古典概型特征和概率计算公式
2.1古典概型的特征和概率计算公式
事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件？
“1点” “2点” “3点” “4点”
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
探究2： 以下每个基本事件出现的概率是多少？
试
验
1 正面向上
反面向上
P（“正面向上”） P（“反面向上”）
1
2
试
验
2
1点
P（“1点”）
2点
P（A）＝
A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
＝
2 21
例题： 同时掷两个骰子，计算：向上的点数之和是5的概
率是多少？
解：掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以
便区分，它总共出现的情况如下表所示：
2号骰子 1号骰子
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）（1，2） （1，3）（（11，，4）） （1，5） （1，6）
六个基本事件 的概率都是 1
6
有限性
（1） 试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个
（2） 每个基本事件出现的可能性 相等
等可能性
上面两个试验都具有如下两个特征：
有限性
（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2） 每个基本事件出现的可能性相等。
等可能性
我们将具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型，简称古典概型。
探究1：
实验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，观察硬币落地后哪一面朝上。 可能出现的结果有哪些？
实验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。可能出 现的结果有哪些？
（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或 “反面朝上
古典概型的特征与概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式古典概型是概率论中最基本的概型之一，它的特点是每个事件的可能性相等。
在古典概型中，我们可以通过计算样本空间和事件空间的大小来计算事件发生的概率。
1.等可能性：在古典概型中，每个事件的发生概率都是相等的。
2.有限性：古典概型中的样本空间是有限的，即所有可能的结果有限个。
3.独立性：古典概型中的事件之间是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
根据这些特征，我们可以通过以下公式计算古典概型中事件的概率：1.概率的定义：事件A的概率P(A)定义为事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有可能结果发生的总可能性的比值。
即：P(A)=N(A)/N(Ω)，其中N(A)表示事件A的结果数目，N(Ω)表示样本空间Ω中所有可能结果的数目。
2.互斥事件：如果两个事件A和B是互斥的（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和为各自概率的和。
即：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的（即A的发生不会影响B的发生概率），则它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
4.补事件：事件A的对立事件为A的补事件，记作A'。
补事件是指样本空间中不属于事件A的结果。
事件A的发生与A'的不发生是互斥的。
因此，P(A')=1-P(A)。
5.复合事件：如果事件A和B是两个独立事件，则同时发生的概率为两个事件的概率乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
通过以上公式，我们可以计算古典概型中事件的概率。
需要注意的是，在应用这些公式时，必须满足古典概型的特征，即事件是等可能发生的、样本空间是有限的，并且各事件之间是相互独立的。
高中数学知识点精讲精析 古典概型的特征和概率计算公式
3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.2．等可能性事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．3．古典概型的特点：⑴所有的基本事件只有有限个；⑵每个基本事件发生的概率相等，⑶不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可．4．古典概型的概率公：:如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每个等可能基本事件发生的概率都是1n ，如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)= mn．5．从集合的角度来理解古典概型的概率：把一次试验中等可能出现的所有结果组成全集I ，把事件A 发生的结果组成集合A ，则A 是I 的一个子集，则有P(A) =card(A)card(t)．6．古典概型的公式推导如：在20瓶饮料中，有1瓶已经过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？在20瓶饮料中，有2瓶已经过了保质期了呢？（1/20,2/20=1/10）在n 瓶饮料中，有m 瓶已经过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少?(m/n)假设有n 个等可能基本事件，某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率是多少？分析：有n 个等可能基本事件，则每个基本事件发生的概率是多少？答：1/n 事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率是多少？答：nm 1⨯公式：假设有n 个等可能基本事件，某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率nm A P =)(1．