2020届河北省邢台市高三第一次摸底考试数学(理)试题
2020年河北省邢台市高三一模数学试题
2 0.5数学试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A = {x | 2 - x ≥ 0} ， B = {x ∈ Z | y = ln(x + 1)} ，则 A B = A ．[-1, 2]B ． (-1, 2]C ．{0,1, 2}D ．{ - 1, 0,1, 2}2. 设复数 z 满足| z - i |=| z + i | ， i 为虚数单位，且 z 在复平面内对应的点为 Z (x , y ) ，则下列结论一定正确的是A. x = 1B. y = 1C. x = 0D. y = 03. 在△ABC 中，AB = ， BC = 2 ， ∠ABC = 135︒ ，若使该三角形绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ） A.2π B ．π C ． 3πD ． 2π324. 中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图 1）做统计，现将其抽象成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为 2cm ，正方形的边长为 1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是 P ，则圆周率π的近似值为（）4A.1- p1B.1- p1C.1- 4 p1D ．4(1 - p )5. 已知3a= 4 3b -1，c - b = log (2x 2+ 4x + 4) ，则实数 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c > b > aB. a > b > cC. b > a > cD. a > c >b3 6. 已知圆C : x2+ y 2 = 1 ，定点 P (x 0 , y 0 )，直线l : x 0 x + y 0 y = 1 ，则“点 P 在圆C 外”是“直线l 与圆C 相交”的（ ）A ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件B ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前 n 项和，S 3 = 9 ，且 a 2 -1，a 3 -1 ，a 5 -1构成等比数列，则S 5 =（ ）A ． -15B ．15C ．25D ． 308. 对于函数y = f(x ) ，如果其图象上的任意一点都在平面区域{(x, y ) | ( y + x )( y - x ) ≤ 0} 内，则称函数f (x ) 为“蝶型函数”，已知函数：①y = sinx ；②y = ，下列结论正确的是()A ． ① 、② 均是“蝶型函数”B ． ① 、② 均不是“蝶型函数”C. ① 是“蝶型函数”； ②不是“蝶型函数” D. ① 不是“蝶型函数”： ② 是“蝶型函数”9．已知向量 a = (-1, t ),b = (2, y ) ，其中 y = t 2 - 2 + 1t 2 + 1，则当 y 最小时， cos a ,b =A.5 5B. - 55C ． - 2 55D ．2 5 510 ． 函 数 f (x ) = A sin(2x +ϕ) （ ϕ≤ π， 2A > 0 ） 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 且 f (a ) = f (b ) = 0 ，对不同的 x 1 ， x 2 ∈[a ,b ] ，若 f (x 1 ) = f (x 2 ) ，有 f (x 1 + x 2 ) = ，则（ ） A.f (x ) 在(-B. f (x ) 在(-5π π, ) 上是减函数12 12 5π π, ) 上是增函数12 12 π 5πC.f (x ) 在( , ) 上是增函数3 6 π 5πD.f (x ) 在( , ) 上是减函数3 6x 2 -1∠F 1MF 2 的角平分线的垂线，垂足为 N ，若| ON |= 2（ O 为坐标原点），则| OM |=（ ）A.32B.3 3 C ． 2D ． 212．已知函数 f (x ) 是定义在[-100,100] 的偶函数，且 f (x + 2) = f (x - 2) ．当 x ∈[0, 2] 时， f (x ) = (x - 2)e x ，若方程[ f (x )]2 - mf (x ) +1 = 0 有 300 个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．17．（12 分）已知∆ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，设 a cos B - b cos A = c ，（1） 求 A ; （2） 若 a =， ∆ABC 的面积为 1，求以 a ,2b ,2c 为边的∆A 1B 1C 1 的面积。
河北省邢台市数学高三上学期理数一模试卷
河北省邢台市数学高三上学期理数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）全集U=R，集合，则阴影部分表示的集合为（）A .B .C .D .2. （2分）复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）对于a，b R，记Max｛a，b｝= , 函数f（x）=Max｛，｝（x R）的最小值是（）A .B . 1C .D . 24. （2分） (2018高二上·大庆期中) 命题“ ，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）(2018·泉州模拟) 已知等比数列是递增数列，，则公比（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知定义在上的函数满足:⑴ ，⑵， (3)在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为（）A . 5B . 6C . 7D . 87. （2分）已经一组函数，其中是集合{2,3,4}中任一元素，是集合中任一元素.从这些函数中任意抽取两个，其图象能经过相同的平移后分别得到函数的图象的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·桂林模拟) 已知双曲线的标准方程为，直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，若C、D两点在以点A（0，﹣1）为圆心的同一个圆上，则实数m的取值范围是（）A .B . {m|m＞4}C . {m|0＜m＜4}D .9. （2分） (2019高二上·湖南期中) 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（）A . （x﹣5）2+y2＝16B . x2+（y﹣5）2＝9C . （x+5）2+y2＝16D . x2+（y+5）2＝910. （2分）在正三棱锥S-ABC中，M,N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 已知f（x）= ，则使得f（x）﹣ex﹣m≤0恒成立的m的取值范围是（）A . （﹣∞，2）B . （﹣∞，2]C . （2，+∞）D . [2，+∞）二、填空题 (共3题；共3分)12. （1分） (2019高二下·上海月考) 如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为________．13. （1分） (2016高一下·长春期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S3=6，a1=1，则公差d等于________．14. （1分）(2017·葫芦岛模拟) 已知抛物线C：x2=2py（p＞0），P，Q是C上任意两点，点M（0，﹣1）满足，则p的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共70分)15. （10分） (2016高二上·南宁期中) 在△ABC中，A=120°，a= ，S△ABC= ，求b，c．16. （15分） (2017高二下·南昌期末) 某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）①0.16[70，80）22②[80，90）140.28[90，100）③④合计501（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．17. （10分） (2018高三上·黑龙江期中) 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥ ，，且，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．18. （5分）(2017·银川模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．19. （10分）(2017·渝中模拟) 已知函数f（x）=aex+（2﹣e）x（a为实数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线（3﹣e）x﹣y+10=0平行．（1）求实数a的值，并判断函数f（x）在区间[0，+∞）内的零点个数；（2）证明：当x＞0时，f（x）﹣1＞xln（x+1）．20. （10分）(2013·福建理) 选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．21. （10分） (2017高二下·中原期末) 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共3题；共3分)12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共7题；共70分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
2020届河北省邢台市高三上学期摸底考试数学（理科）试题（解析版）
∵ ， ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ ，∴B一定成立.
