =，可求出{}2n a n +的公比为2q ，从而可得122n n a n +=-，则可求出4a 的值，结合分组求和法，可求出n S .【详解】解：设等比数列{}2n a n +的公比为q ，则231616424a q a +===+，因为0q >，所以2q ，所以()111222n n n n a a q -+=+=+，则122n n a n +=-，所以5422424a =-⨯=，则()12312242222 (2)24...2(1)2412n n n n S n n n n n +++-⨯=+++-+++=-+=----.故答案为:24;2224n n n +---.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了分组求和，考查了等差数列的前n 项和，考查了等比数列的前n 项和.本题的关键是由已知条件，求出等比数列的公比.求数列的前n 项和时，常用的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.16.设1F ，2F 分别为椭圆C ：22221(1)1x y a a a +=>-的左、右焦点，()1,1P 为C 内一点，Q 为C 上任意一点.若1PQ QF +的最小值为3，则C 的方程为_______.【答案】22143x y +=【解析】 【分析】由题意知，()21,0F ，则21PF =；由三角形的三边关系可知221PQ QF PF -≤=，从而可求出21PQ QF -≥-，由椭圆的定义知，122123PQ QF PQ QF a a -+≥-==+，从而可求出2a =，进而可求出椭圆的标准方程.【详解】解：由椭圆定义可知122PQ QF PQ QF a +=-+，且()21,0F ，则21PF =， 因为221PQ QF PF -≤=，所以21PQ QF -≥-，所以22213PQ QF a a -+≥-=，所以2a =.故C的方程为22143x y +=.故答案为: 22143x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆焦点坐标的求解.本题的难点是分析出何时1PQ QF +可取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边.已知cos cos a B b A c =+. （1）证明：ABC 是直角三角形.（2）若D 是AC 边上一点，且3,5,6CD BD BC ===，求ABD △面积.【答案】（1）证明见解析；（2）9【解析】 【分析】(1)用正弦定理化简cos cos a B b A c =+可得.（2）用余弦定理求出cos BDC ∠ ,利用已知数据和利用三角形面积公式.【详解】（1）证明：因为cos cos a B b A c =+，所以sin cos sin cos sin A B B A C =+.又sin sin()C A B =+，所以2sin cos 0B A =. 因为sin 0B >，所以cos0A =，则2A π=，故ABC 是直角三角形.（2）解：因为2221cos 215BD CD BC BDC BD CD +-∠==-⨯， 所以1cos cos 15BDA BDC ∠=-∠=. 又2A π=，所以1cos 3AD BD BDA =∠=. 因为1cos 15BDA ∠=，所以414sin 15BDA ∠=， 故ABD △的面积为1214sin 29AD BD BDA ⨯∠=. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.. 18.如图，EA ⊥平面,,4,3,,32ABC AB BC AB BC BD AC AD CD ⊥=====.（1）证明：BD //平面ACE .（2）若几何体EABCD 的体积为10，求三棱锥E ABC -的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）935+【解析】【分析】（1）先证BD ⊥平面ABC ，结合EA ⊥平面ABC ，即可求得；（2）根据几何体的体积求得EA ，再求侧面积即可.【详解】（1）证明：因为,BC BD AC AD ==，所以ABC ABD △≌△.因为AB BC ⊥，所以AB BD ⊥.因为222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥.又AB BC B ⋂=，所以BD ⊥平面ABC .因为EA ⊥平面ABC ，所以EA //BD .因为BD ⊄平面,ACE AE ⊂平面ACE ，所以BD //平面ACE .（2）因为ABC 的面积13462S =⨯⨯=， 所以几何体EABCD 的积1()2(3)103V S EA BD EA =+=+=， 所以2EA =.因为EA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则BC EA ⊥，又因为BC AB ⊥，又,EA AB ⊂平面ABE ，故BC ⊥平面ABE ，则BC BE ⊥，所以BCE 的面积为132⨯=所以三棱锥E ABC -的侧面积为11242922⨯⨯+⨯=+【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥体积的求解，属综合基础题.19.已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.理由见解析【解析】【分析】（1）令导数234()10f x x x'=+-=，解出方程后，结合函数的定义域，探究()(),f x f x '随x 的变化，即可求出函数的单调区间.（2）结合函数的单调性可判断出函数在(]0,3上无零点，又由()()30,100f f <>，结合函数在(]3,10上的单调性及零点存在定理，可判断出()f x 在(]0,10上的零点的个数.【详解】解：（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==， 解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增；当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>， 又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.【点睛】本题考查了函数单调性区间的求解，考查了函数零点个数的判断.本题的难点在于第二问中，需要结合函数的单调性、零点存在定理进行判断.求解函数的单调性时，可结合函数的图像、导数、函数的性质等进行判断.20.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S 店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S 店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：（1）若该4S 店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：（ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【答案】（1）0.3（2）（ⅰ）93.32万元（ⅱ）每天应该批发两大箱【解析】【分析】（1）求出日销售总利润不低于24500元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱30天的总利润作比较. 【详解】解：（1）∵试销期间每个零件的利润为1000650350-=元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于2450070 350=，∴所求频率为630.3 30+=.（2）（ⅰ）批发两大箱，则批发成本为60255066000⨯⨯=元，当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(12050)5506600018650⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(12070)5506600028750⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为90件时，当日利润为9010000.9(12090)5506600038850⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量量为110件时，当日利润为11010000.9(120110)5506600048950⨯+⨯-⨯-=元；所以这30天这款零件的总利润为186505287501538850848950293.32⨯+⨯+⨯+⨯=万元.（ⅱ）若批发两小箱，则批发成本为45260054000⨯⨯=元，当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(9050)6005400017600⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(9070)6005400026800⨯+⨯-⨯-=元；当日销售量为90件或110件时，当日利润为9010005400036000⨯-=元.所以这30天这款零件的总利润为1760052680015360001085⨯+⨯+⨯=万元，∵93.32万元85>万元，∴每天应该批发两大箱.【点睛】本题考查频率的计算，销售利润的计算，运算难度不大，但是需要认真审题，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.21.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,M N 两点.（1）若l 过点F ，且||3MN p =，求l 的斜率；（2）若(,)2p P p ，且l 的斜率为1-，当P l ∉时，求l 在y 轴上的截距的取值范围（用p 表示），并证明MPN ∠的平分线始终与y 轴平行. 【答案】（1）（2）33(,)(,)222p p p -⋃+∞，证明见解析 【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为()(0)2p y k x k =-≠与抛物线方程联立求解，得到12x x +，12x x ， 利用||3MN p =转化求k 即可.（2）直线l 的方程为,y x m =-+与抛物线方程联立求解，利用根与系数的关系可得y 轴上的截距的取值范围；要证明MPN ∠的平分线与y 轴平行，则只需要直线,PM PN 的斜率互补，即证明0PM PN k k +=.【详解】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2p x =，代入抛物线方程可得22y p =，即y p =±，所以||2MN p =，但||3MN p =，故直线l 的斜率存在，设其方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭. 由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22222(2)04k p k x k p p x -++=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则21222k p p x x k++=，所以2121222||||||322p p k p p MN MF NF x x x x p p p k +=+=+++=++=+=，解得k =l的斜率为.（2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y x m M x y N x y =-+.由2,2,y x m y px =-+⎧⎨=⎩得22(22)0x m p x m -++=， 则2121222,x x m p x x m +=+=.由22(22)40m p m ∆=+->，得2p m >-.又2p m p -+≠，所以32p m ≠，从而l 在y 轴上的截距的取值范围为33(,)(,)222p p p -⋃+∞. ()()1221121212()()22()()2222PM PN p p y p x y p x y p y p k k p p p p x x x x --+----+=+=---- ()()111222()()22()()22p p x m p x x m p x p p x x -+--+-+--=-- 1212212()()()2()()22p x x m x x p m p p p x x -+-+--=-- 2122()(22)()2()()22p m m m p p m p p p x x -+-+--=-- 222212220()()22m m pm p pm p p p x x -++--+==--， 所以直线,PM PN 的倾斜角互补，从而MPN ∠的平分线始终与y 轴平行.【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 4sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩（0r >，θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为286ρρ+=.（1）若r =C 的极坐标方程；（2）若C 与M 恰有4个公共点，求r 的取值范围.【答案】（1）8cos 8sin ρθθ=+（2）22r <<【解析】【分析】（1）由参数方程消参后，可得其普通直角坐标方程，结合cos ,sin x y ρθρθ==可求出其极坐标方程. （2）由题意首先确定曲线M 的形状为原点为圆心，半径为2和4的两个同心圆，由公共点个数判断出C 与圆224x y +=相交，即可得关于半径的不等式，从而求出半径的取值范围. 【详解】解：（1）由44x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），得22(4)(4)32x y -+-=， 即22880x y x y +--=，得28cos 8sin 0ρρθρθ--=，即8cos 8sin ρθθ=+，所以C 的极坐标方程为8cos 8sin ρθθ=+.（2）由题意可知222(4)(4)x y r -+-=，则曲线C 表示圆心为()4,4，半径为r 的圆， 由286ρρ+=，得2ρ=或4ρ=，则M 由两个同心圆组成，原点为圆心，半径为2和4；因为C 与M 恰有4个公共点，所以圆C 与圆224x y +=相交，所以22r r -<<+，解得22r <<.【点睛】本题考查了参数方程和普通直角坐标方程的转化，考查了极坐标方程和普通直角坐标方程的互化，考查了两圆的位置关系.本题的关键是由交点个数判断出两圆的位置关系.[选修4－5：不等式选讲]23.已知函数()42f x x =--.（1）求不等式()f x >（2）证明：()22sin x f x x --≤<. 【答案】（1）[)()0,19,+∞.（2）见解析【解析】【分析】（1）通过讨论4x ≥，04x ≤<，去掉绝对值号，结合一元二次不等式的求解方法，可求出不等式的解集. （2）由绝对值三角不等式可知242x x -+-≥，从而可证()2x f x --≤，通过放缩可知4x >=-，2sin 2x ≤，可证明()2sin f x x <，从而证出()22sin x f x x --≤<.【详解】（1）解：当4x ≥时，()6f x x =->)320>30>，即9x >；当04x ≤<时，()2f x x =->)120<，解得01x ≤<.综上，不等式()f x >[)()0,19,+∞.（2）证明：因为()24242x x x x -+-≥---=，所以()2x f x --≤.4x =>=-，2sin 2x ≤，即2sin 2x -≥-，2sin 42x x ->--，即()2sin f x x <，综上，()22sin x f x x --≤<.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解，考查了不等式的证明.本题的难点是在证明第二问时，()2sin f x x <的证明.求含绝对值的不等式时，常用的方法有分类讨论法、几何意义法、函数图象法.。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(七)数学(文科)
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（七）数学（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{,Z}42M x x k k ππ==+⋅∈，{,Z}24N x x k k ππ==+⋅∈，则（ ）A. MNB. M N ⊆C. N M ⊆D. M N ⋂=Φ【答案】B 【解析】 【分析】 先由集合{,m Z}22N x x m ππ==+⋅∈{,m Z}42x x m ππ⋃=+⋅∈，然后结合集合{,Z}42M x x k k ππ==+⋅∈，判断即可得解.【详解】解：由{,m Z}22N x x m ππ==+⋅∈{,m Z}42x x m ππ⋃=+⋅∈，又{,Z}42M x x k k ππ==+⋅∈，所以M N ⊆， 故选：B.【点睛】本题考查了集合的包含关系，属基础题. 2.复数20192z i =-+的共轭复数z =（ ） A.122i + B.122i - C. 2i -- D. 2i -+【答案】D 【解析】 【分析】先由复数的运算可得2z i =--，然后求其共轭复数即可. 【详解】解：因为201922i i z =+---=， 则z =2i -+， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了共轭复数的概念，属基础题.3.刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.3πB.2πC.22D.33【答案】A 【解析】 【分析】先求出阴影部分及圆的面积，然后结合几何概型中面积型的概率公式求解即可.【详解】解：设圆的半径为1， 由题意可得阴影部分的面积为211121sin 326S π=⨯⨯⨯=， 又圆的面积为221S ππ=⨯=，则由几何概型中面积型的概率公式可得此点取自阴影部分的概率是123S S π=, 故选：A.【点睛】本题考查了几何概型中面积型的概率公式，重点考查了正多边形面积的求法，属基础题.4.设0.311lg ,,3a b c πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A. a c b << B. c a b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得0,1,01a b c <><<，得解.【详解】解：由0.311lg ,,3a b c πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则0,1,01a b c <><<， 即a c b <<， 故选：A.【点睛】本题考查了对数值，指数幂的大小的比较，属基础题.5.一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A. (4,0) B. (2,0)C. (0,2)D. (0,0)【答案】B 【解析】 【分析】设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点.【详解】圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()2,0．故选B【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．6.已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A.21cos 1xx -+B. 21sin1x x ++ C.2sin 1xx + D.2sin 1x x +【答案】D 【解析】 【分析】由函数图像的对称性及特殊点逐一判断即可得解.【详解】解：由函数图像关于y 轴对称可得，函数()y f x =为偶函数， 又选项C 对应的函数为奇函数，则排除选项C ， 又(0)0f =，显然选项B 不满足题意，即排除选项B ， 又()0f π=，显然选项A 不满足题意，即排除选项A ， 即()f x 的解析式可能为D ， 故选：D .【点睛】本题考查了函数的图像，重点考查了函数的奇偶性，属基础题.7.设n %m 表示自然数n 被正整数m 除所得余数，[x ]表示不超过x 的最大整数，如20%7=6，[3.14]=3.在图示框图中，若输入2049 ，则输出值为（ ）A. 15B. 20C. 45D. 38【答案】A 【解析】 【分析】先理解程序框图的功能，然后依次循环运算即可得解. 【详解】解：由题意有第一次循环：9,9,204k s n ===， 第二次循环：4,13,20k s n ===， 第三次循环：0,13,2k s n ===， 第四次循环：2,15,0k s n ===， 则此时1n <，输出当前的s ， 即输出值为15， 故选：A.【点睛】本题考查了程序框图，重点考查了阅读能力，属基础题.8.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A. 32 B. 31C. 30D. 29【答案】B【解析】 【分析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】因为174a a =， 所以2444,0,2n a a a =>∴=.因为47522a a +=， 所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，，所以55116[1()]2=31112S -=-. 故选B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°的角； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .其中正确的是( ) A. ①② B. ③④C. ②③D. ①③【答案】D 【解析】【详解】将展开图还原为正方体，由于EF ∥ND ，而ND ⊥AB ，∴EF ⊥AB ；显然AB 与CM 平行；EF 与MN是异面直线，MN 与CD 也是异面直线，故①③正确，②④错误.10.ABC ∆的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22()2a b c S +-=，则tanC 的值是（ ）A.43B. 43-C.34D. 34-【答案】B 【解析】 【分析】先由余弦定理及三角形面积公式可得tan 22C=，然后利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】解：因为22()2a b c S +-=，由余弦定理及三角形面积公式可得：222sin 2a b c ab C ab +-=-，即222sin 122a b c Cab +-=-，即sin 1cos 2C C +=， 即22cos sin cos ,0,cos 0222222C C C C Cπ=<<∴>, 即tan22C=， 所以22tan4231tan 2CtanC C ==--,故选：B.【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，重点考查了二倍角的正切公式，属基础题.11.设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A.2B.3 C.5 D.6【答案】B 【解析】 【分析】本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则 则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245FNF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到()()()()()22202222cos45a c a ++-=+⋅,解得ce a== 故选B.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．12.已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A. 77n =B. 49n ≤C. 64n =D. 81n ≥【答案】A 【解析】 【分析】先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可.【详解】解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个,故选:A.【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若2AE DB ⋅=-，则AE BE ⋅=__________． 【答案】3 【解析】以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，设正方形的边长为2a ，则：()2E a a ，，()20B a ，，()02D a ，，可得：() 2AE a a ，=，() 22DB a a =-，，若 2AE DB ⋅=-，可得22242a a -=-，解得1a =，()1,2BE =-，() 12AE =，，则3AE BE ⋅=，故答案为3.14.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a =__________． 【答案】8 【解析】因为242a a +=，241S S +=，所以111242,6711,1a d a d d a +=+=∴==- ，因此10198.a =-+=15.已知x ，y 满足不等式组2030230y x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若不等式7ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[4,3]- 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可得点,A B 的坐标为(2,1),(2,1)A B --．又直线70ax y +-=过定点(0,7)M ，故得4,3MA MB k k ==-. 由图形得，若不等式7ax y +≤恒成立，则43a a -≤⎧⎨-≥-⎩，解得43a -≤≤．故实数a 的取值范围是[4,3]-． 答案：[4,3]-点睛：线性规划中的参数问题及其求解思路（1）线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．（2）求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值（或范围）．16.若某直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为22则该直线的倾斜角大小为_______. 【答案】15︒和75︒ 【解析】 【分析】先由两平行直线的距离公式得直线1l 与2l 的距离为2d =，再结合直线被两平行线所截得的线段的长为2，求得该直线与直线1l 所成角30︒，然后结合直线1l 的倾斜角为45︒求解即可.【详解】解：由两平行直线的距离公式可得：直线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=的距离为d ==又直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为 即该直线与直线1l 所成角30︒， 又直线1l 的倾斜角为45︒，则该直线的倾斜角大小为15︒和75︒， 故答案为：15︒和75︒.【点睛】本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知函数7()2sin 184f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）在所给的坐标纸上作出函数(),[ 2.14]y f x x =∈-的图像（不要求写出作图过程）； （2）令()1()(4)1f xg x f x -=+-， 求函数()g x 的定义域及不等式()1g x ≥的解集.【答案】（1）见解析；（2）定义域为{}82,x x k k Z ≠+∈，不等式的解集为{}882,x k x k k Z ≤<+∈. 【解析】 【分析】（1）由函数()f x 的解析式作出其图像即可； （2）先解cos()084x ππ+≠，求出函数的定义域，然后解不等式tan 184x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，求其解集即可.详解】解：（1）由题意可得：()2sin 184f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则函数(),[ 2.14]y f x x =∈-的图像为：（2）2sin()184()tan(4)1842cos84xf xg x xf xxππππππ⎛⎫+⎪-⎛⎫⎝⎭===+⎪+-⎛⎫⎝⎭+⎪⎝⎭，由cos()084xππ+≠，解得82,x k k Z≠+∈，则函数的定义域为{}82,x x k k Z≠+∈解不等式()1g x≥，即tan184xππ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，即4842k x kππππππ+≤+<+，解得：882k x k≤<+不等式解集为{}882,x k x k k Z≤<+∈.【点睛】本题考查了三角函数图像的作法，重点考查了三角函数的定义域及三角不等式的解法，属基础题.18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y 如下表：数据表明y与x之间有较强的线性关系．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数1122211()(),()n niii i i i nniii i x x y y x ynx y b a y bx x x xnx====---===---∑∑∑∑．，．【答案】（1）0.86ˆyx =-（2）82（3）可以认为 【解析】 （1）由题意可知，故．，故回归方程为．（2）将代入上述方程，得．（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36． 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人． 于是可以得到列联表为：于是，因此在犯错误概率不超过0．01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题．求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势．19.如图()1，六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且90BAD ADC ︒∠=∠=，2,4AB AF EF ED AD CD ======，沿AD 进行翻折，得到的图形如图()2所示，且90AEC ︒∠=.（1）求证：CD ADEF ⊥面；（2）求证:点,,,E C B F 不在同一平面内； （3）求翻折后所得多面体ABCDEF 的体积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）33【解析】 【分析】（1）先证明CD ED ⊥，CD AD ⊥，然后证明CD ⊥面ADEF 即可； （2）用反证法，结合线面平行的判定定理和性质定理，即可证明； （3）由ABCDEF C ADEF F ABC V V V --=+，然后求解即可.【详解】证明：（1）在等腰梯形ADEF 中，作EM AD ⊥于M ， 则1,3,32AD EFDM AM EM -==== 3923AE ∴=+=连接AC ，则42AC =2229025AEC EC ED DC EC CD ED ∠=∴=∴+=∴⊥，，，；CD AD AD ED D CD ⊥⋂=∴⊥，，平面ADEF .（2）假设,,,E C B F 在同一平面α内， 则α平面ABCD BC =，,EFCD EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，EF ∴∥平面ABCD ，EF α⊂，EF BC ∴，ADBC ∴，这与已知条件四边形ABCD 是梯形矛盾，所以假设不成立，即点,,,E C B F 不在同一平面内； （3）由(1)知，CD ⊥平面ADEF ，而CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADEF ．EM AD EM ⊥∴⊥，平面ABCD ，1133ABCDEF C ADEF F ABC ADEF ABCV V V S CD SEM --∴=+=⋅⋅+⋅⋅()111116324342433232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查了线面垂直的判定、直线与平面平行的判定与性质的应用，重点考查了空间几何体体积的运算，属中档题.20.已知抛物线221:C x by b +=经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点.（1）求椭圆2C 的离心率；（2）设点(3,)Q b ，又,M N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若MNQ △的重心在抛物线1C 上，求椭圆2C 的方程.【答案】（12；（2）2212x y +=【解析】 【分析】（1）由题意可得即22c b =，再结合222a b c =+及椭圆的离心率ce a=求解即可. （2）联立抛物线与椭圆的方程，求出,M N 的坐标，然后利用重心坐标公式求解即可. 【详解】解：（1）因为抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -，又抛物线221:C x by b +=经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，则220c b b +⨯=， 即22c b =，由22222a b c c =+=，则椭圆2C 的离心率2c e a ==. （2）由（1）可知222a b =，则椭圆2C 的方程为222212x y b b+=，联立抛物线1C 的方程22x by b +=， 消x 得2220y by b --=，解得：2by =-或y b =（舍去），所以2x =±，即(,),,)2222b b M N ---， 所以MNQ △的重心坐标为(1,0). 又因为MNQ △的重心在1C 上， 所以2210b b +⨯=， 得1b =. 所以22a =，即椭圆2C 的方程为2212x y +=.【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，重点考查了运算能力，属中档题. 21.设函数ln ().a xf x x x=+（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（3）当0a >时，若()f x 存在极值点0x ，求证:0()f x >【答案】（1）210x y --=；（2）增区间(0,)+∞，无减区间；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义，先求出切线斜率，再求切线方程即可； （2）先求出函数的导函数，再解不等式求解即可；（3）由导数的应用，求出函数的极值点0x ，再代入运算即可得解.【详解】解：（1）当1a =时，2221ln 1ln ()1x x xf x x x+-='-=+. 则切线斜率'(1)2,(1)1k f f ===，即切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.（2）当1a =时，2221ln 1ln ()1x x xf x x x +-='-=+. 令2()1ln g x x x =+-，则221(),(0)x g x x x->'=，则当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即()g x 在区间⎛ ⎝⎭上递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增.从而[]2min 3()1ln ()ln 02g x x x g x g =+-≥==->， 所以()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，.所以，函数()f x 的单调缔造者区间为(0,)+∞.（3）由题意有22ln ()x a x af x x '-+=，由题设得函数2()ln h x x a x a =-+有正零点，设为0x ，即200ln x a a x +=.222()2x x a x a h x x x x x⎛' -⎝⎭⎝⎭=-==可得：()h x在区间⎛ ⎝⎭上递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 所以[]min3()ln 02a h x h a ==-<，于是3ln22>，即32a e >.于是2200000000ln 2()2x a x x a af x x x x x ++===+≥>【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数求函数的单调性及证明不等式，属中档题. 22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 96πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求出直角坐标系中l 的方程和圆心C 的极坐标； （2）若射线(0)3πθρ=≥分别与圆C 与和直线l 交点,A B （A 异于原点），求AB 长度．【答案】（190y +-=，圆心的极坐标为(2,)2π；（2【解析】 【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化即可得解； （2）由极坐标中ρ的几何意义可得A B AB ρρ=-，代入求解即可.【详解】解：（1）由直线l 的极坐标方程为2cos 96πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 9θρθ+=，即直线l-90y +=，又圆C 的方程为24sin ,4sin ρθρρθ==，2240x y y +-=，即直角坐标系方程为22(2)4x y +-=， 则该圆圆心坐标为（0，2）， 即圆心的极坐标为(2,)2π.（2）由题意有94sin32cos 36A B AB πρρππ=-=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，重点考查了极坐标的应用，属基础题. 23.已知函数()213f x x x =---. （1）求不等式()5f x ≤的解集M ；（2）设实数,a b M ∈，求证：-497()51ab a b ≤++≤ 【答案】（1）{}73x x -≤≤；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由绝对值不等式的解法，分类讨论当12x ≤时，当132x <<时，当3x ≥时，()5f x ≤ 的解集即可；（2）由不等式的性质可得0(7)(7)100a b ≤++≤，然后再运算即可得解.【详解】解：（1）当12x ≤时，不等式等价于12(3)5x x -+-≤，即172x -≤≤， 当132x <<时，不等式等价于21(3)5x x -+-≤，即132x <<， 当3x ≥时，不等式等价于21(3)5x x ---≤，即3x =， 综上可得不等式解集{}73M x x =-≤≤. （2）由实数,a b M ∈， 则-73,73a b ≤≤-≤≤， 即0710,0710a b ≤+≤≤+≤，于是0(7)(7)100a b ≤++≤， 即07()49100ab a b ≤+++≤， 所以，-497()51ab a b ≤++≤.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，重点考查了不等式的性质，属基础题.。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(七)数学(文)试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（七）文科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则AB = A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅ 【答案】C【解析】【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2.若复数z 满足()211z i i +=-(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】由复数模的概念可得()12z i +=，进而可得21i z =+，运算后即可得解.【详解】由题意()22112z i i +=-==， 所以()()()2121111i z i i i i -===-++-， 所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数模的概念、复数的运算与复数的几何意义，考查了运算求解能力，属于基础题. 3.若将函数()sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A. (,0)3πB. (,0)6πC. (,0)12πD. (,0)2π【答案】A【解析】【分析】先根据平移规则，得到平移后的解析式，根据正弦函数的图像和性质即可得出对称中心.【详解】将函数()sin 2f x x =图像向左平移6π个单位长度后，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()62k x k Z ππ=-+∈，当1k =时3x π=，所以平移后图像一个对称中心可以为(,0)3π. 故选：A【点睛】本题主要考查正弦型函数的平移变换，求正弦函数对称中心，属于基础题.4.若双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线为14y x =±，则其实轴长为（ ） A. 4 B. 12 C. 8 D. 14 【答案】C【解析】【分析】 由已知可得双曲线的渐近线为1y x a=±，建立关于a 的方程，求解即可. 【详解】因为2221(0)x y a a-=>的渐近线方程为14y x =±， 所以114a =，4a =， 所以双曲线的实轴长为8.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.5.已知圆C ：222x y r +=（0r >），直线l ：1x =，则“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据圆心到直线距离d ，比较d 与r 的关系即可判断．【详解】圆C ：222x y r +=（0r >）圆心坐标为()0,0则圆心到直线距离为1d = 所以当112r <≤时恰有两个不同的点到l 的距离为12 当C 上恰有不同的两点到l 的距离为12时，满足1322r << 所以“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的充分不必要条件所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，充分必要条件的简单应用，属于中档题．6.若球O 的半径为4，且球心O 到平面α的距离为3，则平面α截球O 所得截面圆的面积为( )A. πB. 10πC. 13πD. 52π【答案】C【解析】【分析】【详解】作出对应的截面图，∵球的半径R =4,由球心距d 3故截面圆半径24313r -=故截面圆面积S =πr 2=13π故选C.7.已知0.52a =，2sin5πb =，22log sin 5=c π，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a c b >>B. a b c >>C. c b a >>D. c a b >> 【答案】B【解析】【分析】由题意，可依次判断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选出正确选项.【详解】解：由于()2sin0,15πb =∈， 可得：22log sin05c π=<， 又0.512a =>， a b c ∴>>，故选：B.【点睛】本题考查指对数以及三角函数值比较大小，三角函数式的取值范围的判断，对数式的取值范围的判断及指数式的取值范围的判断，解题的关键是利用中间量法.8.