厦门大学景润杯数学竞赛复习材料共47页文档
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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。
秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。
秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。
清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。
秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。
2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。
聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。
2025届福建省厦门大学附属实验中学高考数学必刷试卷含解析
2025届福建省厦门大学附属实验中学高考数学必刷试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．242．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件3．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（ ）A ．0B ．5C ．7D ．134．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．43C 23D ．235．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<6．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）A ．29B ．2932-C ．1923-D ．57．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，8．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ）A ．3215B ．6415C ．5D ．610．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=12．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020暑假八年级数学竞赛班预科资料
目录本资料共分四个模块：分别讲述完八年级上册内容与八年级下册前两章，为秋季的学习打下预科基础。
模块一：第一讲整式的乘法第二讲乘法公式第三讲整式的除法与提公因式法第四讲因式分解第五讲数学竞赛中的因式分解应用模块二：第六，七讲分式的运算与分式方程模块三：第八讲变量与函数第九讲正比例函数与一次函数第十讲用函数的观点看方程与不等式模块四：第十一讲勾股定理第十二讲勾股定理的逆定理第十三讲考试与总复习第十四，十五讲全等三角形与一次函数提高练习第一讲 整式的乘法一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）1、掌握同底数幂的乘法；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 教学难点：整式的乘法. 二、知识疏理知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。
例1：计算。
(1)4322⨯ (2)251010⨯(3)54x x ⋅知识点2：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
mnn m a a =)((m, n 都是正整数)注意：nm n m a a ≠)(例2：计算。
(1)(32)3(2)(a m )2(3)―(x m )5(4)(a 2)3·a 5知识点3：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)例3：计算。
(1)(ab )4(2)322)(y x -(3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10知识点4：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4：计算：知识点5：单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2001 2021年大学数学竞赛试题
2001 2021年大学数学竞赛试题2001-2021年大学数学竞赛试题一2001-2021年大学生数学竞赛试题集2001年大学生数学竞赛试题（理工类）一、填空：（这个问题15分，每个空白3分。
请在相应的单杠上填写最终结果。
）1.功能e2x1，x?0；f(x)??x?acosx?x2，x?0，?在（-∞，+∞）上连续，那么a=2。
2.设函数y=y(x)由方程e?cos(xy)?0所确定，则dy??dx。
3.从曲线y？？十、十、由2x和X轴包围的图形x?yx?032的面积a=3712。
4.设e为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则?ecosxsinxdx?8。
3，其周5.设l为长度为l的顺时针椭圆，则？？xy？xl2x24？y2？1.4y2？ds？4l二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，二把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1.若lim?(x)?u且limx?x00u?u0f(u)?a，则（d）拯救在（（b）(a十、x0）x?x0limf[?(x)]；limf[？（x）]？ac）sinx十、X0limf[？（x）]不存在；（d）a、b、c均不正确。
2.设置f（x）？？sin（x）dx，g（x）？十、x、那么x什么时候？0时，2340（a）（a） F（x）和G（x）的阶数相同，但不是等价的无穷小；（b） F（x）和G（x）是等价的无穷小；（c）f(x)是比g(x)更高阶的无穷小；（d）f(x)是比g(x)更低阶的无穷小。
