水箱水流量问题-第二十章建立数学建模案例分析
水箱的水流量估计【范本模板】
水箱的水流量估计摘要本文主要讨论了水箱在任意时刻流量随时间的变化问题。
对于问题一,应用EXCEL公式将所给的原始数据化为标准形式得到时间中点与平均流量值，用matlab软件的三次样条插值函数计算出水泵工作时空缺的流量值，做出时间-流量散点图，观察点的分布特征,考虑其最佳的拟合函数形式，最后通过matlab曲线拟合得到在一天内时间与流量的函数关系式：f(x)=97566−16.8x3+0.013x5−83143cos(0.1x)−27478sin(0.1x)在该模型中应用曲线插值和曲线拟合得到时间与流量的关系式,最后利用水泵泵水速度为常数这一原理来检验模型的拟合程度，操作简单结果真实.关键字：时间中点平均流量曲线插值多项式拟合一、问题重述准确地对短时段水塔水流量的预测在良好的用水管理机构中越来越成为至关紧要的一个步骤,对各个城镇的发展也具有重要的意义。
许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，只能测量水箱中的水位，试通过测得的某时刻水箱中的水位的数据，估计在任意时刻t流出水箱的流量f(t)。
二、模型假设2)；1、忽略水位高度对流量的影响（根据托里拆利定律V=√2gH2、影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；3、水泵泵水速度为常数；4、从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；5、流量与水泵是否工作无关。
三、符号说明t: 时间V：水箱的水量V t: t时刻水箱的水量f(t)：任意t时刻流出水箱的流量P:水泵的泵水速度四、模型建立与求解4。
1模型分析问题要求是分析水箱流量与时间的关系，因此我们需要得到具体时间点所对应的流量数据,由于原始数据中只有一个时间段所对应的水量变化值，于是我们用一个时间段的平均流量作为该时间段时间中点所对应的流量值，然后再通过曲线插值拟合得出时间和流量的函数关系式。
4。
2数据处理首先我们要将表中数据换算为标准单位制，其中:时间用小时（h）、水箱水量用加仑（G）换算公式有:1E=0.3024m ， 1m3=1000L, 1L=7.481G用EXCEL公式进行换算，结果如表一:平均流量v̅：v̅=(区间左端水量−区间右端水量)÷时间间隔用EXCEL公式进行计算，计算结果为表二:4。
数学建模——水塔流量问题
数学建模——⽔塔流量问题实验⼗四⽔塔流量问题【实验⽬的】1．了解有关数据处理的基本概念和原理。
2．初步了解处理数据插值与拟合的基本⽅法，如样条插值、分段插值等。
3．学习掌握⽤MATLAB 命令处理数据插值与拟合问题。
【实验内容】某居民区有⼀供居民⽤⽔的圆形⽔塔，⼀般可以通过测量其⽔位来估计⽔的流量。
但⾯临的困难是，当⽔塔⽔位下降到设定的最低⽔位时，⽔泵⾃动启动向⽔塔供⽔，到设定的最⾼⽔位时停⽌供⽔，这段时间是⽆法测量⽔塔的⽔位和⽔泵的供⽔量。
通常⽔泵每天供⽔⼀两次，每次约两⼩时。
⽔塔是⼀个⾼⽶、直径⽶的正圆柱。
按照设计，⽔塔⽔位降到约⽶时，⽔泵⾃动启动，⽔位升到约⽶时⽔泵停⽌⼯作。
某⼀天的⽔位测量记录如表1所⽰，试估计任何时刻（包括⽔泵正供⽔时）从⽔塔流出的⽔流量，及⼀天的总⽤⽔量。
表1 ⽔位测量启⽰录（0101001111012012)(2x L )(2ξL )(ξf y )(x f n 0x 1x n x 0y 1y n y n n )(x L n )(x L n m x a 011-m x a x a m 1-m a n )(k n x L k y k n )(ξn L )(ξf )(x L n )(x f n m n )(x L n )(x f x )(x L n )(x f a 0x 1x nx b )(x P 11----i i i i y x x x x i i i i y x x x x 11----1-i x x i x i n 0x 0y 1x 1y n x n y a b )(x S k )(x S k )(x S i i y )(x S a b k n i x i y i n i x y )(x f )(x f )(x f )(11x r a )(22x r a )(x r a m m )(x r k k a k m m n k a Q∑=-ni ix f 12i)y )((10t t t t t t t t t dt3;%% ⽤差分计算t（22）和t（23）的流量S 2.8/8.>> t3=[20 t(22) t(23)];% 取第2时段20，两点和第3时段，两点>> xx3=[abs(polyval(a2,t3(1:2))),dht3]; 取第2时段20，两点和第3时段，两点的流量>> c3=polyfit(t3,xx3,3)% 拟合出第2⽔泵供⽔时段的流量函数>> tp3=::24;>> x3=polyval(c3,tp3);% 输出第2供⽔时段（外推到t＝24）各时刻的流量求第1、2时段和第1、2供⽔时段流量的积分之和，就是⼀天总⽤⽔量。
数学建模案例分析
数学建模案例分析数学建模是将现实问题转化为数学模型，并利用数学方法对模型进行求解的过程。
它是数学与实际问题结合的重要手段，能够帮助人们深入理解问题的本质，提供科学的决策依据。
以下是一个数学建模案例分析。
市有4个城区，现准备改造城市供水系统，以满足未来的供水需求。
根据过往的数据分析，每个城区的用水量与其人口数量、平均收入以及大型工厂的数量有关。
现在的问题是如何设计供水系统，使得满足各城区的用水需求，并且降低总成本。
为了解决这个问题，我们需要进行数学建模。
首先，我们需要确定影响用水量的因素。
1.人口数量：根据过往数据，我们可以得到人口数量与用水量之间的关系。
假设每增加1个人口，用水量增加A升，其中A为一个常数。
2.平均收入：平均收入的提高可能会促使人们增加用水量。
假设平均收入每提高1个单位，用水量增加B升，其中B为一个常数。
3.大型工厂数量：大型工厂对水的需求较大，可能对城区的用水量产生较大的影响。
假设每增加1个大型工厂，用水量增加C升，其中C为一个常数。
通过对过往数据的分析和回归分析，我们可以得到A、B和C的具体数值。
然后，我们可以建立供水系统的数学模型：设城区1、城区2、城区3和城区4的人口分别为x1、x2、x3和x4，平均收入分别为y1、y2、y3和y4，大型工厂数量分别为z1、z2、z3和z4设城区1、城区2、城区3和城区4的用水量分别为w1、w2、w3和w4根据前述的假设，我们可以得到数学模型：w1=A*x1+B*y1+C*z1w2=A*x2+B*y2+C*z2w3=A*x3+B*y3+C*z3w4=A*x4+B*y4+C*z4此外，由于我们希望降低总成本，我们还需要引入成本模型。
假设供水系统的建设成本与每个城区的用水量成正比，并且平均每增加1升用水量，建设成本增加D元，其中D为一个常数。
设城区1、城区2、城区3和城区4的建设成本分别为cost1、cost2、cost3和cost4根据成本因素，我们可以得到成本模型：cost1 = D * w1cost2 = D * w2cost3 = D * w3cost4 = D * w4接下来，我们需要优化这个数学模型。
水流问题数学建模
估计水塔的水流量1问题提出某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10．8米时，水泵停止工作．可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位作功率．2问题分析与数据处理由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t)在若干个点的函数值，则f(t)的计算问题就可以转化为插值问题．1．假设1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响．2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时3）水塔为标准圆柱体．考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．839，22．958］．2．体积计算 水塔是一个圆柱体，体积为h D V 24π=．其中D 为底面直径，h 为水位高度。
水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即i i v t f 2)(-∇=具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商．中心差商公式模型及计算结果问题已经转变为根据流速f(t)的一个函数值表，产生函数f(t)在整个区间（二十四小时）上的函数或函数值，插值和拟合是两种最常用的方法．如果建立拟合模型，需要根据散点图的趋势，选择适当的拟合函数形式．如果采用插值模型，可以考虑分段线性插值。
水箱流量
这里我们取级数前5项进行近似（如果想要更
精确可以取更多项）对上式进行积分得：
H （t ）
其中：
令
，
是常数 ， ，
，
我们就得到了一个多元线性回归方程：
6vt 6vt
2.下面把加水过程也考虑在内 因为假设了加水速度是均匀的，所以我们设第一次 加水和第二次加水过程中由于加水使得水位上升的速 度分别是 v(t),和u(t)。第一次加水可以表示成在水位 表达式中加上一个 β6v(t)，第二次加水是在水位表达 式中加上一个 β7u(t)。 当水箱的水容量达到514 g（27E）时开始泵水，达 到677.6 g（35.50E）时停止泵水。所以无法准确知 道泵水时间，但是可以知道是在 [32284,39435]和 [75021,85968]这两个时间段内，不妨假设水泵就是 在这两个时间段内泵水的。
D2 d
用MATLAB做出的f（t）图像如图所示：
水箱水流量问题
模型假设
（1）影响水箱流量的唯一因素是该区公众对