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（）A. 12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】利用隔板法得到共计有246n C==种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数3m=，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有246n C==种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数3m=，∴乙获得“最佳手气”的概率3162mpn===．故选A．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A. 201921-B. 201922-C. 202022-D. 202021-【答案】C【解析】【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 10.奇函数f x （）的定义域为R ，若1f x +（）为偶函数，且(1)1f ﹣＝﹣，则20182019f f +（）（）＝（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数()f x 是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得()2018,(2019)f f 的值，即可得到答案．【详解】由题意，奇函数f x （）的定义域为R ，若1f x +（）为偶函数，则111f x f x f x （）＝（）＝（）-++--，即2f x f x +-（）＝（），则42f x f x f x +-+（）＝（）＝（），即f x （）是周期为4的周期函数，201850442200f f f f ⨯+-（）＝（）＝（）＝（）＝，20195045111f f f ⨯--（）＝（﹣）＝（）＝，则()()20182019011f f +=-=-，故选B ．【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.若()tan 804sin 420α+︒=︒，则()tan 20α+︒的值为( )A. -【答案】D【解析】由()tan 804sin4204sin60α+︒=︒=︒=得()()()()tan 8060tan 20tan 80601tan 80607tan tan αααα+︒-︒⎡⎤+︒=+︒-︒===⎣⎦++︒︒. 故选D. 12.已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 12a <≤B. 5a <C. 35a <<D. 25a ≤≤【答案】D【解析】【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()x x f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20a f x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增， 当1,()x x f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①， 当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20a f x x x x '=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=， 若242a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②， 若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③联立①②③可得：25a ≤≤.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.第II 卷（非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(),1AB m =，()1,4BC =，若11AB BC ⋅>，则m 的取值范围为____.【答案】()7,+∞【解析】【分析】直接进行向量数量积的坐标运算列出不等式求解即可.【详解】411AB BC m ⋅=+>，解得7m >.故答案为：()7,+∞【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.14.已知实数x ，y 满足1,3,10,x y x y ≥-⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩则22z x y =+的最大值为__________.【答案】13【解析】【分析】作出可行域，目标函数22z x y =+可表示为点(,)x y 到原点的距离的平方，数形结合可知OA 为此距离的最大值，求出点A 坐标即可得解.【详解】作出可行域如图所示：目标函数22z x y =+可表示为点(,)x y 到原点的距离的平方，由图可知OA 为此距离的最大值，10(23)3x y A y -+=⎧⇒⎨=⎩，，则22max 2313z =+=. 故答案为：13【点睛】本题考查线性规划中求平方和型目标函数的最值，理解目标函数的几何意义是解题的关键，属于基础题.15.如图，在四边形ABCD 中，1557AB BC CD DA ＝，＝，＝，＝，且90DAB BCD ∠∠︒＝＝，则对角线AC 的长为_____.【答案】2【解析】【分析】 设,AC x B θ=∠＝，在ABC 中和ACD 中，分别应用余弦定理，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】由题意，设,AC x B θ=∠＝，由90DAB BCD ∠∠︒＝＝，则180D θ∠=︒-， 在ABC 中，1,5,AB BC AC x ===，由余弦定理得22221526cos 21510x x θ+--==⨯⨯； 在ACD 中，5,7,CD DA AC x ===，由余弦定理得()22227574cos 18027570x x θ+--︒-==⨯⨯；∵()180cos cos θθ︒-=-，∴2274267010x x x --=-⇒==故答案为【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及四边形的内角和的应用，其中解得中熟练掌握余弦定理，列出方程求解是解本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16.甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对．【答案】③【解析】【分析】运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论.【详解】若甲做对A 、B ，乙做对A 、B ，丙做对A 、B ，则C 题无人做对，所以①错误； 若甲做对A 、B ， 乙做对A 、C ，丙做对B 、C ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误.做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法.故答案是：③.【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.必做题：共60分.17.在等差数列{}n a 中，已知345884,36a a a a +=-=.（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求20n S n +的最小值. 【答案】(Ⅰ)220n a n =+；(Ⅱ)30【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项1a 和公差d ，得到通项n a（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前n 项和n S ，表示出20n S n+，然后找到其最小值，注意*n N ∈. 【详解】(Ⅰ)由34584a a a +=-得428a =， ∴由11328736a d a d +=⎧⎨+=⎩，得1222a d =⎧⎨=⎩， 即数列{}n a 的通项公式为()2212220n a n n =+-⨯=+.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，()21222212n n n S n n n -=+⨯=+，∴ 202021n S n n n+=++， 令()*2021,f x x n N x=++∈， ()2201f x x =-',当((),0x f x ∈'<；当()(),0x f x ∈+∞>' 则()f x在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增，又*n N ∈，()()4530f f ==∴当4n =或5时，，()f n 取到最小值30，即20n S n+的最小值为30. 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，数列的函数性质，属于基础题.18.已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？（2）通过计算判断这3年前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x 1 2 34 利润y （单位：百万元）4 4 6 6相关公式：()()()21122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x nx x x ====∑--∑-⋅==∑-∑-，ˆˆa y bx =-．【答案】(1)5月和6月平均利润最高；(2)总利润呈上升趋势；(3)940万元.【解析】试题分析：(1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得； (2)分别计算出第1、2、3年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势；(3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可．试题解析：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．（2）第1年前7个月的总利润为123567428++++++=（百万元），第2年前7个月的总利润为255455531++++++=（百万元），第3年前7个月的总利润为446676841++++++=（百万元），所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．（3）∵ 2.5x =，5y =，2222123430+++=，1424364654⨯+⨯+⨯+⨯=，∴2544 2.550.8304 2.5ˆb -⨯⨯==-⨯， ∴5 2.50.8ˆ3a=-⨯=， ∴0.83ˆyx =+， 当8x =时，0.88394ˆ.y =⨯+=（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．19.如图，三棱锥B －ACD 的三条侧棱两两垂直，BC ＝BD ＝2，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．（1）证明：平面ABE⊥平面ACD ；（2）若四面体BEFG 的体积为12，且F 在平面ABE 内的正投影为M ，求线段CM 的长． 【答案】(1)见解析.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)先证明CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，可得平面ABE ⊥平面ACD .（2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ，所以//MF CD ，结合F 为AD 的中点，得M 为AE 的中点，由四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯== 12，解得3BG =，进而可求得46CM =. 试题解析：(1)证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥，又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BC BD B ⋂=，所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥因为AB BE B ⋂=，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD .（2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ，所以//MF CD又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点， 因为2BE =，1222MF DE ==， 所以四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯== 12， 则3BG = 在Rt ABE ∆中，26AB BG ==，26238AE =+=在Rt CEM ∆中，122ME AE ==，2CM ==. 20.设抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-.（1）求p 的值及该圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.【答案】（1）2p =，圆的方程为：22(1)4x y -+=.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，可知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，即可求出p 的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，与抛物线C 联立方程组，根据0∆=，求得01y k k +=，化简解得2y k =，进而求得N 点的坐标为212,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求出FM ，FN ，利用向量的数量积为0，即可证出MF FN ⊥.【详解】解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭， 所以(1)2p p =--，解得2p =. 又圆的圆心为()1,0F ，所以圆的方程为22(1)4x y -+=.（2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，代入C 的方程，得()20440ky y y h -++=.令()016160k y k =-+=△，得01y k k +=， 所以()222044440k y ky ky y y A k -+-++==，解得2y k=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以()02,FM y =-，2121,FN kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，022********FM FN y k k k k k k⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭. 故MF FN ⊥.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.21.已知函数1x f x e a x （）＝﹣（﹣）．（1）证明：当1a ＝时，2f x （）≥恒成立； （2）若函数f x （）在R 上只有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析（2）0a <或2a e =【解析】【分析】（1）对函数()f x 求导，得到函数()f x 的最小值为2，即可证明.（2对a 分类讨论，易得a=0时无零点，a<0和a>0时求函数的导数，判断函数的单调性和极值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论．【详解】（1）f ′（x ）=1x e -，令f ′（x ）=0，得到x=0,当x<0时，f ′（x ）<0，()f x 单调递减，当x>0时，f ′（x ）>0，()f x 单调递增, ∴()f x 在x=0处取得最小值.()0012f e =+=,∴()()02f x f ≥=.（2）当a=0时，()xf x e =>0恒成立，无零点，与题意不符；当a<0时，f ′（x ）=0x e a ->,()f x 在R 上单调递增, 又x=1a 时,111 1a f e a a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1a e -1+a<1-1+a<0,x=1时，()1f =e>0， 根据零点存在性定理，()f x 在R 上有唯一零点，当a>0时，f ′（x ）=x e a -令f ′（x ）=0，x=lna,()x ,lna 0f x，∞'∈-<，f(x)单减， ()x lna 0f x ∞∈'+>，，，f(x)单增，()f x 在x=lna 处取得最小值，f （lna ）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，Lna=2，所以a=2e∴当a<0或a=2e 时，()f x 在R 上有唯一的零点.【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值，考查了函数的零点的判断，注意运用分类讨论思想，考查逻辑思维能力，具有一定的难度．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x cos y sin ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）将1C 的方程化为普通方程，将2C 的方程化为直角坐标方程；（2）已知直线l 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩（2παπ<<，t 为参数，且0t ≠），l 与1C 交于点A ，l 与2C 交于点B ，且AB =，求α的值.【答案】（1）22(2)4x y -+=； （2）56π. 【解析】【分析】（1）利用参数方程消参，化为普通方程，利用极坐标与平面直角坐标的转换关系将极坐标方程化为平面直角坐标方程即可；（2）曲线l 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩（2παπ<<，t 为参数，且0t ≠），将其分别代入两个曲线方程中，分别求得2cos A t α=和4cos B t α=，结合直线的参数方程中参数的几何意义，得到2cos A B AB t t α=-==，结合题意，求得结果.【详解】（1）曲线1C 消去参数β得()2211x y -+=，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，即24cos ρρθ=化为直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程()2211x y -+=得22cos 0t t α-=，∵0t ≠，∴2cos A t α=.同理，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得24cos 0t t α-=，4cos B t α∴=.2cos A B AB t t α∴=-==∵2παπ<<，∴cos α=，∴56πα=. 综上所述：56πα=. 【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，利用直线的参数方程中参数的几何意义来解决有关线段长度的问题，属于中档题目.23.已知函数1()||||f x x x a a=++-，其中0a >． （1）若(2)1f a <+，求正实数a 的取值范围； （2）若对任意的(0,)a ∈+∞，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）)+∞（2）(,2]-∞． 【解析】【分析】（1）把(2)f 代入，利用零点分段讨论去掉绝对值可求；（2）()f x m ≥恒成立，转化为()f x 的最小值min ()f x m ≥，求出最小值可得.【详解】（1）由题可得1(2)|2||2|f a a =++-，所以1221||a a a++<-+， 即21221a a a a ≥⎧⎪⎨+-+<+⎪⎩或21221a a a a<⎧⎪⎨++-<+⎪⎩， 解得2a ≥或324a +<<，故正实数a的取值范围为3()4+∞． （2）由题可得111()||||||f x x x a x x a a a a a =++-≥+-+=+， 因为0a >，所以12a a +≥=，当且仅当1a =时取等号， 因为对任意的(0,)a ∈+∞，()f x m ≥恒成立，所以2m ≤，故实数m 的取值范围为(,2]-∞．【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和恒成立问题，零点分段讨论法是解不等式的常用方法，恒成立问题一般是利用绝对值的三角不等式来求解.。
2021届河北衡水中学新高考仿真考试(十二)数学(文)试题
2021届河北衡水中学新高考仿真考试（十二）文科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,3,5,7M =，(){}50N x x x =-<，则M N =（ ）A. {}1,3B.{}0,1,3C. {}1,3,5D. {}0,1,3,5【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得集合N ，再由交集运算即可得解. 【详解】集合{}0,1,3,5,7M =，(){}50N x x x =-<，则{}05N x x =<<，所以由交集运算可得{}1,3M N ⋂= 故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的虚部为（ ）A. 2-B. 3iC. 1D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，即可得z 的虚部. 【详解】由复数除法运算化简可得()133213233213i i iz i i +===-+-，由复数的概念可知z 的虚部为3. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的概念与复数的除法运算，属于基础题. 3.已知()4cos π5α+=，则3πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A.35 B.35C.45D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】首先利用诱导公式得到()4cos πcos 5αα+=-=，再利用诱导公式计算3πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭即可. 【详解】因为()4cos πcos 5αα+=-=， 所以3π4sin cos 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟记口诀：“奇变偶不变，符号看象限”为解题的关键，属于简单题.4.设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则k =（ ） A. 2 B. -2C. 6D. -6【答案】D 【解析】【分析】根据//m n 可知,m n R λλ=∈，再根据2m a b =-，3()n a kb k R =+∈代入求解即可.【详解】因为//m n ，故,m n R λλ=∈，故()323a kb kb a b a λλλ-==++，因为a ，b 是两个不共线的平面向量，故132k λλ=⎧⎨-=⎩，解得136k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.故选：D【点睛】本题主要考查了向量平行求参数的问题，若//m n ，则,m n R λλ=∈，属于基础题. 5.记曲线221x y a-=-（0a >且1a ≠）所过的定点为P ，若点P 在双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线上，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】易知()2,1P ，则C 的一条渐近线的斜率12b a =，根据公式即可求得结果. 【详解】221x y a-=-,当20x -=时，即2x =，1y =，所以定点()2,1P ，则C 的一条渐近线的斜率12b a =，所以双曲线的离心率为e ==2=. 故选：B.【点睛】本小题主要考查曲线恒过定点，考查双曲线的渐近线，双曲线的离心率的求法，属于基础题. 6.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y （单位：百台）与年份代号x 的数据如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为ˆ 6.59yx =+，则表中m 的值为（ ） A. 22 B. 25.5 C. 28.5 D. 30【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程经过样本中心点(),x y ，即可代入回归方程求得y ；进而由表中数据求得m 的值. 【详解】因为0123425x ++++==，代入回归直线方程ˆ 6.59yx =+，可得 6.52922y =⨯+=， 结合表中数据可知10152035225m ++++=，解得30m =. 故选：D.【点睛】本题考查了线性回归方程及其性质的简单应用，属于基础题.7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C的面积为，且短轴长为C 的标准方程为（ ）A. 22112x y +=B. 22143x y +=C. 22134x y +=D. 221163x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为,a b 的值，进而由焦点在x 轴上可得C 的标准方程.【详解】由题意可得,π2ab b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2a =，b =因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为22143x y+=.故选：B.【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.8.将函数()32sin x x f x x+=的图象向下平移1个单位长度.得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得()32sin 1x x g x x+=-，又()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，则()g x 的图象关于点()0,1-对称，排除A ，B ，根据()1sin10g =>，可排除C ，从而得到答案.【详解】易知()32sin 1x x g x x +=-，由()()()()32sin x x f x f x x-+--==- 所以函数()32sin x x f x x +=为奇函数，其图象关于原点对称，故函数()g x 的图象关于点()0,1-对称，排除A ，B ； 又()sin1111sin101g +=-=>，排除C. 故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数对称性的应用，根据解析式选择函数图象时可根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）和特殊点处函数值等进行验证排除.属于中档题. 9.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为（ ）A.22B. 2-C.213D.313【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图还原空间几何体，由几何体可知PBA ∠即为异面直线PB 与CD 所成的角，结合线段关系即可求得PBA ∠的值，进而得异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD .因为//AB CD ，所以PBA ∠即为异面直线PB 与CD 所成的角. 因为tan 1PAPBA AB∠==，所以45PBA ∠=︒， 所以2cos PBA ∠=. 故选:A.【点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的简单应用，异面直线夹角的求法，属于基础题.10.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边AB 作正方形，以点A 或点B 为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边AB 作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D 正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：2 1.414≈）（ ）A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米【答案】B 【解析】 【分析】CD 22，再根据木塔底层的边AB 不少于47.5米，即可求解. 【详解】解：设木塔的高度为h ，有图可知，2 1.41447.567.165h AB =≥⨯=（米）， 同时212CD h -=219.967.9181.4142121122CD h ==≈---（米）， 即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B 符合. 故选：B.【点睛】根据给定图形观察出待求线段与已知线段之间的比例关系是解答本题的关键，同时考查运算求解能力；属于基础题.11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()30f x xf x '+<，且()210f =，则不等式()()2800x f x x x>≠的解集为（ ） A. (),0-∞ B. ()0,2C. ()2,+∞D. ()(),00,2-∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()3g x x f x =，利用所给不等式求出()g x '的符号从而判断()g x 的单调性，由()210f =知()280g =，分0x >、0x <两类情况求解不等式.【详解】构造函数()()3g x x f x =，则()()()233g x x f x x f x ''=+，()()30f x xf x '+<，()()()230x f xf g x x x '=+∴≤⎡⎤⎣⎦'，∴函数()()3g x x f x =在R 上单调递减.()210f =，∴()280g =，解不等式()()2800x f x x x>≠， 当0x >时，得()380x f x >，则()()2g x g >，因为函数()g x 在R 上单调递减，所以02x <<； 当0x <时，得()380x f x <，则()()2g x g <，因为函数()g x 在R 上单调递减，所以2x >，不合题意，舍去.所以不等式()()2800x f x x x>≠的解集为()0,2. 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据题中所给不等式的形式构造新函数是解题的关键，属于中档题.12.已知函数()cos2cos f x x x =+，有下列四个结论： ①()f x 为偶函数；②()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 在[]2π,2π-上恰有8个零点， 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义可判断①正确，借助二倍角公式将函数化简为()2192cos 48f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭利用二次函数性质计算可得②错误，利用复合函数的单调性可判断22cos cos 1y x x =+-在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且22cos cos 10y x x =+-<，则()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，根据偶函数性质可得出③正确，利用函数与方程的思想解方程即可判断④错误.【详解】由()()()()cos 2cos cos2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 为偶函数，①正确；()2219cos 2cos 2cos 1cos 2cos 48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=+- ⎪⎝⎭，记[]cos 1,1t x =∈-，则22192cos cos 1248y x x t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当1t =时，y 取得最大值2，当14t =-时，y 取9得最小值98-， 即22192cos cos 1248y x x t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭的值域为9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为[]0,2，②错误；()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调性与它在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性刚好相反，当5ππ,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos t x =单调递增，且1,t ⎡∈-⎢⎣⎦，而221921248y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭在1,2t ⎡∈--⎢⎣⎦时单调递减，故22cos cos 1y x x =+-在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又此时221,02y t t ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是得()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，③正确； 令2210t t +-=，得1t =-或12，而当[]0,2πx ∈时，cos 1x =-及1cos 2x =恰有3个不等的实根π，π3，5π3， 即()f x 在区间[]0,2π上恰有3个零点，结合奇偶性可知，即()f x 在区间[]2π,2π-上恰有6个零点，④错误.故正确的是①③. 故选:A.【点睛】本题考查讨论余弦函数的奇偶性、单调性，以及根据已知条件求值域，考查零点问题，函数与方程的思想，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为______.【答案】()1,x ∀∈+∞，22x x +> 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式及定义即可得解.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“()01,x ∃∈+∞，2002x x +≤”的否定为“()1,x ∀∈+∞，22x x +>”.故答案为：()1,x ∀∈+∞，22x x +>.【点睛】本题考查了特称命题的否定，属于基础题.14.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =，34527a a a ++=，则10S =______. 【答案】120 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式及前n 项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前n 项和公式即可求得10S 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得()141331533327a d a a d +=⎧⎨=+=⎩解得13a =，2d =， 所以101109102S a d ⨯=+10910322⨯=⨯+⨯ 120=.故答案为：120.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的简单应用，属于基础题.15.已知长方体1111ABCD A B C D -的共顶点的三条棱长度之比为1:1:2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为______. 【答案】803【解析】 【分析】计算出长方体外接球的半径，根据题意设出长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长分别为k 、k 、()20k k >，可得出24R ==k 的值，进而可求得该长方体的全面积. 【详解】设长方体外接球的半径为R ，则2416R ππ=，2R ∴=， 设长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长分别为k 、k 、()20k k >，于是得24R ==，k ∴= 因此，该长方体的全面积为()222222225k k k k++=⨯803=. 故答案为：803. 【点睛】本题考查利用长方体的外接球计算长方体的表面积，同时也考查了利用球体的表面积计算球体的半径，考查计算能力，属于中等题.16.已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A ，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______.【答案】 (1). (2). (4⎤⎦【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合()sin sin B A C =+可得出关于角A 的三角等式，进而可求得tan A 的值；利用正弦定理以及三角恒等变换思想得出4sin 3b B c π⎛⎫+= ⎝+⎪⎭，根据ABC 为锐角三角形求得角B 的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得b c +的取值范围.【详解】由2sin cos cos cos b A A C A =及正弦定理，得()sin sin sin cos sin cos B A A A C C A =+，即()sin sin sin B A A A C =+，sin sin sin B A A B ∴=，02B π<<，sin 0B ∴>，可得tan A =02A π<<，3A π∴=.又ABC 是锐角三角形，022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====，21sin sin sin cos sin 33322b c B B B B B π⎫⎡⎤⎛⎫∴+=+-=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭3sin cos 4sin 3226B B B π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 62B ππ<<，2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 6B π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，(b c ⎤∴+∈⎦.(4⎤⎦.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形边长之和取值范围的计算，考查三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且242a a =，532a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求使得2020n S <成立的n 的最大值0n .【答案】（1）2nn a =（2）09n =【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式，设{}n a 的公比为q ，代入已知条件即可求得首项与公比，进而得{}n a 的通项公式；（2）由等比数列通项公式，代入即可得n S 的表达式，结合不等式即可试解得最大值0n . 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ， 由已知条件得32211a q a q =，4132a q =， 解得12a q ==.故112n n n a a q -==. （2）因为2nn a =，所以()12122212n n nS +-==--，由2020n S <，得1222020n +-<，即122022n +<， 而10210242022=<，11220482022=>， 所以110n +≤，即9n ≤， 所以09n =.【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m 的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值； （2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【详解】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=， 得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种. 故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.19.在直三棱柱111ABC A B C -中，11AC BC CC ===，3π4ACB ∠=，点D ，E 分别为棱1CC ，AB 的中点.（1）求证：//DE 平面11AB C ； （2）求三棱锥1D AC E -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）248【解析】 【分析】(1)本题首先可以取1AB 的中点F 并连接EF 、1C F ，然后通过证明1//C D EF 即可得出四边形1C DEF 是平行四边形以及1//DE C F ，最后根据线面平行的相关判定即可得出结果；(2)本题首先可结合题意与图像将三棱锥1D AC E -的体积转化为112C ACE V -，然后通过三棱锥的体积公式即可得出结果.【详解】（1）取1AB 的中点F ，连接EF ，1C F ，则在1ABB △中，1//EF BB ，112EF BB =， 又点D 是1CC 的中点， 所以1111122C D CC BB ==. 而且11//C D BB ，所以1//C D EF ，所以四边形1C DEF 是平行四边形，1//DE C F ， 又DE ⊄平面11AC B ，1C F平面11AC B ，所以//DE 平面11AC B . （2）因为点D 是1CC 的中点， 所以1111122D ACE C AC E C ACE V V V ---==，11111113π1sin 1113262412224C ACE ABC V SCC CA CB CC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=， 所以三棱锥1D AC E -的体积为1D ACE V -=. 【点睛】本题考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求法，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则线面平行，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.20.