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?分析：理解并运用各定义.解：（1）这个试验的基本事件空间Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；（2）基本事件的总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.2.甲．乙两人做出拳游戏（锤子．剪刀．布），求：（1）平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率.分析：研究此试验是否为古典概型，如果是，基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m各为多少.解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏（试验）是古典概型.它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况.设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.由图3－2－1容易得到：图3－2－1（1）平局含3个基本事件（图中的△）；（2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙）；（3）乙赢含3个基本事件（图中的※）.由古典概率的计算公式，可得P （A ）3193==； P （B ）3193==； P （C ）3193==. 3.甲．乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.分析：（1）准确求出基本事件总数n 和事件A 包含的基本事件个数m . （2）可采用列表的方法求m ．n .解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366=. （2）两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表.①每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω={（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}.事件A 由4个基本事件组成.因而P （A ）3264==. ②有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（a 1，a 1），（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，a 2），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2），（b 1，b 1）}，由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}.事件B 由4个基本事件组成，因而P （B ）=94. 4.判断下列命题的真假．⑴掷两枚硬币，可能出现“两个正面”．“两个反面”．“一正一反”3种等可能的结果； ⑵某口袋中装有大小和形状完全一样的三个红球．两个黑球和一个白球，那么每一种颜色的球被模到的可能相同；⑶从-3，-2，-1，0，1，2，3中任取一个数，则此数小于0与不小于0的可能相同； ⑷分别从3名男生和4名女生中各选取一名代表，那么某个同学当选的可能性相同．解：以上命题均不正确．⑴如果仅考虑这三种结果，则它们不是等可能的，若要是等可能的，则有(正，正)，(正，反)，(反，正)和(反，反)4种结果，故本小题总是错的；⑵应是摸到每一个球的可能相同，而三种颜色的球的数量是不相同的； ⑶小于0的有3个，而不小于0的有4个；⑷分别从男生和女生中各选取一个人，对男生或女生内部来说是等可能的，而对所有的同学来说男生是3选1，而女生是4选1，显然每个被选取的可能性不同．说明：对硬币的问题，我们不管抛掷是否有先后顺序，还是一起抛掷的，都必须看成有 先后顺序，否则它们就不是等可能的．若先后抛掷n 次或一次抛掷n 枚，基本事件总数都应是2n个．5.将骰子先后抛掷两次，求：⑴向上的点数之和为几的概率最大？最大值是多少？ ⑵向上的点数之和是5的倍数的概率是多少？ ⑶个向上的点数中至少有一个是6点的概率？ ⑷两个点数中有2或3的的概率；⑸第一次得到的点数比第二次的点数大的概率． 解：将骰子先后抛掷两次，得到的点数情况如下表：统计向上点数和的情况如下：⑴向上点数之和是7的概率最大，最大值是636 = 16；⑵向上的点数之和是5的倍数的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)7个，⑶至少有一个是6点的共有11个，则其概率为1136；⑷两个点数之和是2的倍数或是3的倍数，按列计算，有2+6+6+2+2+2=20个，其概率为2036 = 59；⑹去掉相等的共有6个，剩下的一半是前面的数字大，一半是后面的数字大，有15个，其概率为1536 = 512．说明：⑴骰子问题与硬币问题一样，都要考虑先后顺序，且n 个骰子的基本事件总数是2n；⑵当基本事件总数不大时，用枚举法较方便；⑶若能用一个表格来表示这些问题，可使问题直观明了．6.从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成没有重复数字的两位数．试求： ⑴这个两位数是5的倍数的概率； ⑵这个两位数是偶数的概率； ⑶这个两位数大于40的概率．解：“从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成没有重复数字的两位数”，共有基本事件总数5×4=20个．⑴设事件A 为“这个两位数是5的倍数”，则事件A 包含的基本事件为：个位数字是5，共有4个， ∴P(A)= 420 =15；⑵设事件B 为“这个两位数是偶数” 则事件B 包含的基本事件为：个位数字是2或4，共有8个， ∴P(A)= 820 =25；⑶设事件C 为“这个两位数大于40” 则事件C 包含的基本事件为：个十位数字是4或5，也有8个， ∴P(A)= 820 =25．说明：⑴数字问题要考虑先后顺序；⑵常把问题转换成个位数或首位数的问题，学会用到分类讨论的思想；⑶若含有0，还要考虑0不能在首位的特殊要求，这是最容易出错的地方．7.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球． ⑴摸出的两只球都是白球的概率是多少? ⑵摸出的两只球是一白一黑的概率是多少?