水的普通需要； （2）水泵的灌水速度为常数； （3）从水箱中流出水的最大流速小于水泵的 灌水速度； （4）每天的用水量分布都是相似的； （5）水箱的流速可用光滑曲线来近似； （6）当水箱的水容量达到 开始泵水；达到 停 止泵水。
模型建立与求解
1. 先不考虑泵水过程，设在t时刻水箱中水位 （单位E）为：H=H（t） 则水箱的水的体积（单位，E3）为： 其中，D=47E为水塔直径 则在t时刻流出水塔的水流量为： 反过来有：
由于假设小镇中每天的86400s为周期的周 期函数，任何以时间T为周期的函数都可以展开 为下列的傅里叶函数：
f (t ) H (t ) 4 dt ^ ^ ^ 2 D2 ^ T 2 t ^ 2 t 4 t 4 t cos sin 2 cos 2 1 2 4 5 sin 3 2T 2 T T T T
水箱模型模拟实例
实验报告（二）——水箱模型径流模拟实验目的：研究水箱模型参数参数变化时对模拟径流的影响；实验步骤：（1）将“水箱模型”文件夹放于“D:\Program Files\”目录下，打开文件夹，双击Project1.exe。
打开水箱模型各参数对话框，对话框中包含初始参数，点击径流模拟得到初始模拟径流资料，将其与实测径流比较观察差别情况，如下表：由上图知原始参数模拟后与原实测径流对比峰值过高，峰型较胖，需要调参使模拟、实测值拟合度提高！由于学习水文模型时，没有足够用心导致现在对各参数对径流过程的影响了解的不够清楚，我还是采用桌一调参的方法先研究各参数对径流过程的影响。
我首先改变了参数出流、下渗系数的值如下图：通过对模拟、实测径流过程的拟合度的观察，我发现减小出流或下渗的前三个参数时逢高变小了；拟合度显著增大！增大这一参数时峰值增大。
翻阅书籍才知道原来前三个参数代表水箱模型第一层水箱！在了解了出流、下渗系数对流量过程的影响后我开始调节第二个参数底水的大小，如下图：观察发现，减小底水后模拟流量峰前蜂后与实测更加吻合，峰值进一步变小，模拟流量过程线变得瘦高；进一步减小底水第一个参数结果使得模拟流量峰前降低，蜂后也有下降；说明底水主要是对峰前峰后产生影响进而改变流量过程！如下图：了解了底水、出流或下渗系数变化对流量过程的影响后，我开始固定这两参数，来研究孔高对径流过程的影响，如下图：由上图观察发现第二个孔高影响峰高；第一个孔高影响峰前和蜂后，增大孔高第一个参数蜂后进一步下降，模拟流量过程更加瘦高；最后固定前三个参数，研究K值对径流过程的影响，如下图：由上图，增大K值模拟流量峰高降低，过程线变得矮胖；减小K值峰高增高，过程线瘦高，且稍往前移；在对几个参数对径流过程影响了解过后，我又做了一些实验，来研究具体每个参数内部各参数对流量的影响如下列图：改变出流下渗前三个参数，也就是上层水箱的参数，使得模拟流量峰高增加而，而其他形状不变！！改变出流或下渗系数后三个值，如果是减小它们则模拟流量过程线变得更瘦尖，而其他形状不变；在上边一系列实验，获得了各参数对径流过程的影响之后，我便开始进行同参数两次流量过程的模拟了！首先需要改变所给模型中的原始值，即调换sheet1，sheet3位置模拟第二个径流，如此反复替换反复模拟知道再同一参数下两个径流模拟过程都能和实测过程拟合完好为止！如下图：减小出流或下渗系数第一个参数，改变低水值，使得模拟流量过程线蜂后前移；将第二个径流模拟相对吻合的参数再次用于模拟第一个实测径流过程，发现吻合还算精确；说明这一参数可以使得两个实测径流过程都和模拟径流过程都拟合良好符合要求：最终得使两个径流过程都拟合相对较好的参数如下图标：。
水箱流量数学建模论文 (2) - 副本
问题重述：许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位．试通过测得的某时刻水箱中的水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水期间）t流出水箱的流量f(t).模型假设：除题目中的假设，另加如下假设：(1)影响水箱流量的唯一因素是该区民众对水的普通需求；(2)水塔中的水位不影响水流量的大小。
可根据物理学的Torricelli定律得出；(3)水泵起止工作时间由水塔的水位决定；(4)水塔的水流量与水泵状态独立,并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小；符号说明：t:时间Y：水量V:水流量I：总用水量模型求解：首先，将时间换算成小时，水位高度变换成水的体积，如表1所示：表1：某一时刻水的体积因为水量达到514×10³g时开始泵水；达到667.6×10³g时停止泵水。
根据表1中的数据，可以近似认为在8.968h时开始第一次泵水，10.954h时第一次泵水停止；在20.839h时开始第二次泵水，22.880h时第二次泵水停止。
根据表1中的数据，计算相邻时间区间中点以及相应的时间段内平均水流量：记水量为y，时间为t，流量为v：（t i，t i+1）区间内平均流量v i=（y i+1-y i）/（t i+1-t i）区间首尾点流量为：v0= (3y0-4y1+y2)/(t2-t0)v n= (-3y n+4y n-1-y n-2)/(t n-t n-2)表2:某一时刻的对应流量将表二中的数据写入名为“data2”的txt文件中，以供计算使用。
方法1：插值与拟合法：在数据中水泵工作时的流量数据并没有给出，为了模拟拟合的准确性，采用插值拟合方法作出水箱中水的流速图，如图1所示：对流速积分，计算一天中的总流量，部分计算结果如图2所示：计算出24小时之内总用水量：I=363.4×10³g=364×3.78=1373.65m³图1：插值与拟合计算出的每个时间水流量图2：插值与拟合运行结果部分显示计算的matlab程序如下：clc,cleara=load('data2.txt');tt=a(:,1)dv2=a(:,2);plot(tt,dv2,'*')%画出流速的散点图pp=csape(tt,dv2);%对流量进行插值tt0=0:0.1:tt(end);%给出插值点fdv=ppval(pp,tt0);%计算各插值点的流量值hold on,plot(tt0,fdv)%画出插值曲线I=trapz(tt0(1:260),fdv(1:260))%计算24h内总流量的数值积分方法2：灰色理论：对表2中计算出来的流量，因为是非单调的摆动发展序列，故采用灰色理论中的GM(2,1)模型，预测流量随时间的变化关系：计算得到的时间影响序列为：x =482.495*exp(0.0239263*t) - 0.0463653*exp(0.276532*t) - 468.238计算出来的预测数据、残差以及相对误差如表3所示：表3：灰色理论预测出的流量值画出原始数据以及预测值的图像如图3所示：图3：流量原始值以及灰色理论预测值图由图3和表3可以看出用灰色理论预测得到的流量值与原始值差别较大，主要是由于模型建立不完善引起的，仍需进一步修改与提高。
数学建模城市供水量预测问题及解答
数学建模城市供水量预测摘要本文对城市计划供水量进行了预测分析,并结合预测数据提出了具体的节水调价方案｡首先,利用Excel软件对附件中的城市日用水量､水厂供水量､日最高､最低温度等数据进行统计描述,并对原始数据进行预处理,剔除异常数据并利用插值方法补全数据,以使所得数据能尽可能地反映客观实际｡接着,针对第一､二问提出的城市计划供水量和每个水厂的计划供水量预测问题,在忽略温度影响的前提下建立回归分析与灰色系统GM(1,1)组合预测模型,利用SPSS软件采用最小二乘法进行曲线拟合和参数求解,计算结果表明回归分析模型能够较精确地进行大多数时间城市计划供水量的预测;在回归模型预测误差较大的情况下,建立灰色系统GM(1,1)预测模型,利用Matlab软件编程求解出其余时间的预测值,并与回归分析模型的预测数据结合起来,得到最终的预测结果:2007年1月的城市计划供水量为4582.18万吨,一､二号水厂计划供水量分别为2840.37万吨和1766.92万吨｡此外,考虑到数据具有季节性,采用时间序列分析的方法求解1月份各指标的预测值｡在模型的检验中对预测结果进行了残差检验,验证了预测结果精度优良｡随后,在对日最高､最低温度与日用水量的相关分析中,发现温度与用水量呈部分相关,且在五至九月相关系数较大｡进而在考虑温度影响下建立多元线性回归模型,将气温因素对供水量的影响从总水量中提取出来进行预测,其方程与线性趋势项之和为最终供水预测方程,根据方程求得2007年1月的城市计划供水量为4882.53万吨,一､二号水厂计划供水量分别为2862.54万吨和1800.70万吨｡最后,针对第三问提出的水价调整问题,用需求价格弹性指数E刻画居民对水的需求,进而建立水价与用水需求之间的函数关系,利用非线性回归求得水价调整预测方程,并依据此方程分别求出在五､六､七､八月调价的四种调价方案对应的综合水价｡本文主要采用统计的方法,利用Excel､SPSS､Eviews､Matlab等软件进行数据处理､参数估计及模型计算｡在样本足够大的前提下,本文建立的模型具有很强的普适性,且在对预处理后的数据做分析时,具有误差小､精度高等优点｡本文在结尾部分对城市供水量的不同预测模型和结果进行了精度分析和残差检验,并指出了需要进一步研究的问题｡关键词:供水量预测;回归分析;灰色预测;时间序列;水价调整一､问题重述城市供水作为城市重要的基础设施之一,是城市功能的重要组成部分,与城市环境､居民生活和工农业生产息息相关,直接影响到城市的稳定发展｡为了节约能源和水源,供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段(未来一天或一周)的用水量,以便安排未来(该时间段)的生产调度计划｡现在有某城市7年的历史记录,记录中给出了日期,每日用水量(吨/日);当日的最高温度和最低温度;一号水厂和二号水厂日供水量｡请充分地利用这些数据建立数学模型给出1.预测2007年1月份城市的计划供水量｡2.预测2007年1月份城市中每个水厂的计划供水量｡3.由于水资源的匮乏,必须要节约水资源｡