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点. （1）若直线l 与圆221:4O x y +=相切，求直线l 的方程； （2）若直线l 与x 轴的交点为D ，且DA AF λ=，DB BF μ=，试探究：λμ+是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.【答案】（1）1y =+；（2）λμ+为定值1-. 【解析】 【分析】 （1）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，由直线l 与圆O 相切，得出圆心到直线l 的距离等于半径，进而可求得直线l 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，可知当直线l 的斜率不存在时不满足题意，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出关于λ、μ的表达式，代入韦达定理化简计算可求得λμ+的值. 【详解】（1）由已知得()0,1F .当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时，直线l 与圆O 相交，不合乎题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，由直线l 与圆221:4O x y +=12=，解得k =综上所述，直线l 的方程为1y =+；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y . 若0k =，则直线l 与x 轴平行，不合乎题意，所以0k ≠.联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得2440x kx --=，由韦达定理得121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，易知1,0D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由DA AF λ=，得()111111,,x x k y y λ⎛⎫=-- ⎪⎝+⎭， 则111x x k λ+=-，111kx λ∴=--，同理可得211kx μ=--，所以12121211422214x x kkx kx kx x kλμ++=---=--=--=--， 所以λμ+为定值1-.【点睛】本题考查直线与圆相切，同时也考查了抛物线中的定值问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()()()211xf x mx x e m =+-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()23f x mx x >+.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，对0m ≥、0m <两类进行分类讨论判断导数符号从而确定单调性；（2）设()()23F x f x mx x =--，通过导数判断函数()F x 的单调性，证明()0F x >在1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立即可得证.【详解】（1）()()22x xf x mx xe x e m '=+=+.①当0m ≥时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <， 故()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.②当0m <时，令()0f x '=，得0x =或()ln 2x m =-. 当12m =-时，()()10xf x x e '=-≥，故()f x 在R 上单调递增. 当102m -<<时，令()0f x '>，得0x >或()ln 2x m <-；令()0f x '<，得()ln 20m x -<<， 即()f x 在()()ln 2,0m -上单调递减，在()(),ln 2m -∞-，()0,∞+上单调递增. 当12m <-时，令()0f x '>，得0x <或()ln 2x m >-；令()0f x '<，得()0ln 2x m <<-， 即()f x 在()()0,ln 2m -上单调递减，在(),0-∞，()()ln 2,m -+∞上单调递增. （2）设()()()23311xF x f x mx x x e x =--=--+，则()()()2133xxxF x e x e x x e x '=+--=-，设()3xx e x ϕ=-，则()3xx e ϕ'=-，∵1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()30x e ϕ'<-<，∴()x ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又1103ϕ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()130e ϕ=-<，∴()x ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点，设为0x . 则当013x x <<时.()0x ϕ>，()0F x '>，()F x 单调递增； 当01x x <<时，()0x ϕ<，()0F x '<，()F x 单调递减， 又1133126226*********e F e -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，()10F =，∴()0F x >在1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，∴当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()23f x mx x >+.【点睛】本题考查分类讨论含参函数的单调区间、利用导数证明不等式，属于较难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）点P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求证：2PQ ≤. 【答案】（1）22149x y +=；2240x y x +-=（2）证明见解析；【解析】 【分析】（1）消去参数α即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标与直角坐标的转化公式即可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）由参数方程可设()2cos ,3sin P αα，由两点间距离公式可求得2PC ，并求得2PC 的最大值，由点和圆的位置关系即可证明结论.【详解】（1）由2cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）消去α，得22149x y+=，即曲线1C 的普通方程为22149x y +=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=， 而222,cos x y x ρρθ==+，所以曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（2）点P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设点()2cos ,3sin P αα，则2PC ==当4cos 5α=-时，2max 5PC =，故max25PQ =+，即25PQ ≤+. 不等式得证.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，由参数方程求点到圆上距离的最值问题，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 【答案】（1）{3x x ≤-或}1x ≥-；（2）2. 【解析】 【分析】（1）可知所求不等式为122x x x -++≥-，然后分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况解该不等式，即可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得()min 22f x a b =+=，然后将所求代数式变形为2222442222a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可求得2242a b b a +的最小值. 【详解】（1）根据题意得原不等式为122x x x -++≥-.当2x -≤时，则有122x x x ---≥-，解得3x ≤-，此时3x ≤-； 当21x -<<时，则有122x x x -++≥-，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，则有122x x x -++≥-，解得13x ≥，此时1x ≥. 综上所述，不等式()2f x x ≥-的解集为{3x x ≤-或}1x ≥-；（2）()222f x x a x b x a x b a b =-++≥---=+，当且仅当()()20x a x b -+≤时等号成立，0a >，0b >，函数()y f x =的值域为[)2,+∞，即22a b +=.()2222224442222222a b a b a b a b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b ≥=+-=，当且仅当21a b ==时取等号，因此，2242a b b a+的最小值为2. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(二十)数学(文科)
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（二十）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ∈Z |﹣2≤x ≤3}，B ={x |y =()lg 1-x }，则A ∩B =( ) A. {x |1＜x ≤3} B. {x |x ≥﹣2}C. {1，2，3}D. {2，3}【答案】D 【解析】 【分析】分别求解集合A ，B ，即可求出A ∩B .【详解】由10x ->得1x >，所以B ={x |y =()lg 1-x }={x |1x >}， 又A ={x ∈Z |﹣2≤x ≤3}={﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ={2，3}. 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知i是虚数单位，复数izi=，则z的共轭复数z=( )A. 1B. 1+C. 1--D. 1-+【答案】B【解析】【分析】先计算z，由共轭复数概念即可得z.【详解】∵)()21i izi-===-，∴1z=+.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除数运算，共轭复数的概念，考查学生对基本概念的理解.3.已知向量a与b的夹角为3π，|a|=2，|b|=1，则|a-2b|=( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积，向量的模的公式进行运算即可.【详解】∵向量a与b的夹角为3π，|a|=2，|b|=1，∴|-a2b|2244a ab b==-⋅+==2故选：C【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量的模的计算，考查了学生的运算求解能力.4.设x，y满足约束条件10240x yx yxy-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z=2x﹣y的最大值为( )A. ﹣1B. 0C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先作出可行域，结合图形求出z =2x ﹣y 的最大值.【详解】x ，y 满足约束条件1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，画出可行域如图，由图知，当直线z =2x ﹣y 过点()2,0A 时，z 最大值为4. 故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划中求目标函数的最值问题，考查了数形结合的思想.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 30πB. 24πC. 15πD. 9π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r =3，高h =4，代入表面积公式计算即可.【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r =3，高h =4. 则圆锥的表面积为233524S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查了三视图的计算，考查了圆锥的表面积公式，关键是能将三视图还原成几何体. 6.已知()0,θπ∈，2sin 2cos21θθ=-，则cos θ=( ) A.25B.5 C. 25D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由2sin 2cos21θθ=-得24sin cos 12sin 1θθθ=--，可得sin 2cos θθ=-，再利用同角的三角函数的基本关系求出cos θ.【详解】∵()0,θπ∈，2sin 2cos21θθ=-，∴24sin cos 12sin 1θθθ=--，可得：22sin cos sin θθθ=-， ∵sin 0θ>，∴可得：sin 2cos θθ=-，cos 0θ<，∴22222sin cos 4cos cos 5cos 1θθθθθ+=+==，可得21cos 5θ=， ∴5cos θ=. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，同角的三角函数的基本关系式，考查了学生的运算求解公式.7.干支是天干(甲､乙､…､癸)和地支(子､丑､…､亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查N=，执行该程序框图，运行相应的程找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年，即输入1988x=，从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该序，输出5年所对应的干支为（）A. 己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可求得输出结果，再结合表格，即可容易求得.【详解】模拟执行程序如下所示：====，不满足60429,1,366,2N i x ix≤，306,3==，不满足60x ix≤，==，不满足60246,4x ix≤，x i==，不满足60186,5x≤，==，不满足60126,6x ix≤，66,7==，不满足60x ix≤，==，满足606,8x ix≤，输出6.对照已知表格，故可得该年所对应的干支是己巳.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.8.在四面体S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，32AB AC BC SA ====，，则该四面体的外接球的半径为( ) A. 1 B.3C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题知外接球的球心为过底面外接圆的圆心O '垂直于底面ABC 的直线与中截面的交点O ， 先求出ABC ∆的外接圆的半径，再求出四面体外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积. 【详解】因为SA ⊥平面ABC ，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心O '垂直于底面ABC 的直线与中截面的交点O ，由3AB AC BC ===，设ABC ∆的外接圆的半径为r ，则32sin 60r =，所以3r =，所以外接球的半径22()132SA R r =+=+=2，故选：C【点睛】本题主要考查了几何体的外接球的表面积的计算，考查了学生空间想象能力. 9.已知函数||x f x e =（），13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22log 3b f c f ==，,则( )A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，又()133log 2log 2a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭且3220l g 3o log 2<<<分析即可得答案.【详解】∵函数f （x ）=e |x |，∴函数f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴()()1333log 2log lo 22g a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭又3221lo 0lo 3g g 2<<<<， ∴a c b <<. 故选：D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，利用函数单调性比较函数值的大小，考查了转化与化归的思想.10.已知函数()()sin (0)2f x x πωϕωϕ=+><，的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则f （x ）的图象( ) A. 关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 关于直线6x π=对称C. 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 D. 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】由函数()f x 的最小正周期为π，得2ω=，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，得6πϕ=-，将选项代入验证即可得答案.【详解】∵f （x ）的最小正周期为π， ∴T 2ππω==，得2ω=，此时()()sin 2f x x ϕ=+，图象向右平移12π个单位后得到sin 2sin 2126y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数为偶函数，则62k ππϕπ-=+，k ∈Z ，得23k πϕπ=+， ∵2πϕ<，∴当1k =-时，3πϕ=-，则()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 则f （512π）5sin 2123ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭sin 12π==，故f （x ）关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不对称，故A 错误； f （6π）sin 2sin 0063ππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故关于直线6x π=不对称，故B 错误；当12π-≤x 512π≤时，6π-≤2x 56π≤，2π-≤2x 32ππ-≤，此时函数f （x ）为增函数，故C 正确； 当12π-≤x 712π≤时，6π-≤2x 76π≤，2π-≤2x 536ππ-≤，此时函数f （x ）不单调，故D 错误.故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算求解能力. 11.已知可导函数f （x ）的定义域为R ，且满足()()4f x f x +=-，()()20x f x '-<，则对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由题可得函数f （x ）关于直线x =2对称，且在()2,+∞单调递减，在(),2-∞单调递增，从充分性，必要性两方面分别说明得出对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充要条件. 【详解】f （x ）满足f （x +4）=f （﹣x ），∴函数f （x ）关于直线x =2对称，则()()4f x f x =-， ∵()()20x f x '-<，∴2x >时，()0f x '<，函数f （x ）单调递减；2x <时，()0f x '>，函数f （x ）单调递增.先看充分性：若122x x <≤，符合()()12f x f x <，得124x x +<；若122x x <<，()()()1224f x f x f x <=-得124x x <-即124x x +<， 若122x x ≤<，则()()12f x f x >，不符合()()12f x f x <，故对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充分条件；再看必要性：若124x x +<且12x x <，得12x <，若22x ≤，则得122x x <≤，有()()12f x f x <，若22x >，则1242x x <-<，则有()()()1224f x f x f x <-=， 故对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的必要条件； 综上，对任意的12x x <，“()()12f x f x <”是“124x x +<”的充要条件 故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，函数图象的对称性，充要条件的判断，考查了分类讨论的思想.12.已知双曲线C 的两个顶点分别为A 1，A 2，若C 的渐近线上存在点P ，使得12PA PA =，则C 的离心率的取值范围是( ) A. （1，3] B. [3，+∞）C. （1，2]D. [2，+∞）【答案】A 【解析】 【分析】由题意设一条渐进线为：b y x a =，取点,b P x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又12PA PA =，代入化简得222260c x ax a a-+=，由题转化为此方程有解，0≥可得离心率的取值范围. 【详解】由题意设一条渐进线为：b y x a =，取点,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，且()1,0A a -，()2,0A a ，因为12PA PA =， ()()2222()2()b b x a x x a x a a ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，整理得222260c x ax a a -+=，该方程有解时，存在符合题意的P 点，故22223640c a a a =-⨯≥，化简得229c a≤，即29e ≤， ∴13e <≤.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的离心率范围的求解，考查了学生转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】22x y = 【解析】 【分析】由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果. 【详解】因为抛物线经过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)，即抛物线经过第一、二象限， 故设抛物线方程为22,(0)x py p =>，代入点()2,2，可得44p =，即1p =， 则抛物线方程为：22x y =. 故答案为：22x y =.【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.14.甲、乙两位同学玩“锤子、剪刀、布”游戏，两人各随机出锤子、剪刀、布中的一种.若出相同则为平局；若出不同，则锤子胜剪刀、剪刀胜布、布胜锤子.玩一次该游戏，甲同学不输的概率为_____. 【答案】23【解析】 【分析】首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求出甲不输的概率即可. 【详解】画树状图得则玩一次该游戏，甲同学不输的概率：62=93P =. 故答案为：23【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，考查了利用树状图解决概率问题.15.在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B =135°，32355AB AC CD ===，，，则AD =_____.【答案】210【解析】 【分析】设BCA α∠=，ACD β∠=，在△ABC 中，由正弦定理求得sin α，则可得cos β，再由余弦定理求出AD 即可.【详解】如图设BCA α∠=，ACD β∠=，∵在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B =135°，32355AB AC CD ===，，，在△ABC 中，由正弦定理可得：sin135sin AC AB α=⇒sinαsin13555AB AC ⋅==； ∴5cos cos 90sin βαα=︒-==（） ∴(2222252cos 355235540AD AC CD AC CD β=+-⋅⋅=+-⨯=， ∴AD =10. 故答案为：10【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了学生的运算求解能力.16.已知函数()22log 021x x a f x x x x a<<⎧=⎨-+≥⎩，，，若存在实数m ，使得方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____.【答案】()()0,11,2 【解析】【分析】画出函数2log y x =和函数221y x x =-+的图象，结合图象通过平移直线观察可得a 的取值范围.【详解】画出函数2log y x =和函数221y x x =-+的图象，如图所示：两个函数有两个交点，坐标()1,0和()2,1，∵存在实数m ，使得方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，∴观察图象可知，当0＜a ＜1时符合题意.当1＜a ＜2时符合题意，∴a 的取值范围是：()()0,11,2. 故答案为：()()0,11,2【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，根据方程的根的情况求参数范围，考查了转化与化归和数形结合的思想.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，且2a 5=a 8﹣2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{b n }的前n 项和S n . 【答案】（1）a n =﹣n ；（2）S n 1n n =+ 【解析】【分析】 （1）由题可得()()()211111282472a d a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩，从而求出1a ，d ，进而得到数列{a n }的通项公式； （2）由（1）得111n b n n =-+，采用裂项相消法求出n S . 【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，因为a 1，a 3，a 9成等比数列， 所以a 32=a 1a 9，即()()211128a d a a d +=+得a 1=d ①，又2a 5=a 8﹣2， 所以()112472a d a d =+-+得a 1+d =﹣2 ②，由①②，解得a 1=d =﹣1，所以a n =﹣n ；（2）由（1）知a n =﹣n ，∴()()111111111n n n b a a n n n n n n +====----++， ∴S n =b 1+b 2+…+b n =（112-）+（1231-）+（1341-）+…+（111n n -+）=1111n n n -=++. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列，数列求和等知识，考查了用裂项相消法求数列的和，考查了学生的运算求解能力.18.A 、B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩（单位：分）记录如下： A 71 62 72 76 63 70 85 83B 73 84 75 73 78 76 85 B 同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用m ，n 表示）.（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A 、B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）；（2）若B 同学的平均分为78，方差219s =，求m ，n .【答案】（1）B 同学，理由见解析；（2）m =8，n =0.【解析】【分析】（1）根据题意作出茎叶图即可；（2）根据平均数，方差公式列出方程求解即可.【详解】（1）A 、B 两同学参加了8次测验，成绩（单位：分）茎叶图如下：由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于A 同学的平均成绩，所以选派B 同学参加数学竞赛更好.（2）因为18x =（73+84+75+73+70+m +80+n +76+85）=78， 所以m +n =8，①，因为S 218=[52+62+32+52+（m ﹣8）2+（n +2）2+22+72]=19， 所以（m ﹣8）2+（n +2）2=4，②联立①②解得，m =8，n =0.【点睛】本题主要考查了样本的数字特征，以及茎叶图，考查了学生的数据分析和运算求解能力. 19.如图，在四棱柱ABCD A B C D ''''-中，四边形ABCD 为平行四边形，4260DD CD AD BAD '===∠=︒，，，且点D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）棱BC 上存在一点N ，使得AD ⊥平面D HN '，试确定点N 的位置，说明理由；（2）求三棱锥C A HC ''-的体积.【答案】（1）点N 为棱BC 的中点，理由见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）点N 为棱BC 的中点，由题可得△HBC 为等边三角形，所以NH ⊥BC ，又可证D H '⊥BC ，故可得BC ⊥平面D HN '，又AD //BC ，即证AD ⊥平面D HN '；（2）由题得A '到平面DD C C ''的距离即为A 到平面DD C C ''的距离，过A 作AM ⊥CD 于点M ，证AM ⊥平面DD C C ''，则13C A HC A C HC C HC V V S AM '''''--∆=⋅=，由条件代值计算即可. 【详解】（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，下面给出证明.分别连结NH ，ND '，BH ，∵D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，∴D H '⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴D H '⊥BC ，在△HBC 中，23HC BC HCB π==∠=，，故△HBC 为等边三角形，又点N 为棱BC 的中点，∴NH ⊥BC ，又D H '⊥BC ，D H '∩NH =H ，D H '，NH ⊂平面D HN '，∴BC ⊥平面D HN '，又由平行四边形ABCD 得AD //BC ，∴AD ⊥平面D HN '，点N 即为所求.（2）∵平面AA B B ''//平面DD C C ''，∴A '到平面DD C C ''的距离即为A 到平面DD C C ''的距离，过A 作AM ⊥CD 于点M ，又D H '⊥平面ABCD ，∴D H '⊥AM ，又CD D H H ⋂'=，∴AM ⊥平面DD C C ''， sin 3AM AD BAD =∠=，2223D H DD DH ''=-=， 又112232322C CH S CHD H '∆'=⋅=⨯⨯=， 所以11233233C A HC A C HC C HC V V S AM '''''--∆=⋅==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的证明，几何体的体积的计算，考查了学生的直观想象与逻辑推理能力，考查了转化与化归的数学思想.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，点P 为椭圆C 上的一动点，12PF F △面积的最大值为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，点()22,0A ，证明：直线PA 与直线QA 关于x 轴对称. 【答案】（1）22142x y +=.（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和12PF F △面积的最大值为2，即可列出,,a b c 方程，即可求得结果；（2）设出直线2PF 的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证PA QA k k =-，则问题得证.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，所以2c e a ==，即222c a =，又222a b c =+，所以b c =， 因为12MF F ∆面积的最大值为2，所以1222c b ⋅⋅=，即2c b ⋅=， 又因为b c =，所以b c ==24a =，故椭圆C 的方程为22142x y += （2）由（1）得2F ，当直线l 的斜率为0时，符合题意，当直线l 的斜率不为0时，设直线l的方程为x ty =+22142x y +=消去x 整理得：22(2)20t y ++-=，易得222)8(2)16160t t ∆=++=+>设1122(,),(,)P x y Q x y，则122122222y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 记直线,PA QA 的斜率分别为,PA QA k k ，则2244()0PA QA k k t t +++=---==所以PA QA k k =-，因此直线PA 与直线QA 关于x 轴对称.【点睛】本题主要考查直线椭圆､直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查函数与方程思想､化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，21.已知()()()2x f x ax b e x =+++在点()()0,0f 处的切线方程为60x y -=. （1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >时，证明：()2ln 23f x x x >++.【答案】（1）a =2，b =0；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得()00f =，()06f '=，列方程即可求解a ，b ；（2）令()()()2ln 23x x g x f x +-+=，则()()1'212(0)x g x x e x x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，令()12(0)x h x e x x =+->，判断存在唯一011,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0012x e x =-，从而得到2000()222ln 1min g x x x x =---；再令()211222ln 1,43x x x x x ϕ⎛⎫=---∈ ⎪⎝⎭，，证明()0x ϕ>即得证()2ln 23f x x x >++.【详解】（1）()()()()21x x f x a e x ax b e '=+++++， 因为f （x ）在点()()0,0f 处的切线方程为y =6x ，所以()00f =，()06f '=，即30326b a b =⎧⎨+=⎩，解得a =2，b =0； （2）由（1）得()()22x f x x e x =++， 设()()()222ln 23x x x g x e x x ++-++=，即()22222ln 3x g x xe x x x ++=--， 则()()()()224221'214221212(0)xx x x x g x x e x x e x e x x x x +-⎛⎫=+++-=++=++-> ⎪⎝⎭设()12(0)x h x e x x=+->，则h （x ）在（0，+∞）单调递增， 且113411201043h e h e ⎛⎫⎛⎫=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以存在唯一011,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()000120x h x e x =+-=，即0012x e x =-， 当00x x <<时，()0h x <，()0g x '<，g （x ）单调递减；当0x x >时，()0h x >，()0g x '>，g （x ）单调递增； ()02200000000001()2222ln 322222ln 3x min g x g x x e x x x x x x x x ⎛⎫∴==++--=-++-- ⎪⎝⎭2000222ln 1x x x =---，设()211222ln 1,43x x x x x ϕ⎛⎫=---∈ ⎪⎝⎭，，则()()()21212'42x x x x x xϕ-+=--=， 当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， 所以()1132ln 3039x ϕϕ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 所以2000()222ln 10min g x x x x =--->，即()0g x >，所以当0x >时，()2ln 23f x x x >++.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数证明不等式，综合考查了函数的单调性，最值等问题，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩.(α为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=. （1）求A 的直角坐标和 l 的直角坐标方程；（2）把曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的22C ，B 为2C 上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）A 的直角坐标：()0,1，l 的直角坐标方程：280x y +-=.（2【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；（2）设出B 点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）因为点A 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l 的极坐标方程为cos 2sin 80ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得点A 的直角坐标为()0,1，直线l 的直角坐标方程为280x y +-=.（2）设(,)B x y，则由条件知点(2x 在曲线1C 上，所以cos 2sin x θθ⎧=⎪⎪⎨=，即2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， 又因为P 为AB中点，所以cos θ⎛ ⎝⎭P ， 则点P 到直线l72sin πθ⎛⎫-+ ⎪= 当sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，72sin 6πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值5， 故AB 中点P 到直线l【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化､参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1,f x x m x m N *=-++∈. 若存在实数x 使得()3f x <成立.（1）求m 的值；（2）若,0αβ>，()()411m αβ--=，求αβ+的最小值.【答案】（1）1.（2）94 【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值，再解绝对值不等式即可求得；（2）利用,αβ的等量关系，结合均值不等式即可求得最小值.【详解】（1）存在实数x 使得()3f x <成立等价于存在实数x 使得12-++<x m x 成立，而111x m x x m x m -++≥---=+，当且仅当()()10x m x -+≤时取得.故存在实数x 使得()3f x <成立等价于13m +<，解得42m -<<，又因为*m N ∈，则1m =（2）由（1）得1m =，故()()4111αβ--=， 所以1141βα=+-， 由,0αβ>， 故14104141αβαα=+=>--， 所以14α>，1β>111559141441444αβαααα+=++=-++≥=--， 当且仅当33,42αβ==时取最小值94【点睛】本小题考查含绝对值､参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想等.。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十)数学(文科)