【点睛】
本题考查指数、对数函数与不等式的交汇，考查逻辑推理的核心素养.
5．如图， 是圆 的一条直径， ， 是半圆弧的两个三等分点，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题是用 当基底向量，来表示 ，所以先在 中根据向量减法的三角形法则，用 表示 ，再探究 、 的线性关系即可．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要求 的值，需将角 用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有 ，正五边形内角 ， ，已知三角函数值有
，所以 ，从而 ．
【详解】
由题可知 ，且 ， ，
则 .
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.
7．若函数 在 上的最大值为4，则 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素， 说明集合 没有公共元素，借助于数轴列式计算．
【详解】
因为 ，所以 ，解得 或 .
【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.
3．若曲线 关于点 对称，则 （）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】正弦函数 的对称中心是 ，由“五点法”作图得，将 代入．
【详解】
因为曲线 关于点 对称，
所以 ，又 ，所以 时 ， 时 .
【点睛】
本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.
4．若 ， ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】比较两个数或式子的大小，可以用不等式的性质，如 ，则 ．
2020年河北省邢台市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一
数学试卷一、选择题1.已知函数()5log ,0=2,0x x x f x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩则125f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．14 B ．4 C ．-4 D ．14- 2.复数22iz i=- (i 为虚数单位)所对应的点位于复平面内( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+，则53aa 的值为（ ）A ．16 B ．13 C. 35D ．56 4.以下判断正确的是( )A.函数()y f x =为R 上可导函数，则0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件B.命题“2000R,10x x x ∃∈+-<”的否定是“2R,10x x x ∀∈+->”C.“ππ(Z)2k k ϕ=+∈”是“函数()sin()f x x ωϕ=+是偶函数”的充要条件 D. 命题“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为假命题5.已知实数x ，y 满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（ ） A.()3,3- B.[0,3] C.[3,0]-D.[3,3]-6.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )A. 3B.83C. 6226++D. 622+7.按如程序框图,若输出结果为170,则判断框内应补充的条件为( )A. 5i >B. 7i ≥C. 9i >D. 9i ≥8.O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC λ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ，[)0λ∈∞，＋，则P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心9.已知函数()sin 3f x x x =+，当[]0,πx ∈时()1f x ≥的概率为（ ） A.13B.14C.12D.1510、函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.811.设椭圆22221x y m n +=,双曲线22221x y m n-=,(其中0m n >>)的离心率分别为1e ,2e ,则( )A. 1e ,21e >B. 1e ,21e <C. 1e ,21e =D. 1e ,2e 与1大小不确定12.已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x -<，(0)2016f =，则不等式()20151xf x e >⋅+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()(),00,-∞+∞U B ．()2015,+∞ C. ()0,+∞ D ．()(),02015,-∞+∞U二、填空题13.261(1)(2)x x x+-.展开式中的常数项为 .14.已知0,0x y >>，1212x y++=，则2x y +的最小值为 ． 15.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD DC ==，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ=u u u r u u u r ，1CP CB λ=-u u u r u u u r（），则AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 ．16.已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线22(0)y px p =>上,且//AB CD , 24CD AB ==,60ADC ∠=o 则点A 到抛物线的焦点的距离是__________三、解答题 17、已知向量 ,,,且 ,, 分别为的三边 , , 所对的角.1.求角 的大小;2.若 , , 成等比数列,且 ,求边 的值. 18.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ABCD ⊥平面，//3AF DE DE AF =，，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（Ⅰ）求证：AC BDE ⊥平面； （Ⅱ）求二面角F BE D ﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM BEF 平面，并证明你的结论．19.甲将要参加某比赛决赛,在比赛之前,,,,A B C D 四位同学对冠军情况进行竞猜,每人选择一名选手,已知,A B 选择甲的概率均为m, ,C D 选择甲的概率均为n,()m n > ,且四人同时选中甲概率为9100,四人均未选甲的概率为125(1)求,m n 的值(2)设四位同学中选甲的人数为X,求X 的分布列和数学期望。
2020年河北省邢台市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷三
数学试卷一、选择题1.若复数z 满足341i zii +=+,则z 等于( ) A.7i + B.7i - C.77i + D.77i -+2.设集合()(){}|140?A x x x =+->,{}|03B x =<<,则A B ⋂等于( )A.(0,4)B.(4,9)C.(-1,4)D.(-1,9)3.若tan 4sin 420α=︒,则()tan 60α-︒的值为( )A.B.5C.D.4.已知nS 为数列{}n a 的前n 项和,若23a =且12n n S S +=,则4a 等于()A.6B.12C.16D.245.直线2y b =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右支分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点,且AOB ∆为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( )A. B.32C.30 5D.3556.若函数()()20.2log54f x x x=+-在区间()1,1a a-+上递减,且lg0.2b=,0.22c=,则( ) A.c b a<<B.b c a<<C.a b c<<D.b a c<<7.若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为()modN n m=,例如()102mod4=.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的i等于( )A.4B.8C.16D.328.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.189.设x,y满足约束条件260,{10,10.x yx yx+-≤--≤-≥若[]2,9?a∈-,则z ax y=+仅在点74,33⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值的概率为( )A.911B.711C.611D.51110.已知抛物线()2:204?C y px p=<<的焦点为F,点P为C上一动点,()4,0?A,(),2?B p p,且PA的最小值为15,则BF等于( )A.4B.72C.5D.9211.已知0ω>,0a>,()sin3cosf x a x a xωω=+,()2cos6g x axπ⎛⎫=+⎪⎝⎭,()()()f xh xg x=,这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示,则函数()()g x h x+的图象的一条对称轴方程可以为( )A.6x π=B.136x π=C.2312x π=-D.2912x π=-12.已知函数3,1,()2,1,x x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩若关于x 的方程()()f f x a =存在2个实数根,则a 的取值范围为( )A.