网孔电流法和节点电压法例题分析

课题8：支路电流法、网孔电流法和节点电压法课 型：讲授教学目的 ：（1） 利用支路电流法求解复杂直流电路（2） 利用网孔电流法求解支路数目较多的电路。

（3） 利用节点电压法求解节点较少而网孔较多的电路重点、难点：重点：支路电流法、网孔电流法、节点电压法求解复杂直流电路难点：列方程过程中电压、电流参考方向及符号的确定。

教学分析：本节主要还是在巩固基尔霍夫定律的基础上，利用实例分析支路电流法、网孔电流法、节点电压法并将其用于实践案例中。

复习、提问：（1） 节点的概念和判别？（2） 网孔的概念和判别？教学过程：导入：求解复杂电路的方法有多种，我们可以根据不同电路特点，选用不同的方法去求解。

其中最基本、最直观、手工求解最常用的就是支路电流法。

一、支路电流法利用支路电流法解题的步骤：（1）任意标定各支路电流的参考方向和网孔绕行方向。

（2）用基尔霍夫电流定律列出节点电流方程。

有n个节点，就可以列出n-1个独立电流方程。

（3）用基尔霍夫电压定律列出L=b-（n-1）个网孔方程。

说明：L指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。

（4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。

例1试用支路电流法求图1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流I及每台发电机的输出电流I1、和I2。

已知：R1=1Ω，R2=0.6Ω，R=24Ω，E1=130V，E2=117V。

解：（1）假设各支路电流的参考方向和网孔绕行方向如图示。

图1（2）根据KCL，列节点电流方程该电路有A、B两个节点，故只能列一个节点电流方程。

对于节点A有：I1+I2=I ①（3）列网孔电压方程该电路中共有二个网孔，分别对左、右两个网孔列电压方程：I1R1-I2R2+E2-E1=0 ② （沿回路循行方向的电压降之和为零，如果在I R+I2R2-E2=0 ③ 该循行方向上电压升高则取负号）（4）联立方程①②③，代入已知条件，可得：-I1-I2+I=0I1-0.6I2=130-1170.6I2+24I=117解得各支路电流为：I1=10A I2=-5A I=5A从计算结果，可以看出发电机E1输出10A的电流 ，发电机E2输出-5A的电流，负载电流为5A。

由此可以知道：结论：两个电源并联时，并不都是向负载供给电流和功率的，当两电源的电动势相差较大时，就会发生某电源不但不输出功率，反而吸收功率成为负载。

因此，在实际供电系统中，直流电源并联时，应使两电源的电动势相等，内阻应相近。

所以当具有并联电池的设备换电池的时候，要全部同时换新的，而不要一新一旧。

思考：若将例1中的电动势E2、I2极性互换，列出用支路电流法求解I、I1、和I2所需的方程。

从前面的例子可以看出：支路电流法就是通过联立n-1个节点电流方程，L个网孔电压方程（n为节点数，L为网孔数）。

但所需方程的数量取决于需要解决的未知量的多少。

原则上，要求B条支路电流就设B个未知数。

那么有没有特例呢？例2 用支路电流法列出如图2电路中各支路电流的方程。

（已知恒流源I S 所在支路电流是已知的）解：由电路图可见该电路中有一恒流源支路，且其大小是已知的，所以在解题的时候只需要考虑其余两条未知支路的电流即可。

（1）假设流过R1、R2的电流方向及网孔绕行方向如图示。

（2）列节点电流方程：I1+I2= I S（3）列网孔电压方程I2 R2+E-I1 R1=0联立以上两个方程，代入数据即可求得。

图2（象这种具有一个已知支路电流的电路就可以少列一个方程）例3 试用支路电流法求解如图3电路中各支路电流，列出方程。

（P191 9-13题）图3解：各支路电流、网孔绕行方向如图3示。

列KCL、KVL定律，得：I1+I2+10=IE2-I2 R2+ I1 R1- E1=0I R L+I2 R2- E2=0例4 用支路电流法求解电路图4中各支路的电流。

解：可以看出该电路共有6条支路，4个节点，3个网孔。

设定各支路电流和网孔绕行方向如图标示。

（1）根据KCL定律，列节点电流方程（可列三个独立方程） I1+I6=I2I3+I4=I1I4+I6=I5图4（2）根据KVL定律，列出回路电压方程（可立出三个独立的回路电压方程）I1R1-I6R6+I4R4=0I2R2+I5R5+ I6R6 =0- I4R4 - I5R5+I3R3-E=0从该例发现，用支路电流法求解支路数量较多的电路时，所需列的方程数也较多，这就使得求解较为繁杂了。

那么针对这样的电路，有没有什么更适合的方法来求解呢？二、回路（网孔）电流法为了求解方便，我们考虑若以回路电流为未知量，是不是就可以大大减少了方程数量，避免求解繁琐呢？1、回路电流法：在电路中确定出全部独立回路，以回路电流为未知数，根据基尔霍夫电压定律列出含有回路电流的回路电压方程，然后求解出各回路电流，而各支路电流等于该支路内所通过的回路电流的代数和。