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2|2A x x x =+-<0，{|B x y ==，则A B =（ ）A. [0,2)B. (1,)+∞C. [0,1)D. (2,1)-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，求得集合A .根据函数的定义域，求得集合B .即可求得交集. 【详解】解：因为集合{}2|20{|21}A x x x x x =+-<=-<<，集合{|{|0}B x y x x ===，所以[0,1)A B =．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，函数定义域的求解，集合的交集运算.属于基础题. 2.若复数(2)z i i =-（i 为虚数单位），则z 的值为（ ）A. 2i +B. 12i -+C. 12i +D. 12i -【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，求出复数z ，再由共轭复数的概念得z . 【详解】解析：(2)12z i i i =-=+，所以12z i =-． 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的乘法运算，共轭复数的概念，属于基础题.3.若||2a =，1b ||=，且(4)a a b ⊥-，则向量,a b 的夹角为（ ） A. 30︒ B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直则数量积为零，求得1a b ⋅=，再根据夹角公式求得结果. 【详解】根据题意，由于向量||2a =，1b ||=，且(4)a a b ⊥-，2(4)040a a b a a b ∴⋅-=⇔-⋅=，1a b ∴⋅=，故1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅，又向量夹角的范围为[]0,π，故可知向量,a b 的夹角为60︒. 故选：B ．【点睛】本题考查向量垂直的转化，以及由数量积求向量的夹角，属综合基础题. 4.若x y >，则下列不等式恒成立的是（ ） A.11x y< B. tan tan x y >C. ln()0x y ->D. 1133x y >【答案】D【分析】根据不等式性质，正切函数、幂函数、对数函数的性质，结合特值，进行判断即可. 【详解】若0x y >>，则11x y>，所以A 错误； 若x y >，取34x π=，4y π=，tan tan x y <，所以B 错误； 对于C 选项，由于对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，x y >，当01x y <-<时，ln()ln10x y -<=，C 选项中的不等式不恒成立，故C 错误；若x y >，且幂函数13y x =在(,)-∞+∞上单调递增，所以1133x y >，所以D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查正切函数、对数函数、幂函数的单调性，以及不等式的性质，属综合基础题. 5.给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，结合判定定理和性质定理，对选项进行逐一分析即可判断.【详解】正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错误； 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行， 两直线可以相交，也可以成异面直线，故B 错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C 错误 对D ：利用反证法简单证明如下：若两个平面,αβ垂直，假设一个平面α内与它们的交线l 不垂直的直线1l 与另一个平面β垂直. 因为1l β⊥，且平面,αβ的交线l β⊂，故可得1l l ⊥，这与题设l 与1l 不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立. 即D 选项正确. 故选：D ．【点睛】本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题.6.已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点()0,2P x ，若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则||OP 等于（ ） A. 22 B. 23C. 4D. 25【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，求得p ，再结合抛物线方程，求得点P 的坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得结果.【详解】因为抛物线过点()0,2P x ，故可得该抛物线开口向上， 设其方程为22,(0)x py p =>， 由抛物线定义知，232p+=，所以2p =， 则抛物线方程为24x y =，因为点()0,2P x 在此抛物线上，所以208x =，于是20||423OP x =+=，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的定义，以及抛物线上一点坐标的求解，属基础题.7.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则该同学10次测评的平均成绩为（ ）A. 12B. 11.4C. 11.3D. 11【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数求出x y +，再代入平均数的公式，求得平均数. 【详解】因为中位数为12，所以22x y+=，4x y +=， 所以该组数据的平均数为：1(2234101019192021)11.410x y ⨯+++++++++++=. 故选：B ．【点睛】本题考查了已知茎叶图的中位数，求参数的问题，平均数的求解，属于基础题. 8.已知函数21()sin (0)2f x x ωω=->的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移(0)a a >个单位，所得图象关于3x π=对称，则实数a 的最小值为（ ）A.4π B.3π C.34π D. π【答案】B 【解析】 【分析】利用降幂扩角公式化简()f x ，再根据其周期求得ω，结合图象的左右平移求得平移后的解析式，利用3x π=是函数的对称轴，求得关于a 的方程，即可求得a 的最小值. 【详解】容易知211()sincos222f x x x ωω=-=-又其周期为22ππω=，可得1ω=，故1()cos 22f x x =-． 将其图象向右平移a 个单位可得1cos[2()]2y x a =--的图象， 根据其图象关于3x π=对称，可得223a k ππ-=，k Z ∈，则32k a ππ=-，k Z ∈，又0a >， 故当0k =时，a 取得最小正值为3π. 所以实数a 的最小值为3π． 故选：B ．【点睛】本题考查降幂扩角公式的应用，求函数图像平移后的解析式，以及余弦型三角函数的性质，属综合中档题.9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20,80)mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（ ） A. 2小时 B. 4小时 C. 6小时 D. 8小时【答案】C 【解析】 【分析】列出函数模型()16010.3ny =-，根据题意，列出不等式，求解即可.【详解】因为1.6100160⨯=，故喝酒后驾驶员100mL 血液中酒精含量为160mg . 不妨设喝酒后经过的时间为n ，n 小时后100mL 血液中酒精含量为y ， 故可得()16010.3ny =-.根据题意，若想安全驾驶，则20y <， 即可得160(10.3)20n⨯-<， 即10.78n<， 因为210.70.492=<，又31182⎛⎫= ⎪⎝⎭，610.78<，510.78>，根据选项可知，n 取整数， 所以6n ，故选：C ．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解决问题的关键是要建立正确的函数模型，属中档题. 10.已知a 为正整数，tan 1lg a α=+，tan lg a β=，且4αβπ=+，则当函数()sin ([0,])f x a θθθπ=-∈取得最大值时，θ=（ ）A .2π B.23π C.56π D.43π 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数a ；再利用辅助角公式化简()f x ，根据其最值，求得 θ即可.【详解】由条件知4αβ-=π，则由tan()1αβ-=， 得tan tan (1lg )lg tan()11tan tan 1(1lg )lg a aa aαβαβαβ-+--===+++，即(1lg )lg 0a a +=， 解得1a =或110a =（舍去），则()sin 2sin 3f x πθθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 因为[0,]θπ∈， 所以2,333πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦． 则当32ππθ-=，即56πθ=时， 函数()f x 取得最大值， 故选：C ．【点睛】本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点F 是双曲线C 的左焦点，过原点的直线交双曲线C 于,A B 两点，且3AF BF =，AB BF ⊥，如图所示，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.3C. 2D.5【答案】B 【解析】 【分析】设出右焦点2F ，则可得平行四边形2AFBF ，则2||AF BF =.由双曲线的定义可知2||2AF AF a -=，从而可求出||BF a =.在两个直角三角形Rt OFB 和Rt AFB 中，利用勾股定理可求得222a b =，则可求出离心率. 【详解】如图设双曲线的右焦点为2F ，根据对称性知2AFBF 是平行四边形， 所以有2||AF BF =，又点A 在双曲线上，所以2||2AF AF a -=， 因为||3||AF BF =，所以2||3||||2||2AF AF BF BF BF a -=-==，即||BF a =， 在Rt OFB 中，90,,OBF FB a OF c ∠=︒==，则||OB b =， 在RtAFB 中，3,,2,90AF a BF a AB b ABF ===∠=︒，所以22294a a b =+，即222a b =，所以双曲线的离心率2213b e a=+=故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的定义及图象的对称性，双曲线离心率的求法，属于中档题.12.函数22221()1x x h x x x ++=++，若存在正实数12,,,n x x x ，其中*n N ∈且2n ≥，使得()()()()121n n h x h x h x h x -=++⋯+，则n 的最大值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】求出函数()h x 的值域为(1,8]，由此得出()18,1,2,,i h x i n <=，则由不等式的性质可知()1211()()()81--<+++≤-n n h x h x h x n ，()18n h x <.由()()()12n h x h x h x =++()1n h x -+可将本题转化为(1,8](1,8(1)]n n --≠∅，据此可得关于n 的不等式组，从而求出n 的取值范围，进而求出n 的最大值.【详解】2222212121()11(0)1111x x x h x x x x x x x x++==+=+>++++++， 当0x >时，12x x +，113x x++， 210711x x <≤++，2111811x x<+≤++， 即1()8h x <，所以()18n h x <，()()()12118(1)n n h x h x h x n --<+++-，由()()()()121n n h x h x h x h x -=+++知，集合(1,8](1,8(1)]n n --≠∅，因为*n N ∈且2n ，所以11n -，8(1)8n -， 所以118n -<，即29n <，又*n N ∈， 所以n 的最大值为8. 故选：C ．【点睛】本题考查了函数值域的求解，不等式的性质，考查了转化的思想，计算能力，难度较大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为_______．【答案】300 【解析】 【分析】根据几何概型的逆用，即可解决本题.【详解】由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的13， 设阴影部分能栽种x 株，则有19003x =，解得300x =． 【点睛】本题考查了面积型的几何概型问题，属于基础题.14.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()log (1)a f x x =-（0a >且1a ≠），且()0.5log 162f =-，则a =______．3 【解析】 【分析】利用函数奇偶性，结合已知函数值和函数解析式，利用对数运算，即可求得结果. 【详解】因为0.5log 1640=-<，且()f x 为奇函数， 故可得()0.5log 162f =-()()44f f =-=-， 则()42f =；又当0x >时，()log (1)a f x x =- 故可得()4log 32a f ==， 即23a =，故可得3a =3a =舍).即a =【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属综合基础题.15.在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin 2sin 0a B b A +=，若ABC 的面积S =，则ABC 面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】利用正弦的倍角公式，结合正弦定理将边化角，即可求得B ，结合面积公式，求得,,a b c 等量关系；再由余弦定理，以及基本不等式求得ac 的最小值，即可求得面积的最小值.【详解】由sin 2sin 0a B b A +=，得2sin cos sin 0a B B b A +=，由正弦定理得2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=， 所以1cos 2B =-，23B π=，则1sin 24S ac B ac ===， 所以4ac b =，由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++，即21()316ac ac ， 所以48ac ，当且仅当a c =时等号成立，故123S =，所以ABC 面积的最小值为故答案为：【点睛】本题考查正弦的倍角公式、利用正弦定理进行边角转化，涉及余弦定理，面积公式，以及基本不等式求最值，属综合压轴题.16.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB 重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为_______．【答案】 (1). 100π (2).1253 【解析】【分析】 （1）容易知AB 中点为外接球球心，则AB 为外接球直径，从而求得半径，利用表面积公式，即可求得结果；（2）体积最大时，即平面ABC ⊥平面ABD ，求得点C 到平面ABD 距离，利用棱锥体积公式即可求得结果.【详解】（1）因为90ADB ACB ︒∠=∠=，10AB =， 且6DAB π∠=，4BAC π∠=， 所以53AD =5BD =，52AC BC ==因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以三棱锥A BCD -的外接球的直径为AB ，所以球的半径5R =，故球的表面积为24S R π==100π．（2）当点C 到平面ABD 距离最大时三棱锥A BCD -的体积最大，此时平面ABC ⊥平面ABD ，过点C 作CH AB ⊥，因为CH ⊂平面ACB ，平面ABC ⊥平面ABD ，且交于AB ，故可得CH ⊥平面ABD ，则点C 到平面ABD 的距离为CH ，又在Rt ABC 中，()252510AC CB CH AB ⨯===，所以111125353553326A BCD C ABD ABD V V S CH --==⋅=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：100π；12536. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解，以及棱锥体积的求解，涉及面面垂直推证线面垂直，属综合中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知三棱锥P ABC -中，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，PB ⊥平面ABC ，且4PB AB ==，//EC PB 且12EC PB =，D 为PA 的中点．（1）求证：直线//DE 平面ABC ；（2）求多面体ABCEP 的体积．【答案】（1）证明见详解；（2）16【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接DG 、CG ，DG 为中位线，则//DG PB 且12DG PB =.又由题知//EC PB 且12EC PB =，易证故四边形CEDG 是平行四边形，//DE GC ，从而直线//DE 平面ABC 得证； （2）该多面体就是四棱锥A BCEP -，取BC 中点F ，连接AF ，可证得AF ⊥平面BCEP ，则可求得该四棱锥的体积.【详解】解：（1）设AB 的中点为G ，连接,DG CG ，则//DG PB ，12DG PB =， 又//EC PB 且12EC PB =， 所以//EC DG 且EC DG =，所以四边形DGCE 为平行四边形，所以//DE GC ，又因为DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，所以//DE 平面ABC ；（2）取BC 中点F ，连接AF .因为//EC PB ，所以PBCE 在同一平面上，所以多面体ABCEP 是四棱锥A BCEP -，因为PB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，所以PB AF ⊥，又ABC 为等腰直角三角形，90BAC ︒∠=，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥，所以AF ⊥平面PBCE ，即AF 是四棱锥A PBCE -的高，已知4PB AB ==，所以AF =2EC =，BC =所以11(24)16332A BCEP BCEP V S AF -+⨯=⋅⋅=⨯=． 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，四棱锥体积的求解，属于中档题. 18.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率．参考数据： 2.072 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++． 【答案】（1）列联表见详解，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系；（2）25【解析】【分析】（1）根据题意填写22⨯列联表，计算2K ，对照临界值得出结论；（2）根据题意求出分层抽样随机抽取的6人中男生2人，女生4人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值.【详解】解：（1）补充完整的列联表如下：计算得2K 的观测值为 2100(20104030)16.6710.82860405050k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系；（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为110，需抽取男生2人，女生4人， 设抽取的男生为12,A A ，女生为1234,,,B B B B ，选出的两人均为女生为事件A ，则基本事件空间{12111213142122,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B Ω=2324121314,,,,A B A B B B B B B B }232434,,,B B B B B B ，15n =，事件{}121314232434,,,,,A B B B B B B B B B B B B =，6m =，62()155m P A n ===， 故选出的两人均为女生的概率为25． 【点睛】本题考查了独立性检验，分层抽样，以及列举法求古典概型的概率问题，属于基础题. 19.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，59a =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设(1)nn n b S =-，求{}n b 前2n 项和2n T ． 【答案】（1）21n a n =-，2n S n =．（2）2n T =22n n +【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质，可求得3a ，从而求出公差d ，由此可写出通项公式n a 以及前n 项和n S ； （2）写出数列{}n b 的通项公式，利用并项求和的方法，求其前2n 项和2n T .【详解】解：（1）由53525S a ==得35a =．又因为59a =，所以2d =，所以21n a n =-，2(121)2n n n S n +-==． （2）2(1)n n b n =-． ()()()21234212n n n T b b b b b b -=++++++()()2222221234(21)(2)n n ⎡⎤=-++-+++--+⎣⎦ [(21)(21)][(43)(43)]=-⨯++-⨯++[2(21)][2(21)]n n n n +--⨯+-21234(21)22n n n n =+++++-+=+．【点睛】本题考查了等差数列的性质，通项公式及前n 项和公式，考查了并项求和的数列求和方法，属于中档题.20.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>长轴长为4，右焦点F 到左顶点的距离为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过原点O 的直线交椭圆于,A B 两点（,A B 不在坐标轴上），连接AF 并延长交椭圆于点C ，若OD OA OC =+，求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）92【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 的方程组，求解即可求得结果；（2）设出直线AC 方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表示AOC 的面积；根据向量关系，求得3ABCD AOC S S =，再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可.【详解】（1）由题意可得2,2,331a a b a c c ⎧==⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩，所以椭圆方程为22143x y +=． （2）由（1）知(1,0)F ，设直线AC 的方程为1x my =+，联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=． 设()11,A x y ，()22,C x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+． 因为OD OA OC =+，故可得四边形AOCD 为平行四边形，则2AOCD AOC S S =，又AOC BOC S S =，故()221212121318133||422ABCD AOC m S S OF y y y y y y +==⨯⨯⨯-=+-= 设21t m =+，1t ，则218181313ABCD t S t t t==++， 令13y t t =+，故可得213y t '=-， 当1t ≥时，0y '>恒成立，故13y t t =+在[)1,+∞单调递增， 故218181313ABCD t S t t t==++在[1,)t ∈+∞上单调递减，所以当1t =，即0m =时，四边形ABCD 的面积取得最大值92． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，椭圆中四边形面积的最值的求解，属综合中档题.21.已知函数ln 1()a x a f x x+-=． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明：（i ）()1xf x x -；（ii ）证明：(2)(3)()13232224f f f n n n n ++⋯+<+-+． 【答案】（1）详见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数21ln ()(0)a x f x x x-'=>，再令()1ln g x a x =-进行二次求导.讨论a 的取值范围，求出()0>g x 和()0<g x 的解集，也即求出()f x 的单调区间；（2）（i ）将1a =代入()f x ，得ln ()x f x x=，利用作差法构造函数()ln 1h x x x =-+，根据导函数求出其最大值为0，则原不等式得证； （ii ）由（i ）知ln 1x x -，即ln 11x x x - 由此得222ln 11n n n -，则22ln 1111111(1)[1][1()]22(1)21nn n n n n n -<-=--++，即()111[1()]21f n n n n <--+，再根据裂项相消法求和，即可证明该不等式.【详解】解：（1）22ln 11ln ()(0)a a x a a x f x x x x '--+-==>, 令()1ln g x a x =-，①当0a =时，()10g x =>，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，若1(0,)a x e ∈，()0>g x ，()f x 单调递增， 若1(,)a x e ∈+∞，()0<g x ，()f x 单调递减；③当0a <时，若1(0,)a x e ∈，()0<g x ，()f x 单调递减， 若1(,)a x e ∈+∞，()0>g x ，()f x 单调递增．综上，当0a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，()f x 在1(0,)a e 上调递增，在1(,)a e +∞上单调递减； 当0a <时，()f x 在1(0,)a e 上单调递减，在1(,)a e +∞上单调递增． （2）（i ）当1a =时，ln ()x f x x=，所以()ln xf x x =， 令()ln 1h x x x =-+，则11()1(0)x h x x x x'-=-=>， 若(0,1)x ∈，()0h x '>，()h x 单调递增；若(1,)x ∈+∞，()0h x '<，()h x 单调递减．max ()(1)ln10h x h ===，即ln 1x x -，即()1xf x x -．（ii ）当1a =时，ln ()x f x x =，2()ln f n n n n =． 由（i ）知ln 1x x -，即ln 11x x x≤-， 令2x n =得222ln 11n n n -，即222ln 11n n n ≤-，所以22()ln 1111(1)[1]22(1)f n n n n n n n =-<-+ 111[1()]21n n =--+， 222(2)(3)()ln 2ln 3ln 2323f f f n n n n++⋯+=++⋯+ 1111111[(1)()]223341n n n <---+-++-+ 111[(1)()]221n n =---+ 132224n n =+-+． 【点睛】本题考查了导函数的应用，求解含参数的函数的单调性，证明不等式，以及数列不等式的证明，裂项相消法求数列的和.考查了分类讨论思想，逻辑推理的能力，属于难度较大的题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4—4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=，点A 是曲线2C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且,A B 均异于极点O ，求||AB 的值．【答案】（1）22(2)4x y +-=；(0)3y x x =；（2）2 【解析】【分析】 （1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消参即可求得1C 的普通方程；利用y tan xθ=，即可求得曲线2C 的直角坐标方程；（2）联立12,C C 以及23,C C 极坐标方程，即可容易求得,A B 两点在极坐标系下的坐标，再求两点之间的距离即可.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． 转换为普通方程为22(2)4x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为6πθ=．转换为直角坐标方程为：(0)y x =． （2）曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）． 转换为极坐标方程为：4sin ρθ=． 联立4cos ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩与4sin ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：A ρ=，2B ρ=．整理得12||2AB ρρ=-=．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的相互转化，以及利用极坐标求两点之间的距离，属综合基础题.【选修4—5：不等式选讲】23.已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-．（1）若存在x 使得不等式()31f x a -成立，求实数a 的取值范围；（2）若()|3|f x x +的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围． 【答案】（1）[1,)+∞；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值，再解绝对值不等式即可；（2）当x ∈1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，将问题转化为max min (2)(2)x a x -+恒成立，即可容易求得参数的范围.【详解】（1）对x ∈R ，()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+， 当且仅当(1)()0x x a +-时，等号成立， 故原条件等价于|1|31a a +-，即31131a a a -++-，解得1a ，故实数a 的取值范围是[1,)+∞．（2）当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+， 所以||2x a -≤，即22x a --，则22x a x -+， 又()|3|f x x +的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以()|3|f x x +在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立， 所以当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，max min (2)(2)x a x -+， 因为max (2)0x -=，min 3(2)2x +=， 因此a 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值，绝对值不等式的求解，属综合中档题.。
2021届河北衡中同卷新高三原创预测试卷(十九)数学
2021届河北衡中同卷新高三原创预测试卷（十九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合22{|40},{|log 1},A x x x B x x =-<=则A B =()[)()(].0,.2,.0,4.0,2A B C D +∞+∞ 2．已知复数21i 1ia z =-+-（i 为虚数单位，a ∈R )，z 在复平面上对应的点在第四象限，则a 的取值范围是 ().2,0A - ().1,1B - ().1,C +∞ ().1,2D -3．近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是A ．乡村游人数逐年上升B ．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C ．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D ．从2016年开始，乡村游人数明显增多4．在等比数列{a n }中512,2,8,a a a ==则数列{a n }前7项的和S 7=A ．253B ．254C ．255D ．2565．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出x 的值为A ．123B ．125C ．127D ．1296．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，①若,n βα⊥∥,,m βα⊥ 则m//n ；②若m//,,n ααββ⊥⊥则m//n ；③若,n βα⊥//,m β∥α，，则m ⊥n ；④若,,m n ααβ⊥⊥//,β则m n ⊥在上述四个命题中，真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知函数()2cos 4x x x f x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为 A ．1 B ．2 C. 12D.3 8．已知α为锐角，若c ，则3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=A.710B.310C.13D.7249．已知双曲线()2222.10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：22220x y a b +--=与双曲线的一个交点为P ，若12|||,PF PF =则双曲线的离心率为A ．2BC ．2 1D10．把函数()()cos 03f z x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位后得到函数()g x 的图象，函数g(x)图像的一条对称轴为直线6x π=，若函数()f x 在2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是A ．2或5B ．2或3C ．2D ．511．已知三棱锥P-ABC(记ABC ∆所在的平面为底面)内接于球O ，PA ：PB ：PC=1：2：3，当三棱锥P-ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56143，则此时ABC ∆的面积为 A ．12 B ．13 C ．14D ．15 12．若不等式2ln mx x mxe ≥恒成立，则实数m 的取值范围为2111.,.,.,.2A B C D e e e ⎫⎡⎫⎡⎫⎛⎫+∞+∞+∞+∞⎪⎪ ⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎝⎭⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分3．已知实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪+⎩则z=2x+y 的最小值 ▲14．已知平面向量,,||2,||3,==a b a b 若()34,⊥-a a b 则向量a 与b 的夹角的大小为 ▲15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在Sn 中只有S1最小，则1513______02S S -.（填“>”或“=”或“<”)16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ|的最小值为 ▲三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分17．(12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3(cos cos )tan b a C A A =+(1)求角A 的大小；(2)若ABC ∆的面积为3，且6,a =求b ，c.18．(12分)如图，在三棱锥A-BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，2,2,DC AC BC AB DO ====⊥平面ABC(1)求证：平面OEF//BCD 平面；(2)求二面角D-OE-F 的余弦值19．(12分)“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回)，若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(六)数学(文)试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{}2|10A x x =->，{0,1,2,3}B =，则()R C A B =（ ）A. {}2,3B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞【答案】B【解析】【分析】 解一元二次不等式化简集合A ，求出R C A 再与B 取交集，即可得答案.【详解】∵2{|10}{|1A x x x x =->=>或1}x <-，∴(){}{}{}|110,1,2,30,1R C A B x x =-≤≤=.故选：B .【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.设复数1z i =+，则34zi =+（ ） A. 725i+ B. 725i- C. 1725i-- D. 1725i-+【答案】C【解析】【分析】 求出z ，根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】()()()()134134343434i i z i i i i i ---==+++-2374172525i i i-+--==.故选：C.【点睛】本题考查共轭复数、复数的代数运算，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，若21336a a +=，则252729a a a ++=（ ）A. 6B. 9C. 12D. 54【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质，将已知式子和所求式子都转化为27a ，即可求解【详解】因为在等差数列{}n a 中，252921332726a a a a a +=+==，所以2527292739a a a a ++==.故选：B.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.4.命题“()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a a x x e e +-≤+”的否定形式是（ ）A. ()1,1a ∀∈-，1ln cos 21a a x x e e +->+B. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a ax x e e +-≤+ C. (][),11,a ∃∈-∞-+∞，1ln cos 21a a x x e e +-≤+D. ()1,1a ∃∈-，1ln cos 21a a x x e e+->+【答案】D【解析】【分析】 根据全称命题的否定形式，即可求出结论.【详解】()1,1a ∀∈-，1ln cos 21aa x x e e +-≤+， 全称命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“()1,1a ∃∈-，1ln cos 21aa x x e e +->+”． 故选：D .【点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.5.在区间[]1,5-上随机取一个实数a ，则使[]2log 0,2a ∈的概率为（ ）A . 13B. 12C. 23D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的单调性，求出满足[]2log 0,2a ∈的a 的范围，根据几何概型的概率公式，即可求解.【详解】由20log 2a ≤≤，得14a ≤≤，所求概率为()411512P -==--. 故选：B.【点睛】本题考查几何概型长度型概率，属于基础题.6.函数5sin 12cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（ ） A. 13 B. 17C. 13-D. 12【答案】A【解析】【分析】 根据辅助角公式，将函数化为正弦型函数，即可求解. 【详解】5sin 12cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12513sin(),(sin ,cos )61313x πϕϕϕ=--==， 所以函数的最大值为13.故选：A.【点睛】本题考查三等变换化简函数以及三角函数的性质，熟记公式是解题的关键，属于基础题.7.若实数,x y 满足不等式组2100,280,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z y x =-的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】 作出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y =x+z ,作出直线y x =,将直线y x =平移,由图判断出直线过过点()0,4B 时，z 取得最大值，可得选项.【详解】画出不等式表示的平面区域如下图所示： 由z y x =-得，y =x+z ，平移直线y x =，由图象可知当直线y =x+z 过点()0,4B 时，直线y =x+z的纵截距最大，此时z 取得最大值，最大值为：max 404z =-=，故选：D.【点睛】本题考查不等式组所表示的平面的区域，线性规划中目标函数的最值问题，可以从明确目标函数的几何意义入手，运用数形结合的思想求得最值，属于基础题.8.设12,l l 是两条不同的直线，12,αα是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）A. 若11l α⊥，22l α⊂，且12l l ⊥，则12αα⊥B. 若11l α⊂，22l α⊂，且12//l α，21//l α，则12//ααC. 若11l α⊥，22l α⊥，且12αα⊥，则12l l ⊥D. 若11//l α，22//l α，且12//αα，则12//l l【答案】C【解析】【分析】根据空间线、面平行平行、垂直关系，逐项判断.【详解】由12,l l 是两条不同的直线，12,αα是两个不同的平面，知：在A 中，若11l α⊥，22l α⊂，且12l l ⊥，则1α与2α相交或平行，故A 错误；在B 中，若11l α⊂，22l α⊂，且1l ∥2α，2l ∥1α，则1α与2α相交或平行，故B 错误；在C 中，若1122,l l αα⊥⊥，且12αα⊥，设12l αα=，在2α平面内做b l ⊥，则1b α⊥，又11l α⊥，所以b ∥1l ，因为22l α⊥，所以2l b ⊥，所以12l l ⊥，故C 正确；在D 中，若1l ∥1α，2l ∥2α，且1α∥2α，则1l 与2l 相交，平行或异面，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查空间有关线、面位置关系的判断，熟记定理是解题的关键，属于基础题.9.已知正实数,a b ，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】 由2ab a b ≤+可得，4a b +≤成立，则4ab ≤成立；4ab ≤成立，可举例说明4a b +≤不一定成立，根据充分必要条件的定义，即可得出结论.【详解】不充分性：4a =，1b =；必要性：∵24ab a b ≤+≤，∴4ab ≤.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，属于基础题.10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，23AB =，125BB =，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（ ）A. 64πB. 36πC. 27πD. 16π【答案】B【解析】【分析】 直三棱柱111ABC A B C -中，上下底面平行且全等，可得直三棱柱111ABC A B C -外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，求出底面外接圆半径，即可求解.