除制定法规和加强宣传外,提高水价格也是节水的主要措施｡采用每年调一次水价的措施,希望2007年8月份的供水量不超过5045万吨,请确定合理的水价调整方案｡附表1:2000-2006年的调价方案注:月初调整水价二､模型假设1.假设短期内社会状况没有大的波动;2.假设两水厂的供水量能满足社会需求;3.假设对城市用水量的影响起决定性作用的因素主要是温度和价格;4.假设水价调整在一个周期内对每个月水需求量的影响相同｡三､符号说明t——时间;K——季节指数;E——需求价格弹性指数;P——原水价;1P——调整后的水价;2Q——水价调整前的水需求量;1Q——水价调整后的水需求量;2四､问题分析4.1 问题背景的理解城市用水主要包括生活用水､生产用水､绿化用水以及其他不可预测水量等几部分,其用水量总在不停地发生着变化｡众多的统计研究表明:年用水量变化受气候温度因素影响比较大,具有明显的趋势性和随机性;季度用水量明显受春暖､夏热､秋凉和冬冷等季节气候因素影响,具有显著的季节性;月用水量的影响因素较多,例如平均气温､节假日量等,具有平稳性､交变性和季节性;日用水量的影响因素最多､最复杂,日最高温度､日最低气温､平均温度､节假日与否等都会对日用水量的变化产生影响｡日用水量预测在各类城市用水预测中具有异常特殊的地位,它不仅能直接指导水厂的生产,更能为水厂间的优化调度提供可靠的技术支持,故比较准确地进行城市日､月用水量预测是非常重要的｡4.2 对建立供水量预测模型的分析城市的供水量之所以难以准确预测,是因为影响该数据的因素太多,这些因素包括社会的､经济的､政治的､科技的等等｡而预测的可靠性和精度在很大程度上取决于正确地选择预测方法和模型｡关于供水量的预测方法虽然有很多,比如回归分析预测､时间序列分解和平滑预测､自适应过滤､灰色预测､人工神经网络预测､系统动力学等方法｡但目前为止,还没有一个统一的､完整的､普遍适用的预测方法可供使用｡出于以上考虑,我们需要根据用水量变化的不同规律分别建立不同的数学模型｡综合分析各模型特点,我们认为回归分析模型､灰色系统理论预测和时间序列分析可以较好地解决供水量的预测问题｡针对城市日用水量和水厂供水量的预测,分别建立回归预测模型､灰色系统GM(1,1)预测模型以及时间序列预测模型进行求解,具体细节和思路如下:4.3 水价调整方案预测模型的分析由于水资源的匮乏,必须要节约水资源｡采取提高水价格的节水措施｡采用每年调一次水价的措施,希望2007年8月份的供水量不超过5045万吨,则必须依据相关预测值确定合理的水价调整方案｡由于水资源是一种特殊的商品,我们可以用需求价格弹性指数来刻画居民对水的需求,进而建立水价与用水需求之间的函数关系,利用非线性回归求得水价调整预测方程,并依据此方程求出2007年调价后的综合水价｡ 4.4 建模前的准备工作 4.4.1 数据的预处理由于文中包含大量的数据,所以应首先对这些数据的真实有效性进行检验,具体操作如下:1）剔除缺省值及异常值需要利用的数据如有缺失,则采用插值法或数据外推法进行填充｡在对数据的分析中可以看出:日最低温度为零时,部分数据出现异常(甚至大于最高温度),可以判断此时为数据缺失,应该予以填充｡由于数据规模庞大,因此部分数据极有可能出现偏差｡采用统计上最常用的3σ法则对异常点进行诊断,若确实有问题,则将这部分数据剔除并沿用上述方法修正｡对仍然有疑问的数据,在不影响求解精度的前提下可以考虑将其剔除｡通过对附件所给数据的描述统计中可以看出:2005年12月30日的日用水量与当月整体用水趋势有明显差异,所以应对其进行相应处理｡2)由于定量因素赋值单位(或数量级)不统一,且可能数值大小会差别很大,需要对其进行无量纲化处理,使所得数据具有可比性｡根据模糊数学隶属函数的处理原则,对于数据越大越好的效益型指标,可用式(5.1)进行处理:对于数据越小越好的成本型指标,可用式(5.2)进行处理｡此方法即是常用的一种归一化方法——极差变换法｡min max min ij j ij jjv v u vv-=- (5.1)max max min jij ij j jv v u v v -=- (5.2)其中ij v ——原始数据,ij u ——归一化后所得数据｡对数据进行处理的意义在于:科学地量化了各因素指标,使得每组数据达到了建模所需的标准｡五､模型建立与求解5.1 不考虑温度影响下2007年1月份计划供水量和两个水厂计划供水量组合预测模型 5.1.1 回归预测模型 回归预测模型的建立利用处理后的数据,我们首先用SPSS 软件进行曲线拟合与参数估计,通过对各统计量的分析和比较,最终得出回归预测方程｡根据处理后的数据,分别以时间变化为自变量t ,建立回归模型: 在SPSS 软件中,调用【Analyze 】→【Regression 】→【Curve Estimation...】,采用最小二乘法对上述模型的参数进行求解,综合考虑2R ､F 和P 值统计量,分别选取下述函数进行曲线拟合: 二次曲线模型(Quadratic):2012y b bt b t =++ (5.3)三次曲线模型(Cubic):230123y b bt b t b t =+++ (5.4)对数曲线模型(Logarithmic):01ln y b b t =+ (5.5)生长曲线模型(Growth):01e b b t y += (5.6)s 曲线模型(S-curve):01b b t y e += (5.7)幂指数曲线模型(Power):10b y b t = (5.8)求解上述回归方程时,需对2R ､F 值和P 值统计量进行分析｡现以2007年1月的一组数据为例,对几种拟合程度较好的曲线模型作比较分析(见表1)｡表1:参数检验分析表统计量说明:2R ——可决系数;F ——回归方程的显著性检验;P 值——相伴概率,一般要求的范围之内(P < 0.01)｡在曲线拟合中2R ､F 和P 值统计量对拟合效果有重要意义,2R 表示自变量所能解释的方差在总方差中所占的百分比,其取值越接近于1说明模型的效果越好;F 统计量表示因变量与自变量之间的线性关系是否显著,一般取值为12,F 值大于规定值,则表示显著,否则不显著,其值越大说明越显著;P 值的大小表征回归系数和零是否存在显著差异｡选择预测模型时应综合考虑上述指标｡然后,通过所求日用水量及日两个水厂供水量的回归方程(详见附录一),可以直接得到大部分2007年1月份计划供水量预测值(见表2)和一部分两个水厂供水量预测值(见表3､表4)｡5.1.2 灰色系统GM(1,1)预测模型 GM(1,1)模型的建立由于统计数据信息不完整,故有部分日用水量数据和70%以上的水厂日供水量数据采用曲线拟合法进行回归分析不能得到令人满意的结果,所以我们考虑用对信息质量要求不高的灰色系统分析法进行预测,建立GM(1,1)模型｡ 记)),(),...2(),1((n x x x x =其中)(i x 表示第i 年数值｡ Step1:令)0(x 为GM(1,1)建模序列,表示灰导数(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =其中)()()0(k x k x =,...3,2,1=kStep2:令)1(x 为)0(x 的AGO 序列,对)0(x 作累加生成,即得到新的序列)1(x ,(1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())x x x x n =(1)(0)(1)(1)x x =(1)(0)1()()km x k x m ==∑Step3:令)1(z 为)1(x 的均值(MEAN)序列,表示白化背景值(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+- (5.9) (1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())z z z z n =则得到GM(1,1)的灰微分方程模型为b k az k x =+)()()1()0( (5.10)式中:b a 、为待估计参数,分别称为发展灰度和内生控制灰度｡ 其中,∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========---=----=n k nk nk n k n k nk nk nk nk nk n k k z k z n k x k z k z k z k zb k z k z n k x k z n k x k za 222)1(2)1(22)0(22)1()1(2)1()1(222)1(2)1(2)0()1(22)0()1())(()()1()()()()()(;))(()()1()()()1()()(经变换后得到)()()1()0(k az b k x -= (5.11)GM(1,1)模型的求解在(5.11)两端同时乘以ak e 得,(0)(1)()()ak ak ak e x k e az k e b +=即(1)()()ak ak t z k e be d C -=+⎰ak b Ce a -=+ 将代入上式中,可得0(1)b C x a=-于是得出时间函数(1)(1)x k +的估计值(1)0ˆ(1)[(1)]ak b bxk x e a a-+=-+ (5.12) 我们把上式(5.12)作为预测方程｡利用Matlab 软件编程求解出相应的预测值｡具体程序见附录二｡不考虑温度的影响下的求解结果根据以上模型对2007年1月份城市的计划供水量进行预测,结果如下表2,结合回归分析的求解结果,得出两水厂的计划供水量预测值,整理成表3､4｡表2:2007年1月份城市的计划供水量预测值通过累加求和的方法可以计算出2007年1月份计划总供水量为4582.18万吨｡表3:2007年1月份城市中一号水厂的计划供水量表4:2007年1月份城市中二号水厂的计划供水量通过累加求和的方法可以计算出2007年1月份一､二号水厂的计划供水量为2840.37万吨和1766.92万吨,水厂预测供水总量4607.29万吨｡