运城学院数学分析期末试题2-8

运城学院应用数学系

2008—2009学年第二学期期末考试

《数学分析2》 试题(A)

适用范围：数学与应用数学0801\02班 命题人：杨建雅、常敏慧

信息与计算科学0803班 审核人：

一、填空题（10小题，每题2分，共20分）

1、数集()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

+-n n 11有 个聚点. 2、()()='⎰dx x e x ϕϕ .

3、函数()x f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε，总存在相应的一个分割T ， 使得 .

4、瑕积分()()0>-⎰p a x dx b

a p

当 时收敛. 5、级数∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n 的和为 . 6、()()0sup lim =-∈∞→x f x f n D

x n 是函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的 条件. 7、幂级数∑n nx 的收敛区间为 .

8、开区间()b a ,的全体聚点的集合是 .

9、⎰2

0sin π

dx x x 2

π. 10、已知()dt e x x

t ⎰=Φ02

，则()=Φ'x . 二、判断题（10小题，每题2分，共20分）

1、开区间集合⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ,2,11,11n n 构成了开区间()1,0的一个开覆盖.（ ）

2、设平面曲线C 的参数方程为()()[]βα,,,∈==t t y y t x x ，称C 为一条光滑曲线是指()()022≠'+'t y t x .（ ）

3、若函数f 在[]b a ,上只有有限个间断点，则函数f 在[]b a ,上可积.（ ）

4、在级数的项中任意加括号后所得级数收敛，则原级数也收敛.（ ）

5、级数∑∞=0n n x

在区间[]()10,<<-a a a 上一致收敛.（ ）

6、点ξ是点集S 的聚点的充要条件是存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，使得ξ=∞

→n n x lim .（ ） 7、若f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上也可积.（ ）

8、设()()⎪⎩⎪⎨⎧=>==内的无理数，

以及互素，、101,0,0,,1x p q q p q p x q x f ，则()010=⎰dx x f .（ ） 9、若()dx x f a ⎰∞

+收敛，则()0lim =+∞

→x f x .（ ） 10、设函数项级数()x u n ∑在闭区间[]b a ,上收敛于()x f ，且每一项()x u n

都在闭区间[]b a ,上连续，()x f 在闭区间[]b a ,上可积，则()()dx x u dx x u b a n b a n ⎰∑∑⎰=.（ ）

三、计算下列积分（4小题，每题5分，共20分）

1、⎰⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+-+-+dx x x x x 1111； 2、⎰+x dx cos 1； 3、dx x x ⎰3ln ； 4、dx e x ⎰10；

四、解下列各题（4小题，每题7分，共28分）

1、求极限 ()!1lim

1++∞→n x n n ；

2、求极限 ()()

()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→22212111lim n n n n n n ； 3、求幂级数 +++++n nx x x x 3232的和函数()()1,1-∈x ；

4、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米.计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力(水的比重为ρ).

五、证明题（2小题，每题6分，共12分）

（1）设f 在[]b a ,上连续，且()x f 不恒等于零，证明

()()02>⎰dx x f b a ； （2）设 ,2,1,0=≥n a n ，且{}n na 有界，证明∑2n a 收敛.