【详解】如下图所示，取ABC ，111A B C △的外接圆的圆心分别为,M N ，连接MN ，取MN 的中点O ，则O 是三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，设ABC 的外接圆的半径为r ，三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ， 由正弦定理得，∵232sin AB r C ==， ∴2r ，即2AM =，又125BB =， 所以5OM =，所以()22325R OA ==+=，所以外接球的表面积为2244336R πππ=⨯=.故选：B.【点睛】本题考查多面体与球的“外接”“内切”问题，确定球心位置是解题关键，属于中档题.11.已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，直线():b l y x c a =-与双曲线的一条渐近线交于点P ，且12PF PF ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 3 【答案】C【解析】【分析】由已知得，直线l 过焦点2F 且与渐近线b y x a=平行，则与另一渐近线b y x a =-交于点P ，将直线l 方程与b y x a=-联立，求出点P 坐标，利用2||||OP OF =，建立,a b 关系，即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a=±， 与直线l 相交的渐近线的直线方程为b y x a=-， 直线():b l y x c a =-与b y x a =-联立， 得到P 的坐标为,22c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 122,||||PF PF OP OF ⊥∴=，∴2222244c b c c a+=， ∴223b a =，∴2223c a a -=，∴2c e a ==. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（ ）A. (),2-∞-B. 2,C. ()(),11,-∞-⋃+∞D. ()(),22,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据题意设新函数()()1F x f x x =--，则可得()1F x -，又因为()12f =即可算出()01F =，再根据12x x <，()()1212f x f x x x -<-得到函数是增函数，根据增函数的定义即可求出()1f x x ->的解．【详解】解：设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，得()()112211f x x f x x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->，所以11x ->，2x >.故选：B【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．二、填空题13.若向量m 与n 的夹角为3π，2m =，()1,0n =，则2m n +=______.【答案】【解析】【分析】由已知可得||1n =，根据向量数量积性质，转化为求2(2)m n +的值，由向量的数量积运算律即可求解.【详解】()1,0,||1n n =∴=， 22222(2)44m n m n m m n n ∴+=+=+⋅+1841212,|2|232m n =+⨯⨯⨯=∴+=.故答案为：【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.14.在ABC 中，若BC =2AB =，3CAB π∠=，则AC =______.【答案】3【解析】分析】根据余弦定理，建立AC 方程，求解即可.【详解】由余弦定理得22272cos BC AC AB AB AC CAB ==+-⋅⋅∠整理得2230AC AC --=，解得3AC =或1AC =-（舍去）.故答案为：3.【点睛】本题考查应用余弦定理解三角形，属于基础题.15.函数()213log 2212y x x =-++的单调递增区间为______. 【答案】1,32⎛⎫⎪⎝⎭（也可以为1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭） 【解析】【分析】 先求出函数的定义域，根据二次函数的单调性和对数函数的单调性，即可求解.【详解】函数有意义须222120x x -++>，解得23x -<<， 要使函数()213log 2212y x x =-++单调递增，则应使函数22212y x x =-++单调递减， 函数22212y x x =-++的单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 结合定义域可得函数()213log 2212y x x =-++的单调递增区间为1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，研究函数性质要注意定义域优先原则，属于基础题. 16.焦点为F 的抛物线24y x =上有不同的两点,P Q ，且满足()1PF FQ λλ=>，若线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83，则λ=______. 【答案】3【解析】【分析】抛物线的焦点(1,0)F ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，根据抛物线的定义可得12x x +，设直线PQ 方程为1x my =+，与抛物线方程联立求出12,y y ，转化为12x x +，建立m 的方程，进而求出12,y y ，即可求解.【详解】法一：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ，又()1PF FQ λλ=>， ,,P Q F ∴三点共线，设其方程为1x my =+，12y y λ=-，线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83，12121281041,,()2333x x x x m y y +∴+=+=∴+=， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y my --=，① 21212434,()4,3y y m m y y m m +=∴+===±， 当33m =时，方程①为234430y y --=， 解得3y =-或23y =，121,3y y λλ>∴=-=， 同理3,33m λ=-=. 法二：不妨设点P 在第一象限，作PA ⊥准线于点A ， 作QB ⊥准线于点B ，作MC ⊥准线于点C ，∵()()111||||||||||||222MC PA QB PF QF PQ =+=+=， ∴16||3PQ =.设直线PQ 的倾斜角为θ， 222416||sin sin 3p PQ θθ===，∴60θ=︒，∴||1cos 1cos 3||1cos 1cos pPF p QF θθθθ+-===-+. 故答案为：3【点睛】本题考查抛物线方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，焦点弦要注意焦半径公式的灵活应用，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17.在数列{}n a 中，前n 项和为()*n S n N ∈，若0na>，数列{}n S 为等比数列，12346,24S S S S +=+=.（1）求n S ； （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）2nn S =；（2）13122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设{}n S 的公比为q ，根据已知得到1,q S ，即可求出n S ；（2）由（1）结论求出数列{}n a 的通项公式，进而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，根据其特征求出前n 项和n T .【详解】（1）由数列{}n S 为等比数列234124S S q S S +==+，由0n a >，则0q >，2q，()12116S S S q +=+=，有12S =，则2n n S =.（2）由（1）112a S ==，2n ≥，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩则11,1,211,2,2n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当2n ≥时，121121111111......2222n n n T a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111113121222212n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯=- ⎪⎝⎭-，又11112T a ==符合，所以13122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式基本量的运算与其前n 项和的求解，以及由前n 项和求通项，考查计算求解能力，属于中档题.18.某学校高三年级在开学时举行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况，现从年级1000名文科生中随机抽取了200名学生本次考试的历史成绩，得到他们历史分数的频率分布直方图如图.已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为[]35,95.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生历史成绩的平均分，众数；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（3）已知该学校每年高考有65%的同学历史成绩在一本线以上，用样本估计总体的方法，请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分？【答案】（1）0.02a =；（2）平均数为75.8，众数为80；（3）73分 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，即可求出a 的值；（2）根据频率直方图，取频率最大组的中值即为众数；由平均数公式即可求出结论； （3）先确定从小到大概率和为0.35所在的组，以及在该组所在的比例，即可求出结果. 【详解】（1）依题意得，0.020.030.10.250.4101a +++++=，解得0.02a =；（2）估计这200名学生历史成绩的平均分为，0.02400.03500.1600.25700.4800.29075.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，众数为80；（3）[35,65)的频率和为0.15，[65,75)的频率为0.25 所以估计本次入学检测历史学科划定的一本线为0.26510730.25+⨯=. 【点睛】本题考查补全频率分布直方图，并利用频率直方图求众数、平均数以及估计百分比数，属于基础题.19.如图，在三棱台111ABC A B C -中，11122,A AB AC AA B C B A A ==⊥==，.若点M 为1CC 的中点，点N 为BC 靠近点C 的四等分点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ； （2）若三棱台111ABC A B C -的体积为73V =，求三棱锥1A AMN -的体积. 注：台体体积公式：()13V S SS S h ''=++，或在,S S '分别为台体上下底面积，h 为台体的高. 【答案】（1）证明见解析；（2）14【解析】 【分析】（1）取BC 的中点D ，连接1C D ，可得MN ∥1DC ，再由已知可证四边形11B C DB 为平行四边形，得1BB ∥1DC ，进而有MN ∥1BB ，即可证明结论；（2）根据已知可得三棱台的高为12AA =，可得1AA ⊥平面ABC ，再结合已知可证AB ⊥平面1AA M ，应用11A AMN N AA M V V --=，即可求解.【详解】（1）如图3，取BC 的中点D ，连接1C D . 在1DCC △中，由,M N 为中点，有MN ∥1DC . 由棱台的性质知11B C ∥BC ，ABC 与111A B C △相似， 且1112AC AC =，则有1112B C BC =， 所以有1111,B C BD B C =∥BD ， 所以四边形11B C DB 为平行四边形，则1BB ∥1DC ，所以MN ∥1BB ，又MN ⊄平面11A B BA ，1BB ⊂平面11A B BA ，所以MN ∥平面11A B BA .（2）设三棱台111ABC A B C -的高为h ，11112,2ABC A B C S S ==△△， 则体积11721323V h ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭，则12h AA ==，故1AA ⊥平面ABC . 由AB AC ⊥，1AA AB ⊥，1AC AA A =∩，所以AB ⊥平面1AA M .11111222AB AC AA A B AC =====，M 为1CC 中点，111113222AA M AC AC S AA +∴=⨯=△， 所以111111114434A AMN N AA M B AA M AA M V V V AB S ---===⨯⋅=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及几何体的体积，空间垂直关系的应用是解题的关键，注意等体积法的运用，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为2(,0)(0)F c c >，上顶点为P ，右顶点为Q .若2POF（O 为坐标原点）的三个内角大小成等差数列. （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，设直线6:5b l my x =-，若AQB 面积的最大值为425，且该椭圆短轴长小于焦距，求椭圆C 的标准方程. 【答案】（1）12或2；（2）2241x y += 【解析】 【分析】（1）由已知可得26OPF π∠=或3π，并且2||PF a =，在2Rt POF △中，即可求出离心率； （2）根据已知条件可得b c <，进而有2a b =，椭圆方程化为222214x y b b+=，直线l 过6(,0)5b ，设()11,A x y ，()22,B x y ，1216225AQB S b b y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭△，直线l 方程与椭圆方程联立，得到12,y y 关系，将AQBS表示为m 的函数，根据函数特征，求出AQBS最大值，建立b 的方程，求解即可.【详解】（1）2POF 的三个内角大小为6π，3π，2π， 又22POF π∠=，则26OPF π∠=或3π. 所以椭圆的离心率21sin 2c e OPF a ==∠=或2. （2）由b c <，所以2POF 中，23OPF π∠=，21cos 2b OPF a ∠==，则2a b =. 设椭圆的标准方程为222214x y b b+=，直线6:5bl my x =-，()11,A x y ，()22,B x y . 直线与椭圆方程联立2226,544,b my x x y b ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ 消去x 得()222126440525bm y bmy ++-=，所以()()122212212,5464,254bm y y m b y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以1216225AQB S b b y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭△222855425b b m =⨯=+ 令()()225644t h t t +=+，[)20,t m =∈+∞，则()()()()4425284t t h t t +--'=+，当0t ≥时，()0h t '<恒成立， 故()h t 在[)0,+∞上单调递减，()()max 04h t h ==. 所以0m =时，()22max164125254AQBb S b ==⇒=△， 故椭圆的标准方程为2241x y +=.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求的方法处理相交弦的问题，考查计算求解能力，属于较难题. 21.函数()21ln 12f x x ax bx =-++. （1）若函数()f x 在1x =处的切线为2y =，求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：对任意210x x >>时，()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'<⎪-⎝⎭. 【答案】（1）()0,1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出'()f x ，由'(1)0,(1)2f f ==，建立,a b 方程关系，求解，得到'()f x ，求出'()0f x >的解即可；（2）作差并化简()()()1212121121212212ln 22f x f x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫++⎛⎫-=-⋅ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭'，只需证明12112212ln 01x x x x x x +-<-，设12,(0,1)x t t x =∈，只需证明12ln 01t t t +-<-，转化为证明4ln 21t t +<+，构造函数()4ln 1g t t t =++，()0,1t ∈，利用()g t 的单调性即可证明结论. 【详解】（1）解：()122f x ax b x -'=+， 由题有()()3,112,215120,22a f a b f a b b ⎧⎧==-++=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=-+='⎪⎪=⎩⎪⎩所以()()()()26516111532222x x x x f x x x x x----+-=-+='=， 又定义域为()0,x ∈+∞，()001f x x >⇒<<'， 所以函数()f x 的单调递增区间为()0,1. （2）由（1）有()12121212x x f a x x b x x +⎛⎫=-++⎪+'⎝⎭， ()()()()()221212121212121ln ln 2x x a x x b x x f x f x x x x x ---+--=-- ()()121212ln ln 2x x a x x b x x -=-++-，由()()()121212121212ln ln 122f x f x x x x x f x x x x x x -+-⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭'+ ()1211212212ln 2x x x x x x x x ⎛⎫+=-⋅ ⎪+-⎝⎭，下证1211222ln 0x x x x x x +-<-，等价于12112212ln 01x x x x x x +-<-.设12x t x =，由210x x >>，则()0,1t ∈. 原式等价于：()21142ln 0ln ln 2111t t t t t t t t -+-⇔⇔+<-++. 设()4ln 1g t t t =++，()0,1t ∈， ()()()()222114011t g t t t t t -=-=+'>+恒成立，所以()g t 在()0,1t ∈上单调递增， ()()12g t g <=，()0,1t ∈得证.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调区间、不等式的证明等知识，考查等价转化思想，以及逻辑推理和数学计算能力，属于较难题. 22.点P 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=.点S 为圆M 上一动点，线段PS 的中点为点N .（1）求点N 的轨迹方程1C ；（2）设线段PM 的中点为点Q ，直线l 过点Q 且与圆M 交于,A D 两点，直线l 交轨迹1C 于,B C 两点，求QA QDQB QC+的最小值. 【答案】（1）()()22111x y -+-=（2） 【解析】 【分析】（1）根据点S 为圆M 上一动点，N 为线段PS 的中点设点(),N x y ，点S 为()11,x y ，有11,222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得到 112,22,x x y y =⎧⎨=-⎩代入圆的方程整理即可.（2）根据点Q 为圆1C 的圆心，则1QB QC ==，得到QA QDQA QD QB QC+=+，设直线1cos ,:1sin ,x t l y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入圆M 有()22cos sin 20t t θθ---=，再由1212QA QD t t t t +=+=-=.【详解】（1）点P 的直角坐标为()0,2，圆M 的标准方程为()2224x y -+=.设点(),N x y ，点S 为()11,x y ，有1111,2,222,22x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩代入()2224x y -+=，得()()2222224x y -+-=， 即()()22111x y -+-=，所以点N 的轨迹方程1C 为()()22111x y -+-=. （2）点()2,0M ，点Q的坐标为()1,1为圆1C 的圆心，1QB QC ==，所以QA QD QA QD QB QC +=+，设直线1cos ,:1sin ,x t l y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 代入圆M ，得()()22cos 1sin 14t t θθ-++=， 即()22cos sin 20t t θθ---=，所以()12122cos sin ,2,t t t t θθ⎧+=-⎨=-⎩所以1212QA QD QA QD t t t t QB QC+=+=+=-====≥【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系以及直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23.已知函数()1222f x x a x a=++--. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()8f x <； （2）已知2a ≤-，求函数()f x 的最小值.【答案】（1）733x -<<（2）12 【解析】【分析】 （1）利用绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）根据()11222f x x a x x a x a x a a=++--=++++--，利用绝对值三角不等式得到()12f x a a≥++，再根据2a ≤-，利用不等式的基本性质求解. 【详解】（1）当1a =时，()31,3,2235,13,31,1,x x f x x x x x x x ->⎧⎪=++-=+-≤≤⎨⎪-+<-⎩()8f x <等价于1318x x <-⎧⎨-+<⎩或1358x x -≤≤⎧⎨+<⎩或3318x x >⎧⎨-<⎩解得733x -<<. 所以原不等式的解集是7|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）()1112222f x x a x x a x a x x a x a a a=++--=++++--≥++-++ 12a a≥++，当且仅当x a =-时，取“=” 因为2a ≤-，所以111111222222a a a a a a +≤--⇒++≤-⇒++≥， 所以当2x a =-=时，函数()f x 的最小值为12. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值三角不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十九)数学(文)试题
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十九）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：1.已知集合2{|160}A x Z x =∈-<，2{|430}B x x x -=+>，则A B =A. {|41x x -<<或34}x <<B. {}4,3,2,1,0,3,4----C. {|1x x <或34}x <<D. {3,2,1,0}---【答案】D 【解析】{}2{|160}{|44}3,2,1,0,1,2,3A x Z x x Z x =∈-<=∈-<<=---{}{}2430|13B x x x x x x =-+=或 {}3,2,1,0A B ∴⋂=--- ，选D2.已知i 是虚数单位，则11z i=-在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】 【分析】分子分母同时乘以()1i +，化简整理，得出z ，再判断象限． 【详解】11i 12z i +==-，在复平面内对应的点为（1122，），所以位于第一象限．故选A ．【点睛】本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，属于基础题. 3.已知()1f x x =，()2sin f x x =，()3cos f x x =，()41f x x=，从以上四个函数中任意取两个函数相乘得到新函数，那么所得新函数为偶函数的概率为（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】C 【解析】 【分析】任意两个相乘得到的函数个数有6个，得到偶函数的个数为3个，即可算出答案 【详解】()1f x x =，()2sin f x x =，()41f x x=为奇函数，()3cos f x x =为偶函数， 任意两个相乘得到的函数个数有6个，为：()()12f x f x ，()()13f x f x ，()()14f x f x()()23f x f x ，()()24f x f x ，()()34f x f x得到偶函数的个数为3个，为：()()12f x f x ，()()14f x f x ，()()24f x f x 故概率为3162=． 故选：C【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是( )注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】根据饼图中的数据结合岗位分布图中的数据，对选项进行一一分析，即可得答案； 【详解】对A ，可知90后占了56%，故A 正确； 对B ，技术所占比例为39.65%，故B 正确； 对C ，可知90后明显比80前多，故C 正确；对D ，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D 错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图的信息提取，考查数据处理能力，属于基础题. 5.函数ππsin cos 33y x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ） A.13+ B.132+ C.264D.262【答案】D 【解析】 【分析】)13131326πsin cos sin cos 224y x x x x x x x ++⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，即可得出答案【详解】()13131326πsin cos cos sin sin cos sin 2222224y x x x x x x x ++⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭最大值为262+． 故选：D【点睛】在解决本类题目时，应将函数化为基本型.6.已知曲线421y x ax =++在点()()1,1f --处切线的斜率为6，则()1f -=( ) A. 3 B. 4- C. 3-D. 4【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，再根据'(1)6y -=可得a 的值，再将1x =-代入函数中，即可得答案；【详解】342y x ax '=+，426a ∴--=，5a ∴=-，()1113f a ∴-=++=-.故选：C.【点睛】本题考查导数几何意义的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，输出的T 的值是( )A. 20B. 26C. 57D. 16【答案】B 【解析】 【分析】阅读程序框图根据T 与S 的大小关系，一步一步模拟运行程序，即可得答案； 【详解】第一次循环，00≤是，44S S ∴=+=，20T T n =+=，11n n =+=；第二次循环，04≤是，48S S ∴=+=，21T T n =+=，12n n =+=； 第三次循环，18≤是，412S S ∴=+=，24T T n =+=，13n n =+=； 第四次循环，412≤是，416S S ∴=+=，211T T n =+=，14n n =+=； 第五次循环，1116≤是，420S S ∴=+=，226T T n =+=，15n n =+=；2620≤否，故输出T的值是26.故选：B.【点睛】本题考查程序框图中的直到型循环，考查运算求解能力，求解时注意程序运行终止的条件. 8.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A. 1CC 与1B E 是异面直线B. AC ⊥平面11ABB AC. AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D. 11//A C 平面1AB E【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确.故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题 9.函数()sin 2xf x x =-（[2,2]x ππ∈-）的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】分析：由函数的解析式，求解函数函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项；再由x π=时，()0f π>，排除C ，即可得到答案．详解：由函数()sin 2x f x x =-，则满足()sin()(sin )()22x x f x x x f x --=--=--=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项； 由当x π=时，()sin 022f ππππ=-=>，排除C ，故选A ．点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 10.在ABC 中，若2π3C =，3AB =，则ABC 的周长的最大值为( ) A. 9 B. 6C. 33+D. 33【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将三角形的周长表示成关于A 的三角函数，再利用三角函数的有界性，即可得答案；【详解】根据正弦定理，3232πsin sin sin sin3AB BC AC C A B ==== 那么3BC A =，23AC B =，所以周长等于π3sin sin 33A B A A ⎤⎛⎫++=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎦1sin 32A A ⎫=++⎪⎪⎭π33A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当6A π=时，ABC 的周长的最大值为3+故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的应用、三角函数的有界性求周长的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意A 的范围.11.若椭圆()222210x y a b a b+=>>过点)，且以该椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为这个椭圆的离心率为（ ）A.12B.2C.D.23【答案】B 【解析】 【分析】由题意知2ab =22211a b+=，然后解出即可【详解】由题意知2ab =22211a b+=，222228b a a b ∴+==，24a ∴=，22b =．2222c a b ∴=-=．2a ∴=，c =2e =． 故选：B【点睛】对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线的长度相乘的一半.12.定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( )A. ()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到12log 1x >，解绝对值不等式和对数不等式，求得x 的取值范围.【详解】偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，由12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得12log 1x >，所以12log 1x >或12log 1x <-，解可得，102x <<或2x >. 故选：A.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题.二、填空题：13.已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为60°，且满足()121e e e λ⊥-，则实数λ的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为0，可得()1210e e e λ⋅-=，再利用数量积的定义进行运算，即可得答案；【详解】由单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=， 由()121e e e λ⊥-，可得()1210e e e λ⋅-=，∴()21210e e e λ⋅-=，则102λ-=，解得2λ=.故答案为：2.【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，考运算求解能力，属于基础题. 14.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是______．【答案】π3- 【解析】 【分析】利用()f x 的周期求ω，过点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭求ϕ 【详解】由图象可知，35ππ9π412312T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，πT ∴=，2π2Tω==． 5π,212⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，()π2π3k k ϕ=-∈Z ，π2ϕ<，ππ22ϕ-<<，0k ∴=，π3ϕ=-．故答案为：π3-【点睛】本题考查的是利用函数的图象求其解析式，较简单.15.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为__________．【答案】2213y x -=【解析】 由题意知，2ca =，即2c a =，则3b a =，由圆的方程可知，其圆心坐标为(),0a ，半径32r =，不妨取双曲线渐近线0bx ay -=，则223baa b=+，即233a =，所以1a =，则3b =，故所求双曲线的方程为2213y x -=.点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都等于2，D 在1 AC 上，F 为1BB 中点，且1FD AC ⊥，则1ADDC =______.【答案】1 【解析】 【分析】由F 为1BB 中点，且正三棱柱111ABC A B C -的各棱长等于2，可证得D 为1AC 中点，即可得答案； 【详解】F 为1BB 中点，且正三棱柱111ABC A B C -各棱长等于2，2215AF FC AB BF ∴==+= 1AFC ∴△为等腰三角形，又1FD AC ⊥，D ∴为1AC 中点，11ADDC ∴=.故答案为：1【点睛】本题考查空间几何中线段长度的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17.为了了解某高校全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和中位数a （a 的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取9名参加座谈会．你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由．【答案】（1）9x =，8.99a ≈；（2）每周阅读时间为[)6.5 ,7.5的学生中抽取3名，每周阅读时间为[)7.5 ,8.5的学生中抽取6名，理由详见解析． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中的数据直接计算即可 （2）利用分层抽样原理抽取 【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[)8.5,9.5a ∈． 由()0.030.10.28.50.350.5a +++-⨯=， 解得0.50.338.58.990.35a -=+≈．（2）每周阅读时间为[)6.5 ,7.5的学生中抽取3名，每周阅读时间为[)7.5 ,8.5的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[)6.5 ,7.5与每周阅读时间为[)7.5 ,8.5是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本;因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配． 【点睛】本题考查的是由频率分布直方图计算平均数和中位数，考查了分层抽样，属于基础题.18.如图所示，在多面体111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，1CC 的中点，4AC BC ==，42AB =，12CC =，四边形11BB C C 为矩形，平面ABC ⊥平面11BB C C ，11//AA CC ．（1）求证：平面DEF ⊥平面11AAC C ；． （2）若11AA =，求多面体111ABC A B C -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）403． 【解析】 【分析】（1）首先证明1BC CC ⊥，BC AC ⊥，即得BC ⊥平面11AAC C ，然后由//DE BC 得出DE ⊥平面11AAC C 即可（2）取1BB 中点G ，连1A F ，FG ，1A G ，多面体111ABC A B C -由四棱锥111A FGB C -与棱柱1ABC AGF -组成，然后分别求出体积即可. 【详解】（1）D ，E 分别为AC ，AB 的中点//DE BC ∴．四边形11BB C C 为矩形，1BC CC ∴⊥．4AC BC ==，42AB =222AC BC AB ∴+=，BC AC ⊥，又BC AC C ⋂=，BC ∴⊥平面11AAC C ，DE ∴⊥平面11AAC C ．DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面11AAC C（2）平面ABC ⊥平面11BB C C ，且1BC CC ⊥，BC AC ⊥，1CC ∴⊥平面ABC ，AC ⊥平面11BB C C ，如图，取1BB 中点G ，连1A F ，FG ，1A G ，11//AA CC ，11AA =，12CC =，∴多面体111ABC A B C -由四棱锥111A FGB C -与棱柱1ABC AGF -组成． 1144182ABC A FG ABC V S CF -=⋅=⨯⨯⨯=△．1111111116414333C A FGB C FGB V S A F -=⋅=⨯⨯⨯=．∴多面体111ABC A B C -的体积为1640833+=． 【点睛】求一个复杂的几何体的体积时应将其分成几个特殊的几何体的体积来求. 19.已知数列{}n a 中，11a =，()*112n n n a a n N +⋅=∈. （1）设2n n b a =，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，求2n T . 【答案】(1)答案详见解析；（2）213[1()]2nn T =- 【解析】 【分析】（1）由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得221212n n n a a +⋅=，21222112n n n a a +++⋅=，两式相除即可证明结论. （2）将数列n a 的奇数列构造成新的数列n c ，由（1）的证法可得数列n c 也为等比数列，用分组求和法即可得到答案.【详解】因为在数列{}n a 中，()*112n n n a a n N +⋅=∈， 所以221212n n n a a +⋅=①，21222112n n n a a +++⋅=②， ②式除以①式得22212n n a a +=，即2(1)212n n a a +=， 由2n n b a =得，2(1)121()2n n n n a b n N b a +*+==∈， 又11a =，所以1212a a =，则212a =，所以1212b a ==， 所以数列{}n b 是12为首项以12为公比的等比数列. （2）令21()n n c a n N *-=∈,由()*112n n n a a n N +⋅=∈， 可得2122112n n n a a --⋅=，221212n n na a +⋅=， 所以212112n n a a +-=，所以2(1)1121212112n n n n n n a c a c a a +-++--===， 又111c a ==，所以数列{}n c 是1为首项以12为公比的等比数列. 所以2123212n n n T a a a a a -=+++++1321242()()n n a a a a a a -=+++++++1212()()n n c c c b b b =+++++111[1()][1()]12223[1()]1121122n n n --=+=--- 【点睛】本题主要考查等比数列的证明，构造等比数列，分组求和法，属中档题.20.已知函数()322f x x mx nx =++-的图象过点()1,6--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称．（1）求m 、n 的值；（2）若0a >，求函数()y f x =在区间()1,1a a -+内的极值． 【答案】（1）3m =-，0n =；（2）分类讨论，详见解析． 【解析】 【分析】（1）由函数()f x 图象过点()1,6--，得3m n -=-，由()g x 的图象关于y 轴对称可得260m +=， （2）利用导数得出()y f x =的单调性，然后分01a <<，1a =，13a <<，3a ≥四种情况讨论即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象过点()1,6--，得3m n -=-，①由()322f x x mx nx =++-，得()232f x x mx n '=++，则()()()26326g x f x x x m x n '=+=+++；因为()g x 的图象关于y 轴对称，所以260m +=，所以3m =-， 代人①得0n =．