若用前七年1月份的用水总量和两个水厂供水总量预测2007年1月份的总供水量和两个水厂供水总量,作回归分析得到如下方程:40196180.32592441ln=+(5.13)y t1月份一号水厂总计划供水量预测方程:23y t t t=+-+(5.14)23718972.313410461571627332.3891月份二号水厂总计划供水量预测方程:2=+-(5.15)y t t14816050.466461744109.8此方法计算出2007年1月份计划总供水量为4558.70万吨,与累加求和得到的一月份总供水量的相对误差约为0.5%;2007年1月份一水厂计划供水量为2814.32万吨,与累加求和得到的一月份一水厂计划供水量的相对误差约为0.92%;2007年1月份二水厂计划供水量为1731.00万吨, 与累加求和得到的一月份二水厂计划供水量的相对误差约为2%｡5.1.3 时间序列预测模型时间序列预测模型的建立因为已知数据带有明显的季节项和趋势项,所以考虑使用时间序列进行分析:数据处理过程如下:Step1:使用中心滑动平均:6556ˆ(0.5......0.5)/12t t t t t t yy y y y y --++=++++++ (5.16) 平滑后的数据已没有季节性｡Step2:去掉趋势得到季节和误差项,得到季节指数:ˆt y T s e K s e y T⨯⨯===⨯ (5.17) 其中,s 为季节项,e 为随机项｡利用Eviews 时间序列分析软件进行操作,得到每月总用水量､一厂每月供水量､二厂每月供水量的季节指数如下表5:表5: 各月供水量的季节指数分析表Step3:去掉随机误差项:由已知信息可得到7年的月度数据,用184,,y y ⋅⋅⋅表示,用184,,x x ⋅⋅⋅表示平滑后的数据｡ 对月度数据,用112,,z z ⋅⋅⋅表示去掉误差项后得到的季节项:111373()/7z x x x =++⋅⋅⋅+ ……12122484()/7z x x x =++⋅⋅⋅+Step4:季节因子规范化: 对月度数据:12112bi i i i z z z ==⨯∑ (5.18)Step5:从原始数据中去掉季节项,得到经过季节调整的数据｡ 各年第i 个月的数据除以bi z Step6:估计季节调整后数据的趋势: 模型使用线性拟合:01t y C C t =+ (5.19)每月总供水量,一､二水厂供水量趋势方程:03895920892775.1t y t =+ (5.20)12394167356950.8t y t =+ (5.21) 21485755535251.89t y t =+ (5.22)Step7:用拟合出的模型预测2007年每个月的趋势｡Step8:求2007年每个月的用水量､一号水厂供水量､二号水厂供水量:t y y k =⨯ (5.23)综上,所得结果如下:2007年1月份计划总用水量:4797.87万吨; 2007年1月份一水厂计划供水量:2961.30万吨; 2007年1月份二水厂计划供水量:1546.61万吨｡5.2 考虑温度影响下2007年1月份计划供水量和两个水厂计划供水量预测模型 5.2.1 日用水量的气温影响量与日最高､最低气温的相关分析气温是影响城市供水量的主要因子｡在SPSS 软件中,调用【Analyze 】→【Correlate 】→【Bivariate...】,对气温和日用水量作相关分析,整理成表6.表6:日用水量的气温影响量与日最高､最低气温的相关系数由表6不难看出,气温与日用水量的气温影响量呈部分相关｡可以将最高气温日与最低气温作为影响日用水量的因子,同时考虑到趋势项,建立时间因子､最高､最低气温与城市供水的多元线性回归方程｡5.2.2 多元线性回归模型的建立选定2004~2006年的数据作为样本,剔除日用水量异常值和最低温度异常值｡由上述趋势图可以看出:样本数据在波动中总体呈上升趋势,波动可认为是温度对用水量的影响量｡故可分别拟合出这种上升趋势和温度影响情况,然后将二者相加即可得出水量的预测方程｡具体步骤如下: Step1:拟合上升趋势项｡通过线性回归分析,用SPSS 软件拟合求得方程为:1147613891.266y t =+ (5.24) Step2:求差值｡设差值序列为P ,题目所给数据序列为M1P M y =- (5.25)容易看出,数据上下波动,这便是最高温度､最低温度对用水量产生的影响｡ Step3:拟合温度影响方程｡设最高温度序列1x ,最低温度序列2x ,首先作自变量P 与1x ､2x 的相关分析,然后用SPSS 软件以1x ､2x 为自变量作多元线性回归得到温度影响方程:21224706.7235.1842134.766y x x =-++ (5.26)Step4:求得供水量预测模型:112W y y =+ (5.27)同理可得两个水厂供水量预测模型, 一号水厂: 趋势方程1906548.157.125y t '=+ (5.28)温度影响方程21223326.9941.503485.613y x x '=-++ (5.29)每日供水量预测模型:212W y y ''=+ (5.30)二号水厂: 趋势方程1569589.534.141y t ''=+ (5.31)温度影响方程2121379.413706.3191649.153y x x ''=--+ (5.32)每日供水量预测模型:312W y y ''''=+ (5.33)考虑温度的影响下的求解结果根据以上模型,在考虑温度影响的前提下对2007年1月份城市的计划供水量和两水厂的计划供水量进行预测,结果整理成表7､表8和表9.表7:2007年1月份城市的计划供水量预测值表8:2007年1月份城市中一号水厂的计划供水量表9:2007年1月份城市中二号水厂的计划供水量通过累加求和的方法可计算出考虑温度影响的前提下2007年1月份城市的计划供水量为4882.53万吨｡一､二号水厂的计划供水量为2862.54万吨和1800.70万吨｡5.3.1 预测未调价时2007年8月份总用水量考虑到8月份总用水量与最高气温,最低气温的相关性比较强,而且2004年3月到2005年7月这部分数据,温度与月份总需水量的相关系数比较大故可考虑用多元线性回归求得预测方程,步骤同5.2. Step1:拟合上升趋势｡利用线性回归分析,用SPSS 软件拟合求得方程为:142970699.63116016.55y t =+ (5.34)Step2:求差值｡设差值序列为P ,题目所给数据序列为M1P M y =-Step3:拟合温度影响方程｡ 差值与最低最高气温的关系:1123963426.5498747.2608658.403y x x =-+ (5.35)Step4:求得供水量预测模型:12Y y y =+ (5.36)用这种方法得到2007年8月份总用水量为:5121.32万吨｡并依此法可以得到未来两年内每个月的总需水量,见下表10:表10:2007年1月至2008年8月月用水量预测值5.3.2.1线性回归分析对水价的预测求出水价与每年8月份总用水量的函数关系方程:341194259.773558210.138302.66y x x =++ (5.37)当50450000y =时,得调价后的综合水价 5.4533x =元｡ 5.3.2.2非线性回归分析对水价的预测上述方法得到的函数关系方程,只是数据上的拟合,并没有反映出水资源供需的本质关系,水资源的供需是一种商品交换行为,水价调整前后用水量的比值与水价上调前后水价比值存在某种指数关系,我们称这个指数为水需求价格弹性指数E ｡在一段稳定的时间周期内,我们可认为需求价格弹性指数E 是一个稳定值,它与水价调整前的水需求量1Q ,水价调整后的水需求量2Q ,原水价1P 和调整后的水价2P 存在如下关系:1212()EP Q Q P = (5.38) 上式中21Q Q ,均表示调价一个周期内水需求量的月平均值｡ A)利用滑动平均预测1Q将2Q 作2-期滑动平均得到1Q ,将2112,,,Q Q P P 进行非线性回归分析得:0.2617981212()P Q Q P = (5.39) 也可作2Q 的3-期､4-期滑动平均,但由于样本数据较少,期数越多,滑动后得到的数据越少,将会大大影响预测精度｡由相关性分析可得:在第五､六､七､八月,用水量与温度相关性比较显著,所以在五､六､七､八月份调价效果较好｡假设在一个周期内调价对每个月用水量影响程度相同｡于是可依据题目要求的2007年8月份的供水量不超过5045万吨,推出一个周期内其他月份的供水量,即得到预测期的2Q ,利用上式,得到分别在五､六､七､八月调价的四种调价方案:① 五月初调价综合水价:2 5.5238P =元; ② 六月初调价综合水价:2 5.5232P =元; ③ 七月初调价综合水价:2 5.5225P =元; ④ 八月初调价综合水价:2 5.5198P =元｡ B)利用指数平滑法预测1Q 设2Q 序列为t A ,预测值为t F Step1:初始化11F A = (5.40)Step2:更新1(1),2,t t t F A F t T αα-=+-=⋅⋅⋅ (5.41)上式中α为滑动系数,一般在0.1到0.5之间,如果t A 平滑则α比较大｡因为本题t A 比较平滑,故可取0.3α=,代入以上两式可得t F ,令 1t Q F =,将2112,,,Q Q P P 进行非线性回归分析得:0.507051212()PQ Q P = (5.42)沿用滑动平均预测方法,得到分别在五､六､七､八月调价的四种调价方案: ① 五月初调价综合水价:2 5.3647P =元; ② 六月初调价综合水价:2 5.3645P =元; ③ 七月初调价综合水价:2 5.3641P =元; ④ 八月初调价综合水价:2 5.3627P =元｡ 通过对四种调价结果的分析可知,调价越早,价格越高,这可能与居民对水价承受能力不断增强,生活经济水平不断提高有关｡六､模型检验与结果分析6.1.回归分析预测模型检验与结果分析对回归分析模型的预测值与实际值作残差检验､计算相对误差,结果如下表11､表12:表11:各年1月供水量实测值与预测值比较表12:1月24日一号水厂供水量实测值与预测值比较从上表可以看出,实测值与预测值之间相对误差都小于3%,所预测出的供水量比较精确的,可以认为使用回归分析模型预测效果是令人满意的｡ 