3.让函数f（x）满足任意x的f（x？1）？AF（x）和其中a、b均为非零常数，则f(x)在x=f'(0)?b，一个（d）（a）不导电；（b）可微的，f？(1)? A.（c）可导，且f?(1)?b；三（d）可导，且f?(1)?ab。
4.设f（x）为连续函数，f（x）不总是零，I=t？F（TX）DX，其中s>0，t>0，然后是I（c）的值st0（a）与s和t有关；（b）与s、t及x有关；（c）与s有关，与T无关；（d）这与T和s无关。
关于公布二 一 年度厦门大学“景润杯”数学竞赛获奖名单的通知
第十届厦门大学景润杯数学竞赛获奖名单公示根据厦门大学“关于组织申报校级本科生学业竞赛项目的通知”〔厦大教（2013）16号〕，由数学科学学院组织协办的第10届厦门大学景润杯数学竞赛活动历经3个多月于6月22日圆满结束。
本届厦门大学“景润杯”数学竞赛活动共有1846名学生报名参赛，其中厦门大学1316名，集美大学和厦门理工学院530名。
我校实际参赛的总人数为1207名，其中数学专业组76人，理工类专业组861人，经管类专业组270人。
根据第10届“景润杯”数学竞赛组委会的规定，按照数学专业组、理工类组与经管类组三个组别分别进行竞赛评奖，117名学生分获竞赛一、二、三等奖，其中一等奖9名、二等奖27名、三等奖81名，名单如下：
第十届厦门大学景润杯数学竞赛获奖学生名单
一、数学专业（一等奖2人，二等奖6人，三等奖18人，合计26人）
二、理工专业组（一等奖4人，二等奖12人，三等奖36人，合计52人）
三、经管专业组（一等奖3人，二等奖9人，三等奖27人，合计39人）
厦门大学数学科学学院
2013.6.25。
第十届2013景润杯(经管)
1. (15分)求下列极限（每小题5分，共15分）（1） nnn nn n n ln )ln 2ln (lim +-∞→ 解：321ln ln ln ln )ln 21()ln 1(lim )ln 21ln 1(lim )ln 2ln (lim --∞→∞→∞→==+-=+-=+-e e e nn n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n n ( 2）23202arctan )1(sin lim 22t e dy y dx t t txt --→⎰⎰+π； 解：232223202arctan )1(sin lim arctan )1(sin lim222tedxdyy tedyy dx t Dt t t tx t -=--→-→⎰⎰⎰⎰++ππ7sin lim22sin lim27202320020πππ-=-=-=⎰⎰⎰++→→t dyy y t tdx y dy t t tyt .（3）y x x ye RD xR d d arctan lim ⎰⎰-+∞→，其中R D 是由12,0,-===x Ry y R x所围成.解：由于函数xye x arctan-在R D 上连续，由积分中值定理得 ,arctan 4d d arctan d d arctan ξηξηξξ---==⎰⎰⎰⎰e R y x e y x x y e RRD D x 其中R D ∈),(ηξ，即10,2≤≤≤≤ηξR R ，于是当+∞→R 时，0arctan 4d d arctan |d d arctan |2→≤=---⎰⎰⎰⎰ξηξηξR D D x e R y x e y x x y e RR， 所以0d d arctan lim =⎰⎰-+∞→y x xye RD xR .厦门大学第十届景润杯数学竞赛试卷＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿年级＿＿＿＿＿＿专业竞赛时间 2013.06.22 （经管卷）2. (10分) 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且)1()0(2f f =，试证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得)()()1(ξξξf f ='+。
2023年厦门大学强基计划招生考试数学试题真题(含答案)
2023年厦门大学强基计划数学试题考试时间6月12日1．1w z =变换将复平面()z x yi =+上的直线1x =变换为W 平面()w p qi =+上的曲线C ,求曲线C 围成的面积是_______.2.在(1,1)-上任取个2数,求两数之和小于0.4的概率是_______.3.若椭圆22221x y a b +=的内接等腰三角形ABC 的疷边平行于x 轴，求ABC ∆的面积最大值_______.4.已知11()sin ,()248x f x g x x π==-，求()()f x g x =在[]420-，上所有根的和_______.5.已知,m n 为整数，若二元函数(,)f m n 满足4(,)(1,)(1,)(f m n f m n f m n f m =++-+ ,1)(,1)n f m n ++-，则称(,)f m n 为兔函数。
下列哪些是兔函数（1）22(,)f m n m n =-；（2）(1),(,)0,m m n f m n m n ⎧-==⎨≠⎩；（3）(,)sin()2v m f m n e π=，其中4b b e e -+=6.已知正整数,a b 互素，问22a b +和ab 是否互素？7.已知1221,,2n n n x a x b x x x ++===-，则2023x =______,前2023项和是______。
8.从1到100中至少取______个数才能保证一定存在2个数互素？9.n 位选手进行围棋单循环比赛，即两人之间恰进行一场比赛。
已知现在已经进行了12场比赛，其中6人已赛3场，剩下的选手，，平均比赛场次小于3场，则n 的最小值为______。
2022年厦门大学强基计划数学试题解析1. 答案4π解析：22222222111,111,111111()24bi z bi w bi b b p q b b p q p b p q -=+==++-∴==++∴+=+∴-+= 所以围成的面积为4π。
大学生数学竞赛辅导材料
大学生数学竞赛辅导材料浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7）一．计算题(每小题5分，共30分)1．求极限lim x →。
2．求积分|1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。