[)24,0-B.()[),240,2-∞-⋃C.()24,3-D.(][],240,2-∞-⋃ 二、填空题51的展开式中2x 的系数为__________.14.随机掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数为m .已知向量(,1)AB m =u u u r,()2,4BC m =--u u u r ,设X AB AC =⋅u u u r u u u r,则X 的数学期望()E X =__________.15.在公差大于1的等差数列{}n a 中,已知2164a =,231036a a a ++=,则数列{}n a 的前20项和为__________.16.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上,5AB AC ==,8BC =,AD ⊥底面ABC ,G 为ABC ∆的重心,且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12,则球O 的表面积为__________.三、解答题17.在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,已知2222sin sin sin A B C +=. 1.若24b a ==,求ABC ∆的面积;2.求2c ab 的最小值,并确定此时ca 的值.18、已知某企业近 年的前 个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示:1.试问这年的前个月中哪个月的月平均利润最高?2.通过计算判断这年的前个月的总利润的发展趋势;3.试以第年的前个月的数据(如下表),用线性回归的拟合模式估测第年月份的利润. 月份利润(单位:百万元)相关公式: , .19.已知数列{}na的前n项和2nS n pn=+,且2a,5a,10a成等比数列.1.求数列{}na的通项公式;2.若21 42440nn nn nba a+++=⋅,求数列{}nb的前n项和nT.20.在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,平面PAB⊥平面ABCD,3AB AP==,2AD PB==,E为线段AB上一点,且:7:2AE EB=,点F、G、M 分别为线段PA、PD、BC的中点.1.求证:PE⊥平面ABCD;2.若平面EFG与直线CD交于点N,求二面角P MN A--的余弦值.21.已知椭圆C :()222211x y a b a b +=>>的焦距为2,过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为4π3,过椭圆C 的右焦点作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,线段AB 的中点为P . (1).求椭圆C 的标准方程;(2).过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ,且DP 求k 的值. 22.已知函数()()()()2ln ln 1?f x ax x x x a R =--+∈.1.若2ln ax x >,求证:()2ln 1f x ax x ≥-+;2.若0(0,)x ∃∈+∞,()200001ln ln f x x x x =+-,求a 的最大值;3.求证:当12x <<时,()()2f x ax ax >-.参考答案1.答案：A 解析：2.答案：A 解析：3.答案：C 解析：4.答案：B 解析：5.答案：B 解析：6.答案：D 解析：7.答案：C解析：初如值11,1n i ==,2,13i n ==,不满足模3余2.4,17, i n ==满足模3余2, 不满足模5余1.8,25i n ==,不满足模3余2,16,41i n ==,满足模3余2, 满足模5余1.输出16i =.选C 。
2020届河北省邢台市高三联考数学(理)试卷参考答案
②摇控车先到第n-1格,抛掷骰子正面向上不出现6点,其概率为 ,
故 , ,故1≤n≤49时,Pn-Pn-1是首项为 ,公比为 的等比数列,故 ,…9分
Pn＝P0＋（P1-P0）＋（P2-P1）＋…＋（Pn-Pn-1）
,
, ,
故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大,对意向客户有吸引力．…12分
所以 ,解得 ,
所以不等式 的解集为 ．…5分
（2）由题可得 ,
因为函数 的图象与 轴恰好围成一个直角三角形,
所以 ,解得 ,当 时, ,函数 的图象与 轴没有交点,不符合题意.…10分
2020届河北省邢台市高三联考数学（理）试卷
18．
（1）证明：设 是 中点,连结 、 、 ,在 中, , ,
四边形 是菱形, , 是等边三角形, ,
是二面角 的平面角,在 中, , ,
, ,又 , , , 平面 平面 ．…5分
（2）由（1）知 、 、 两两垂直,以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系,则 , , , ,0, , , , ,
22．解：
（1）将 代入 ,可得 ,
所以曲线 的直角坐标方程为 ．由 可得 ,
将 , 代入上式,可得 ,
整理可得 ,所以曲线 的参数方程为 为参数 ．…5分
（2）由题可设 , , ,
所以 , ,
,
所以
,
所以当 ,即 时,l取得最大值为 ,
所以 的周长 的最大值为 ．…10分
23．解：
（1）当 时, ,由 可得 ,
（2）由已知直线 的斜率存在且不为0,设其方程为 ．
由 ,得 ．
△ ,设 , 、 , ,
2020年河北省邢台一中高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年河北省邢台一中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={2, 3, 6, 8}，，则M∩N中元素的个数为()A. 1B. 2C. 5D. 72.设复数z满足z(1+i)=2，则z在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知双曲线C与双曲线D：x24−y2=1有公共的渐近线，且焦距为2√10，则C的实轴长为()A. 2√2或4√2B. 2√2或6√2C. 4√2D. 84.如图是2017年1−11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是()A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C. 92#汽油与95#汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S10=10，S20=30，则S30=()A. 60B. 70C. 80D. 906.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB>90°的概率为()A. π8B. 1−π8C. π4D. 1−π47.根据流程图，输出的值是()A. 1261009B. 2521009C. 5041009D. 100810098. 如图，在△OAB 中，点P 在边AB 上，且APPB =32，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 25OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +35OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −25OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 25OA ⃗⃗⃗⃗⃗−35OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 9. 埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为( )A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米10. 设函数f (x )=cos (2x −2π3)+sin (2x −3π2)，将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若g (x )为偶函数，则φ的最小值是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π611. 在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [12,2]B. [0,32]C. [12,32]D. [0,1]12. 已知函数f (x )满足f (x )=f (3x )，当x ∈[1,3),f (x )=lnx ，若在区间[1,9)内，函数g (x )=f (x )−ax 有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( )A. (ln33,1e )B. (ln39,13e )C. (ln39,12e )D. (ln39,ln33)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=−x 3+mx +2，g(x)=2x 2−nx ，且曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线与曲线y =g(x)在点(1,g(1))处的切线平行，若m 、n 均为正数，则2m +4n 的最小值为_____． 14. 已知等差数列{a n }中，a 2=7，a 4=15，则前10项和S 10=________．15.为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种(用数字作答)16.三棱锥A−BCD中，底面BCD与ABC均为边长为√3的等边三角形，且平面BCD与平面ABC所成角为2π则三棱锥的外接球表面积为 __________3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+√3cos2A=√3．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若b=2√3，△ABC的面积为√3，求a+b+c的值．bcosC+ccosB18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，ED//FC，CB=CD=CF．(1)求证：AD⊥BE；(2)求二面角F −BD −C 的余弦值．19. 在平面直角坐标系中，点P 是直线l:x =−1上的动点，定点F(1,0), 点Q 为PF 的中点，动点M满足MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)． (1)求点M 的轨迹C 的方程(2)过点F 的直线交轨迹C 于A,B 两点，T 为C 上任意一点，直线TA,TB 交l 于C,D 两点，以CD 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由。