6.2灰色系统GM(1,1)预测模型检验方法灰色系统预测模型的精度检验,主要由关联度检验和后验差检验法｡ 关联度s 大于0.5时,认为模型精度合格｡s 越大,表明模型精度越高｡后验差检验的步骤和方法为: 1. 求原始数据序列的均值(0)(0)11()n t XX i n ==∑ (5.42) 2. 求原始数据的方差与协方差2(0)221(()(0))nt S X i X ==-∑(5.42)2S =(5.42) 3. 求残差(0)ε均值(0)(0)(0)()()()i X i X i ε=- (5.42)(0)(0)11()n t i n εε==∑ (5.42) 4. 求残差的方差与均方差2(0)221(()(0))n i S i εε==-∑(5.42)2S =(5.42) 5. 计算方差比C 与小误差概率P12S C S =(5.42) (0)(0)2{|()|0.6745}P t S εε=-< (5.42)最终通过C 和P 来综合评定模型的精度,模型精度检验等级如表所示:预测模型等级 P C 好 0.95> 0.36< 合格 0.80> 0.50< 勉强 0.70> 0.65< 不合格 0.70< 0.65>一般情况下,当预测精度等级为好或合格时,即可用该模型来预测｡通过对模型预测结果的统计量计算,得到绝大多数情况关联度s 大于0.5,P 值大于0.80,C 值小于0.36,验证了灰色系统GM(1,1)模型预测精度较高｡6.3时间序列预测模型检验与结果分析绘制2006年供水量预测值与实际值的走势图如下:由以上两图可知,时间序列模型的估计与实际数据走势比较一致,模型能很好地描述供水量总体的波动情况,并且可以平稳预测,这一优点体现得十分明显｡七､模型评价与改进7.1模型评价7.1.1模型优点(1)采用较为成熟的数学理论建立模型,可信度比较高;(2)模型的求解采用专业的数学软件(SPSS13.0,Eviews5.0,Matlab7.1),求解精度较高,便于推广;(3)在利用数据信息之前,首先对原始数据进行预处理:剔除明显异常的数据,科学地量化了各因素指标,使得每组数据达到了建模所需的标准;(4)灰色系统GM(1,1)预测模型对于影响因素的要求不高,不必考虑多种因素的影响,所以在短期内影响因素基本不变的情况下用灰色预测模型预测可以保证较高的求解精度｡7.1.2模型缺点(1)由于所提供的数据存在缺省值和异常值,本身与实际存在差别,加之在数据的分析和处理中难免会产生舍入误差,这些因素都可能导致模型的结果产生细微偏差;(2)模型虽然综合考虑到很多因素,但为了建模需要,理想化了许多影响因素,具有一定的局限性,这可能会使得预测结果与实际有一定的出入;7.2进一步研究的问题在考虑温度对供水量的影响时,可以把供水量看作光波,而它的波动可以看作各种类型单色光的叠加,比如温度等因素的影响,借助光学模型进行求解｡八､参考文献[1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版社..2003.[2] 宋兆基,徐流美等.MATLAB在科学计算中的应用.清华大学出版社.2005.[3] 蔡建琼等.SPSS统计分析实例精选.清华大学出版社.2006.[4] 徐国翔.统计预测和决策.上海财经大学出版社.2005.[5] 邓聚龙.灰色系统基本方法.华中科技大学出版社.2005.[6] 易丹辉.数据分析与Eviews应用.中国统计出版社.2002.[7] 潘红宇.时间序列分析.对外经济贸易大学出版社.2006.[8]孙东霞,杨建成. 克拉玛依城市供水与气象条件的相关分析.新疆气象.2002.[9] 李永根. 节水水价制定理论与方法初探.南水北调与水利科技.2004.九､附录附录清单附录一:各计划供水量预测方程与数据;附录二:程序1_利用Matlab软件求解灰色预测模型GM(1,1)程序｡附录一:各计划供水量预测方程与数据2007年1月份城市的计划供水量预测方程与数据:1月1日:23y t t t=+-+115155772502.35213173.41235.8681月2日:23=-+-127311411766.413340.9931309.57y t t t1月3日:2=+-y t t119357050363.6622304.2971月4日:0.071=1259699y t1月5日:1263999 1.023ty=⨯1月6日:23y t t t=+-+1204051100749.115128.7772.6461月7日:0.068=⨯y t12760341月8日:0.059=⨯y t13000731月9日:0.059=⨯y t13013481月10日:131429674732.261ln=+y t1月11日:1304066 1.02ty=⨯1月12日:23=-+-y t t t137841434709.213146.588875.5941月13日:2=+-y t t128383246789.063077.5981月14日:1292690 1.019ty=⨯1月15日:2=++128022754365.513898.354y t t1月16日:2=++126053764232.6675351.4y t t1月17日:(14.2130.141/)t=y e-1月18日:0.065=y t13072111月19日:0.065=⨯y t13111911月20日:(14.2200.142/)t=y e-1月21日:0.07=⨯y t12964701月22日:0.066=⨯y t13101251月23日:(14.220.142/)t=y e-1月24日:(14.2160.155/)t=y e-1月25日:0.069=⨯y t12995561月26日:0.065y t=⨯13059281月27日:23=+-+y t t t1134786207879.647002.43362.9381月28日:1466198.351月29日:1485177.601月30日:1292690 1.019ty=⨯1月31日:1482879.312007年1月份城市中每个水厂的计划供水量预测方程与数据:一号水厂:1月份一号水厂总计划供水量预测方程:23=+-+23718972.313410461571627332.389y t t t 1月1日:23=+-+y t t t748513.347125.3558562.34803.2841月2日:23=--+827523.27647.22127863.32197.122y t t t1月3日:915932.681月4日:862730.161月5日:844237.471月6日:874989.25。
1991美国数学建模数学竞赛试题及翻译
1991 MCM A: Water Tank Flow1991 MCM A: Water Tank FlowSome state water-right agencies require from communities data on the rate of water use, in gallons per hour, and the total amount of water used each day. Many communities do not have equipment to measure the flow of water in or out of the municipal tank. Instead, they can measure only the level of water in the tank, within 0.5% accuracy, every hour. More importantly, whenever the level in the tank drops below some minimum level L, a pump fills the tank up to the maximum level, H; however, there is no measurement of the pump flow either. Thus, one cannot readily relate the level in the tank to the amount of water used while the pump is working, which occurs once or twice per day, for a couple of hours each time. Estimate the flow out of the tank f(t) at all times, even when the pump is working, and estimate the total amount of water used during the day. Table 1 gives real data, from an actual small town, for one day[ table omitted]. The table gives the time, in, since the first measurement, and the level of water in the tank, in hundredths of a foot. For example, after 3316 seconds, the depth of water in the tank reached 31.10 feet. The tank is a vertical circular cylinder, with a height of 40 feet and a diameter of 57 feet. Usually, the pump starts filling the tank when the level drops to about 27.00 feet, and