（2）()()23632f x x x x x '=-=-．令0f x得0x =或2x =．当x 变化时，fx 、()f x 的变化情况如下表：,0 x +由此可得：当01a <<时，()f x 在()1,1a a -+内有极大值()02f =-，无极小值； 当1a =时，()f x 在()1,1a a -+内无极值；当13a <<时，()f x 在()1,1a a -+内有极小值()26f =-，无极大值；当3a ≥时，()f x 在()1,1a a -+内无极值．综上得：当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或3a ≥时，()f x 无极值．【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的性质，属于中档题.21.已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2.直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 交于点M .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）4.【解析】 【分析】（1）根据焦点到准线的距离为p ，即可得到抛物线的方程；（2）利用导数求出抛物线的两条切线方程，再利用直线垂直，得到斜率相乘为1-，从而求得直线l 方程为1y kx =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】（1）由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-， 焦点到准线的距离为2，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x xy x x -=-.由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-. 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=. 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+.联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即()2,1M k -. M 点到直线l的距离d ==.()241AB k ==+，所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥.当0k =时，MAB △面积取得最小值4.【点睛】本题考查抛物线方程的求解、直线与抛物线的位置关系和三角形面积最值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为ρ=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的任意点，求AB 的最小值.【答案】（Ⅰ）4y x =-+，2214x y +=【解析】分析：（1）利用消参法和极坐标公式得到曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程.(2) 设点B 为()2cos ,sin θθ,再求出AB=，再求|AB|的最小值.详解：（Ⅰ）由2x =-2x =-，代入2y =+，得1C 的普通方程4y x =-+.由ρ=，得2223sin 4ρρθ+=.因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2214x y +=.（Ⅱ）因为椭圆2C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.可设点B 为()2cos ,sin θθ， 由点到直线的距离公式，得AB ===，其中cos ϕ=，sin ϕ=.由三角函数性质可知，当()sin 1θϕ+=时，AB. 点睛：(1)本题主要考查参数方程和极坐标方程和直角坐标的互化，考查利用参数方程求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用. 23.已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈. （1）当1a =，解不等式()2f x ≥；（2）求证：1()22f x a a ≥--. 【答案】（1）1{|1}3x x x ≤-≥-或.（2）见解析.【解析】 试题分析：（1）当1a =，不等式即()2212f x x x =+++≥，零点分段可得不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）由题意结合绝对值不等式的性质可得：()222a a f x x x x =+++++ 222a a x ≥-++ 22a ≥- ()122a a =-- 122a a ≥--.试题解析：（1）当1a =，()2212f x x x =+++≥2332x x ≤-⎧⇔⎨--≥⎩或12212x x ⎧-<<-⎪⎨⎪-+≥⎩或12332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩2x ⇔≤-或21x -<≤-或13x ≥-1x ⇔≤-或13x ≥-，所以不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）()22f x x x a =+++ 222a a x x x =+++++ 222a a x ≥-++ 2222a a≥-=- ()122a a =-- 122a a ≥-- 122a a =--.。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(十五)文科数学试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（十五）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，集合{|21,}B x x n n A ==+∈，则AB =（ ） A. {}1,0,1,2,3,4-B. {}1,1,3-C. {}1,3D. {1,1}- 【答案】B【解析】【分析】先求出集合B ,再根据交集运算法则求A B 即可. 【详解】因为集合{}1,0,1,2,3,4A =-,所以集合{|21,}{1,1,3,5,7,9}B x x n n A ==+∈=-,所以{1,1,3}A B =-,故选:B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题.2.已知复数(1)23i z i +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C【解析】【详解】试题分析：由(1)23i z i +=-得23(23)(1)151(1)(1)2i i i i z i i i -----===++-， 故对应的点的坐标为15(,)22--，故选项为C.考点：复数的性质.3.已知抛物线22(0)y px p =>上的点到准线的最短距离为1，则p 的值为（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】抛物线22y px =上的点到准线的最短距离为2p ,据此列式求解即可. 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上的点到准线的最短距离为2p , 所以122p p =⇒=, 故选:C.【点睛】本题主要考查抛物线性质的应用,属于基础题.4.已知{}n a 是等差数列，且满足22n n a a n -=，525S =，则9a 为（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】A【解析】【分析】先根据题中等式解出{}n a 的首项与公差,再利用通项公式求9a 即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为22n n a a n -=,525S =, 故11225415252nd n d a a d =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩, 所以91817a a d =+=,故选:A.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算,考查公式的应用,难度不大.5.已知2(2)ln f x x x -=-，且()00f x =，则0x 所在的区间为（ ） A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()4,5【答案】A【解析】【分析】先求出()f x ,可知其为定义域上的增函数,再根据零点存在性定理求出零点所在区间. 【详解】2(2)ln f x x x -=-,则2()2ln(2)x f x x +=-+, 根据单调性的性质可知2()2ln(2)x f x x +=-+是定义域上的增函数, 故()f x 在定义域内最多有一个零点, 又2(0)ln 210,(1)ln 303f f =-<=->, 所以存在0(0,1)x ∈,使得()00f x =,故选:A.【点睛】本题主要考查零点存在性定理的应用,结合了解析式､单调性等相关知识,难度不大.6.某班级要选出同学参加学校组织的歌唱比赛，自愿报名的同学共有6人，其中4名女生，2名男生，现从中随机选出3名同学，则选出的3名同学中至少1名男生的概率是（ ） A. 35 B. 710 C. 34 D. 45【答案】D【解析】【分析】设4名女生分别为1234,,,A A A A ,2名男生分别为12,B B ,先列举出全部基本事件,再找出满足条件的基本事件,最后根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】设4名女生分别为1234,,,A A A A ,2名男生分别为12,B B ,则从这6名同学中随机选出3名同学,共有20种可能,列举如下:123124121122134131132141142112,,,,,,,,,A A A A A A A A B A A B A A A A A B A A B A A B A A B A B B ,234231232241242212341342312412,,,,,,,,,A A A A A B A A B A A B A A B A B B A A B A A B A B B A B B ,其中至少有1名男生的可能有16种(以下划线形式标出),因此,根据古典概型的概率公式,可知选出的3名同学中至少有1名男生的概率164205P ==,故选:D.【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法,常用列举法答题,难度不大.7.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位得到()g x ，下列关于()g x 的说法正确的是（） A. 12x π=是对称轴 B. 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为1D. 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最小值为1-【答案】D【解析】【分析】先根据平移变换法则求出()g x ,再利用余弦函数的性质判断选项的正误.【详解】函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位,得到()sin(2)3g x x π=-的图象,对于A,当12x π=时,1sin()1262g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,故A 选项错误;对于B,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,则()sin(2)3g x x π=-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,故B 选项错误;对于C,当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,则()g x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为sin 332g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故C 选项错误; 对于D, 当,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,2,33x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦, 则()g x 在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为sin 1122g ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 选项正确; 故选:D.【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用,考查图象变换,属于中档题.8.已知向量a 在b 方向上的投影为2-，且()1a b b ⋅+=-，则a b ⋅=（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 2- 【答案】D【解析】【分析】 根据向量的投影和数量积的定义可知2a b b ⋅=-,再结合()1a b b ⋅+=-,即可解出b ,从而得出a b ⋅.【详解】因为向量a 在b 方向上的投影为2-,所以cos ,2a ba ab b ⋅⋅<>==-,故有2a b b ⋅=-, 又()1a b b ⋅+=-,即21a b b +=-⋅,因此2211b b b -+=-⇒=,所以2a b ⋅=-,故选:D.【点睛】本题主要考查向量数量积和投影的应用,考查计算能力,难度不大. 9.已知实数x ，y 满足220100x y x y mx y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，且2z x y =-的最大值为1，则实数m 的值为（ ）A. 34B. 1C. 32D. 2【答案】C【解析】【分析】先作出满足条件的可行域,再结合目标函数的几何意义得到最优解,结合题中所给目标函数的最值,联立方程得出最优解的坐标,再代入含参直线即可.【详解】作出满足约束条件的可行域,如下图阴影部分所示:将目标函数2z x y =-变形为:2y x z =-,结合上图可知,直线2y x z =-过点B 时,z 取最大值,又由题知z 的最大值为1,故此时目标函数对应的直线方程为21y x =-,联立102213x y x y x y -+==⎧⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎩,即()2,3B , 因为直线0mx y -=过点()2,3B ,所以32m =, 故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划的应用,考查数形结合思想的应用,属于中档题.目标函数的几何意义一般有截距,斜率和距离三种情况.10.已知函数3()(0)x x f x ax bx e e a -=-+->，其中e 是自然对数的底数，若()f x 在R 上单调递增，则b 的范围是（ ）A. b e ≤B. 2b ≤C. 1b ≤D. 0b ≤ 【答案】B【解析】【分析】由题可知2(30)x x f x ax b e e -'=-+≥+在R 上恒成立,即23x x b ax e e -≤++在R 上恒成立,设2()3x x g x ax e e -=++,利用()g x 的奇偶性和导数研究其单调性,求出()g x 的最小值,即可得出答案.【详解】3()(0)x x f x ax bx e e a -=-+->,则2()3x x f x ax b e e -'=-++,因为()f x 在R 上单调递增,所以2(30)x x f x ax b e e -'=-+≥+在R 上恒成立,即23x x b ax e e -≤++在R 上恒成立,设2()3x x g x ax e e -=++,则()6x x g x ax e e -'=+-,当0x >时,()60x x g x ax e e -'=+->,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,又2()3()x x g x ax e g x e -=-=++,所以()g x 是偶函数,因此()g x 在(,0)-∞上单调递减,所以min ()(0)2g x g ==,所以2b ≤,故选:B.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数的应用,考查转化思想,属于中档题.在遇见含参的恒成立问题时,一般选择分离参数后,将恒成立问题转化为简单函数的最值问题.11.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为（ ）A. 8πB. 414πC. 283πD. 1369π 【答案】B【解析】【分析】 先根据三视图还原几何体,再求出几何体底面ABC 的外接圆圆心及半径,然后利用“三棱锥的外接球球心在过底面中心的垂线上”这一性质,确定外接球球心,最后利用勾股定理求出外接球半径即可得解.【详解】根据三视图还原几何体如下:设D 为AB 的中点,则有2,2,2,AB CD PA AC BC ====,且PA ⊥平面ABC ,设M 为ABC 的外心,r 为ABC 的外接圆半径,则AM CM r ==,故在AMD 中,有222AD MD AM +=, 即2251(2)4r r r +-=⇒=, 如图所示,过M 作//MN PA ,且MN PA =,此时MN ⊥平面ABC ,设MN 的中点为O ,则OP OA =,故点O 即为三棱锥P ABC -的外接球球心, 又2224116AO AM OM =+=, 所以三棱锥P ABC -的外接球半径41R =, 所以三棱锥P ABC -的外接球表面积24144S R ππ==, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球半径的求法,考查了三视图还原几何体,有一定难度.本题中既可利用“三棱锥的外接球球心在过底面中心的垂线上”这一性质去确定外接球球心,也可将三棱锥还原成对应的三棱柱去确定球心,要求学生具备一定的空间思维与想象能力.12.已知函数211()ln(1)221x f x x x =+-++，且()1a f =，()3b f π=--，cos13()0c f =-︒，下列结论中正确的是（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. b c a >>D. b a c >> 【答案】C【解析】【分析】先确定()f x 的奇偶性以及其在(],0-∞上的单调性,从而得出()f x 在R 上的单调性,然后利用单调性比较函数值的大小即可.【详解】11())221x f x x =-++,其定义域为R , 当0x ≤时,根据基本函数的单调性与单调性的性质可知,()f x 在(],0-∞上单调递减,又1112()))221221xx x f x x x --=-+=-+++, 所以()()0f x f x +-=,所以()f x 是奇函数,因此()f x 在R 上单调递减,因为()1a f =,()(3)3f f b ππ=--=-,()cos130(cos130)f c f =-=-︒,又1cos130(,2-∈,所以3cos1301π-<-<, 所以(3)(cos130)(1)f f f π->->,即b c a >>,故选:C.【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较函数值的大小问题,考查学生对函数性质的综合运用,有一定难度.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()2log 32f x x =+，若()3f a =，则a =__________．【答案】2【解析】【分析】将x a =代入()f x 解析式,列式求解即可.【详解】因为()()2log 32f x x =+,所以()2log (32)3f a a =+=,解得2a =,故答案为:2.【点睛】本题考查根据解析式和函数值求自变量,考查解方程,属于基础题.14.过点()1,2M -且倾斜角为135︒的直线l 与圆228x y +=相交的弦长为__________．【解析】【分析】先根据点斜式写出直线方程,再求出圆心到直线的距离,最后利用垂径定理构造直角三角形列式求解即可.【详解】因为直线l 过点()1,2M -且倾斜角为135︒,所以直线l 的方程为2(1)y x -=-+,即10x y +-=,又圆228x y +=的圆心为(0,0),半径为所以圆心(0,0)到直线l距离2d ==, 所以直线l 与圆228x y +=相交的弦长为=, 故答案为【点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题,考查计算能力,属于中档题.15.18世纪德国数学家提丢斯给出一串数列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…．再每一项除以10得到：0.4，0.7，1.0，1.6．2.8，5.2，10.0，…，这个数列称为提丢斯数列．则提丢斯数列的通项n a =__________．【答案】20.4,1()324,210n n n N n *-=⎧⎪∈⎨⨯+≥⎪⎩【解析】【分析】 根据题中条件按顺序确定每一个数列的通项公式即可.【详解】设数列:0,3,6,12,24,48,96,192,…,为{}n c ,由题可知,该数列的通项公式为*20,1()32,2n n n c n N n -=⎧=∈⎨⋅≥⎩, 设将{}n c 中的每一项加上4得到数列{}n b ,则*24,1()324,2n n n b n N n -=⎧=∈⎨⋅+≥⎩,最后将数列{}n b 中的每一项除以10,则可得到数列*20.4,1()324,210n n n a n N n -=⎧⎪=∈⎨⋅+≥⎪⎩, 故答案为:20.4,1()324,210n n n N n *-=⎧⎪∈⎨⨯+≥⎪⎩. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法,难度不大.16.已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 且斜率为3的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且12BF BF ⊥，22()AF F B λλ∈=R ，则实数λ的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】设22||,||BF m AF n ==,则在12Rt BF F 中,有1||3,BF m =又1212||||||||2AF AF BF BF m -=-=,所以1||2AF n m =+,最后在1Rt ABF △中,利用勾股定理列式即可解出,m n 的比例关系,从而求出λ.【详解】设22||,||BF m AF n ==,因为直线AB 的斜率为3,所以21tan 3BF F ∠=, 故在12Rt BF F 中,有1||3,BF m = 又直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点, 所以1212||||||||2AF AF BF BF m -=-=, 所以12||||22AF AF m n m =+=+,在1Rt ABF △中,有22211||||||BF AB AF +=,即2229()(2)m m n n m ++=+,化简得230m mn -=, 因为0,m ≠所以3n m =,所以223AF F B =,即3λ=, 故答案为:3.【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用,考查学生的计算分析能力,属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足36sin 3sin 4sin a A b B c C ==． （Ⅰ）求角B 的余弦值；（Ⅱ）若2a =，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，求BD 的长度． 【答案】（Ⅰ）13-；（Ⅱ）3BD =． 【解析】 【分析】(Ⅰ)由正弦定理得2223634a b c ==,因此3c a =,23b a =,再利用余弦定理即可求出cos B ;(Ⅱ)利用余弦定理求出cos C ,由cos ABC ∠求出cos CBD ∠,从而求出sin CDB ∠,即可在BCD 中,利用正弦定理求解BD .【详解】(Ⅰ)因为36sin 3sin 4sin a A b B c C ==, 由正弦定理得2223634a b c ==, ∴3c a =,23b a =,由余弦定理可得:2221cos 23a cb B ac +-==-;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:36c a ==,2343b a ==,BD 是角B 的平分线,∴21cos cos 22cos 13ABC CBD CBD ∠=∠=∠-=-, ∴3cos CBD ∠=, ∴6sin 3CBD ∠=, 又由余弦定理得2223cos 232243a b c C ab +-===⨯⨯, ∴6sin C =, ∴sin sin(())CDB CBD C π∠=-∠+∠22sin()CBD C =∠+∠=, 故在BCD 中,由正弦定理得623,3sin sin 22BC BD BD CDB C ⨯===∠. 【点睛】本题主要考查正､余弦定理解三角形,考查分析计算能力,属于中档题.18.某学校为了了解该校高三年级学生寒假在家自主学习的情况，随机对该校300名高三学生寒假的每天学习时间（单位：h ）进行统计，按照[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10的分组作出频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该校高三年级学生的平均每天学习时间（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（Ⅱ）该校规定学习时间超过4h为合格，否则不合格．已知这300名学生中男生有140人，其中合格的有70人，请补全下表，根据表中数据，能否有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关？参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考附表：【答案】（Ⅰ）4.36；（Ⅱ）有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关．【解析】【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图直接计算平均值即可;(Ⅱ)先求出300名学生中合格的人数,再补全表格,然后根据表格数据和公式计算2K,最后将2K与0k进行比较,进而得出结论.【详解】(Ⅰ)高三年级学生平均每天的学习时间为:2(0.0410.1630.2350.0670.019) 4.36⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(h);(Ⅱ)300名学生中合格的人数为3002(0.230.060.01)180⨯⨯++=(人),故补全表格如下:不合格 7050 120 合格 70 110 180 总计 140160300所以222()300(701105070)10.937510.828()()()()120180140160n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯, 所以有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关. 【点睛】本题考查了根据频率分布直方图求均值,考查了独立性检验,难度不大.19.如图1所示在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=︒，点E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起，使得平面ABE ⊥平面BCDE 得到如图2所示的四棱锥A BCDE -，点F 为AC 的中点．在图2中（Ⅰ）证明：//DF 平面ABE ； （Ⅱ）求点A 到平面BEF 的距离． 【答案】（Ⅰ）详见解析；25． 【解析】 【分析】(Ⅰ)取AB 的中点G ,连接EG ,GF ,利用////GF BC DE 且1=2GF BC DE =可证明四边形DEGF 为平行四边形,从而有//DF EG ,进而证明出//DF 平面ABE ;(Ⅱ)设点A 到平面BEF 的距离为h ,连接CE ,由A BEF F ABE V V --=可得ABEBEFSDEh S⨯=,因此利用垂直关系与面积公式计算出,ABEBEFSS即可得出答案.【详解】(Ⅰ)取AB 的中点G ,连接EG ,GF , 在菱形ABCD 中,E 为AD 的中点,∴//DE BC ,12DE BC =, 又G ,F 为AB ,AC 的中点, ∴GF 为ΔABC 的中位线, ∴//GF BC 且12GF BC =, ∴//GF DE 且=GF DE , ∴四边形DEGF 为平行四边形, ∴//DF EG ,又DF ⊄平面ABE ,EG ⊂平面ABE , ∴//DF 平面ABE ;(Ⅱ)设点A 到平面BEF 的距离为h ,连接CE , ∵平面ABE ⊥平面BCDE ,平面ABE平面BCDEBE ,AE BE ⊥,∴AE ⊥平面BCDE,∴AE EC ⊥,同理可证DE ⊥平面ABE, 又227EC BE BC +=∴221722AC AE EC =++=,又F 为AC 的中点, ∴122EF AC ==同理122BF AC ==∴13153224BEFS=-=, 又3ABES=,且A BEF F ABE V V --=, ∴1133BEFABES h S DE ⨯⨯=⨯⨯,∴5h =. 【点睛】本题主要考查了空间中的垂直､平行关系,考查了利用等体积法求点到平面的距离,需要学生具备一定的空间思维和计算能力,属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距和短轴长度相等，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）圆24:4O x y +=与椭圆C 分别交y 轴正半轴于点A ，B ，过点(),0P m （22m -<<，且0m ≠）且与x 轴垂直的直线l 分别交圆O 与椭圆C 于点M ，N （均位于x 轴上方），问直线AM ，BN 的交点是否在一条定直线上，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）两直线交点一定在x 轴上，理由详见解析． 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意列出关于,,a b c 的方程,解方程组求出,a b ,即可得椭圆方程;(Ⅱ)设()()1112,,,N x y M x y ,由2211142x y +=,2212144x y +=,可推出21y =,然后利用两点坐标写出直线,AM BN 的直线方程,联立直线方程即可求出交点的纵坐标,从而得出直线AM ,BN 的交点一定在x 轴上.【详解】(Ⅰ)由题意可得:22222211b ca b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩,解得:24a =,22b =,∴椭圆C 的方程为22142x y +=;(Ⅱ)由题可知(0,2),A B ,设()()1112,,,N x y M x y因为N 在椭圆上,M 在圆上,所以2211142x y +=,2212144x y +=,所以212y =,直线1122:2y AM y x --=, 直线112:2y BN y x -=, 设两直线的交点坐标为()00,x y ,0022y =-解得00y =, 故直线AM ,BN 的交点一定在x 轴上.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法,考查了直线与圆锥曲线相交的定直线问题,需要学生综合运用所学知识,属于中档题. 21.已知函数sin c s ()o f x m x x=+，其中m 为常数，且23π是函数()f x 的极值点．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅰ）若(1)()xk e f x ->在0x >上恒成立，求实数k 的最小值．【答案】（Ⅰ）2m =；（Ⅱ）13． 【解析】 【分析】(Ⅰ)先对()f x 求导,再利用2()03f π'=,列式求解m ,最后再进行检验即可; (Ⅱ)令()(1)sin 2cos xg x k e x x=--+,则题意可转化为()0g x >在0x >上恒成立,对()g x 求导,然后分13k ≥,103k <<和0k ≤三种情况,研究()g x 的单调性,判断其最小值是否大于0,从而得出结论.【详解】(Ⅰ)sin c s ()o f x m xx=+,则2cos 1()(co )s m f x m x x +'=+,23π是函数()f x 的极值点, 2()0,1032mf π'∴=-=,2m =, 又2m =时,2cos 12()(2)cos f x xx +'=+,当2(0,)3x π∈时,()0f x '>,2(,)3x ππ∈时,()0f x '<, ∴()f x 在2(0,)3π上单调递增,2(,)3ππ上单调递减, ∴23π是函数()f x 的极大值点,∴2m =符合题意;(Ⅱ)令()(1)sin 2cos xg x k e xx=--+,则()00g =,由题得()0g x >在0x >上恒成立,2co 12(s cos )(2)x xx g x ke +'=-+,令[]2cos 1,3t x =+∈,则22123211,(2)cos cos 3t t x x +⎡⎤=-+∈-⎢⎥+⎣⎦, ①当13k ≥时,13xke >,则()0g x '>,∴()g x 在(0,)+∞上单调递增,∴()()00g x g >=,成立; ②当103k <<时,令()()h x g x =', 则3sin cos 2(1)(s )()co 2xx x h x e x k -'=-+,在(0,)x π∈时,()0h x '>, ∴()h x 在(0,)π上单调递增,又1(0)03h k =-<,1(0)h ke ππ=+>, 则在(0,)π上存在唯一0x 使得()00h x =,∴当()00,x x ∈时,()0h x <,()g x 在()00,x 上单调递减,()()00g x g <=,不符合题意;③当0k ≤时,在(0,)2x π∈时,()0g x '<,∴()g x 在(0,)2π上单调递减,此时()()00g x g <=,不符合题意;综上所述,实数k 的最小值为13. 【点睛】本题考查极值点的应用,考查利用导数研究恒成立问题,有一定难度.在遇见含参的恒成立问题时,常分离参数,将恒成立问题转化为简单函数的最值问题,或者利用分类讨论法解决问题.（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选—题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，曲线C 的极坐标方程为22135cos272ρρθ-=．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）点M 为曲线C 上一点，求M 到直线l 的最小距离．【答案】（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为：2100x y +-=，曲线C 的直角坐标方程为22194x y +=；． 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标的转换公式直接转换即可; (Ⅱ)由(1)得曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),设(3cos ,2sin )M θθ,然后利用点到直线的距离公式和三角函数的性质即可求出最小距离.【详解】(Ⅰ)由(cos 2sin )10ρθθ+=得直线l 的直角坐标方程为:2100x y +-=,由22135cos272ρρθ-=得()2222135cos sin 72ρρθθ--=,22222213135581872x y x y x y +-+=+=所以曲线C 的直角坐标方程为22194x y +=; (Ⅱ)由(1)得曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数), 设点(3cos ,2sin )M θθ,则点M 到直线l的距离d ==, 其中3sin 5ϕ=,4cos 5ϕ=, 则当sin()1θϕ+=时,距离d 最小,【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程,考查了椭圆参数方程的应用,难度不大. 23.已知函数()3()f x ax a =-∈R ，不等式()1f x <的解集为{}|24x x <<． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式()41||f x x m -+≥-有解，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1a =；（Ⅱ）[]6,8-．【解析】【分析】 (Ⅰ)根据题意可知231431a a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,解该方程组即可得出答案; (Ⅱ)令()()4g x f x x =-+,求出()max g x ,则1m -≤()max g x ,据此解不等式即可.【详解】(Ⅰ)因为不等式()1f x <的解集为{}|24x x <<, 所以231431a a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,解得1a =,此时()|3|1f x x =-< 解集为(2,4)满足条件;(Ⅱ)令7,3()()43421,437,4x g x f x x x x x x x -≥⎧⎪=-+=--+=---≤<⎨⎪<-⎩,则()max 7g x =,又不等式()41f x x m -+≥-有解, 则17m -≤,解得m 的取值范围为[]6,8-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用,考查了相关的能成立问题,难度不大.。
2021届河北衡中同卷新高考仿真模拟(九)数学(文)试题