【精准解析】河北省邢台市2020届高三高考模拟数学(理)试题+Word版含解析
2020年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.若2z i =+，则z zz z-=（ ） A.85i B.2455i - C. 85i -D.2455i + 【答案】A 【解析】 【分析】求出共轭复数2z i =-，根据复数运算法则()()2222222224i i z z i i z z i i i +--+--=-=-+-即可得解.【详解】2z i =+，2z i =-，()()222222282245i i z z i i i z z i i i +--+--=-==-+-.故选：A【点睛】此题考查复数的概念辨析和基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则求解.2.已知集合(){}2lg 10A x x x =-->，{}03B x x =<<，则A B =I （ ） A. {}01x x << B. {}{}10x x x x <-⋃> C. {}23x x << D. {}{}0123x x x x <<⋃<<【答案】C 【解析】 【分析】根据对数不等式解法求出解集得到A ，根据交集运算即可得解. 【详解】(){}{}22lg 1011A x x x x x x =-->=-->()(){}()()210,12,x x x =-+>=-∞-+∞U ，{}03B x x =<<所以A B =I {}23x x <<【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于准确求解对数型不等式和一元二次不等式.3.设非零向量a r ，b r 满足3a b =v v，1cos ,3a b =r r ，()16a a b ⋅-=r r r ，则b =v （ ）A.2B.3 C. 2D.5【答案】A 【解析】 【分析】由()16a a b ⋅-=r r r 可得()0⋅-=r r ra ab ，利用数量积的运算性质结合条件可得答案.【详解】||3||a b =r rQ ，1cos ,3a b 〈〉=r r .2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==r r r r r r r r r ，||2b ∴=r.故选：A【点睛】本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，几何体1ABCDEC 的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】根据侧视图和俯视图特征判定几何体，找出正投影，即可得解.【详解】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中1AED BCC -， 正投影为1EDCC ，ABE 与1EBC 不在同一平面， 所以正视图为A 选项的图形. 故选：A【点睛】此题考查三视图的识别，关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图，易错点在于对几何体的棱BE 考虑不准确.5.设双曲线2213y x -=，22125x y -=，22127y x -=的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A. 321e e e <<B. 312e e e <<C. 123e e e <<D.213e e e <<【答案】D 【解析】 【分析】已知双曲线标准方程，根据离心率的公式，直接分别算出1e ，2e ，3e ，即可得出结论.【详解】对于双曲线2213y x -=，可得222221,3,4a b c a b ===+=，则22124c e a==，对于双曲线22125x y -=，得222222,5,7a b c a b ===+=，则222272c e a ==，对于双曲线22271x y -=，得222222,7,9a b c a b ===+=，则223292c e a ==，可得出，221322e e e <<，所以213e e e <<. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和离心率，属于基础题. 6.若24log log 1x y +=，则2x y +的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件有24(0,0)xy x y =>>，利用均值不等式有24x y +=…可得到答案.【详解】因为()2224444log log log log log 1+=+==x y x y x y ， 所以24(0,0)xy x y =>>，则24x y +=…，当且仅当22x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为4. 故选：C【点睛】本题考查对数的运算性质和利用均值不等式求最值，属于中档题.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即10CD =尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC θ=∠，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2tan 23θ=；④17tan 47πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BC 的值，可得tan BCAB θ=，再利用二倍角的正切公式求得tan 2θ，利用两角和的正切公式求得tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】设BC x =，则1AC x =+， ∵5AB =，∴2225(1)x x +=+，∴12x =. 即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴12tan 5BC AB θ==，由2θ2tan2tan θθ1tan 2=-，解得2tan 23θ=（负根舍去）. ∵12tan 5θ=，∴1tan 17tan 41tan 7πθθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭. 故正确结论的编号为①③④. 故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.8.在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（ ） A. 420 B. 766 C. 1080 D. 1176【答案】D 【解析】【分析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.【详解】一等奖两个名额，一共222220668132C C C C ---=种， 一等奖三个名额，一共3333206681044C C C C ---=种，所以一等奖人选的所有可能的种数为1176. 故选：D【点睛】此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解.9.已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. 曲线()y f x =关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()f x 的最大值为2 D. 曲线()y f x =关于6x π=对称【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数的性质逐一判断.【详解】()1sin 2sin 22226f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则T π=. ()f x当6x π=时，2666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =关于6x π=对称，当3x π=时，23306f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题. 10.函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】将原题转化为求方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当0x >时方程的根的个数，根据对称性即可得解.【详解】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞U 的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解. 11.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱A 1B 1上一点，且AB ＝2，若二面角B 1﹣BC 1﹣E 为45°，则四面体BB 1C 1E 的外接球的表面积为（ ） A.172π B. 12π C. 9π D. 10π【答案】D 【解析】 【分析】连接1B C 交1BC 于O ，可得11B O BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得：1BC ⊥平面1B OE ，于是1BC EO ⊥，可得而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，再求出四面体11BB C E 的外接球半径R ，进而利用球的表面积计算公式得出结论．