解：从中摸出两球，可分有先后顺序(有序)和无先后顺序(无序)两种情况．设摸出的2只球都是白球的事件为A ，一白一黑的事件为B ．有序：从5只球中摸出2只球，其基本事件总数为5×4=20． ⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2=6，∴P(A)=620 =310；⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是(先白后黑)3×2 +(先黑后白)2×3 =12， ∴P(A)=1220 =35．无序：从5只球中摸出2只球，其基本事件总数为5×42=10．⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2 2=3 ∴P(A)= 310；⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是3×2 =6， ∴P(A)=610 =35．说明：某些摸球问题是否考虑先后顺序，对问题的答案没有区别，但必须正确理解题意． 8．袋中有红．黄．白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率： （1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色； 解：基本事件有3327=个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为A ，332()279A P A ==； （2）记“三种颜色不全相同”为B ，2738()279P B -==； （3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C ，332215()279P C +-==； 9．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。
高二数学概率知识点总结
高二数学概率知识点总结
一、随机事件的概率
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。
3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
4. 概率的定义：对于一个随机事件A，它发生的概率P(A)满足0 ≤ P(A) ≤ 1。
如果P(A)=1，则事件A 为必然事件；如果P(A)=0，则事件A 为不可能事件。
二、古典概型
1. 古典概型的特征：
-试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的概率计算公式：P(A)=事件A 包含的基本事件数÷总的基本事件数。
三、几何概型
1. 几何概型的特征：
-试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。
-每个基本事件出现的可能性相等。
2. 几何概型的概率计算公式：P(A)=构成事件A 的区域长度（面积或体积）
÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
四、互斥事件和对立事件
1. 互斥事件：如果事件A 和事件B 不能同时发生，那么称事件A 和事件B 为互斥事件。
-互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)（A、B 互斥）。
2. 对立事件：如果事件A 和事件B 必有一个发生，且仅有一个发生，那么称事件A 和事件 B 为对立事件。
-对立事件的概率计算公式：P(A)=1 - P(A 的对立事件)。
高中古典概型的概率公式
高中古典概型的概率公式高中数学中，概率是一个重要的概念，我们常用古典概型来计算事件的概率。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
这里介绍高中古典概型的概率公式。
1. 古典概型的定义首先我们来回顾一下古典概型的定义。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
比如掷一枚骰子，每个点数的概率都相等。
这就是古典概型。
2. 古典概型的概率公式对于古典概型，我们可以用公式来计算事件的概率。
公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中元素的个数，n(S) 表示样本空间中元素的个数。
例如，掷一枚骰子，求点数为 3 的概率。
这个事件的样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中点数为 3 的元素个数为 1，样本空间的元素个数为 6。
因此，点数为 3 的概率为：P(点数为 3) = 1 / 6又例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求抽到黑桃的概率。
这个事件的样本空间为 52 张牌，其中黑桃牌的个数为 13 张，因此，抽到黑桃的概率为：P(抽到黑桃) = 13 / 52 = 1 / 43. 古典概型的应用古典概型的应用非常广泛，我们可以用它来计算各种事件的概率。
比如掷硬币、抽扑克牌、摇色子等等。
下面举一个例子。
假设有一个装有 5 个红球和 3 个蓝球的盒子。
现在从盒子中任取 2 个球，求取出的球都是红球的概率。
这个问题可以用古典概型来解决。
首先，样本空间中元素的个数为：n(S) = C(8, 2) = 28其中，C(n, m) 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。
在这个问题中，从 8 个球中取出 2 个球的组合数为 28。
接着，事件中元素的个数为：n(A) = C(5, 2) = 10其中，从 5 个红球中取出 2 个红球的组合数为 10。
因此，取出的球都是红球的概率为：P(取出的球都是红球) = n(A) / n(S) = 10 / 28 = 5 / 144. 总结古典概型是解决概率问题的一种常用方法。
1.3 古典概型
正整数解的组数为
C 1 5 1 C 1 4 9 1
2 3 1
特点：球相同，盒子不同. 球不相同，盒子不同.（此即为多组组合模式）
例1 在自然数1,2,…,120中任取一数，求此数能被3整除的概率. 解：
设A=“此数能被3整除”
{ 1 , 2 , 120 }
A { 3 , 6 , 120 }
n=120, nA=40.