2、解题步骤：（以图5为例讲解）图5（1）确定独立回路，并设定回路绕行方向。

独立回路是指每次所选定的回路中至少要包含一条新支路，即其他支路未曾用过的支路。

如图5所示，设定顺时针方向为独立回路电流的绕行方向。

（2）列以回路电流为未知量的回路电压方程。

注意：①若某一电阻上有两个或两个以上独立回路电流流过时，该电阻上的电压必须写成两个或两个以上回路电流与电阻乘积的代数和。

而且要特别注意正、负符号的确定，以自身回路电流方向为准。

即自身回路电流与该电阻的乘积取正，如图5回路A中，R5上的压降为I A R5，取正。

而另一回路电流的方向与自身回路电流方向相同时，取正，相反时取负，如图5回路A中，I A和I C反向，此时I C在R5上的压降为I C R5，取负。

②若回路中含有电压源时，电动势方向和回路电流的绕行方向不一致时（电动势两端电压方向和电流绕行方向一致时），取正；反之取负。

按照以上原则，用回路电流法可列方程：（3）解方程求回路电流将已知数据代入方程，可求得各回路电流I A、I B、I C（4）求各支路电流。

支路电流等于流经该支路的各回路电流的代数和。

此时需注意的是电流方向问题，要以支路电流方向为参考，即若回路电流方向和支路电流方向一致，则取正，相反则取负。

如图5中，各支路电流：（5）进行验算。

验算时，选外围回路列KVL方程验证。

若代入数据，回路电压之和为0，则说明以上数据正确。

根据以上步骤，我们发现一个特点，解题的关键是第一步，确定独立回路，选择新的未曾使用过的独立回路，这个比较容易重复，那么如果我们选择网孔作为独立回路，是不是就不会有这样一个问题了呢？网孔是回路的特例，它是独立的。

网孔之间没有重叠交叉，列方程更加容易，这种方法称为网孔电流法。

下面我们就用网孔电流法来求解电路5中的支路电流。

例5 已知R1=R2= R3=R4= R5=R6=1KΩ，E1=1V，E2=2V，用网孔电流法求解图6电路中各支路电流。

解：（1）确定网孔。

并设定网孔电流的绕行方向。

如图6所示，规定网孔电流方向为顺时针方向。

（2）列以网孔电流为未知量的回路电压方程。

（3）解方程求各网孔电流。

图 6解此方程组得：（4）求支路电流得：（5）验算。

列外围电路电压方程验证。

由上面的例子可以看出，网孔电流法的解题思想，就是用较少的方程求解多支路电路的支路电流。

先以回路电流为未知量，列出以电流为未知量的网孔电压方程，再求解支路电流。

要注意的是，列回路电压方程时，回路电流的方向，要以自身回路电流方向为参考。

电动势的方向也要依据回路电流方向。

然后求解支路电流时，要以支路电流方向为参考。

但是可以发现如果网孔较多的话，同样存在方程数量过多，解题繁琐的问题。

三、节点电压法对于节点较少而网孔较多的电路，用支路电流法和网孔电流法都比较麻烦，方程过多，不易求解。

在这种情况下，如果选取节点电压作为独立变量，可使计算简便得多。

这就是我们要学习的另一种方法——节点电压法。

1、节点电压法解题步骤：（1）选择参考节点，设定参考方向（2）求节点电压U（3）求支路电流例6 电路如图7，求解各支路电流I1、I2、I3、I4。

解：（1）选择参考节点，设定参考方向。

选择电路中B点作为参考点，并设定节点电压为U，其参考方向为由A至B。

（这里也可选择以A点为图7参考点，参考方向由B至A）图7（2）求节点电压U各支路的电流可应用KCL、KVL或欧姆定律得出，即：I1=（E1-U）/ R1I2=（E2-U）/ R2I3=（E3-U）/ R3I4=U/ R4根据KCL定律可得：I1+I2+I3+I4=0将I1、I2、I3、I4的值代入I1+I2+I3+I4=0中得：（E1-U）/ R1+（E2-U）/ R2+（E3-U）/ R3+U/ R4 =0可求得：这就是节点电压计算公式。

式中，分子的各项由电动势E和节点电压U的参考方向确定其正、负号，当E和U的参考方向相同取负号，相反时取正号。

凡是具有两个节点的电路，可直接利用上式计算求出节点电压。

（3）求支路电流。

求出节点电压U后，将U代入电流公式中，即可求出各支路电流。

I1=（E1-U）/ R1I2=（E2-U）/ R2I3=（E3-U）/ R3I4=U/ R4例7 求解图1电路中各支路电流I1、I2、I。

解：设B点为参考点，设定节点电压方向A至B，则A、B两点间电压U为各支路电流为：I1=（E1-U）/ R1=10AI2=（E2-U）/ R2=-5AI=U/ R=5A用节点电压法求解时，同样要注意的是电压方向问题，当电动势方向和电压参考方向相同时取负号，相反时取正号。

课堂小结：1、支路电流法即利用基尔霍夫电流定律列出（n-1）个节点电流方程和利用基尔霍夫电压定律列出L（网孔数）个回路电压方程，再联立解方程组，从而求解出各支路电流的最基本、最直观的一种求解复杂电路的方法。

2、网孔电流法用于求节点支路较多的电路，避免了用支路电流法求解方程过多，带来解题繁杂的问题。

解题方法是先求网孔电流再利用网孔电流求支路电流。

3、节点电压法用于节点较少而网孔较多的电路。

节点电压法求解步骤：选择参考节点，设定参考方向；求节点电压U；求支路电流。

4、支路电流法、网孔电流法、节点电压法三种方法中，列方程时，都要特别注意方向问题。

作 业：见参考书1第190页 9-6（用支路电流法求解） 9-14 9-15。