数学分析 Brouwer 不动点定理

数学分析(二):多元微积分
梅加强副教授
南京大学数学系
内容提要:
内容提要:
Brouwer不动点定理;
内容提要:
Brouwer不动点定理; 鼓包函数与光滑化.
数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.
数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.
在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.
数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.
在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.
下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.
数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.
在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.
下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.
这儿我们要用鼓包函数进行光滑的技巧,以及Gauss-Green公式.
数学中的很多问题经常转化为解方程,解方程往往又转化为求不动点.
在多元函数的微分学中,我们用了压缩映像原理找不动点的方法证明了反函数定理.
下面我们介绍另一种常用的证明不动点的存在性的结果,它对映射的要求没有压缩映射那么高.
这儿我们要用鼓包函数进行光滑的技巧,以及Gauss-Green公式.
定理1(Brouwer不动点定理)
设D为R n中的闭球,ϕ:D→D为连续映射,则ϕ必有不动点.
函数的光滑化
不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.
不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.
在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.
不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.
在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.
引理1
设ψ:D→R n为连续的向量值函数,且当x∈S n−1=∂D时ψ(x)=x,则任给ε>0,存在光滑向量值函数ρ:D→R n,使得
ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <ε,∀x∈D.
不失一般性,我们设D是以原点为中心的单位闭球.
在证明定理之前先做一点准备工作.首先,为了利用微分学的手段,我们要对连续函数进行所谓的光滑化.
引理1
设ψ:D→R n为连续的向量值函数,且当x∈S n−1=∂D时ψ(x)=x,则任给ε>0,存在光滑向量值函数ρ:D→R n,使得
ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <ε,∀x∈D.
证明.
记f(x)=ψ(x)−x,则f
S n−1
≡0.我们先对f做光滑化.因为有界闭集上的连续函
数具有一致连续性,任给ε>0,存在δ>0,使得当 x−y ≤δ时 f(x)−f(y) <ε/2.
证明(续).
取η=δ1+δ,令
g (x )= f x 1−η , x ≤1−η,
0, x >1−η,
则g 连续,且当x ∈D 时 g (x )−f (x ) <ε/2.
设φ是我们之前构造的一元鼓包函数,记φη(x )=c −1η−n φ(η−1 x ),其中c 是φ( x )在R n 中的积分.此时φη在R n 的积分为1,且其支集含于B η(0).令
h (x )= R n g (y )φη(x −y )d y = R n
g (x −y )φη(y )d y ,
根据函数参变量积分的性质可知h 是光滑函数,再根据鼓包函数的性质可知h S n −1=0, h (x )−g (x ) ≤ε/2.记ρ(x )=x +h (x ),则ρ是满足要求的光滑函数.
引理2
设ρ:D→R n为C2的向量值函数,如果当x∈S n−1时ρ(x)=x,则ρ必有零点.
引理2
设ρ:D→R n为C2的向量值函数,如果当x∈S n−1时ρ(x)=x,则ρ必有零点.
证明.
(反证法)设ρ没有零点.在R n\{0}中记
ω0=
n
i=1
(−1)i−1 x −n x i d x1∧···∧d x i−1∧d x i+1∧···∧d x n,
直接的计算表明dω0=0.同理,记
ω=ρ∗ω0=
n
i=1
(−1)i−1 ρ −nρi dρ1∧···∧dρi−1∧dρi+1∧···∧dρn
其中ρi是ρ的分量,则仍有dω=0.
证明(续).
利用Gauss-Green公式以及ρ(x)=x(x∈S n−1)可得
0=
D dω=
S n−1
ω=
S n−1
ω0
=
S n−1
n
i=1
(−1)i−1x i d x1∧···∧d x i−1∧d x i+1∧···∧d x n =
D
n dx1···dx n=nν(D)>0,
这就得出了矛盾.
Brouwer不动点定理的证明.
(反证法)设ϕ没有不动点.用直线段连接ϕ(x)和x,其延长线交球面于ψ(x).容易看出ψ:D→S n−1连续,且当x∈S n−1时ψ(x)=x.
根据引理1,存在光滑映射ρ:D→R n,使得
ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <1,∀x∈D.
根据引理2,ρ有零点,但这与上面的不等式以及 ψ ≡1相矛盾.
Brouwer不动点定理的证明.
(反证法)设ϕ没有不动点.用直线段连接ϕ(x)和x,其延长线交球面于ψ(x).容易看出ψ:D→S n−1连续,且当x∈S n−1时ψ(x)=x.
根据引理1,存在光滑映射ρ:D→R n,使得
ρ(x)=x,∀x∈S n−1; ρ(x)−ψ(x) <1,∀x∈D.
根据引理2,ρ有零点,但这与上面的不等式以及 ψ ≡1相矛盾.
例1
设A=
a ij
n×n
为n阶方阵,如果它的每一元素a ij都大于零,则称A为正矩阵.
证明:正矩阵必有正特征值.
证明.
当x=(x1,···x n)∈R n时,记|x|= n
i=1
|x i|.考虑n−1维单形
∆n={x∈R n||x|=1,x i≥0,i=1,···,n}.
显然,当x∈∆n时|Ax|>0.考虑连续映射
ϕ:∆n→∆n,x→Ax/|Ax|.
因为∆n同胚于n−1维单位闭球,可以应用Brouwer不动点定理得到ϕ的不动点,不动点记为ξ,则|Aξ|就是A的正特征值.。