P ( A)
由古典概型的计算公式：
40 120 1 3
例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按电流
放大系数分类，有40只属于甲类，60只属于乙类。在按 1）有放回抽样 2）不放回抽样条件下，
求下列事件的概率:
An
r
即为通常的排列公式.
例如：从数字1,2,3中有重复的取出3个，有重复的 组合数为10，从数字1,2,3，4，5中有取出3个的组合 数也是10. 对应关系如下： 可重复的组合
111 112 113 122 123 133 222 223 233 333
5个元素取出3的组合
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
§1.3
古典概型
1 定义： 若随机试验具有下列性质 (1) 具有有限个样本点 1 , 2 , n (2) 每个样本点出现的机会均等 P (1 ) P ( 2 ) P ( n ) 1 则称此试验为古典概型。
n
2 概率计算：
P ( A) k A 中所含基本事件数 n 基本事件总数 A 中样本点数 样本点总数
P ( Am ) C k ( n 1)! n!
1
k n
2、概率的几种定义(古典概型).
性大小, 因此在大量重复试验中 常用频率作为概率的近似值.
37
2、频率的稳定性，例如抛硬币(验 证出现正面的概率占0.5，打字机
键盘设计，信息编码(使用频率较
高的字母用较短的码), 密码的破 译。
38
3、概率的统计定义 如果随着试验次数 事件A发生的频率在区间 的增大， 上某
个数字p附近摆动，则称事件A发
率问题，可以将365天看作盒子 ， 个人看作
18
个球。
设A=“n个人生日各不相同”
故所求概率为： （生日各不相同的概率） 所以 个人中至少有两人生日 相同的概率为：
19
经计算可得下述结果：
从表中可看出，在仅有64人的班 级里“至少有两人生日相同”这 事件的概率与1相差无几。
20
例4 公平抽签问题：
概率，并称为几何概率。
28
例:约会问题 甲乙二人约定在[0，T] 时段内去某地会面，规定先到者等 候一段时间 再离去，试求 事件A=“甲乙将会面”的概率。
29
解：分别以x,y表示甲乙到达会面地
点的时间，则样本点是坐标平面上 一个点 ，而样本空间 是边长为 T的正方形，由于二人到达时刻的任 意性，样本点在S中均匀分布，属几 何概型。
12
解：(1) 这是一个古典概型问题， 由于每个球可落 入 个盒子中的 任一个盒子，故有
种不同放法(重复排列）
13
事件Ａ中样本点数取决于ｎ个球 放入ｎ个盒子中的顺序，故Ａ包 含的样本点数为：
所以
14
(2) 事件B与事件A的差异仅在于各 含一球的n个盒子没有指定，所以 B的样本点数为：
所以
15
(3) 下面我们来求 事件 C所含样
1.2
随机事件的概率
古典概型和特征和概率计算公式
古典概型和特征和概率计算公式古典概型是概率论中最简单的概率模型之一，也称为等可能概型。
在古典概型中，试验的所有可能的结果具有相同的概率，因此可以使用特征和概率计算公式来计算特定事件的概率。
一、古典概型的特征：在古典概型中，试验的样本空间S是有限的，即S={a1, a2, ..., an}，其中n为有限个数。
每个样本点ai(a1 ≤ i ≤ n)的发生概率都是相等的，即P(ai) = 1/n。
二、概率计算公式：1.对于一个事件A，A是样本空间S的子集，事件A的概率可以用以下公式计算：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中发生的样本点数，n(S)表示样本空间中的总样本点数。
2.对于互斥事件A和B（即A和B不可能同时发生），它们的并事件（A∪B）的概率可以用以下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.对于独立事件A和B（即A的发生不受B的发生影响，反之亦然），它们的交事件（A∩B）的概率可以用以下公式计算：P(A∩B)=P(A)×P(B)。
4.对于事件A的对立事件（即A不发生），对立事件的概率可以用以下公式计算：P(A')=1-P(A)，其中A'表示事件A的对立事件。
5.对于事件A的补事件（即A不发生的事件），补事件的概率可以用以下公式计算：P(A')=1-P(A)。
6.对于事件A的条件概率，即在事件B发生的条件下事件A发生的概率，可以用以下公式计算：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A，B)表示在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
三、应用举例：假设有一个装有5个红球和3个蓝球的箱子。
现从箱子中任意取出一个球，求以下事件的概率：1.事件A：取出的球是红球。
P(A)=n(A)/n(S)=5/(5+3)=5/82.事件B：取出的球是蓝球。
P(B)=n(B)/n(S)=3/(5+3)=3/83.事件C：先后取出两个红球。
P(C)=P(A∩A)=P(A)×P(A)=(5/8)×(4/7)=20/56=5/144.事件D：取出的球不是红球。