【详解】连接1B C 交1BC 于O ，则11B O BC ⊥， 易知111A B BC ⊥，则1BC ⊥平面1B OE ， 所以1BC EO ⊥，从而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，则145B OE ∠=o.因为2AB =，所以112B E BO == 所以四面体11BB C E 的外接球半径244102R ++==． 故四面体BB 1C 1E 的外接球的表面积为22444(10ππ++=． 故选：D【点睛】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12.若曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为（ ） A. 427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.4271,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 曲线()11xm y xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线⇔函数()11x m y xe x x =+<-+存在两个极值点⇔()()'2101xmy x e x =+-=+在(),1-∞-上有两个解，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两异根，令()()()311x f x x e x =+<-，利用导数法可求得()f x 的值域，从而可得m 的取值范围. 【详解】解：∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点， 又()()'2101x my x e x =+-=+，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解，设()()()311x f x x e x =+<-，()()()2'14x f x x e x =++， 当4x <-时，()'0fx <；当41x -≤<-时，()'0f x >，所以()()4min 274f x f e =-=-， 又当x →-∞时，()0f x →，当1x →-时，()0f x →， 故427,0m e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若x ，y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则yz x =的取值范围为________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】作出可行域，yzx=几何意义为可行域内的点(),x y与点()0,0连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域，如图所示，则131232OAz kyx≥===，故z的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.14.某工厂共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况.由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为___________.若将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过_________分钟后，所有工人都完成组装任务.（本题第一空2分，第二空3分）【答案】(1). 3.3；(2). 33.14【解析】【分析】①根据工时从小到大依次分析得出工时3.4人数16，工时3.5人数8，工时3.3人数12，即可得到中位数；②计算出工时平均数即可得解.【详解】①根据散点图：工时3.0人数3，工时3.1人数5，工时3.2人数6，工时3.3人数12，工时3.4人数16，工时3.5人数8，所以工时的中位数为3.3； ②将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装， 至少需要时间：3561216810 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.533.14505050505050⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：①3.3；②33.14【点睛】此题考查求平均数和中位数，关键在于准确读懂题意，根据公式计算求解. 15.设,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边．已知3A π=，1b =且22222(sin 4sin )8(sin sin sin )A B c B C A +=+-，则a = _____．【答案】2 【解析】 【分析】首先利用正弦定理的角化边得到22222(4)8()a b c b c a +=+-，再根据余弦定理即可得到22442a b +=，解方程即可. 【详解】因为22222(sin 4sin )8(sin sin sin )A B c B C A +=+- 所以22222(4)8()a b c b c a +=+-又因为1b =，所以22222(4)8()a b bc b c a +=+-22222488cos 422a b b c a A bc ++-=⨯== 即22442a b +=，解得2a =故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．16.设()()2,02,0A B -，，若直线()0y ax a =>上存在一点P 满足||||6PA PB +=，且PAB △的内心到x ，则a =___________.【解析】 【分析】由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点,直线方程与椭圆方程联立可得2224595a y a =+，由PAB△的内心到x 轴的距离为20，即PAB △的内切圆的半径20r =，由等面积法可求出参数a 的值. 【详解】点P 满足||||6PA PB +=,则点P 在椭圆22195x y+=上.由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点.联立y ax =与22195x y +=，消去y 得224595x a =+，则2224595a y a =+.因为APB △的内心到x 轴的距离为20，所以PAB △的内切圆的半径20r =. 所以APB △的面积为11||||(||||||)22AB y r AB PA PB ⨯⨯=⨯⨯++，即222254552527||,2954440a y r y r a ====⨯+，解得23a =，又0a >，则a =【点睛】本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等差数列{a n ﹣b n }的公差为2，等比数列{a n +b n }的公比为2，且a 1＝2，b 1＝1．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{2a n +2n }的前n 项和S n ． 【答案】（1）21(21)322n n a n -=-+⨯，（2）2525nn S n =+⨯- 【解析】 【分析】（1）111a b -=，113a b +=，，可得21n n a b n -=-，132n n n a b -+=⨯，联立即可解得n a .（2）122(21)52n n n a n -+=-+⨯，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出n S .【详解】（1）111a b -=，113a b +=，∴12(1)21n n a b n n -=+-=-，132n n n a b -+=⨯.联立解得：21(21)322n n a n -=-+⨯. （2）1122(21)322(21)52n n n n n a n n --+=-+⨯+=-+⨯ ∴数列{22}nn a +的前n 项和2(211)125525212nn n n n S n -+-=+⨯=+⨯--.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，同时考查了分组求和，考查了学生推理能力与计算能力，属于简单题．18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元.（1）设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由. 【答案】（1）详见解析（2）应该选择人工检验，详见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，工人抽查的4个零件中，分别计算出4个都是正品或者都是次品，4个不全是次品的人工费用，得出X 的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出X 的分布列；（2）由（1）求出X 的数学期望EX ，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比较即可得出结论.【详解】解：（1）由题可知，工人抽查的4个零件中，当4个都是正品或者都是次品，则人工检验总费用为：248⨯=元， 当4个不全是次品时，人工检验总费用都为：426220⨯+⨯=元， 所以X 的可能取值为8，20，44(8)0.80.20.4112P X ==+=，(20)10.41120.5888P X ==-=，则X 的分布列为（2）由（1）知，80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为100015065.6EX =元， 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元， 且1600015065.6>， 所以应该选择人工检验.【点睛】本题考查离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，属于基础题.19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】 【分析】（1）通过证明BE ⊥平面APC ，得到BE PO ⊥，再证PO AC ⊥即可证得PO ⊥平面ABCD . （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值.