the pump stops when the level rises back to about 35.50 feet.1991 MCM B: The Steiner Tree Problem史坦纳树问题The cost for a communication line between two stations is proportional to the length of the line. The cost for conventional minimal spanning trees of a set of stations can often be cut by introducing “phantom” stations and then constructing a new Steiner tree. This device allows costs to be cut by up to 13.4% (= 1- sqrt(3/4)). Moreover, a network with n stations never requires more than n-2 points to construct the cheapest Steiner tree. Two simple cases are shown in Figure 1.For local networks, it often is necessary to use rectilinear or “checker-board” distances, instead of straight Euclidean lines. Distances in this metric are computed as shown in Figure 2.Suppose you wish to design a minimum costs spanning tree for a local network with 9 stations. Their rectangular coordinates are: a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0)i(10,3). You are restricted to using rectilinear lines. Moreover, all “phantom” stations must be located at lattice points (i.e., the coordinates must be integers). The cost for each line is its length.1.Find a minimal cost tree for the network.2.Suppose each stations has a cost w*d^(3/2), where d=degree of thestation. If w=1.2, find a minimal cost tree.3.Try to generalize this problem水箱流量一些水权协会向社区获取使用水的流动速率，每小时多少加能，和每天用水的总量。
随机出、入水双容水箱液位控制实验及被控对象的数学模型_.
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ｂｅｐｒｅｍａｔｕｒｅｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔａｎｄｂｅｔｒａｐｐｅｄｉｎｌｏｃａｌｏｐｔｉｍａｆｏｒｃｌａｓｓｉｃｐａｒｔｉｃｌｅ８Ｗｍ＇ＩＩＩ
ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ（ＰＳＯ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ａ
ｃｌａｓｓｏｆｈｙｂｒｉｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｆｅａ－
２双容水箱液位控制实验仪实物系统装置介绍
基金项目：国家。９７３”重大基础研究计划基金资助项目
如图１所示，双容水箱液位控制实验仪主要由（２００２ＣＢ３１２２００）；教育部科学技术重点项目资助（０３１８４）；教育
２个柱形水箱、１个蓄水箱、２个抽水泵、２个出水口部博士点基金资助项目（２００２００２７０１３）；国家自然科学基金资助和５个比例控制阀门组成，其中柱形水箱分别设有
摘要：首先舟绍双客水葙液位控制实验仪的实物系统装置，随后，设计了随机出入水的双客水箱供排液系统液位控制实验，并用机理分析法建立被控对象的教学模型，最后分析上述系统的能拄性和能观性。
关键词：液位；双容水葙；系统建模；能控性；能观性中图分类号：ＴＰ２７３
文献标识码：Ａ
文章编号：１０００Ｇ９３２（２００６）０２４１０１３－９４
水塔流量估计_数学建模论文___《数学模型与数学软件综合训练》论文__MATLAB源程序
《数学模型与数学软件综合训练》论文训练题目：水塔流量估计学生学号：07500119 姓名：周才祥计通院信息与计算科学专业指导教师：黄灿云（理学院）2010年春季学期前 言在生产实践和科学研究中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到的一批离散样点，需要确定满足特定要求的曲线或曲面（即变量之间的函数关系或预测样点之外的数据）。
如果要求曲线（面）通过所给的所有数据点（即确定一个初等函数通过已知各数据，一般用多项式或分段多项式），这就是数据插值。
在数据较少的情况下，这样做能够取得好的效果。
但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂。
如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。
函数插值和曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。
针对水塔数据分析，利用数学软件MA TLAB 进行数据拟合。
曲线拟合问题是指：已知平面上n 个点（i x ，i y ），i ＝0，1，…，n ，i x 互不相同，寻求函数y ＝)(x f ，使)(x f 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，其基本思路是，令 )(x f ＝)(11x r a ＋)(22x r a ＋…＋)(x r a m m其中)(x r k 是事先选定的一组函数，系数k a （k ＝0，1，…，m ,m <n ）待定。
寻求k a ，使得残差平方和Q ＝∑=-ni i x f 12i )y )((达到最小。
这里的建模原理实质上与实验七中的回归分析是一致的。
摘要数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法,也是解决各类实际问题的常用方法。
文章采用曲线拟合的方法,并利用数学软件MATLA B对水塔流蚤进行计算计算结果与实际记录基本吻合。
关键词：建模，流量，拟合，MA TLAB目录错误！未找到引用源。
计算机过程控制实验报告单容水箱液位数学模型的测定实验
实验1 单容水箱液位数学模型的测定实验1、试验方案：水流入量Qi 由调节阀u 控制，流出量Qo 则由用户通过负载阀R 来改变。
被调量为水位H 。
分析水位在调节阀开度扰动下的动态特性。
直接在调节阀上加定值电流，从而使得调节阀具有固定的开度。
（可以通过智能调节仪手动给定，或者AO 模块直接输出电流。
）调整水箱出口到一定的开度。
突然加大调节阀上所加的定值电流观察液位随时间的变化，从而可以获得液位数学模型。
通过物料平衡推导出的公式：μμk Q H k Q i O ==,那么 )(1H k k Fdt dH -=μμ， 其中，F 是水槽横截面积。
在一定液位下，考虑稳态起算点，公式可以转换成μμR k H dtdH RC =+。
公式等价于一个RC 电路的响应函数，C=F 就是水容，k H R 02=就是水阻。
如果通过对纯延迟惯性系统进行分析，则单容水箱液位数学模型可以使用以下S 函数表示：)1()(0+=TS S KR S G 。
相关理论计算可以参考清华大学出版社1993年出版的《过程控制》，金以慧编著。
2、实验步骤：1) 在现场系统A3000-FS 上，将手动调节阀JV201、JV206完全打开，使下水箱闸板具有一定开度，其余阀门关闭。
2) 在控制系统A3000-CS 上，将下水箱液位（LT103）连到内给定调节仪输入端，调节仪输出端连到电动调节阀（FV101）控制信号端。
3) 打开A3000-CS 电源，调节阀通电。
打开A3000-FS 电源。
4) 在A3000-FS 上，启动右边水泵（即P102），给下水箱（V104）注水。
给定值 图1 单容水箱液位数学模型的测定实验5) 调节内给定调节仪设定值，从而改变输出到调节阀（FV101）的电流，然后调节JV303开度，使得在低水位时达到平衡。
6) 改变设定值，记录水位随时间的曲线。
3、参考结果单容水箱水位阶跃响应曲线，如图2所示：图2 单容水箱液位飞升特性此时液位测量高度184.5 mm ，实际高度184 mm -35 mm =149 mm 。
水箱水流量问题-第二十章建立数学建模案例分析
综合实验[学习目的]1．学习对数学知识的综合运用；2．学习数学建模——数学应用的全过程；3．培养实际应用所需要的双向翻译能力。
工科数学而言，学习数学的最终目的应落实在数学的实际应用上，尽管数学也应将训练学生的抽象思维能力为目的，但这也许作为课堂教学的重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学的应用能力——数学建模能力的培养、注意科学研究方法上的培养。
