水箱水流量问题-第二十章建立数学建模案例分析

综合实验

[学习目的]

1．学习对数学知识的综合运用；

2．学习数学建模——数学应用的全过程；

3．培养实际应用所需要的双向翻译能力。

工科数学而言，学习数学的最终目的应落实在数学的实际应用上，尽管数学也应将训练学生的抽象思维能力为目的，但这也许作为课堂教学的重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学的应用能力——数学建模能力的培养、注意科学研究方法上的培养。

§15.1水箱水流量问题

[学习目标]

1.能表述水箱水流量问题的分析过程；

2.能表述模型的建立方法；

3.会利用曲线拟合计算水箱的水流量；

4.会利用Mathematica进行数据拟合、作图和进行误差估计。

1．影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；

2．水泵的灌水速度为常数；

3．从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；

4．每天的用水量分布都是相似的；

5．水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；

6．当水箱的水容量达到514.8×103g时，开始泵水；达到667.6×103g时，便停止泵水。

二、问题分析与建立模型

注：第一段泵水的始停时间及水量为

t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G）

t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G）

第二段泵水的始停时间及水量为

t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G）

t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G）

2.由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度：

4.425 9.6

5.439 8.9

6.45 9.6

7.468 8.9

8.448 10.0

9.474 /

10.45 /

10.94 /

11.49 18.6

12.49 20.0

13.42 19.0

14.43 16.0

15.44 16.0

16.37 16.0

17.38 14.0

18.49 14.0

19.50 16.0

20.40 15.0

21.43 /

22.49 /

23.42 /

24.43 14.0

25.45 12.0

做出散点图如图15-1。

图15-1 散点图

从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟合的最小二乘法。

三、计算过程

1．算法：

第1步输入数据{x i，y i}；

第2步进行拟合；

第3步作出散点图；

第4步作出拟合函数图；

第5步进行误差估算。

2．实现

在算法步2中使用Fit[ ]函数，步3、步4使用Plot[ ]，步5选用Integrate[ ]函数。

3．误差估计：

当，所产生的误差也可以保持为相对稳定最小常数来支持该模型。

同时，一旦确定了最佳f（t），我们便可通过Integrate[ ]函数估算出一天的用水总量，从而根据常规每1000人用水量来推测出该地区的人口数，另外，还可求得水箱的平均流速。

评价

1．优点：

（1）任意时刻从水箱中流出的水速都可通过该模型计算出来；

（2）可推测几天的流速；

（3）可以将该建模过程推广到用电及用气的估算上。

2．缺点：

（1）如能知道水泵的抽水速度，就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速；

（2）通过考虑体积测量的差异建模，该作法包含着某种不准确性。

源程序：

L={{0.460，14.0}，{1.382，12.0}，{2.396，10.0}，{3.411，9.6}，

{4.425，9.6}，{5.439，8.9}，{6.45，9.6}，{7.468，8.9}，

{8.448，10.0}，{11.49，18.6}，{12.49，20.0}，{13.42，19.0}，

{14.43，16.0}，{15.44，16.0}，{16.37，16.0}，{17.38，14.0}，

{18.49，14.0}，{19.50，16.0}，{20.40，15.0}，{24.43，14.0}，

{25.45，12.0}}

fx=Fit[L，{1，x^3，x^5，Sin[0.1x]，Cos[0.1x]}，x]

graph1=ListPlot[L，DisplayFunction→Identity]

graph2=ListPlot[fx，{x，0.46，25.45}，DisplayFunction→Identity]；

Show[graph1，graph2，DisplayFunction→$DisplayFunction，

PlotRange→All]

图15-2 水箱水流量拟合图

v1=677600-514800；

t2=10.926-8.968；

m1=v1/t1；

v2=677600-514800；

t1=22.958-20.839；

m2=v2/t2；

p1=m1+Integrate[fx，{x，8.968，10.926}]/t1

p2=m2+Integrate[fx，{x，20.839，22.958}]/t2

%=（p1-p2）p2

运行结果为：

（1）挖土机的利用率；

（2）每小时的平均挖土量；

（3）挖土机空闲和汽车等待时每天平均的损失费。

3．某杂货店只有一个收款台，顾客到达收款台的间隔是服从均值为 4.5的负指数分布，每个顾客的服务时间服从均值为3.2标准差0.6的正态分布。这里时间的单位是分钟，且服务时间不取负值。对100个顾客去收款台缴款的排队过程进行仿真。