【详解】（1）证明：AP ⊥Q 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC Q 12BC AD =，E Q 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥Q 12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A =I BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂Q 平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥Q 平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，Q O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,AC BE O =I PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示不妨设1OB =，则(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -, 则(1,1,0),BC =-u u u r (1,0,1),PB =-u u u r (2,1,1)PD =--u u u r. 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =r.设BC 与平面PBD 所成角为θ，则()2222211310122sin cos ,1113111BC n θ-⨯+⨯+⨯=<>==++-+u u u r r. 【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题. 20.已知函数3()f x x ax =+.（1）讨论()f x 在(),a +∞上的单调性；（2）若3a ≥-，求不等式()()2624224361282f x x x x x a x -+<+++++的解集.【答案】（1）当0a ≥时，()0f x '…，则()f x 在(),a +∞上单调递增; 当13a =-时,()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭;当13a <-时()f x 的单调递减区间为,33a a ⎛--- ⎝，单调递增区间为,3a a ⎛- ⎝，,3a ⎫-+∞⎪⎪⎭;当103-<<a 时()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭；（2）(22. 【解析】 【分析】（1）2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <讨论得出函数()f x 的单调性.(2) 原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+,又222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，当3a ≥-时，22()333f x x a x '=+≥-，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，从而可得出答案.【详解】（1）2()3f x x a '=+.当0a ≥时，()0f x '…，则()f x 在(),a +∞上单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得x =（i ）当13a =-时，a =， 令()0f x '<，得1133x -<<；令()0f x '>，得13x >.所以()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭.（ii ）当13a <-时，a >，令()0f x '<，得x -<；令()0f x '>，得a x <<x >所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭.（iii ）当103-<<a 时，a <，令()0f x '<，得a x <<()0f x '>，得x所以()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭. （2）因为3a ≥-，所以22()333f x x a x '=+≥-，当1x ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.因为()()()()3642222261282222x x x a x x a x f x +++++=+++=+，所以原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+.因为222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，所以222432x x x -+<+，解得22x <+(22+.【点睛】本题考查讨论函数的单调性和根据函数的单调性解不等式，属于中档题. 21.已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点． （1）若l 过点F ，抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G ．证明：点G 在定直线上．（2）若p ＝2，点M 在曲线y =MP ，MQ 的中点均在抛物线C 上，求△MPQ 面积的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）4⎡⎢⎣ 【解析】 【分析】（1）设211(),2x P x p ，222(),2x Q x p，根据条件分别求出直线PG 的方程，QG 的方程，联立可得()()1212122x x x x x x y p--=，化简得到点G 在定直线2py =-上．（2）设00(,)M x y ，表示出MPQV 面积32212001(4)24S MN x x x y =⋅-=-．结合M在曲线y【详解】（1）证明：易知(0,)2pF ，设211(),2x P x p ，222(),2x Q x p ． 由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为2py kx =+． 由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x pkx p --=，所以212x x p =-．由22x py =，得22x y p =，'x y p =，则1PG x k p=，直线PG 的方程为()21112y x x p x x p -=-，即21102x x x y p p--=①. 同理可得直线QG 的方程为22202x x x y p p--=②. 联立①②，可得121212()()2x x x x x x y p--=．因为12x x ≠，所以1222x x py p ==-，故点G 在定直线2p y =-上．（2）设00(,)M x y ，MP ，MQ 的中点分别为210104()22x y x x ++,，22204(,)22x y x x ++． 因为MP ，MQ 得中点均在抛物线上，所以1x ，2x 为方程2204()422x y x x ++=⨯的解，即方程22000280xx x y x -+-=的两个不同的实根，则1202x x x +=，212008x x y x =-，22000(2)4(8)0x y x ∆=-->，即2004x y >，所以PQ 的中点N 的横坐标为0x ，纵坐标为22121()8x x +.则22221201212000113()()23884MN x x y x x x x y x y ⎡⎤=+-=+--=-⎣⎦，12x x -==，所以MPQ V的面积32212001(4)24S MN x x x y =⋅-=-．由0y =，得()22000110x y y =--≤≤，所以22200000441(2)5x y y y y -=--+=-++， 因为010y -≤≤，所以201(2)54y ≤-++≤，所以MPQ V面积的取值范围为[4． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合理利用根与系数关系是关键，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值．【答案】（1）4cos 2sin ρθθ=-（2）5【解析】 【分析】（1）先将21x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ==，可得极坐标方程；（2）先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值. 【详解】解：（1）由21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=， 即2242x y x y +=-，所以24cos 2sin ρρθρθ=-， 即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-.（2）因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-，故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）. 将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=， 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>， 所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+===， 故11PA PB +的最大值为5. 【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.[选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()32f x x kx =--.