§15.1水箱水流量问题[学习目标]1.能表述水箱水流量问题的分析过程；2.能表述模型的建立方法；3.会利用曲线拟合计算水箱的水流量；4.会利用Mathematica进行数据拟合、作图和进行误差估计。
假设：1．影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；2．水泵的灌水速度为常数；3．从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；4．每天的用水量分布都是相似的；5．水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；6．当水箱的水容量达到514.8×103g时，开始泵水；达到667.6×103g时，便停止泵水。
二、问题分析与建立模型1.引入如下记号：6.45 9.67.468 8.98.448 10.09.474 /10.45 /10.94 /11.49 18.612.49 20.013.42 19.014.43 16.015.44 16.016.37 16.017.38 14.018.49 14.019.50 16.020.40 15.021.43 /22.49 /23.42 /24.43 14.025.45 12.0做出散点图如图15-1。
图15-1 散点图从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟合的最小二乘法。
三、计算过程1．算法：第1步输入数据{x i，y i}；第2步进行拟合；第3步作出散点图；第4步作出拟合函数图；第5步进行误差估算。
2．实现在算法步2中使用Fit[ ]函数，步3、步4使用Plot[ ]，步5选用Integrate[ ]函数。
用灰色理论分析的水箱水流量问题
水箱水流量问题一、问题重述许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位，估计在任意时刻t流出水箱的流量f(t)。
给出原始数据表以及单位换算之后（长度m，时间h）的表。
其中泵水用-1二、模型假设（1）影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需要；（2）水泵的灌水速度为常数；（3）从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；（4）每天的用水量分布都是相似的；（5）水箱的流速可用光滑曲线来近似；（6）当水箱的水容量达到3⨯停止泵水。
51410g677.610g⨯开始泵水；达到3三、符号说明t：时间V：水箱中水的体积f（t）任意时刻t水箱的流量四、模型建立与求解（一）插值拟合解法：1.首先将表格中的数据转化为标准单位制，其中时间用小时，体积用立方米。
1E=0.3024m1L=7.481G2.（1）水塔中水的体积计算：24V D h π=式中：D 为水塔的直径；h 为水塔中的水位高度。
（2）水塔中水流速度的估计。
水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数，但由于没有每一时刻水体积的具体数学表达式，这里我们用插商近似导数。
由于在两个时间段，水泵向水塔供水，无法确定水位的高度，因此计算水流速度要分3段进行计算。
第一段从0省道32284s ，第二段从39435s 到75021s ，第三段从85968s 到93270s3.为了得到流速的连续曲线可以使用三次样条插值处理，然后做出时间-流速的散点图。
图1：时间流速散点图4.曲线拟合用MATLAB 进行三次样条插值拟合的曲线如下图2：时间-流速曲线5.对水流速度进行数值积分可以得到24小时的用水量为1358.43m（二）GM （2,1）模型解法：1.-12.设时间序列为n t ，体积序列为n V 将11i ii iV V t t ++--组成新的一个数组n Q 并存储在文件名为data2.txt 的纯文本文件中。
然后对序列n Q 建立GM （2,1）模型。
数学建模
表2 一天内水塔水位记录
时间/h 时间 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 9.98 10.93 10.95 12.03 水位/m 水位 9.68 9.45 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69 8.52 8.39 8.22 水泵开动 水泵开动 10.82 10.50 时间/h 时间 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.02 22.96 23.88 24.99 25.91 水位/m 水位 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 水泵开动 水泵开动 10.59 10.35 10.18
3
有了任何时刻的流量，就能计算一天的总用水量。 有了任何时刻的流量，就能计算一天的总用水量。 其实， 其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接 得到，由表1中下降水位乘以水搭的截面积就是这一时 得到，由表 中下降水位乘以水搭的截面积就是这一时 段的用水量。 段的用水量。这个数值可以用来检验数据插值或拟合 并且用MATLAB软件实现插值法）。 软件实现插值法）。 的结果（并且用 软件实现插值法 问题求解 为了表示方便，我们将问题中所给表1中的数据全 为了表示方便，我们将问题中所给表 中的数据全 部化为国际标准单位（ ），时间用小时 部化为国际标准单位（表2），时间用小时（h）， ），时间用小时（ ）， 高度用米（ ）： 高度用米（m）：
由表2知 由表 知，第1未供水时段的总用水高 未供水时段的总用水高 度为146(=968－822)，可见上述三种插值 度为 － ， 方法计算的结果与实际值（ 方法计算的结果与实际值（146）相比都 ） 比较接近。 比较接近。考虑到三次样条插值方法具 有更加良好的性质，我们采取该方法。 有更加良好的性质，我们采取该方法。 其他三段的处理方法与第1未供水时段的 其他三段的处理方法与第 未供水时段的 处理方法类似，这里不再详细叙述， 处理方法类似，这里不再详细叙述，只给 出数值结果和函数图像（ ），图 出数值结果和函数图像（图4～图6），图 ～ ）， 中曲线标记同图3。 中曲线标记同图 。
数学建模基础 12.4估计水塔的水流量
(**)
2
对于第一型插值问题，取 λ 0=1，μ n=1,
6 y1 y0 d0 ( y0 ' ), h1 h1
yn yn1 6 dn ( yn ' ) hn hn
对于第二型插值问题，取λ 0=0，μ n=0
d0 2 y0 ' ' ,
dn 2 yn ' '
对于第三型插值问题，利用周期性，可导出
10619
13937 17921
2994
2947 2892
43318
46636 49953
3445
3350 3260
79154
82649 85968
水泵工作
水泵工作 3475
21240
25223 28543
2850
2797 2752
53936
57254 60574
3167
3087 3012
89953
三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题（ i＝１，２，３）．可以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯 一的。他们对应如下的三对角方程组： 2 λ 0 μ1 2 λ 1 . . . . . . . . . μ n-1 2 λ μ
n
n-1
M0 M1 . . = . Mn-1 Mn
d0 d1 . . . dn-1 dn
, M i+1
三次样条函数的构造
S”(x) M i
构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用 的方法：三弯矩插值法 记Mi = S″(xi), f(xi)= fi= yi ,考虑它在任一区间[xi,xi+1]上的 形式.根据三次样条的定义可知 ,S(x)的二阶导数S″(x)在每一个 子区间[xi,xi+1] ( i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数. 于是在[xi,xi+1] 上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成
1水箱水流量问题
例题估计水箱的水流量模型(1991年美国大学生数学建模竞赛的A 题. 问题中使用的长度单位为E(英尺, 1 E=30.24cm), 容积单位是G(加仑, 1 G=3.785L)).问题的提出：某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%). 当水箱水位低于水位L 时, 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位H 为止. 但是依然无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水泵一天灌水1~2次, 每次约2h .试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t 流出水箱的流量),(t f 并估计一天的总用水量. 表1给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为57E, 高为40E 的正圆柱体. 当水位落到27E 以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至35.5E 时, 水泵停止工作。