3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。
4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x xxe f x f t dt x +=+?，求()f x 。
5．设211arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。
6．求积分12121(1)x x x e dx x ++-?。
2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6）一．计算题7．求2050sin()lim x x xt dt x→?。
8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。
9．求2401x dx x∞+?。
10．求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。
浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题1．计算：()()200cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。
2．计算：20cos 2004x dx x x πππ+-+?。
3．求函数()22,415f x y x y y =++在(){}22,41x y xy Ω=+≤上的最大、小值。
4．计算：()3max ,D xy x d σ??，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。
5. 设()1tan 1x f x arc x-=+，求)0()(n f 。
天津市竞赛题 1.证明??+≤?+02022021cos 1sin dx x x dx x x ππ.2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f .3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立.（2）设,1tan 12k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞→ 4. 计算+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。
厦门大学高数(非数学专业)理工类竞赛卷答案
学号院系 高等数学竞赛(理工类)试题姓名 （ 2006年7月6日 晚 7•00 ~ 9•00 ）一、单项选择题（每题4分 共20分）1．方程x e x =--21在),0(+∞内实根的个数为（ B ）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 若)(x f 在]1,0[上连续且可导，1)0()1(=-f f ，⎰'=102)]([dx x f I ， 则有（ C ）。
A. I = 1B. I < 1C. I ≥1D. I = 03．设(,)f x y 连续，且(,)(,),Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰其中D 是由0y =2,1y x x ==所围区域，则(,)f x y 等于（ D ）。
A ．xy ； B. 2xy ； C. 1xy +； D. 18xy +。
4. 设f 在Ω上可积，且Ω区域具有轮换对称性（即若(,,)x y z ∈Ω，则(,,),(,,)y z x z x y ∈Ω∈Ω），则（ A ）。
A.(,,)(,,)(,,)f x y z dv f y z x dv f z x y dv ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；B. 1(,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 其中1Ω为Ω的0z ≥部分区域； C.(,,)0f x y z dv Ω=⎰⎰⎰；D. 以上结论均不成立。
5. 设函数(),(),()p x q x f x 都连续，且11223()()()y c y x c y x y x =++是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解，则（ B ）。
A. 123y y y +-是方程的解B. 123,,y y y 线性无关C. 123,,y y y 可能线性无关，也可能线性相关。
D. 123,,y y y 线性相关二、填空题（每题4分 共20分） 1．设函数xx xx x x x f ++-+-+=22ln 212arctan)(222，则 =')(x f 2。
数学竞赛讲义-第1讲梅涅劳斯定理
⋅
������������������������������������∠∠���������������′���������������′������.
【例1】 如图，在四边形 ABCD 中△ ������������������,△ ������������������,△ ������������������的面积比是 3:4:1，点 M，N 分别 在 AC，CD 上，满足 AM：AC=CN：CD，并且 B，M，N 共线，求证：M 与 N 分别是 AC 和 CD 的中点.
【例 16】如图，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段 AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC 交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M. 求证：若 OK⊥MN，则 A、 B、D、C 四点共圆.
【例 17】如图，设 D 是锐角三角形 ABC 外接圆Γ上弧 BC 的中点，点 X 在弧 BD 上，E 是弧 AX 的 中点，S 是弧 AC 上一点，直线 SD 与 BC 相交于点 R，SE 与 AX 相交于点 T，证明：若 RT∥DE 则三角形 ABC 的内心在直线 RT 上.
⋅
������������������������������������∠∠���������������′���������������′������.