（1）若1k =，求不等式()31f x x ≤-的解集；（2）设函数()f x 的图象与x 轴围成的封闭区域为Ω，证明：当23k <<时，Ω的面积大于1615. 【答案】（1）{}1x x ≥-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对不等式进行零点分段讨论求解；（2）求出函数与x 轴交点坐标，表示出三角形面积，根据23k <<求得面积即可得证.【详解】（1）若1k =，不等式()31f x x ≤-即：3231x x x --≤- 32310x x x ----≤， 当23x <时，23330,1x x x x -+--≤≥-，得213x -≤<， 当213x ≤≤时，32330,1x x x x -+--≤≤，得213x ≤≤， 当1x >时，32330,1x x x x --+-≤≥，得1x >，综上所述：1x ≥-即：不等式()31f x x ≤-的解集为{}1x x ≥-； （2）()()()232,332232,3k x x f x x kx k x x ⎧-->⎪⎪=--=⎨⎪--+≤⎪⎩， 该函数图象与x 轴围成的封闭区域为三角形， 其三个顶点为2222,,,0,,03333k A B C k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 23k <<，249k <<该三角形面积：12222333k S k k ⎛⎫=-⋅ ⎪-+⎝⎭ 22439k k=⨯- 2249939k k -+=⨯-2494916113939415k ⎛⎫⎛⎫=-+>⨯-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以原命题得证.【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.。
2020年河北省邢台市高考数学模拟试卷(理科)(2月份)
2020年河北省邢台市高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的1. (5 分)若 z 2 i ,则--( )z zA 8.m 24.8. 2 4. A . - iB .i Ci D .i 55 555 52. （ 5分）已知集合A {x|lg(x 2x 1)0}, B {x|0 x3}，则 A I B ( )A . {x|0 x 1}B .{x|x 1}U {x|x 0}C . {x|2 x 3}D .{x|0x 1}U {x|2 x 3}rr3. ( 5分)设非零向量a , b 满足|a 1 3|b | , )A . 2B . 3C . 2D . .54. （ 5分）如图，在正方体 ABCD AB -C -D -中，E 为DD -的中点，几何体 ABCDEC -的侧视 图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ）ra1 r r rr-,ag ：a b) 16，则 |b | ( 3B . 23（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问 题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?6. （5分）设双曲线(5 分)若 log 2 x 2 2 2 2 2 x 2y 存 y . y X3込青1诗亍1的离心率分别为D . e 2©e32log 4 y 1，则x y 的最小值为（C . 47.其意思为“今有水池1丈见方（即CD 10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为其中所有正确结论的编号是 （）& （5分）在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手 选手8人，一等奖规定至少 2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色,则一等奖人选的所有可能的种数为2 210 . (5 分)函数 f (x) |lgx | x尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示） •试问水深、芦苇的长度各是多少?假设BAC ，现有下①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan-22 ;④ tan(—) 17A .①③B .①③④C .①④D .②③④6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤 A . 420 B . 766C . 1080D . 11769. ( 5分)已知函数 f(x) sin2xsin(2x -)，则(A . f （x ）的最小正周期为2B .曲线yf(x)关于(-,0)对称3C . f （x ）的最大值为2D .曲线y f(x)关于x6对称2|x|的零点的个数为（11. （ 5分）在正方体 ABCD ARCQ !中，E 为棱人占上一点，且 AB 2，若二面角 B BG E 为45，则四面体BBQ^的外接球的表面积为（）某工厂共有50位工人组装某种零件•如图的散点图反映了工人们组装每个零件.若将500个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同时开始组2,0） , B （2,0），若直线 y ax （a 0）上存在一点 P 满足 | PA| | PB | 6 , x 轴的距离为鼻卫0，则a. 20三、解答题：本大题共 5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第22, 23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （ 12分）设等差数列｛a n b n ｝的公差为2,等比数列｛a n 0｝的公比为2,且d 2 ,b 1 . （1）求数列｛a .｝的通项公式; （2）求数列｛2 a n 2n ｝的前n 项和S .17 A . 2 12 C . 91012.（ 5分）若曲线 xxemC (x1）存在两条垂直于y 轴的切线，m 的取值范围为（27 [4， e0)C . ( J 7 ,)27 (1, 4 ) e二、填空题：本大题共 4小题，每小题20分.把答案填在答题卡的相应位置13. (5 分)x 若x , y 满足约束条件x y y..・2y, 1 ,2z -的取值范围为x14. (5 分) 所用的工时 （单位：分钟）与人数的分布情况•由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为 分钟后，所有工人都完成组装任务. ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知A 护1，且2 2(sin A 4sin B)c2 28(sin B sin C2小rsin A)，贝U a16. (5 分)设 A( 且PAB 的内心到 装，则至少要过15. （5分）设a , b , c 分别为。
河北省2020 届高三第一次诊断考试
23 2π- 33 2π- 2 33 π- 32⎣ 河北省2020 届高三第一次诊断考试数学（理科）试题2019.10.18（满分：150 分，测试时间：120 分钟）第I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． i 是虚数单位， z =4i1- i则| z |= A 2 B 2 C 4D 4 2．集合 A = {x | 2 lg x < 1}， B = {x | x2- 9 ≤ 0} ，则 A B =A [-3, 3]B (0, 10)C (0,3]D ⎡-3, 10)3 ．已知向量 a = 2 ， b = 1， a (a - 2b ) = 2 ，则 a 与b 的夹角为A 30oB 60oC 90oD 150o4. 如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自 等边三角形内的概率是ABCD5. 已知圆 x2+ y 2 = r 2 (r > 0) 与抛物线 y 2 = 2x 交于 A , B 两点，与抛物线的准线交于C , D 两点，若四边形 ABCD 是矩形，则 r 等于A2 26. 函数 y =B C5 D 21的图象大致为x - ln(x +1)A B C D23 4π- 2 35n ) 7. 若 p > 1， 0 < m < n < 1，则下列不等式正确的是⎛ m ⎫ pA ⎪ > 1 ⎝ ⎭Bp - m < m p - n nCm - p< n - pDlog m p > log n p8. 已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为A23C9 + 3 2B3 +D 29．函数 f (x ) 的定义域为 R ，且 f (x ) = f (x - 3) ，当-2 ≤ x < 0 时，f (x ) = (x +1)2 ；当0 ≤ x < 1时， f (x ) = -2x +1，则 f (1) + f (2) + f (3) + + f (2018) =A 671B 673C 1343D 134510. 如图所示，直三棱柱的高为 4，底面边长分别是 5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为 8，则球的体积为A160 5πB64 2π 3 3C 96 3π D256 2π 3311. 函数 f (x ) = sin ωx + 3 cos ωx (ω> 0) 与函数 y = g (x ) 的图像关于点⎛ π, 0 ⎫对称，且 3 ⎪ ⎝ ⎭g (x ) = f (x - π，则ω的最小值等于 3A 1B 2C 3D 412. 已知函数 f (x ) = ex(x -1) ，若关于 x 的方程| f (x ) - a | + | f (x ) - a -1|= 1有且仅有两个不同的整数解，则实数 a 的取值范围是A [- 2 -1, - 3e e 2-1)B [- 2 , - 3e e 2C [-1, - 2]eD [0, e 2 ]33⎨ ⎩第II 卷（共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。
河北省邢台市2022届高三数学第一次模拟考试 理
河北省邢台市2022年高三第一次模拟考试数学试题（理科）说明： 1．本试卷共4页，包括三道大题，22小题，共150分。
其中第一道大题为选择题。
