矩阵论第二版答案

矩阵论第二版答案

【篇一：华北电力大学硕士研究生课程考试试题(a卷)

矩阵论答案】

14)

一、判断题（每小题2分，共10分）

1. 方阵a 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。(x)

见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后

者小于等于n

?,?,?,?m是线2. 设12

性无关的向量,则 dim(span{?1,?2,?,?m})?m.

正确，线性无关的向量张成一组基

v,v3.如果12 是v 的线性

v?vv12子空间,则也是

的线性子空间.

错误，按照线性子空间的定义进行验证。

a(?)4. n阶?-矩阵是可逆

a(?)的充分必要条件是

的秩是n .

见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数

5. n阶实矩阵a是单纯矩阵的充分且必要条件是a

的最小多项式没有重根. 见书90页。

二、填空题（每小题3分，共27分）

?210???a??021?,??003（6）??则ea的jordan标准型

为?e?0??0?

21e200??0?,3?e?。

【篇二：矩阵论简明教程课后习题与答案解析】mite正定矩阵的充分必要条件是，存在hermite正定矩阵b，使得a=b2。

解：若a是hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵u, 使得

??1??

uhau=?

???

?2

???

, ?i﹥0,i=1, 2, ?,n. ??

??n??

于是

??1?

??

?2??h

a=u?u ????

??n????1??1?????h??2

= u??uu?

????

????n???

2

?

?

??h?u ??n??

令

?1

??b=u?

???

2

?

???h?u ?n??

则a=b2.

反之,当a=b2且b是hermit正定矩阵时,则因hermit 正定矩阵的乘积仍为hermit正定矩阵,故a是hermit 正定的.

14. 设a?cn?n是hermite矩阵，则下列条件等价:（1）a是mermit半正定矩阵。（2）a的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵p?cn?n,使得a=pp

解：(1)?(2). 因a是hermit矩阵,则存在酉矩阵u,使得

uhau=diag(?1,?2,?,?n)

令x=uy, 其中y=ek. 则x?0. 于是

xhax=yh(uhau)y=?k≧0 (k=1, 2, ?,n).

(2)?(3).

a=udiag(?1,?2,?,?n)uh=udiag(?1,?2,?,?n)diag(1,?2,?,?n)uh 令p=diag(1,2,?,n)uh, 则a=php . (3)?(1). 任取x?0, 有

xhax=xhphpx=px2≧0.

h

1.求向量x=（1+i，-2,4i，1,0）的1、2、∞范数。

解：x1=?i??2?4i?1?0=7+2, x2=(1?i)(1?i)?(?2)2?4i(?4i)?1=23, x?=max?i,?2,4i,1?=4.

2. 设?1，?2…..?n是一组给定的正数，对任意x=（?1,?2…..?n）t?cn, 规定=

k?1

??k?k

?x=

n

2

。证明x

是cn上的一种向量范数。

解：当x?0时, 有x﹥0; 当x﹦0时, 显然有x=0. 对任意??c, 有

k?1

??k??k

n

2

??

k?1

??kk

n

2

??x.

为证明三角不等式成立,先证明minkowski不等式: 设 1≦p﹤∞, 则对任意实数xk,yk(k=1, 2, ?,n)有

(?xk?yk)≦(?xk)?(?yk)

k?1

k?1

k?1

n

p

1p

n

p

1p

n

1p

证当p=1时，此不等式显然成立. 下设p﹥1, 则有

?xk?yk

k?1

n

p

≦?xkxk?yk

k?1

n

p?1

??ykxk?yk

k?1

n

p?1

对上式右边的每一个加式分别使用h?lder不等式, 并由 (p－1)q=p, 得

?x

k?1

n

k

?yk

p

≦(?xk)(?xk?yk

k?1

n

p

1p

n

1

(p?1)qq

=[(?xk)?(?yk)](?xk?yk)

k?1

k?1

k?1

n

k?11pp

)?(?yk)(?xk?yk

k?1

k?1

p

1p

n

1

(p?1)qq

)

n

p

1p

n

1pq

再用(?xk?yk)除上式两边,即得 minkowski 不等式. k?1

n

1pq

现设任意y=(?1,?2,?,?n)t?cn, 则有

x?y?

?k?k?k

?1

2

n

??k

n

2

=

?(

k?1

n

k?k??k)≦

2

?(

k?1

n

k?k?kk)2

≦

?(kk)?

k?1

n

?(kj