表1模型假设(1)影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求．因为附表只给出了某一天(实际是近26小时)水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求．(2)水塔中水的水位不影响水流量的大小．据物理学的Torricelli (托里查里)定律，水塔最大水流量是与水位的高度的平方根成正比的．针对表8－1所给的数据，最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以两个高度的最大水流量之比是15.100.27/50.35≈,接近于1,所以我们假定水位不影响水流量,类似地,我们假定气候条件、条件变化等也不直接影响水流量.(3)水泵工作起止时间由水塔的水位决定.我们总是假定水位大约27.00英尺时,水泵就开始工作,直到水位升至大约35.50英尺时停止工作,每次充水时间约为两小时.水泵工作性能、效率总是一定的,不因使用次数多少而变化,水泵工作时不需要维修,也不中途停止工作.当然,水泵充水的水流量远大于水塔的水流量,以保证人们对水的需求.(4)表1中水位数据取得的时间准确在1秒以内.(5)水塔的水流量与水泵状态独立,并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小.(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近.这时,在每一个数据点,水流量的两阶导数是连续的,因为水的消耗是基于社区公众一天的活动,如洗澡、做饭、洗衣服等,每一个使用者的要求与整个社会的要求相比是微不足道的,而整个社会的需求是不可能同时增加或减少的,由于水的消耗的自然性,可以设想水流量曲线是一条连续光滑的曲线.问题分析与模型建立1、为方便起见,记V ----表示水的容积;iV ----表示时刻i t (单位:h)时水的容积; )(t f ------表示流出水箱的水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p ---------表示水泵的灌水速度(G/h). 先将表1中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积，具体数据如表2所示(,2h r Vπ=单位:G 481.7E 1,G 1033= ).35.50英尺时停止充水，从所给数据自然无法知道水泵开始和停止工作的准确时间，但我们发现第一次充水前的最后一个测量数据是32284秒时水位为26.97英尺，可见水泵在32284位秒后不久开始充水。
水箱模型ppt课件
29
水箱模型
10日间流量减6为 0％
B段：
1
＝0.6010 0.95
0.05
流出孔＝ 0.02
下渗孔＝ 0.03
以上确定了第一层和第三层的系数，第二层可
以取一、三层的中间值，第四层可以将第三层系 数乘以0.1当作初始值。初始贮留高如下（若是1 月1日）：
层数
I
初始贮留高 0 （mm）
II
流域
河道
27
水箱模型
计算时初始值的确定：
i）按上面的所定范围任取一组 ii）借鉴附近相近流域的参数 iii）根据实际情况分析确定
地表径流 地表径流
地面径流退水为主
c
地下径流退水为主
地下径流
2020/2/13
地下径流
q(t) λ•h(t)
dh
q
•dt
q q0eλ t
28
水箱模型
A段：定义日递减系数（例： 2日间流量减半）
隙通道）遇到不透水层或弱透水层就产
V2
生了饱和水带，于是一部分水就流出了，
一部分水就往下渗，下渗的水分发生的
情况和上面的描述一样，于是就有了一
V3
层又一层的模型……
V4
2020/2/13
一个出口代表一种径流:地表、壤中流、 浅层地下径流、深层地下径流。
10
水箱模型
一层不能适应径流形成的复杂条件 多层可反映不同降雨条件下，各种径流成分的
2020/2/13
8
水箱模型
1、基本概念(3)
各种形状的TANK：
……
y,z x
m*n
2020/2/13
9
水箱模型
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综合实验
[学习目的]
1．学习对数学知识的综合运用；
2．学习数学建模——数学应用的全过程；
3．培养实际应用所需要的双向翻译能力。
工科数学而言，学习数学的最终目的应落实在数学的实际应用上，尽管数学也应将训练学生的抽象思维能力为目的，但这也许作为课堂教学的重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学的应用能力——数学建模能力的培养、注意科学研究方法上的培养。
§15.1水箱水流量问题
[学习目标]
1.能表述水箱水流量问题的分析过程；
2.能表述模型的建立方法；
3.会利用曲线拟合计算水箱的水流量；
4.会利用Mathematica进行数据拟合、作图和进行误差估计。
1．影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；
2．水泵的灌水速度为常数；
3．从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；
4．每天的用水量分布都是相似的；
5．水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；
6．当水箱的水容量达到514.8×103g时，开始泵水；达到667.6×103g时，便停止泵水。
二、问题分析与建立模型
注：第一段泵水的始停时间及水量为
t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G）
t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G）
第二段泵水的始停时间及水量为
t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G）
t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G）
2.由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度：
4.425 9.6
5.439 8.9
6.45 9.6
7.468 8.9
8.448 10.0
9.474 /
10.45 /
10.94 /
11.49 18.6
12.49 20.0
13.42 19.0
14.43 16.0
15.44 16.0
16.37 16.0
17.38 14.0
18.49 14.0
19.50 16.0
20.40 15.0
21.43 /
22.49 /
23.42 /
24.43 14.0
25.45 12.0
做出散点图如图15-1。
图15-1 散点图
从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟合的最小二乘法。
三、计算过程
1．算法：
第1步输入数据{x i，y i}；
第2步进行拟合；
第3步作出散点图；
第4步作出拟合函数图；
第5步进行误差估算。
2．实现
在算法步2中使用Fit[ ]函数，步3、步4使用Plot[ ]，步5选用Integrate[ ]函数。
3．误差估计：
当，所产生的误差也可以保持为相对稳定最小常数来支持该模型。
同时，一旦确定了最佳f（t），我们便可通过Integrate[ ]函数估算出一天的用水总量，从而根据常规每1000人用水量来推测出该地区的人口数，另外，还可求得水箱的平均流速。
评价
1．优点：
（1）任意时刻从水箱中流出的水速都可通过该模型计算出来；
（2）可推测几天的流速；
（3）可以将该建模过程推广到用电及用气的估算上。
2．缺点：
（1）如能知道水泵的抽水速度，就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速；
（2）通过考虑体积测量的差异建模，该作法包含着某种不准确性。
源程序：
L={{0.460，14.0}，{1.382，12.0}，{2.396，10.0}，{3.411，9.6}，
{4.425，9.6}，{5.439，8.9}，{6.45，9.6}，{7.468，8.9}，
{8.448，10.0}，{11.49，18.6}，{12.49，20.0}，{13.42，19.0}，
{14.43，16.0}，{15.44，16.0}，{16.37，16.0}，{17.38，14.0}，
{18.49，14.0}，{19.50，16.0}，{20.40，15.0}，{24.43，14.0}，
{25.45，12.0}}
fx=Fit[L，{1，x^3，x^5，Sin[0.1x]，Cos[0.1x]}，x]
graph1=ListPlot[L，DisplayFunction→Identity]
graph2=ListPlot[fx，{x，0.46，25.45}，DisplayFunction→Identity]；
Show[graph1，graph2，DisplayFunction→$DisplayFunction，
PlotRange→All]
图15-2 水箱水流量拟合图
v1=677600-514800；
t2=10.926-8.968；
m1=v1/t1；
v2=677600-514800；
t1=22.958-20.839；
m2=v2/t2；
p1=m1+Integrate[fx，{x，8.968，10.926}]/t1
p2=m2+Integrate[fx，{x，20.839，22.958}]/t2
%=（p1-p2）p2
运行结果为：
（1）挖土机的利用率；
（2）每小时的平均挖土量；
（3）挖土机空闲和汽车等待时每天平均的损失费。
3．某杂货店只有一个收款台，顾客到达收款台的间隔是服从均值为 4.5的负指数分布，每个顾客的服务时间服从均值为3.2标准差0.6的正态分布。
这里时间的单位是分钟，且服务时间不取负值。
对100个顾客去收款台缴款的排队过程进行仿真。
146 / 7。