古典概型
（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1，x2，…，x3，…，ξ 取每一个值 xi（i=1，2，…）的概率为
P(
xi )
pi ，则称表为随机变量 ξ
的概率分布，简称 ξ
的分布列
新疆 王新敞
奎屯
ξ
x1
x2
…
8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列．
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题 基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析：
（一） 古典概型
１．随机事件 A 的概率： 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件；
2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= m 。理解这里 m、ｎ的意义。 n
3．互斥事件：A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4．对立事件：A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质： Da b a2D ；
7．二项分布：在 一 次随机 试 验 中 ，某事 件 可能发 生 也 可能 不 发生 ，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版古典概型是概率论中最简单的一种概率模型，它采用了等可能性的假设，即每一个样本点出现的概率都是相等的。
这个模型的特征及其概率计算公式如下：1.样本空间：古典概型中的样本空间是一个有限个数的集合，用Ω表示。
例如，掷骰子的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，抛硬币的样本空间为Ω={正面,反面}。
2.事件：在古典概型中，事件是样本空间的子集，用A表示。
例如，在掷骰子的样本空间中，事件A可以表示为"出现奇数点数"，事件B可以表示为"出现偶数点数"。
3.等可能性假设：古典概型中的一个重要假设是每一个样本点出现的概率都是相等的。
例如，在掷骰子的样本空间中，每一个点数出现的概率都是1/64.概率计算公式：根据等可能性假设，我们可以使用计数的方法来计算事件的概率。
事件A的概率表示为P(A)，计算公式为：P(A)=N(A)/N(Ω)其中，N(A)表示事件A中样本点的个数，N(Ω)表示样本空间中样本点的个数。
例如，对于掷骰子的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A表示出现奇数点数，其样本点为{1,3,5}，样本点个数为N(A)=3；样本空间Ω中的样本点个数为N(Ω)=6、因此，事件A的概率为：P(A)=N(A)/N(Ω)=3/6=1/2这个公式可以扩展到多个事件的情况下。
例如，对于掷骰子的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A表示出现奇数点数，事件B表示出现偶数点数，这两个事件是互斥事件，即事件A和事件B不能同时发生。
因此，事件A和事件B的概率可以通过以下计算公式得到：P(A)=N(A)/N(Ω)=3/6=1/2P(B)=N(B)/N(Ω)=3/6=1/2请注意，在古典概型中，当事件A和事件B互斥时，它们的概率相加等于1，即P(A)+P(B)=1总结起来，古典概型的特征是样本空间有限、等可能性假设成立；概率计算公式是P(A)=N(A)/N(Ω)。
古典概型的特征和概率计算公式
古典概型的特征和概率计算公式古典概型是概率论中最简单的概型之一，它是基于等可能性假设的。
古典概型的特征和概率计算公式如下所示。
1.特征：-等可能性假设：古典概型假设所有可能的结果具有相同的发生概率。
-有限个数的可能结果：古典概型假设实验的所有可能结果可数且是有限的。
-互斥性：古典概型假设每个实验结果都是唯一的，任意两个不同结果之间是互斥的，即同一次试验只能出现一种结果。
2.概率计算公式：在古典概型下，我们可以使用以下公式来计算事件的概率。
-样本空间:古典概型中，样本空间的大小等于实验的所有可能结果数的总和。
假设样本空间为S，大小为n，即S={A1,A2,A3,...,An}。
- 事件的概率: 假设事件A是样本空间S的子集，包含m个可能结果，即A = {Ai1, Ai2, Ai3, ..., Aim}。
则事件A的概率P(A)等于事件A中所有可能结果的概率之和。
P(A) = P(Ai1) + P(Ai2) + P(Ai3) + ... + P(Aim) = m/n。
3.举例说明：为了更好地理解古典概型的特征和概率计算公式，我们来举一个简单的例子。
假设有一个标准的六面骰子，每个面上的数字是等可能的。
（1）样本空间：这个例子中，样本空间S包含了所有可能的结果，即S={1,2,3,4,5,6}。
（2）事件A：假设我们关注的事件是掷出的数字是奇数。
事件A是样本空间S的子集，A={1,3,5}。