第二角元形式的梅涅劳斯定理：设������′, ������′, ������′分别是△ ������������������的三边������������, ������������, ������������或其延
长线上的点,������不在△
������������������三边所在直线上，则������′,
(word版)厦门大学0708学年第一学期《高等代数》半期考试卷
07-08学年第一学期厦门大学数学科学学院?高等代数?期中试卷厦门大学?高等代数?课程试卷数学学院各系2007年级各专业主考教师：杜妮、林鹭试卷类型：〔A卷〕2007特别说明：答案写在答题纸上一、单项选择题〔32分.每题4分，共8题〕1)设A,B是n阶方阵,下面命题中错误的选项是____.(i )假设|A|0,|B|0，那么|A B|0；(ii)假设|A|0,k0，那么|kA|0;(iii )假设AB0,那么A0或者B0;(iv)假设AB0,那么|A|0或者|B|0;A)(i)(ii)(i ii)(iv)B)(i)(ii)(iii)C)(i)(ii)D)(i)a10b102)行列式0c10d1____. a20b200c20d2A)a1c1b2d2a2b1c2d1;B)(a2b2a1b1)(c2d2c1d1);C)a1a2b1b2c1c2d1d2;D)(a1b2a2b1)(c1d2c2d1).3)设A是n阶方阵,B是对换A中两列所得方阵,假设|A||B|,那么____.A)|A|可能为0；B)|A|0；C)|A B|0;D)|A B|0.4)设A是n阶对称矩阵(即AA),B是n阶反对称矩阵(即B B),那么____是反对称矩阵.A)AB2A；B)BAB;C)ABA;D)BA2B.5)设n阶矩阵A,B,C满足ABAC I n,那么___.A)ABACI n；B)A2B2A2C2I n；C)BA2C I n；D)CA2BI n.a21ka23a22a230101006)设A a ij,B a31ka33a32a33,P1001,P2010,那么B____.33a11ka13a12a13100k01A)APP12;B)P1AP2;C)AP2P1;D)P2AP1.107-08学年第一学期厦门大学数学科学学院?高等代数?期中试卷7) 设A是任一n(n 3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k 0,1,那么必有(kA)*___.A) kA*; B) k n1A*; C) k n A*; D) k1A*.设A是mn阶矩阵,B是nm阶矩阵.___.A)假设m n,那么|AB|0;B)假设m n,那么|AB|0;C)假设m n,那么|AB|0;D)假设m n,那么|AB|0.二、填空题〔32分.每题4分，共8题〕00L0100L101)n阶行列式MMO MM____.01L0010L0016742)4阶矩阵A的逆阵A13896,那么A中所有元素的余子式之和=____.1913725873)5级排列a1a2a3a4a5的逆序数是3,那么排列a5a4a3a2a1的逆序数=____.0 0 1 0 00 0 0 2 0 4) 0 0 0 0 32 1 0 0 02 3 0 0 01____.1305)设A210,那么当X____时,XAXA.0026)A B设A是m阶可逆方阵,D是n阶方阵,那么____.C D7)A (a ij)nn,e i(0,...,1,...,0)为n维标准单位列向量,那么eAej____.i8)写出m n阶矩阵A,B相抵的两个充分必要条件.207-08学年第一学期厦门大学数学科学学院?高等代数?期中试卷x y z1三、(10分)设方程组ax byczd.问a,b,c满足什么条件时,该方程组有唯一解?并求出a2xb2yc2zd2该唯一解.四、五、1000(8分)设A2300B(I A)1(IA),求(IB)1.045,I是4阶单位阵,0067(8分)设A是nn矩阵,假设对任一n维列向量X,都有AX0,那么A0.六、(10分)n阶矩阵A,B满足A2A,(A B)2A2B2,证明:AI可逆;AB0.附加题〔不计入总分〕设A,B是n阶可逆矩阵,证明假设AA BB,AB都可逆,那么也可逆.B A3。
第10届景润杯 第二讲 函数与函数的连续(讲座)
举一反三练习
) 上连续， 1、 设函数 f ( x) 在 (，
f ( x) 0 （n n 且 lim x x
n
是正整数）证明：
) ， （1） 当 n 是奇数时， 存在 (，
f ( ) 0 ； 使得 ) ， （2） 当 n 是偶数时， 存在 (， ) 有 使得对一切 x (， n n f ( ) x f ( x).
0
0
且 f ( x0 ) f ( x0 r ).