2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。
答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。
4．考试结束后，请将本试卷与答案卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 24R S π=343V R π=kn kk n n P P C k P --=)1()(()1iZ i i=-为虚数单位33(sin,cos )44P ππθ落在角tan θ3-32{|340},{||3|4}()R A x x x B x x A C B =-->=->则(4,7][7,1)--(,1)(7,)-∞-⋃+∞a a b ⊥()()()f x xa b xb a =+⋅-αβγαβγαβγ122331()y f x =1()()y f x y f x -==是函数1(2)f x -+824y x =3x =21{}0,n a d a ≠的公差且39S S 16132154151C22EF =1C|lg |010()13105x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩()()()f a f b f c ==4(,)1x y x y y xx +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足22:14C x y +=2625(3)nn a x 是2323333(2),lim ()nn nn a a a →+∞≥+++则22193x y -=、N ，则△PMN 的面积为 。
15．某射击游戏规定每击中目标一次得20分，游客甲每次击中目标的概率均为23，则他射5次得60分且恰有一次两连中的概率为 。
（以最简分数作答） 16．已知有下列四个命题：①函数2()2(,0)xf x x =--∞在是增函数；②若()f x 在R 上恒有(2)()1,4()f x f x f x +⋅=则为的一个周期； ③函数22cos sin 2y x x =+的最小值为21+； ④对任意实数a 、b 、、，都有2222ax by a b x y +≤+⋅+；则以上命题正确的是 。
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2020届河北省邢台市高三第一次摸底考试高三数学试卷(理科)★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若21i z i-=+，则z z += A.－1 B.1 C.－3 D.32.设集合2{},{32}A x x a B x x a =>=<-，若AB φ=，则a 的取值范围为 A.(1，2) B.(,1)(2,)-∞+∞ C.[1，2] D.(,1][2,)-∞+∞3.若曲线sin(4)(02)y x ϕϕπ=+<<关于点(,0)12π对称，则ϕ=A.23π或53πB. 3π或43πC. 56π或116πD. 6π或76π 4.若x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是 A.2x －2y >x 2 B.x y 1222log (1+x)->C. 2y －2x >x 2D. y x1222log (1+x)->2x －2y >x 25.如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =A.AC AD -B.22AC AD -C.AD AC -D.22AD AC -6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。
例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC =些信息，可得sin234°＝B.=C.-D.7.若函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩在(－∞，a]上的最大值为4，则a 的取值范围为 A.[0，17] B.(－ ∞，17 ] C. [1，17] D. [1，＋∞)8.如图，图C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点A (2，15)，则圆C 的半径为A. B.8 C. D.109.为了配平化学方程式22232aFeS bO cFe O dSO ++点燃＝＝，某人设计了一个如图所示的程序框图，则①②③处应分别填入A.32,,23c d a c b c c +===+ B.32,,13c d a c b c c +===+ C.322,,22c d a c b c c +===+ D.322,,12c d a c b c c +===+ 10.2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡。
6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍然留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元(不含过塑费)，且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元。
若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分)，则每名老党员需要支付的照片费为A. 20.5元B.21元C.21.5元D.22元11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为AA 1、BC 、C 1D 1的中点，现有下面三个结论：①△EFG 为正三角形；②异面直线A 1G 与C 1F 所成角为60°；③AC ∥平面EFG 。
其中所有正确结论的编号是A.①B.②③C.①②D.①③12.函数31()(3)2x f x x x e x =---在区间[－3，2)∪(2，3]上的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13.随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活。
网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为 ▲14.设a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边。
已知asinA ＝2bcosAcosC ＋2ccosAcosB ，则tanA ＝ ▲15.已知直线y ＝a 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 在左、右顶点分别为A 1、A 2，若212PA A =，则双曲线C 的离心率为 ▲ 16.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥AC ，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且CD ＋PD ＝3，若四棱锥P －ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为 ▲ ；当四棱锥P －ABCD 的体积取得最大值时，二面角A －PC －D 的正切值为 ▲ (本题第一空2分，第二空3分)三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)在公差为d 的等差数列{a n }中，a 1d ＝6，a ∈N ，d ∈N ，且a 1>d 。
(1)求{a n }的通项公式；(2)若a 1、a 4、a 13成等比数列，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n 。
18.(12分)如图，在三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为菱形，D 为AB 的中点，△ABC 为等腰三角形，∠ACB ＝2π，∠ABB 1＝3π，且AB ＝B 1C 。
(1)证明：CD ⊥平面ABB 1A ；(2)求CD 与平面A 1BC 所成角的正弦值。
19.(12分)某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49)。
(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90)内的概率；(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90。
从这12个数据中随机选取4个，记X 表示大于总体平均分的个数，求X 的方差。
参考数据：若Y ～N(2,μσ)，则()0.6827P Y μσμσ-<<+=， (22)0.9545,(33)0.9973P Y P Y μσμσμσμσ-<<+=-<<+=20.(12分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的长轴长为，焦距为2，抛物线M ：y 2＝2px(p>0)的准线经过C 的左焦点F 。
(1)求C 与M 的方程；(2)直线l 经过C 的上顶点且l 与M 交于P 、Q 两点，直线FP 、PQ 与M 分别交于点D(异于点P)，E(异于点Q)，证明：直线DE 的斜率为定值。
21.(12分) 已知函数2211()(2ln 1)(ln 2)42f x x x ax x x =----。
(1)讨论了()f x 的单调性；(2)试问是否存在(,]a e ∈-∞，使得1()3sin 44a f x π>+对[1,)x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 232ρθ=，(0)2πθ<<。
(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知β为锐角，直线l ：θ＝β()R ρ∈与曲线C 的交点为A(异于极点)，l 与曲线M 的交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)已知a 、b 、c 为正数，且满足a ＋b ＋c ＝3。
(1)3≤；(2)证明：9412ab bc ac abc ++≥。
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