2021届河北衡中同卷新高考仿真模拟（九）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知{}(1)0A x x x =->，{}|1B x x =<，则A B =( )A. (0,1)B. RC. (,1)-∞D. (,1)(1,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，再求并集即可.【详解】{}{}(1)001A x x x x x =->=<<，故(,1)A B ⋃=-∞. 故选：C.【点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.2.已知()5,2a =-，()4,3b =--，若230a b c -+=，则c =( ) A. 138,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 138,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 134,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先由230a b c -+=，可得()123c a b =--，进而代入点的坐标进行计算即可. 【详解】解：230a b c -+=，∴()123c a b =--. ()()()25,28,613,4a b -=----=.∴()11342,333c a b ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算能力，属于基础题.3.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数•z i （i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A. 1ZB. 2ZC. 3ZD. 4Z【答案】B 【解析】试题分析：z i ⋅为将复数z 所对应的点逆时针旋转90得2Z ，选B. 考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +.a bi -4. 某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ） A. 27 B. 26C. 25D. 24【答案】A 【解析】试题分析：根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27，故选A. 考点：随机抽样.5.已知a b >，则条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的( )条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】先判断充分性：若0c ≤，又a b >，当0c时，ac bc <不成立，故充分性不成立；再判断必要性：若ac bc <，又a b >，所以0c <，可得0c ≤，故必要性成立， 所以条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的必要不充分条件条件. 故选：B.【点睛】本题主要充分条件和必要条件的判定，同时考查不等式的性质，属于基础题. 6.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A. 若//l α，l β//，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 7.某个家庭有三个孩子，则该家庭至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A.34B.38C.47D.12【答案】D 【解析】 【分析】利用独立重复实验分有2女孩和3女孩可求出结果. 【详解】解：因为每次生女孩的概率是12，所以家庭有三个孩子相当于3次独立重复事件， 故该家庭至少有两个孩子是女孩的概率232333111112222P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查独立重复事件概率的求法，属于基础题.8.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图象的一个对称轴可能为( )A. 2x =B. 8x =C. 6x =-D. 2x =-【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象顶点坐标求出A ，由周期求出ω，再结合图象求出ϕ的值，可得()g x 的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】解：由函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象， 可得3A =()1126222T πω=⋅=--，∴8πω=.再结合图象可得()208πϕ⨯-+=，求得4πϕ=.∴()23sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则函数()()cos 23cos 84g x A x x ππωϕ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭.令84x k πππ+=，求得82x k =-，k Z ∈，当0k =时，2x =-. 故函数()g x 的一条对称轴为2x =-.故选：D.【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式，考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.9.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性的判断得()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，再由当0x >时，0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，可排除D 选项，可得选项.【详解】因为()21cos 21x x f x x +=-，所以()()()2121cos cos 2121x x x x f x x x f x --++-=-=-=---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A 选项和C 选项，在0x >时，当0x →，121,210,21xxx →-→→+∞-，所以21212121x x x y +==+→+∞--，而当0x →时，cos 1x →，所以在0x >时，当0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，所以排除D 选项，所以只有B 选项符合条件. 故选：B.【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.10.已知数列{}n a 满足12,n n a a n n N +-=∈.则211ni i a a ==-∑( )A.111n n-- B.1n n - C. (1)n n -D.12n【答案】B 【解析】 【分析】首先利用累加法求出()11n a a n n -=-，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因为12,n n a a n n N +-=∈，所以2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，4323a a -=⨯，……，()121n n a a n --=⨯- 所以()()()()()213212122211n n a a a a a a n n n --+-++-=⨯+⨯++⨯-=-所以()11n a a n n -=-所以()21111111223341ni i a a n n==++++-⨯⨯⨯-⨯∑11111111223341n n=-+-+-++-- 11n =-1n n-=故选：B【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.11.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( ) A.2B.12C.13D.14【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合几何性质找到a ,c 的关系即可确定椭圆的离心率．【详解】如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF =∠QBF ，∠EAB =∠EBA ，所以∠EAB =∠QBF ，所以ME //BQ .因为△PME ∽△PQB ，所以PE PM EB MQ =，因为△PBF ∽△EBO ，所以OF EP OBEB=，从而有PM OF MQOB=，又因为M 是线段PF 的中点，所以13OF PM c e a OB MQ ====. 本题选择C 选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数()2x e x f x a =-，定义域为[]1,2，且对1x ∀，()21,2x ∈，当12x x ≠时都有()()121212f x f x x x x x -<+-恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. 21,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 4,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 41,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】不妨设12x x >，题目可转化为()()221122f x x f x x -<-，令()()2xF x f x x e =-=22x ax --，则()()12F x F x <，可得()F x 在()1,2上为减函数，对1x ∀，()21,2x ∈，都有()0F x '≤恒成立，对1x ∀，()21,2x ∈，都有()21xe a x≤+恒成立，只需()max21x e a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭即可得出结果. 【详解】解：不妨设12x x >，对1x ∀，()21,2x ∈，当12x x ≠时都有()()121212f x f x x x x x -<+-恒成立， 等价于()()221212f x f x x x -<-，即()()221122f x x f x x -<-.令()()222xe F x x x xf x a =-=--，则()()12F x F x <，可得()F x 在()1,2上为减函数.所以对1x ∀，()21,2x ∈，都有()0F x '≤恒成立，即对1x ∀，()21,2x ∈，都有()21xe a x ≤+恒成立，令()xe h x x =，()1,2x ∈，()()210x e x h x x -'=>.所以函数()h x 在()1,2上单调递增，所以()()222e h x h <=. 所以()212x e a ≤+.即214e a ≥-.故选：A.【点睛】本题考查不等式恒成立，导数的综合应用，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题（本大题共4小题）13.已知函数()4log (23)a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，且点P 在函数()g x x α=的图象上，则α=______. 【答案】2 【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，即为定点P 的坐标，再代入函数()g x 的解析式即可求出α的值． 【详解】解：令231x -=得：2x =，此时()24f =，∴函数()4log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点(2,4)，即(2,4)P ，又点P 在函数()g x x α=的图象上，24α∴=，2α∴=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_______. 【答案】429【解析】 【分析】设第n 天织布的尺数为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，根据题意得出关于公差的方程，解出这个量的值，即可得出结果.【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，可知数列{}n a 为等差数列， 设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则15a =，1n a =，90n S =，则()13902n n n a a S n +===，解得30n =，301295291a a d d ∴=+=+=，解得429d =-， 因此，每天比前一天少织布的尺数为429. 故答案为：429. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知双曲线:C 22221x y a b-=（0a b >>）的两条渐近线与圆:O 225x y +=交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】12y x =± 【解析】 【分析】设点M 的坐标为(),x y ，联立圆与渐近线的方程求解x ，y ，再根据双曲线的对称性及四边形MNPQ 的面积求出12b a =，即可得出结论. 【详解】解：设M (),x y ，在第一象限，联立225x y by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x c y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （其中222c a b =+），可知四边形MNPQ 为矩形，且根据双曲线的对称性，可知1824c c ⋅=⨯=.即()222252c ab a b ==+， 解得12b a =或2ba=（舍去）. 故双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故答案为：12y x =±. 【点睛】本题考查双曲线的性质及渐近线方程，属于中档题.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PA中点，2BE PB =，则球O 的表面积为______. 【答案】6π 【解析】 【分析】由题意画出图形，证明三棱锥P ABC -为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O 的表面积．【详解】解：如图，由PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ABC -为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，取AB 的中点F ，连接BO 并延长，交AC 于G ，连接PG ，则AC BG ⊥，又PO AC ⊥，PO BG O =，BG ⊂平面PBG ，PO ⊂平面PBG ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB AC ⊥，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，//EF PB ∴，又52BE PB =，所以222PB PE BE +=，即PB PA ⊥，AC PA A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径，22226R PA PB PC =++=，所以62R =，则球O 的表面积为226446S R πππ⎛⎫== ⎪⎪= ⎝⎭． 故答案为：6π．【点睛】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17.已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且cos cos 12B CA ++=. （1）求角A 的值. （2）若ABC 面积为337()b c b c +=>，求a 及sinB 的值.【答案】（1）3π；（2）13a =，3913. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换与三角形的内角和公式，即可求得A 的值； （2）由三角形的面积公式和余弦、正弦定理，即可求得a 与sin B 的值． 【详解】解：（1）ABC ∆中，coscos 12B CA ++=，所以cos()1cos 22AA π-=-，所以2sin 2sin 22A A = 因为sin02A ≠，所以1sin 22A =因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π= （2）由ABC面积为11sin 22S bc A bc ===12bc =；又7()b c b c +=>， 所以4b =，3c =；由余弦定理得，22212cos 169243132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =；由正弦定理得，sin sin a b A B=，解得4sin sin b AB a===【点睛】本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题．18.数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；（2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；（3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.【答案】（1见解析；（2）36,37x x ==甲乙，231.6s =甲，219.2s =乙；（3）见解析.【解析】 【分析】（1）根据两名球员近期5场比赛的传球成功次数，将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图，进而画出散点图．（2）利用平均数公式，方差公式即可求解．（3）由（2）可知，x x <甲乙，且22x x >乙甲，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，可知选择乙比较好．【详解】解：（1）茎叶图如图散点图如图：（2）2833363845365x ++++==甲，3931433933375x ++++==乙，222222(2836)(3336)(3636)(3836)(4536)649048115831.6555s -+-+-+-+-++++====甲222222(3937)(3137)(4337)(3937)(3337)436364169619.2555s -+-+-+-+-++++====乙（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，x x <甲乙，且22s s >甲乙，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好.【点睛】本题考查了茎叶图，平均数，方差，考查了学生的计算能力和数形结合思想，属于基础题． 19.已知矩形ABCD ，22AB BC ==，E 、F 分别为DC 、AB 中点，点M 、N 分别为DB 的三等分点，将BCD 沿BD 折起，连接AC 、AE 、AM 、ME 、CF 、CN 、FN .（1）求证：平面//AEM 平面CNF ；（2）当AE BC ⊥时，求三棱锥C ABD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）36.【解析】 【分析】（1）由已知证明//EM CN ，//AM FN ，再由平面与平面平行的判定可得平面//AEM 平面CNF ； （2）由题意可知，BC CD ⊥，AE BC ⊥，证明BC ⊥平面ADC ，得到BC AC ⊥，BC AD ⊥，再证明AD ⊥平面ABC ，然后由C ABD D ABC V V --=可求三棱锥C ABD -的体积．【详解】解：（1）证明：因为点M 、N 分别为DB 的三等分点，所以DM MN NB ==，又因为E 为DC 中点，所以DE EC =，所以在DNC △中，//EM CN ，同理可证//AM FN ， 又因为AM EM M ⋂=，AM ，EM ⊂平面AEM ，FN CN N =，FN ，CN ⊂平面FNC ，所以平面//AEM 平面CNF ；（2）由题意可知，BC CD ⊥，AE BC ⊥，AE CD E ⋂=，AE ⊂平面ADC ，DC ⊂平面ADC ，所以BC ⊥平面ADC ，又AC 、AD ⊂平面ADC ，所以BC AC ⊥，BC AD ⊥， 因为AD AB ⊥，AB平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，所以AD ⊥平面ABC ， 所以13C ABD D ABC ABC V V S AD --==⋅△， 在ABC 中，BC AC ⊥，222211132112222ABC S AC BC AB BC BC =⋅=-⋅=-⨯=△， 所以113313326C ABD ABC V S AD -=⋅=⋅⋅=△.【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题．20.已知函数()ln xf x e x a =--.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若3a =，证明函数()f x 有且仅有两个零点. 【答案】（1）()11y e x a =--+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系先分析函数的单调性，再结合函数的性质及零点判定定理即可证明．【详解】解：（1）因为()ln x f x e x a =--，所以函数的定义域为()0,+∞且()1xf x e x'=-，()1f e a =-， 所以()11k f e ='=-切点为()1,e a - 切线方程为()()()11y e a e x --=-- 即()11y e x a =--+（2）当3a =时，()ln 3xf x e x =--()1x f x e x '=-，令()1x g x e x =-，则()210xg x e x=+>'， ()f x ∴'在定义域上单调递增121202f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，()110f e -'=>， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00010x f x e x '=-=()00,x x ∴∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增所以()()0000min 01ln 33xf x f x e x x x ==--=+- 又()0f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减，()012302f x <+-<33113311ln 30e e f e e e e ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭∴在()00,x 上有且只有一个零点又()2ln 34240eef e e e e =--=->-=所以在()0,x +∞上有且只有一个零点 综上，函数()f x 有且仅有两个零点【点睛】本题综合考查了利用导数及函数的性质求解曲线的切线方程及函数零点的判定，属于中档题． 21.已知点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点，点P 是抛物线1C 上的动点，点A 、B在y 轴上，APB △的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=，且23MC OM =，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线1C 的标准方程； （2）求APB △面积的最小值. 【答案】（1）22y x =；（2）8. 【解析】 【分析】 （1）由()22,0,1,0,32p M C MC OM ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出1p =，可得抛物线1C 的标准方程； （2）设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ，写出直线,PA PB 的方程，根据圆2C 与直线,PA PB 相切，得到,b c 的关系，写出APB △的面积，结合基本不等式，即可得到最小值. 【详解】（1）点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点，,02p M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()221,0,3C MC OM =，13122p p p ∴+=⨯∴=，. ∴抛物线1C 的标准方程为22y x =.（2）设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ，则0bc <，直线PA 的方程为()0000y b x x y bx --+=，直线PB 的方程为()0000y c x x y cx --+=.APB 的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=，1==，整理得()()22000000220,220x b y b x x c y c x -+-=-+-=.,b c ∴是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，00002,22y xb c bc x x ∴+=-=---. 000,0,2bc x x <>∴>，()()()22222000002000244844222y x x y x b c b c bc x x x ⎛⎫⎛⎫+-∴-=+-=---== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.()()2220002042,2x y x b c x =∴-=-,00002222x x b c x x ∴-==--.所以APB △的面积2000122x S b c x x =-=-. 令002,2,0t x x t t =-∴=+>，()224448t S t tt +∴==++≥=，当且仅当4,2t t t ==时，等号成立，此时04x =. 所以APB △面积的最小值为8.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题，考查基本不等式和学生的运算化简的能力，属于较难的题目.请考生在22—23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写（涂）清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21cos 2sin x a y a θθ⎧=+⎨=-+⎩（θ为参数）. （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m . 【答案】（1）3470x y --=，22(1)(2)1x y -++=；（2）2m =. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果． 【详解】（1）由题意可得||1a =，故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3470x y --=， 消去参数θ，得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=. （2）l '的方程为37()44y x m =+-，即34370x y m -+-=， 因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1，圆C 的半径为1， 所以(1,2)C -到l '的距离为2， 即|3837|25m ++-=，解得2m =（1403m =-<舍去）.【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．选修4-5：不等式选讲23.设函数()()40f x x a x a =-+-≠． （1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集； （2）若()41f x a≥-恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）()3,5；（2）()[),01,-∞+∞．【解析】 【分析】（1）把1a =代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；（2）利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值，然后求解关于a 的不等式即可.【详解】（1）当1a =时，()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤时，()f x x <，无解；当14x <<时，()f x x <可得34x <<；当4x ≥时，()f x x <可得45x ≤<；故不等式()f x x <的解集为()3,5． （2）()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-，4441aa a a-∴-≥-=． 当0a <或4a ≥时，不等式显然成立；当04a <<时，11a≤，则14a ≤<． 故a 的取值范围为()[),01,-∞+∞．【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.。
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(一)文科数学试题
2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若x＞0，则2x＞1的否命题是（）A. 若x＞0，则2x≤1B. 若x≤0，则2x＞1C. 若x≤0，则2x≤1D. 若2x＞1，则x＞0【答案】C【解析】【分析】根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可.【详解】命题“若x＞0，则2x＞1”的否命题是：“若x≤0，则2x≤1”，故选：C.【点睛】本题主要考查了四种命题之间的关系，是基本知识的考查．2.已知集合21|4A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|23,}B x x x =-≤<∈Z ，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】化简集合,A B ，根据交集的定义，即可求解. 【详解】因为21|{|2}4A x y x x x ⎧⎫===≠±⎨⎬-⎩⎭， {|23,}{2,1,0,1,2}B x x x =-≤<∈=--Z ，所以{1,0,1}A B ⋂=-，所以A B 中元素的个数为3.故选:B.【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题. 3.执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为( )A. －2B. 16C. －2或8D. －2或16【答案】D 【解析】试题分析：程序框图执行的是函数()()221{log 1x x S x x -≤=>的求值，所以当4S =时可得到2x =-或16考点：程序框图及分段函数求值4.已知向量()3,2a =-，()1,b λ=-，且//a b ，则实数λ的值为 A. 1 B.13C.23D. 2【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量共线的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为()3,2a =-，()1,b λ=-，且//a b ， 所以，3?210λ--⨯-=， 解得23λ=，故选C. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5.已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线C. 抛物线D. 线段【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.设不等式组1{04x x y x y ≥-≤+≤，表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是（ ）A. []1,3B. (][),13,-∞⋃+∞ C. []2,5D. (][),25,-∞⋃+∞ 【答案】C 【解析】作出不等式组1{04x x y x y ≥-≤+≤表示的可行域图，如图，因为函数2y kx =-的图象是过点()0,2A -，且斜率为k的直线l ，由图知，当直线l 过点()1,3B 时，k 取最大值32510+=-，当直线l 过点()2,2C 时，k 取最小值22220+=-，故实数k 的取值范围是[]2,5,故选C. 7.若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是A. 8323C. 2D.52【答案】A 【解析】【分析】利用三视图，以正方体为载体还原几何体的直观图为四棱锥（如图），利用分割法，将四棱锥分解成棱柱的体积减去两个小棱锥计算体积.【详解】由三视图可知，几何体为不规则放置的四棱锥P ABCD -，是正方体的一部分，如图， 因为正视图与侧视图都是边长为2的正方形， 所以图中正方体的棱长为2，四棱锥P ABCD -可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体， 所以几何体的体积111822222212323⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. (],1-∞ B. (),1-∞C. (],2-∞D. (),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】求()2f'x 6x 6mx 6=-+，根据题意可知()f'x 0≥在()1,∞+上恒成立，可设()2g x 6x 6mx 6=-+，法一：讨论的取值，从而判断()g x 0≥是否在()1,∞+上恒成立：0≤时，容易求出2m 2-≤≤，显然满足()g x 0≥；0>时，得到关于m 的不等式组，这样求出m 的范围，和前面求出的m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出m 的范围即可． 详解】()2f'x 6x 6mx 6=-+；由已知条件知()x 1,∞∈+时，()f'x 0≥恒成立；设()2g x 6x 6mx 6=-+，则()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；法一：()1若()236m 40=-≤，即2m 2-≤≤，满足()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；()2若()236m 40=->，即m 2<-，或m 2>，则需：()m 121660g m ⎧<⎪⎨⎪=-≥⎩解得m 2≤；m 2∴<-， ∴综上得m 2≤，∴实数m 的取值范围是(],2∞-；法二：问题转化为1m x x≤+在()1,∞+恒成立， 而函数1y x 2x=+≥， 故m 2≤； 故选C ．【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．9.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为51-和3，则此组合体的外接球的表面积是（ ）A. 16πB. 20πC. 24πD. 28π【答案】B 【解析】 【分析】设外接球半径为R ，球心为O ，圆台较小底面圆的圆心为1O ，根据球的性质1OO 与圆台的上下底面垂直，从而有22211OO R +=，且球心在上下底面圆心的连线上，152OO R =-，即可求出R ，得出结论.【详解】解：设外接球半径为R ，球心为O ，圆台较小底面圆的圆心为1O ，则22211OO R +=，而12OO R =-，故2212)R R =+-R ⇒=2420S R ππ⇒==.故选:B.【点睛】本题考查组合体外接球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于基础题.10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x ，y ）且x +y ＞1；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x ，y ）的个数m ，最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是m ＝72，那么可以估计π的值约为（ ） A.9429B.4715C.5116D.165【答案】D 【解析】 【分析】依题意，x ，y 与1能构成钝角三角形，即221x y +<，01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩，找到点(),x y 所表示的阴影区域，代入几何概型的概率公式计算即可．【详解】由题意，120 对都小于1的正实数(),x y 满足01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩，面积为12⨯1×112=， 两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对(),x y ，满足221x y +<且01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩，面积为142π-，∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x ，y ）的个数为m ＝72，1724211202π-=，∴π165=.故选：D .【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，属于基础题.11.已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点1F '在以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）2 3 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性可得11221OF OF OF F F c ='=='=，可得02160F OF ∠'=，011120FOF ∠'=，渐近线的倾斜角为060，即可得3ba【详解】解：如图，根据对称性可得11221OF OF OF F F c ''====， ∴2160F OF '∠=︒，11120FOF '∠=︒， 所以渐近线的倾斜角为60°，3ba= 则双曲线C 2212b a+=. 故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查转化能力．12.对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2xf x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ）A. ()1,e ++∞B. ()2,e ++∞C. 1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D. ,e e 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】可看出()y f x =在定义域R 内单调递增，可得出,a b 是方程2x e x kx +=的两个不同根，从而得出2x e k x =+，通过求导，求出2xe x+的值域，进而可得到k 的范围．【详解】解：()y f x =在定义域R 内单调递增，(),()f a ka f b kb ∴==，即2,2abe a ka e b kb +=+=， 即,a b 是方程2x e x kx+=两个不同根，∴2xe k x=+，设2(1)()2,()x x e e x g x g x x x'-=+=， ∴01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>， ∴1x =是()g x 的极小值点，()g x ∴的极小值为：(1)2g e =+，又x 趋向0时，()g x 趋向+∞；x 趋向+∞时，()g x 趋向+∞，2k e ∴>+时，y k =和()y g x =的图象有两个交点，方程2xe k x=+有两个解，∴实数k 的取值范围是()2,e ++∞． 故选B ．【点睛】本题考查了对k 倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应题号后的横线上.13.设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____【答案】4 【解析】 【分析】根据已知中函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，将自变量的值代入，分析变量的变化规律，可得答案．【详解】2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.已知椭圆222214x y m m +=+与双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_______.【答案】2213y x -=【解析】 【分析】由椭圆222214x y m m +=+与双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，利用双曲线的离心率为2，可得到,a b 的关系式，求解,a b ，即可得到双曲线方程.【详解】因为椭圆222214x y m m +=+与双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，由()22144mm+-=，可得224a b +=，即2c =，因为双曲线的离心率为22c a a==， 1a ，则3b =，所以双曲线22221x y a b-=的方程为2213y x -=，故答案为2213y x -=.【点睛】用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程22221x y a b-=或22221y xa b -=；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 15.如图，以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P （x 1，y 1），将角α的终边顺时针旋转3π得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q （x 2，y 2），则x 2﹣x 1的取值范围为_____．【答案】1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得21sin 6x x πα⎛⎫- ⎪⎝-⎭=再利用正弦函数的定义域和值域，求出21x x -的取值范围. 【详解】由已知得1233x cos x cos cos ππβααβα⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭，，， ∴21133226x x cos cos cos cos cos sin sin ππβαααααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵2παπ<<，∴5366πππα<-<，∴1162sin πα⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，， ∴21x x -的取值范围为112⎛⎤⎥⎝⎦，， 故答案为：112⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.16.已知函数()442xx f x =+，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2019项和为______.【答案】20192【解析】 【分析】由函数()f x 的解析式，求出数列{}n a 的通项公式，将2019n =代入即可得到2019a 的值，再利用倒序相加法即可求出此数列前2019项的和．【详解】依题意，函数()442x x f x =+，()114214242x x xf x ---==++，所以()()11f x f x +-=， 数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2020101122020422020224n n n n n n a f +⎛⎫=== ⎪+⎝⎭，20202020120202020n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20201n n a a -+=，设此数列前2019项的和2019S ，则有：20191232019S a a a a =++++，20192019201820171S a a a a =++++，所以2019212019S =⨯，即201920192S =.故答案为：20192. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，倒序相加法求数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，90PAD ABC ∠=∠=︒，//AB CD ，122DC CB AB ===，2PA =.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AB 与PD 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理即可证明.（2）因为//AB CD ,则PCD ∠即为异面直线AB 与PD 所成角,在PDC ∆中求得各边的长度,由余弦定理即可求得PDC ∠,根据异面直线夹角的范围即可判断夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵PA CD ⊥,PA AD ⊥,CD AD D =,∴PA ⊥平面ABCD ,（2）∵//AB CD∴PDC ∠为异面直线AB 与PD 所成的角或其补角,∵PA ⊥平面ABCD ,122DC CB AB ===,2PA =.则AD = ∴在Rt PAD ∆中,PD =====AC,∴PC ===∴在PDC ∆中,由余弦定理可得∴222cos 23CD PD PC PDC CD PD +-∠===-⨯⨯ 因为异面直线夹角的范围为02π⎛⎤⎥⎝⎦，∴异面直线AB 与PD 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,余弦定理在解三角形中的应用,注意异面直线夹角的范围,属于基础题.18.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+a 5+a 8＝42，2，a 3的等比中项为4． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n nnS =，求数列{b n b n +1}的前n 项和为T n ． 【答案】（1）31n a n =-；（2）34n nT n =+ 【解析】 【分析】（1）等差数列的公差设为d ，由等比数列的中项性质和等差数列的性质、通项公式可得公差d ，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，化简可得231n b n =+，()()14431343n n b b n n +==++113134n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由数列的裂项相消求和化简可得所求和.【详解】（1）等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且25842a a a ++=， 可得5342a =，即514a =，2，3a 的等比中项为4，可得3216a =，即38a =，则5314835353a a d --===--，则()33331n a a n n +-=-=. （2）()12312n S n n =+-=()312n n +，231n n n b S n ==+，b n b n +1()()4431343n n ==++（113134n n -++），前n 项和为T n 43=（111111477103134n n -+-++-++）43=（11434n -+）34nn =+．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．19.某“双一流A 类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率；（2）同一组数据用该区间的中点值作代表.（i ）求这100人月薪收入的样本平均数x 和样本方差2s ；（ii ）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设[0.018,0.018)x s x s Ω=--++，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收到600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元.方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？13.2≈. 【答案】（1）23；（2）（i ）2，0.0174；（ii ）方案一. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出前2组中的人数，由分层抽样得抽取的人数，然后把6人编号，可写出任取2人的所有组合，也可得出获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的所有组合，从而可计算出概率． （2）根据频率分布直方图计算出均值和方差，然后求出区间Ω，结合频率分布直方图可计算出两方案收取的费用．