（3）概率计算：根据公式，我们可以计算事件A的概率：P(A)=P(1)+P(3)+P(5)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2从这个例子中，我们可以看到事件A的概率是1/2，即掷出的数字是奇数的可能性为1/2总结起来，古典概型是概率论中最基本的概型之一、它的特征包括等可能性假设、有限个数的可能结果和互斥性。
在古典概型下，我们可以使用简单的公式来计算事件的概率，即事件中所有可能结果的概率之和。
这个概率计算公式是P(A)=m/n，其中m是事件A包含的可能结果数，n是样本空间S的大小。
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版古典概型是概率论中最简单的模型之一，适用于试验结果相互独立且每个结果发生的概率相等的情况。
在古典概型中，试验的结果可以通过一个有限的样本空间来描述，样本空间中的每个样本点都是一个可能的结果。
下面将介绍古典概型的特征以及概率计算公式的完美正规版。
一、古典概型的特征1.试验结果相互独立：古典概型中的试验结果之间是相互独立的，即一个结果的发生不会影响其他结果的发生。
2.每个结果发生的概率相等：古典概型中每个结果发生的概率是相等的，即每个结果发生的可能性相同。
在古典概型中，我们通常希望计算一些事件的概率，即该事件发生的可能性。
为了计算概率，我们需要以下两个关键步骤：确定样本空间和确定事件。
1.确定样本空间：样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
对于古典概型来说，样本空间可以通过列举出所有可能结果来确定。
样本空间的个数通常表示为n。
2.确定事件：事件是样本空间中的一个子集，表示我们感兴趣的试验结果。
可以通过列举出所有可能的事件来确定。
根据古典概型的特征，事件A发生的概率可以通过以下公式计算：P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间的样本点数这个计算公式适用于古典概型中任何一个事件的概率计算。
下面通过一个例子来解释该公式的使用。
例子：假设有一个卡片盒，里面有5张红色卡片和3张蓝色卡片。
现在从卡片盒中随机抽取一张卡片，求该卡片是红色的概率。
解答：样本空间为{红，红，红，红，红，蓝，蓝，蓝}，样本空间的样本点数为8事件A表示抽取一张红色卡片，包含的样本点数为5根据概率计算公式，可得：P(A)=5/8因此，该卡片是红色的概率为5/8总结：古典概型是概率论中最简单的模型之一，适用于试验结果相互独立且每个结果发生的概率相等的情况。
古典概型的特征是试验结果相互独立，并且每个结果发生的概率相等。
在古典概型中，可以使用概率计算公式P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间的样本点数来计算事件发生的概率。
古典概型的概率计算公式古典概型
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，
分别为： （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
（布，剪） （布，石）（ 布，布）
（1）在“剪刀、石头、布”游戏中，甲 赢的概率有多大？
（2）在“剪刀、石头、布”游戏中，分 不出胜负的概率多大？
问题2：抛一个质地均匀的骰子，可能出现几 个结果？
问题3; 以上问题中，每个结果出现的概率为多少？
试验结果的对称性，每个结果的可能性相同
知识点二：古典概型
古典概型的特征：
（1） 有限性 ：
试验的所有可能结果只有有限个
（2）等可能性 ：
每一个试验结果出现的可能性相 同
典型例题
例2：下列试验是否为古典概型
A、在适宜的条件下，种一粒种子，有2 个结果：发芽 与不发芽 否
B、口袋里有2个白球和2个黑球，这4个 球除颜色外完全相同，从中任取一球 是
C、向一个圆面内随机的投一个点，该点 落在圆内的任意一点 否
D、射击运动员向一靶心进行射击，命中 10环，命中9环，.....命中0环 否
思考交流3
D {b,c} E {b, d} F {c, d} 说一说
(3)设3个黑球编号分别为黑1，黑2，黑3，则从 中任意取两个球，可能的结果为：
白球与黑1，白与黑2，白与黑3， 黑1与黑2，黑1与黑3，黑2与黑3
共6种结果，即6个基本事件
思考交流2
问题1：抛一枚质地均匀的硬币，可能出现几个 结果？
古典概型的特征与概率计算公式k2
（A、B）（A、C）（A、D）（B、C）(B、D) (C、D)
（A、B、C）（A、B、D ） （A、C、D）（B、C、D） （A、B、C 、 D ） 共十五个基本事件，所以
从这15种答案中任选一种的可能性只有1/15，因此 更难猜对。
14
例3 同时掷两颗骰子,计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概A)
A包含的基本事件的个数m 基本事件的总数n
注意：计算事件A概率的关键 （1）计算试验的所有可能结果数n； （2）计算事件A包含的可能结果数m.