例 2
设 f ( x) 是 (,) 上的连续
f ( x ) 函数， 存在 lim ， 且 f ( x) 的 x f ( x) f ( a ) a ， 最小值 xmin 求证： ( , )
f ( f ( x)) 至少在两个点处取到 f ( x)
（1） 问 a 为何值时，f (x) 在 x =0 点处连续？ （2） 当 f (x) 在 x =0 点处连续时， 是否可导？ 如果可导试计算出 f (0) ；如果不可导，则计 算出 f (0) 和 f +(0) 。
2、闭区间上连续函数的性质
定理 1( 有界性和最大值和最小值定理 ) 在闭区间上 连续的函数有界且一定有最大值和最小值.
定理2.零点定理与介值定理
定义 的零点. 零点定理 如果 x 0 使 f ( x0 ) 0, 则 x 0 称为函数
f ( x)
设函数 f ( x )在闭区间 [a , b] 上连续, 且
f (a )与 f (b) 异号 (即 f (a ) f (b) 0), 那么在开区
f ( x )的一个零点, 即至少有 一点 (a b), 使 f ( ) 0. 即方程 f ( x ) 0 在 ( a , b ) 内至少存在一个实根.
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即方程an cos nx an1 cosn 1x ... a1 cos x a0 0,
在0,2 内至少有2n个根.
例、1.设f x定义在实数集R上, 对任意x1 , x2 ,
米
/
秒
2
.
s0 0, s60 1000.s0 0, s60 0. 由泰勒公式:
1.st
s0
s0t
1 2
st1 t 2
1 2
st1 t 2 ,0
t1
t.
2.st
s60
s60t
60
1 2
st2
t
602
1000
1 2
st2 t
602 , t
t2
60.
t
30代入1
3.s30
1 2
st1 302
n
1 1 cos 2t 1
lim
dt .
n n 1
4t 2
4
n
例、求lim tansin x sintan x .
解 : x0 tan x sin x
lim tansin x sintan x lim tansin x tantan x tantan x sintan x
x0 tan x sin x
f
xk
an
cos n
k
n
an1
cosn
1 k
n
...
a1
cos
k
n
a0
1k an
an1
cosn 1 k
n
数学竞赛辅导资料(13)
14. 用枚举法解题 作者德化一中 颜墀策甲 内容提要有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律，得出答案.列举解答时要注意：①按一定的顺序，有系统地进行；②分类列举时，要做到既不重复又不遗漏；③遇到较大数字或抽象的字母时，可先从较小数字入手，由列举中找到规律. 乙 例题 例1.如图由西向东走，从A 处到B 处有几种走法？A 如：从A 到 C 有3种走法，在C 处标上3； 从A 到M （或N ）有3＋1＝4种； 从A 到P 有3＋4＋4＝11种； 这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法）.例2.写出由字母X 、Y 、Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式. 解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左）解法二：按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右）X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4， X 3Y ， X 3Z ， X 3Y ， Y 3Z ， Z 3X ， X 2Y 2， X 2Z 2， X 2YZ ， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y ， XY 3， XZ 3， XY 2Z ， XYZ 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 ， Z 2X 2， Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， YZ 3. X 2YZ ， Y 2ZX ， Z 2XY .解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)例3.讨论不等式ax<b 的解集.解：把a 、b 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 bax<b 的解集正 负 零 正 负a零当a>0时，解集是x<a b ； 当a<0时，解集是x>ab ； 当a=0,b>0时，解集是任意实数（有理数和无理数统称实数）；当a=0,b ≤0时，解集是空集(即无解).例4.如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数. 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，再按形如△和▽两种情况，逐一统计：边长1单位，形如△的三角形有：1+2+3+4=10，边长1单位，形如▽的三角形有：1+2+3=6；边长2单位，形如△的三角形有：1+2+3=6，边长2单位，形如▽的三角形有：1；边长3单位，形如△的三角形有：1+2=3；边长4单位，形如▽的三角形有：1.合计共27个.例5.在密码学中，称直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25.现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为x 1,x 2,x 3,x 4,已知：x 1+2x 2，3x 2，x 3+2x 4，3 x 4除以26的余数分别为9，16，23，12则密码的单词是＿＿.（2001年希望杯邀请赛初一试题）解：依题意得0≤x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=+=+④＝③，②，①，L L L L L L L .12263232621626392624434322121k x k x x k x k x x 1,x 2,x 3,x 4≤25，k 1,k 2,k 3,k 4都是自然数. 