【详解】（1）第一组有0.20.11002⨯⨯=人，第二组有1.00.110010⨯⨯=人.按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A ，第二组抽5人，记为B ，C ，D ，E ，F .从这6人中抽2人共有15种：(,)A B ，(A,C)，(,)A D ，(,)A E ，(,)A F ，(,)B C ，(,)B D ， (,)B E ，(,)B F ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F .获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种：(,)B C ，(,)B D ， (,)B E ，(,)B F ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F .于是获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率102153P ==. （2）（i ）这100人月薪收入的样本平均数x 和样本方差2s 分别是0.02 1.70.10 1.80.24 1.90.3120.2 2.10.09 2.20.04 2.32x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222220.02(1.72)0.10(1.82)0.24(1.92)0.31(22)0.2(2.12)0.09(2.22)0.04s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯0.0174=；（ii ）方案一：0.132,[1.85, 2.15)s ===Ω= 月薪落在区间Ω左侧收活动费用约为(0.020.10)40050100000.24+⨯⨯÷=（万元）； 月薪落在区间Ω收活动费用约为(0.240.310.20)6005010000 2.25++⨯⨯÷=（万元）； 月薪落在区间Ω右侧收活动费用约为(0.090.04)80050100000.52+⨯⨯÷=（万元）；、因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）. 方案二：这50人共收活动费用约为500.033x ⨯⋅=（万元）. 故方案一能收到更多的费用.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型．属于基础题．这类问题在计算均值、方差时可用各组数据区间的中点处的值作为这组数据的估计值参与计算．20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若直线l 绕点F 任意转动，总有222OA OB AB +<，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22 1.43x y +=（Ⅱ），+∞） 【解析】【详解】（1）设M N ，为短轴的两个三等分点，MNF ∆为正三角形，所以OF =，2123b=，解得b 2214a b =+=， 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）设1122(,),(,).A x y B x y （ⅰ）当直线AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有．（ⅱ）当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x yx my a b=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m-+=-=++ 因恒有222OA OB AB +<，所以AOB ∠恒为钝角， 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+<恒成立．2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++2222222222222222222222(1)()210.m b a b b m m a b b a b a a b m a b m a b m +--+-+=-+=<+++又2220a b m +>，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m R ∈恒成立， 即2222222m a b a b a b >+-对m R ∈恒成立，当m R ∈时，222m a b 最小值为0，所以22220a b a b +-<，2224(1)a b a b <-=，因为220,0,1a b a b a >>∴<=-，即210a a -->，解得12a +>或12a <（舍去），即12a +>，综合（i ）（ii ），a 的取值范围为)+∞．21.已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝e x •f ′（x ），其中e 为自然对数的底数． （1）求曲线y ＝g （x ）在点（π，g （π））处的切线方程；（2）若对任意x ∈[2π，π]，不等式g （x ）≤x •f （x ）+m 恒成立，求实数m 的取值范围； （3）试探究当x ∈[0，2π]时，方程g （x ）＝x •f （x ）的解的个数，并说明理由．【答案】（1）()1y e x e πππ=-+-，（2）2m π≥-；（3）有一个，见解析【解析】 【分析】（1）求出()g x 的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得到切线方程； （2）题目等价于任意[,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()max m g x x f x ≥-⋅⎡⎤⎣⎦恒成立，设()h x ()()cos sin x g x xf x e x x x =-=-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导数，求单调区间和最大值，即可得m 的取值范围；（3）设()()()cos sin xH x g x xf x e x x x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，讨论①当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，②当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，判断单调性，结合 零点的存在性定理，即可得到方程解的个数. 【详解】（1）由题意得g （x ）＝e x f ′（x ）＝e x cos x ，g （π）＝e πcosπ＝﹣e π，g ′（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ），g ′（π）＝﹣e π，所以曲线y ＝g （x ）在点（π，g （π））处的切线方程：y ﹣（﹣e π）＝﹣e π（x ﹣π），即y ＝﹣e πx +（π﹣1）e π， （2）若对任意x ∈[2π，π]，不等式g （x ）≤x •f （x ）+m 恒成立， 即对任意x ∈[2π，π]，不等式m ≥g （x ）﹣x •f （x ）恒成立， 只需要m ≥[g （x ）﹣x •f （x ）]max ，x ∈[2π，π]设h （x ）＝g （x ）﹣xf （x ）＝e x cos x ﹣x sin x ，x ∈[2π，π]h ′（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）﹣sin x ﹣x cos x ＝（e x ﹣x ）cos x ﹣（e x +1）sin x ，x ∈[2π，π]， 所以（e x ﹣x ）cos x ≤0，（e x +1）sin x ≥0， 故h ′（x ）≤0，故h （x ）在[2π，π]上单调递减， 故h （x ）max ＝h （2π）2π=-，所以m 2π≥-.（3）设H （x ）＝g （x ）﹣xf （x ）＝e x cos x ﹣x sin x ，x ∈[0，2π]， 当x ∈（0，4π]时， 设φ（x ）＝e x ﹣x ，x ∈（0，4π]时， 则φ′（x ）＝e x ﹣1≥0，所以φ（x ）在[0，4π]上单调递增， 所以x ∈（0，4π]时，φ（x ）＞φ（0）＝1， 所以e x ＞x ＞0， 又x ∈（0，4π]时，cos x ≥sin x ＞0， 所以e x cos x ＞x sin x ，即g （x ）＞xf （x ），即H （x ）＞0，故函数H （x ）（0，4π]上没有零点. 当x ∈（4π，2π]时， H ′（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）﹣（sin x +x cos x ）＜0， 故H （x ）在（4π，2π]上至多有一个零点，又H （4π）=e 44ππ-）＞0，H （2π）2π=-＜0，且函数H （x ）在（4π，2π]上是连续不断的， 故函数H （x ）在（4π，2π]上有且只有一个零点. 当x ∈[0，2π]时，方程g （x ）＝x •f （x ）的解有一个. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，单调性，零点问题，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.四、请考生在22，23题中任选一题作答，并在答题卡上涂抹题号.如果多做，则按所做的第一题计分.如果没有涂抹题号，则按照22题计分.（本题满分10分）22.在直角坐标系中,曲线221C :x y 1+=经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 的极坐标方程为ρ2sin θ=-. (1)求曲线23C ,C 的参数方程;(2)若P,Q 分别是曲线23C ,C 上的动点,求PQ 的最大值.【答案】（1）2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（2）33【解析】(1)曲线221:1C x y +=经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩,可得曲线2C 的方程为2214x y +=,∴其参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数); 曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-,即22sin ρρθ=-,∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-,即()2211x y ++=, ∴其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数). (2)设()2cos ,sin P αα,则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d ===,∵[]sin 1,1α∈-,∴当1sin 3α=时,max 3d =.∴max max 3133PQ d r =+=+=. 23.设a ，b 是正实数，求：（1）若21a b +=，求22a b +的最小值；（2）若2241a b +=2b +的最大值.【答案】（1）最小值为15（2）最大值为2 【解析】【分析】（1）法一：由题意得102b <<，再将22222(12)541a b b b b b +=-+=-+，利用二次函数求最值的方法即可；法二：利用柯西不等式；（2）法一：利用柯西不等式；法二：利用三角换元的方法，设cos a θ=，1sin 2b θ=，进而即可得到结论. 【详解】（1）法一：由1200a b b =->⎧⎨>⎩得，102b <<， 于是22222(12)541a b b b b b +=-+=-+，当25b =时，22a b +取得最小值为15. 法二：()()2222212(2)1a b a b ++≥+=，当且仅当2b a =时等号成立，此时22a b +的最小值为15.（2）法一：222222)(2)14b a b ⎡⎤⎡⎤+≤++=⎣⎦⎣⎦2b =时等号成立，因为a ，b 2b +的最大值为2.法二：设cos a θ=，1sin 2b θ=，02πθ<<2sin 2sin 3b πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵5336πππθ<+<， ∴当32ππθ+=时，maxsin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2b +的最大值为2.【点睛】本题考查了不等式求最值，二次函数求最值，柯西不等式的应用，三角换元的方法，属于基础题.。
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2021届河北衡水中学新高考仿真考试（十九）数 学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N R =【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合M ，再比较两个集合之间关系即可得答案.【详解】解：由2(1)0x -≤，得1x =，所以集合{}1M =，因为{|0}N x x =>，所以M N ⊆， 故选：B【点睛】此题考查两个集间的关系，属于基础题.2.已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A. 1 B. 2iC. ±1D. 2【答案】D【解析】 【分析】根据复数z 为纯虚数，列方程求出a 的值，进而可得复数z 的虚部.【详解】由已知21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故2z i =，其虚部为2，故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题. 3.已知条件p ：0a b >>，条件q ：11a b a>-，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质和充分必要条件的定义判断． 【详解】因为0a b >>，所以0a b a <-<，所以11a b a>-，充分性成立， 若4a =-，5b =-，则1a b -=，11a b a>-，但不满足0a b >>，必要性不成立 因此p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握不等式的性质是解题关键．4.已知函数()cos f x x x ωω=-（0>ω）的最小正周期为π，则ω=（ ）A. 1B. 2C.12D. 4【答案】A 【解析】 【分析】可以把绝对值符号里面式子化为一个角的一个三角函数形式，然后计算周期可求得ω．【详解】由已知1()cos 2cos 2sin 226f x x x x x x πωωωωω⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴122T ππω=⨯=，1ω=， 故选：A ．【点睛】本题考查求函数的周期，对于()sin()f x x ωϕ=+或()cos()f x x =+ωϕ，()f x 的周期是()f x 周期的一半，但若()tan()f x x ωϕ=+，()f x 的周期与()f x 的周期相同． 5.已知抛物线22x py =上一点(,1)A m 到其焦点的距离为p ，则p =（ ） A. 2 B. 2- C. 4 D. 4-【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义，(,1)A m 到焦点的距离等于其到准线的距离，代入数据即可求解. 【详解】由抛物线的方程可得其准线方程为2py =-， 根据抛物线的定义可得(,1)A m 到焦点的距离等于其到准线的距离， 故12pp +=，解得2p =， 故选：A .【点睛】本题考查抛物线的定义及应用，属基础题.6.《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如图，若输入a ＝15，b ＝12，i ＝0，则输出的结果为（ ）A. a ＝4，i ＝4B. a ＝4，i ＝5C. a ＝3，i ＝4D. a ＝3，i ＝5【答案】D 【解析】 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前a ，b ，i 的值，即可得到结论． 【详解】解：模拟执行程序框图，输入a ＝15，b ＝12，i ＝0，i ＝0+1＝1，a ＞b ，a ＝15﹣12＝3， i ＝1+1＝2，a ＜b ，b ＝12﹣3＝9， i ＝2+1＝3，a ＜b ，b ＝9﹣3＝6， i ＝3+1＝4，a ＜b ，b ＝6﹣3＝3， i ＝4+1＝5，a ＝b ＝3，输出a ＝3，i ＝5， 故选：D ．【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.7.函数2e 1()(1ln )e 1x xf x x -=-⋅+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，然后取特殊值即可得答案. 【详解】解：函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为22e 11()[1ln()](1ln )()e 11x x x xe f x x x f x e -----=--⋅=-⋅=-++所以()f x 为奇函数，因此排除A,C因为22e 1(2)(1ln 4)0e 1f -=-⋅<+，所以排除B故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别，主要利用了函数的奇偶性和取特殊值进行判断，属于基础题.8.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比12m =的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18︒,则22cos 271=︒-( ).A. 4B.1C. 2D.1【答案】C 【解析】 【分析】把2sin18m =︒代入22cos 271︒-中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.【详解】解：由题可知2sin18m ︒==， 所以24sin18m =︒.= 2sin182cos18cos54︒•︒=︒2sin 36cos54︒=︒2=.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题．9.设,αβ为两个不重合的平面，能使//αβ成立的是（ ） A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α内有无数个点到β的距离相等 D. ,αβ垂直于同一平面【答案】B 【解析】 【分析】 当l αβ=时，可使ACD 的条件也满足，只有B 能使//αβ成立.【详解】如图所示：对A ，α内有无数条直线可平行于l ，即有无数条直线与β平行，但α与β可相交于l ， 故A 不一定能使//αβ成立；对C ，在α内有一条直线平l ，则在α内有无数个点到β的距离相等， 但α与β可相交于l ，故C 不一定能使//αβ成立；对D ，如图,αγβγ⊥⊥，但α与β可相交于l ，故D 不一定能使//αβ成立； 故选：B.【点睛】本题考查了对面面平行的理解与判定，属于基础题.10.已知O 为ABC ∆的外接圆的圆心，且345OA OB OC +=-，则C ∠的值为（ ） A.4π B.2π C.6π D.12π【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定AOB ∠的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得cos C 的值即可确定C ∠的值.【详解】由题意可得：||||||OA OB OC ==，且1(34)5OC OA OB =-+，221||(34)25OC OC OC OA OB ∴⋅==+ 2292416||||252525OA OA OB OB =+⋅+224||25OC OA OB =+⋅， 24025OA OB ∴⋅=，∴∠AOB =90°.如图所示，建立平面直角坐标系，设()0,1A ，()10B ,， 由()344,35OA OB OC +==-可知：43,55C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则： 48,55CA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，93,55CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，362422525cos 245310CA CB C CA CB +⋅===⨯⨯，则4C π∠=.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>23，O 为坐标原点，过右焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，且OMN 为直角三角形，若332ONM S =△，则C 的方程为（ ） A. 221124x y -=B. 22162x y -=C. 2213x y -=D. 22126x y -=【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的离心率得出33b a =，可得3a b ，2c b =，由OMN 为直角三角形可得出直线MN 的方程，求出点N 的坐标，可得出ON 、MN ，再由332ONM S =△可求得b 、a 的值，进而可得出双曲线C 的方程.【详解】由于双曲线C 的离心率为2231c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，3b a ∴=，可得3a b ，2c b =，设点M 、N 分别为直线3y x =、3y x =-上的点，且MN ON ⊥，则直线MN 的方程为)32y x b =-，联立)3233y x b y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得323x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点33,2b b N ⎛ ⎝⎭，则2233322b b ON b ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易知3MON π∠=，tan3333MN ON b b π∴===，所以，2133332ONMSON MN =⋅==1b =，3a ∴= 因此，双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于a 、b 、c 的方程组，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()34f x x x =-，过点()2,0A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为（ ） A. ()1,8-B. ()()1,88,-⋃+∞C. ()()2,88,-⋃+∞D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】设直线l 的斜率为k ，方程为()2y k x =+，由题意可得()324k x x x +=-有三个不等的实根，显然2x =-是其中的一个根，则22k x x =-有两个不等的实根，且2x ≠-，由判别式大于0，可得所求范围． 【详解】函数()34f x x x =-，可得()()()322420f -=--⨯-=，设直线l 的斜率为k ，方程为()2y k x =+，由题意可得()()()32422k x x x x x x +=-=+-有三个不等的实根，显然2x =-是其中的一个根，则22k x x =-有两个不等的实根，且2x ≠-，即8k ≠， 由220--=x x k 的>0∆，可得440k +>，解得1k >-， 则k 的范围是()()1,88,-⋃+∞. 故选：B ．【点睛】本小题主要考查根据方程的根、函数图象的交点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某高校有10000名学生，其中女生3000名，男生7000名．为调查爱好体育运动是否与性别有关，用分层抽样的方法抽取120名学生，制成独立性检验的22⨯列表如下，则a b -=________．（用数字作答）合计 #### #### 120【答案】29 【解析】 【分析】由分层抽样求出抽取的男生和女生的人数后可计算出,a b ． 【详解】由题意抽取的男生人数为70001208410000⨯=，抽取的女生人数是30001203610000⨯=，所以842856a =-=，36927b =-=，从而29a b -=． 故答案为：29．【点睛】本题考查分层抽样，掌握分层抽样的概念是解题关键．分层抽样中样本的比例与总体的比例相同． 14.已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的侧面积为_____．【答案】7524π+【解析】 【分析】首先把三视图转化为直观图，由一个三棱锥体S ABO -和14个圆锥组成几何体，然后再求几何体的侧面积.【详解】由几何体的三视图转换为直观图为：由一个三棱锥体S ABO -和14个圆锥组成的几何体，如图所示：所以该几何体的侧面积为14SACSABS SSOC SC π=++⋅⋅侧 11321575222222424ππ⨯=⨯⨯++=+. 故答案为：7524π+【点睛】本题考查根据三视图求几何体的侧面积、锥体的侧面积，属于基础题. 15.过点(0,1)-作曲线)ln f x x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】,1)e 【解析】 【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标. 【详解】由(ln f x x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>， 则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上， 则0002ln 12x x x +=，得0x e ，则切点坐标为,1)e . 故答案为：(,1)e .【点睛】本题考查了过一点的曲线的切线问题，导数值为切线斜率是解决此类问题的关键，属于基础题. 16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，若2224sin sin s 3in 2A B+C =，且2b c =，则SAB AC=⋅________．【答案】2【解析】 【分析】先利用正弦定理将2224sin sin s 3in 2A B+C =化为222432a b c =+，再结合b =，可推出a =，从而可利用余弦定理求出cos A ，进而求出tan 2AAB A S C=⋅的值.【详解】2224sin si 32n sin A B+C =，222432a b c∴=+，将b =代入上式，可得222462a c c =+，故a=，222222cos 2b c a A A bc +-∴=====， tan A ∴=1sin tan 2cos 2bc AA cbA AB ACS ∴===⋅, 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理的运用，综合了三角形面积，平面向量数量积等知识，需要学生能综合运用所学知识，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知4712,,a a a 成等比数列，求p 值； （3）若121n n n b a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n p =-+；（2）2p =；（3）261169n n nT n +=+．【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列{}n a 的通项公式；（2）由4712,,a a a 成等比数列，得24127a a a =，然后把（1）得到的通项代入可求出p 的值；（3）将（1）得到的21n a n p =-+代入121n n n b a a +=+⋅可得数列{}n b 的通项，然后利用裂项相消法可求出n T .【详解】解：（1）当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+， 当1n =时，111a S p ==+，也满足21n a n p =-+， 故21n a n p =-+.（2）∵4a ，7a ，12a 成等比数列，24127a a a =，∴()()()272313++=+p p p ，∴2p =， ∴21n a n =+. （2）由（1）可得()()1111112122232123+⎛⎫=+=+=+- ⎪⋅++++⎝⎭n n n b a a n n n n ，∴2111111161121231355732369+⎛⎫=+-+-+⋯+-=+-= ⎪++++⎝⎭n n n T n n n n n n . 【点睛】此题考查的是由数列的前n 项和求数列的通项公式，等比中项，裂项相消求和法等知识，属于中档题.18.某快餐连锁店，每天以200元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售．40份以内，总店收成本价每份5元，当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收，超过40份的未销售的部分总店成本价回收，然后进行环保处理．如果销售超过40份，则超过40份的利润需上缴总店．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：完成下列问题：（1）写出每天获得利润y 与销售早餐份数x （x ∈N ）的函数关系式； （2）估计每天利润不低于150元的概率； （3）估计该快餐店每天的平均利润．【答案】（1）9160,40200,40x x y x -<⎧=⎨≥⎩；（2）0.74；（3）159.5元．【解析】 【分析】（1）按40x <和40x ≥分类，其中40x ≥，利润都是200元，40x <时，需扣除未销售部分的损失，由此可得函数关系式；（2）根据表中数据计算利润，可得获利不低于150元的频数，然后可计算出概率； （3）利用统计表所统计的频数估算出平均利润．【详解】解：（1）54(40),40200,40x x x y x --<⎧=⎨≥⎩，即9160,40200,40x x y x -<⎧=⎨≥⎩. （2）根据（1）中函数关系完成统计表如下：所以获利不低于150元的概率为101610.74100P +=-=. （3）1016282414865110155200()159.5100100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯++=， 所以快餐店每天平均利润为159.5元.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，考查统计图表的应用、用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．本题考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．19.如图，长方体1111–ABCD A B C D 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．（1）证明：平面CBE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，2AB =，求三棱锥1C EBC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）83．【解析】 【分析】 （1）由11B C ⊥平面11AA B B 得11B C BE ⊥，从而结合已知证得线面垂直后可得面面垂直；（2）由E 是1AA 的中点，得1BE B E =，从而可求得1AA 的长，取1BB 中点F ，连结EF ，可证EF ⊥平面11BB C C ，这样由11C EBC E BCC V V --=可得体积．【详解】解：（1）在长方体1111ABCD A B C D -中， 因为11B C ⊥平面11AA B B ，BE ⊂平面11AA B B ，所以11B C BE ⊥， 又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=， 且1EC ⊂平面11EB C ，11B C ⊂平面11EB C ，所以BE ⊥平面11EB C ； 又因为BE ⊂平面BCE ， 所以平面CBE ⊥平面11EB C .（2）设长方体侧棱长为2a ，则1AE A E a ==，由（1）可得1EB BE ⊥；所以22211EB BE BB +=，即2212BE BB =，又2AB =，所以222122AE AB BB +=，即222222(2)a a +⨯=，解得2a =.取1BB 中点F ，连结EF ，因为1AE A E =，则EF AB ∥， 所以EF ⊥平面11BB C C ， 所以1111111118242332323C EBC E BCC BCC V V S EF BC BB EF --==⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直、线面垂直、线线垂直间的转化是解题关键．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点1P ，2P ，3(2,)3P -，4(2,3P 中恰有三个点在椭圆C 上，左、右焦点分别为1F 、2F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点1F 且不与坐标轴平行的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，若线段PQ 的垂直平分线交y 轴于点D ，求||PQ |OD |的最小值．【答案】（1）22162x y +=；（2． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆对称性确定在椭圆上的三点，由椭圆的上顶点2P 可求出a ，点3P 或4P 的坐标代入椭圆求出b ，即可写出椭圆的方程；（2）联立直线PQ 的方程与椭圆方程得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可利用弦长公式求出||PQ ，求出点N 的坐标即可写出直线PQ 的垂直平分线的方程，令0x =求出||OD ，代入||PQ OD得到关于k 的分式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】（1）易知3(P -，4P 关于y轴对称，一定都在椭圆上，所以1P 一定不在椭圆上，根据题意2P也在椭圆上，则b =将4P代入椭圆方程得241a a +=⇒= 所以椭圆方程为22162x y +=.（2）由2c ==知椭圆的左焦点()12,0F -,设直线l 的方程为(2)y k x =+（0k ≠），()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的中点为N .联立22162(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()222231121260k x k x k +++-=， 则21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+， 所以21226231+==-+N x x k x k ，22262(2)3131=-+=++N k ky k k k ， 点N 22262,3131k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，||PQ ==221)31k k +=+， PQ 垂直平分线方程为：222216()3131-=-+++k k y x k k k ， 令0x =，求得2431k y k -=+，则24||||31k OD k =+，所以||PQOD 24||3131k k k +=+1()k k==+≥1k k =即1k =±时取等号， 因此，当1k =±，||PQ OD.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的综合应用，涉及弦长公式、基本不等式求和的最小值，属于较难题. 21.已知函数()x f x e mx =-． （1）讨论()f x 的单调区间与极值；（2）已知函数()f x 的图象与直线y m =-相交于11(,)M x y ，22(,)N x y 两点（12x x <），证明：124x x +>． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求出导函数()f x '，利用()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间，从而可得极值；（2）由（1）知只有在0m >且(ln )0f m <即m e >时，函数()f x 的图象与直线y m =-才有两个交点，由12()()f x f x m ==-得1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，可得120111x x <-<<-，同时由1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩消去参数m ，并设21111x t x -=>-，12,x x 都可用t 表示，要证不等式124x x +>，只要证ln ln 211t t t t t +>--，即(1)ln 21t t t +>-，只要证4ln 201t t +->+，引入新函数4()ln 21h t t t =+-+．利用导数的知识可证． 【详解】解：（1）'()x f x e m =-，①当0m ≤时，'()0f x >，此时()f x 在R 上单调递增，无极值； ②当0m >时，由'()0f x =，得ln x m =.所以(,ln )x m ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；(ln ,)x m ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.此时函数有极小值为(ln )ln f m m m m =-，无极大值.（2）由题设可得12()()f x f x m ==-，所以1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，且由（1）可知1ln x m <，2ln x m >，m e >.1x e m <，1(1)m x m -<，∴111x -<，同理211x ->，由11(1)x em x =-，可知110x ，所以120111x x <-<<-.由1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，得1122ln ln(1)ln ln(1)x m x x m x =+-⎧⎨=+-⎩，作差得22111ln1x x x x -=-- 设211(1)x t x -=-（1t >），由22111ln 1x x x x -=--，得1ln (1)(1)t t x =--， 所以1ln 11t x t -=-，即1ln 11tx t =+-， 所以2ln 11t tx t =+-， 要证124x x +>，只要证ln ln 211t t t t t +>--，即(1)ln 21t t t +>-，只要证4ln 201t t +->+. 设4()ln 21h t t t =+-+（1t >）， 则22(1)'()0(1)t h t t t -=>+. 所以()h t 在(0,)+∞单调递增，()(1)0220h t h >=+-=. 所以124x x +>.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间和极值，证明与方程根有关的不等式．考查转化与化归思想．对于与方程的解12,x x 有关的不等式问题，关键是引入新参数t ，如12x t x =，21t x x =-，象本题2111x t x -=-，此时t 的范围是确定的，如(0,1)、(0,)+∞、(1,)+∞等等，接着关键是把12,x x 用t 表示（可用消参法建立12,x x 关系），要证的不等式就变为关于t 的不等式，引入新函数后应用导数知识证明．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsinθ＝2．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足4PO OM ⋅=-，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）曲线C 2上两点13A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，与点B （ρ2，α），求△OAB 面积的最大值．【答案】（1）x 2+（y ﹣1）2＝1（y ≠0）．（2）4． 【解析】 【分析】（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为22(1)1(0)x y y +-=≠; （2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB 【详解】解：（1）设P 的极坐标为（ρ，θ）（ρ＞0），M 的极坐标为（ρ0，θ）（ρ0＞0）． 由题设知|PO |＝ρ，02OM sin ρθ==． 由PO OM PO OM cos PO OM π⋅==-=-4， 得24sin ρθ=， 所以C 2的极坐标方程ρ＝2sinθ（ρ＞0），因此C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1（y ≠0）．（2）依题意：123OA sin πρ===|OB |＝ρ2＝2sinα．于△OAB 面积：S 1122362OA OB sin AOB sin ππααα⎛⎫⎛⎫=∠=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当23πα=时，S ．所以△OAB 【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.已知a ，b ，c 均为正数，设函数f （x ）＝|x ﹣b |﹣|x +c |+a ，x ∈R ．（1）若a ＝2b ＝2c ＝2，求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若函数f （x ）的最大值为1，证明：14936a b c++≥． 【答案】（1）12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，．（2）见解析【解析】【分析】（1）根据a ＝2b ＝2c ＝2时，将不等式f （x ）＜3化为|x ﹣1|﹣|x +1|＜1，然后利用零点分段法解不等式即可； （2）根据条件利用绝对值三角不等式，可得a +b +c ＝1，然后利用柯西不等式，即可证明14936a b c ++≥． 【详解】（1）当a ＝2b ＝2c ＝2时，a ＝2，b ＝c ＝1不等式f （x ）＜3化为|x ﹣1|﹣|x +1|＜1，当x ≤﹣1时，原不等式化为1﹣x +1+x ＜1，解集为∅；当﹣1＜x ＜1时，原不等式化为1﹣x ﹣x ﹣1＜1，解得112x -＜＜；当x ≥1时，原不等式化为x ﹣1﹣x ﹣1＜1，解得x ≥1， ∴不等式f （x ）＜3的解集为12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵()()()f x x b x c a x b x c a b c a =--++≤--++=++又∵a ，b ，c ＞0，∴()max =1f x a b c =++ ∴()222222149a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++=++++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2≥ =36 当且仅当1232a b c a b c ⎧==⎪⎨⎪++=⎩，即12133a b c ===，，时等号成立， ∴14936a b c++≥． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，柯西不等式的应用，属于中档题.。