6
问题 掷一粒均匀的骰子落地时向上的点数
为偶数或奇数的概率是多少呢？
设用A表示事件“向上的点 1数为偶数“；用B表示事件
3456789
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
A表示事件“点数之和为7”, 则由表得n=36,m=6.
P(A)
m
6
1
n 36 8 6
例.在一个健身房里用拉力器进行锻炼时,需要 选取2个质量盘装在拉力器上.有2个装质量盘的 箱子,每个箱子中都装有4个不同的质量 盘:2.5kg, 5kg,10kg,20kg,每次都随机地从2个 箱子中各取1个质量盘装在拉力器上,再拉动这 个拉力器。
18
1、 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次 任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产 品中恰有一件次品的概率。 解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能 的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2）， （a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括 号内左边的字母表示第1次取出的产品， 右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰 好有一件次品”这一事件，则
古典概型c公式和a公式
古典概型c公式和a公式
古典概型的概率公式：p（a）=m/n=a包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n。
如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n；如果某个事件a包含的结果有m个，那么事件a的概率为p（a）=m/n=a包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n。
基本步骤：
（1）算是出来所有基本事件的个数n；
（2）求出事件a包含的所有基本事件数m；
（3）代入公式p(a)=m/n，算出p（a）。
资料拓展：
古典概型也叫做传统概率、其定义就是由法国数学家拉普拉斯 (laplace ) 明确提出的。
如果一个随机试验所涵盖的单位事件就是非常有限的，且每个单位事件出现的可能性均成正比，则这个随机试验叫作拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫做古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
古典概率模型就是在封闭系统内的模型，一旦系统内某个事件的概率在其他概率确认前被确认，其他事件概率也可以跟著出现发生改变。
概率模型可以由古典概型转型为几何概型。
古典概型的概率计算公式
602 302
P( A)
2 602
87.5%.
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.
在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概
率有多大？ 解：记“在斜边AB上任取一点，
AM<AC”为事件A,
C
由于点M随机地落在线段AB上，
故可以认为点M落在线段AB上任一
A M C’
Байду номын сангаас
B 点是等可能的，可将线段AB 看做区 域D.
后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不 小于1m的概率有多大？
1m
1m
C
D 3m E
F
解:设“剪得的两段均不小于1米”为事件A,如图所示 基本事件可视为线段CF上任意一点,构成事件A的基本
事件可视为线段DE上任意一点,所以 P(A)= 1
3
答：剪得的两段均不小于1米的概率为 1
3
探索归纳
问题3：设立了一个可以自由 转动的转盘（如图）,转盘被 等分成12个扇形区域.如果转 盘停止转动时，指针正好指 向阴影区域，则可获得月饼 一盒.