由②得x 2=316262+k , 当k 2=0时，x 2不是整数，当k 2=1时，x 2＝14； 由①得x 1+28=26k 1+9, 当k 1=0时，x 1不是正整数，当k 1=1时，x ＝7；用同样方法可得x 4=4；x 3=15.∴密码的单词是hope.丙 练习141. 己知x 、y 都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿.2. a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3. xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 如图线段AF 上有B ，C ，D ，E 四点,试分别写出以A ，B ，C ，D ，E 为一端且不重复的所有线段，并统计总条数.A FBCDE 5. 写出以a 、b 、c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的所有三次单项式 .6. 除以4余1 两位数共有几个？7. 从1到10这十个自然数中每次取不重复的两个数字，其和要大于10，共有几种不同取法？8. 把边长等于4的正方形各边4等分，连结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A 到B(只能从北向南，从西向东走)，有几种走法？B A 10. 列表讨论不等式ax>b 的解集.11. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，则这个正整数的最小值是＿＿.12. 同时都含有字母a 、b 、c ，且系数为1的7次单项式共有( )个（A ）4；（B ）12；（C ）15；（D ）25. （2004年福建数学奥校初一试题）13. B 、C 、D 依次是线段AE 上的三点，已知AE ＝8.9cm ，BD ＝3cm ，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这五个点为端点的所有线段长度之和等于 .（2004年福建数学奥校初一试题）14. 一个分母为7的最简真分数化成小数后，从小数点后第一位起，连续k 位数字之和恰好等于2005，则k=____或___.（已知128574.073,485712.072,742851.071&&&&&&===， .)257148.076,514287.075,871425.074&&&&&&===（2005年希望杯邀请赛初一试题） 15. 若正整数x 、y 满足x 2+y 2=1997,则x+y=＿＿. （1997年全国初中数学联赛题）16. 设十位数A=9210a a a a L 具有如下性质：a 0是A 中数码0的个数，a 1是A 中数码1的个数，……等等，最后的a 9 是A 中数码9的个数，则该十位数A=___________.(1998年上海市初中数学竞赛题)。
福建省厦大附中2022年九年级下册 竞赛辅导专题北师大版
D B C A D B C A 竞赛辅导专题——中点想到的1．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是（ ）A ()21332S S S =+ B ()23112S S S =- C ()21312S S S =+ D ()23132S S S =+2如图，在菱形ABCD 中，∠A=100°，M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，M 是BC 的中点，探究线段的关系，并证明你的结论。
5、将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得 到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（ ） （A ）梯形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）平行四边形 6．如右图，已知ABC △的周长为1，连结ABC △三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为7．如图，已知：ABC Rt △中，902C AC BC ∠=︒==，，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB 的中点M 重合，当三角尺绕着点M 旋转时，两直角边始终保持分别与边BC ，AC 交于D E ，两点（D E ，不与B A ，重合）．（1）求证：MD ME =；（2）求四边形MDCE 的面积；（3）若只将原题目中的“2AC BC ==”改为“()BC a AC b a b ==≠，”其它都不变，请你探究：MD 和ME还相等吗如果相等，请证明；如果不相等，请求出:MD ME 的值．8、如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，顺次连接四边形各边中点得到的四边形为（ ）A 、梯形B 、矩形C 、菱形D 、正方形9、如图所示，有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积等分），试设计两种方案（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹），并简要说明理由。
CAD BEF O PQ A BCACDB EM第7题图P NM DCB A10已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于，E ，N ．求证：⑴△DEM ≌△DFN ；⑵∠∠⊥⊥、N 分别是AB ，CD 的中点，那么四边形MENF 的面积是 （ ）A ．33B ．3C ．32D ．217、已知，四边形ABCD 中，AB=2，CD=3，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则线段MN 长的取值范围是18、梯形的上底等于6，下底等于14，那么它的中位线将梯形分成两部分面积的比为 。