典型例题
例3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离 开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
典型例题
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
顾客能拿到月饼的概率是多少？
圆的面积为S
第1部分 第三章 § 2 2.1 古典概型的特征和概率计算公式
返回
解：(1)1,2,3,4,5,6. (2)①事件 A 为 2,4,6；②事件 B 为 4,5,6；③事件 C 为 1,2；④ 事件 D 为 2,3,5. 3 1 3 1 2 1 (3)是古典概型，其中 P(A)＝ ＝ ；P(B)＝ ＝ ；P(C)＝ ＝ ； 6 2 6 2 6 3 3 1 P(D)＝ ＝ . 6 2
下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数， 求取到偶数的概率． [思路点拨] 根据直观印象判断两个试验的基本事件数
是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．
返回
1．学好古典概型应抓住以下三点：
(1)对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的 试验结果； (2)对于这有限个不同的结果，它们出现的可能性是相 等的； (3)求事件的概率可以通过大量重复试验，而只要通过 一次试验中出现的结果进行分析计算即可．
返回
2．求古典概型概率的计算步骤： (1)求出基本事件的总个数n (2)求出事件A包含的基本事件的个数m； (3)求出事件A的概率P(A)＝ 事件A所包含的基本事件数 m ＝n. 试验的基本事件总数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
台山市华侨中学 林婉萍
掷硬币实验 摇骰子实验 转盘实验
试验一、抛掷一枚均匀的硬币，试验的结果有_2_
个，其中“正面朝上”的概率＝0._5__.出现“反面 朝上”的概率0.=5___.
试验二、掷一粒均匀的骰子，试验结果有_6__ 个，其中出现“点数5”的概率＝1/_6__.
次 抛
5
果，于是共有6×6=36种不同的 结果。
掷 后 向
4 3
由表可知，等可能基 本事件总数为36种。
上 的
2
点1
数
78 67 56
45 34 23
12
9 10 11 12 8 9 10 11 7 8 9 10
67 8 9 56 7 8 45 6 7
34 5 6
第一次抛掷后向上的点数
求古典概型的步骤：
古典概型中，试验的所有可能结果（基本事件） 数为n，随机事件A包含m个基本事件（m个可 能结果），那么随机事件A的概率为：
P( A) m n
： 1、如图，转动转盘计算下列事件的概率： （1）箭头指向8； （2）箭头指向3或8； （3）箭头不指向8； （4）箭头指向偶数；
（1）判断是否为等可能性事件；
（2）列举所有基本事件的总结果数n． （3）列举事件A所包含的结果数m．
（4）计算
当结果有限时，列举法是很常用的方法
将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次， （1）写出这个试验的基本事件 （2）求3次正面向上的概率 （3）求2次正面向上，1次反面向上的概率
解：（1）基本事件有{正，正，正}， {正，反， 正}，{反，正，正}，{正，正，反}，｛反，正， 反｝ ，｛反，反，正｝，｛正，反，反｝， ｛反，反，反｝共８种．
试验三、转8等份标记的转盘，试验结果有_8__ 个，出现“箭头指向4”的概率＝1/_8__.
上述三个试验有什么特点？
归纳上述三个试验的特点：
1、试验的所有可能结果只有有限个，每次试验 只出现其中的一个结果；
2、每一个试验结果出现的可能性相同.
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模
型称为古典概型（等可能事件）。
掷一粒均匀的骰子，骰子落地时向上的点数为2的 概率是多少？点数为4的概率呢？点数为6的概率 呢？骰子落地时向上的点数为偶数的概率是多少？
分析：随机事件A＝“点数为偶数”由“点数为2” “点数为4”、“点数为6”三个结果组成，A 发生，指三种情形之一出现
我们认为，此时 P( A) 3 0.5 6
例：（掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。 问: （1）共有多少种不同的结果? （2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
它出解现：的（点1）数将有骰1，子2抛，掷3，1次4，，5，第二 6
6这6种结果，对于每一种结果， 第二次抛时又都有6种可能的结
1、向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落 在每一个点都是等可能的，你认为这是古典 概型吗？为什么？
．．．．
．．．．．．．． ．．．．．．．． ．．．．．
．
．．．．．．． ．．．．．．
2、如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一 试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环…… 命中1环和命中0环。你认为这是古典概型吗？为 什么？
（２）设事件“３次正面向上”为Ａ 则Ｐ（Ａ） 1
（＝３）设事件“２次正面向面向上，１次反面8Βιβλιοθήκη 向上”为Ｂ，则Ｐ（Ｂ）＝ 3
8
1.古典概型的定义：
2.古典概型的特征： 3.古典概型的概率计算公式：
4、求基本事件总数常用的方法： 列举法、图表法、树状图法
一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只 白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，
（1）共有多少个基本事件？ （2）摸出的两个都是白球的概率是多少？