2018届四川省成都市高三摸底测试(一)数学试题及答案

成都市2018届高三摸底测试模拟试题数学（一）一、选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U= {2，3，4，5，6，7}，M ={3，4，5，7}，N ={2，4，5，6}，则}6,4{A.=⋂N M }7,6,5,4,3{B.=⋃N M N N M C U =⋃)(C. M M N C U =⋂)(D.2. 下列判断正确的是A. “正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.B. “”的充要条件是“”. C. 不等式的解集为. D.若“p 或q ”是真命题，则p ，q中至少有一个真命题.3．已知A+B=4π，那么(1+tan A )(1+tan B ) A ．—1 B ．0 C ．1 D ．24. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 函数13(10)x y x +=-<≤的反函数是A.31log (0)y x x =+>B.31log (0)y x x =-+>C.31log (13)y x x =+<≤D.31log (13)y x x =-+<≤ 6．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==7.若平面向量→a 与→b =(1, -2)的夹角是︒180,且53||=→a ,则→a 等于A.(6,-3) B(3, -6) C(-3,6) D(-6,3)8. 设a=3log 2, b=In2, c=125-, 则A a<b<cB c<a<bC b<c<aD c<b<a9．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324 B ．328 C ．360 D ．64810、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=A ．120B ．105C ．90D ．75 11、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若∠C=120°，a c 2=, 则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定12.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF = A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共4小题，共16分，请将答案填在题中的横线上．13. 若2()n x x的展开式中第三项是常数项，则这个展开式中各项的系数和为____.14. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，BB 1与平面ACD 1所成的角余弦是________________.15. 若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 ____________________.16.给出下列命题： ①如果函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()f a x f a x +=-（a 为一个常数），那么函数()f x 必为偶函数；②如果函数()f x 对任意的x ∈R ，满足(2)()f x f x +=-，那么函数()f x 是周期函数；③如果函数()f x 对任意的12,x x ∈R 、且12x x ≠，都有1212)[()()]0x x f x f x --<(，那么函数()f x 在R 上是减函数；④通过平移函数lg y x =的图象和函数3lg10x y +=的图象能重合. 其中真命题的序号_______________________.三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．( 17 ~ 21题每小题12分，22题14分 )17．甲、乙等五名世博会志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列及数学期望 .18. 已知函数21()sin cos cos 2222x x x f x =+-.（Ⅰ）若()4f α=，(0,)απ∈，求α的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[,]4ππ-上最大值和最小值.19.如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD 中，平面PCD 平面ABCD ，PC=PD=CD=2.（Ⅰ）求证：PD BC ；（Ⅱ）求二面角B PD C 的大小； （Ⅲ）求点A 到平面PBC 的距离.PA BDC20. 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上.若右焦点到直线-yx的距离为3.+2=2（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0kxy相交于不同两点M、N. 当AN(≠m=k+AM=时, 求m的取值范围.21. 已知f(x)是定义在[-1 , 1]上的奇函数且f(1)=1，若 a 、b ∈[-1 , 1], a+b ≠0 ,有.0)()(>++ba b f a f（1）判断f(x) 在[-1 , 1]上的单调性，并证明； （2）解不等式：)11()21(-<+x f x f ；（3）若12)(2+-≤am m x f 对所有x ∈[-1 , 1], a ∈[-1 , 1]恒成立，求实数m 的取值范围.22. 已知数列}{n a 满足11=a ，点),(1+n n a a 在直线12+=x y 上. （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）若数列}{n b 满足),2(111,*12111N n n a a a a b a b n n n∈≥+++==-且 求11)1(+++-n n n n a b a b 的值；（III ）对于（II ）中的数列}{n b ，求证：n n b b b b b b 2121310)1()1)(1(<+++).(*N n ∈成都市2018届高三摸底测试模拟试题数学（一）答案一、 选择题：（每小题5分，共60分） CDDBD CCBBB AC二、填空题：（每小题4分，共16分） 13. 114、3615、(-4 , 2)16. ② ③ ④三、解答题17. 解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． ……4分 （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．……8分 （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是:ξ 12P3414315E 12,444ξ=⨯+⨯= ……12分18. 解：（1）212cos 1sin 21)(-++=x x x f )cos (sin 21x x +=)4sin(22π+=x 由题意知 42)4sin(22)(=+=πααf 即 21)4sin(=+πα∵),0(πα∈ 即 )45,4(4πππα∈+∴127654παππα=⇒=+ -------------------6分（2）∵ παπ≤≤-4即 4540ππα≤+≤∴22)4()(max ==πf x f ， .21)()(min-==πf x f ---------------12分19. 方法一：（Ⅰ）证明：平面PCD 平面ABCD, 又平面PCD 平面ABCD=CD ，BC CD ,BC 平面PCD, ---------------------------3分 PD 平面PCD,BCPD ； ---------------------------4分（Ⅱ）解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，PCD 为正三角形， CEPD ，由（Ⅰ）知BC 平面PCD,CE 是BE 在平面PCD 内的射影,BEPD ,CEB为二面角B-PD-C 的平面角,---------------------------6分在CEB 中, 90BCE, BC=2, 3CE ,23tan 3BCCEBCE, 二面角B-PD-C的大小为；---------------------------8分（Ⅲ）解：底面ABCD 为正方形，//AD BC ,AD平面PBC, BC 平面PBC,PA BDCE F//AD 平面PBC,点A 到平面PBC 的距离等于点D 到平面PBC 的距离, 过D 作DF PC 于F,BC 平面PCD ，BC DF , PCBCC ,DF 平面PBC, 且DF 平面PBC=F,DF为点D到平面PBC的距离,---------------------------10分在等边PCD 中, 2,,DCDF PC221,3CFDF DC CF ,点A 到平面PBC的距离等于.---------------------------12分方法二：（Ⅰ）证明：取CD 的中点为O ，连接PO ，PD=PC ，POCD ,平面PCD 平面ABCD, 平面PCD 平面PO平面 如图，在平面ABCD 内，过O 作OM CD 以O 为原点, OM 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 坐标系O-xyz ，则(2,1,0),(0,1,0),(0,1,0),B C D P ,(0,1,3),(2,0,0)PDBC,0,PD BCBCPD ； ---------------------------4分（Ⅱ）解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，如（Ⅰ）建立空间坐标系，则13(0,,)22E ， PCD 为正三角形， CEPD ，(2,2,0),(2,1,3)BD BP，||||22BD BP ， BEPD ,CEB为二面角B-PD-C 的平面角,---------------------------6分 3333(2,,),(0,,)2222EBEC ，321cos 773||||EB EC BECEB EC ，二面角B-PD-C 的大小为；--------------------------8分（Ⅲ）解：过点A 作AF 平面PBC 于F ， AF 为点A 到平面PBC 的距离, 设|AF|=h ，(2,0,0),(0,1,3)BC CP， 0BC CP，即BCCP ,PBC 的面积1||||22PBCSBC PC ， 三棱锥A-PBC 的体积APBCPABCV V ，13PBC S h 1||3ABC S PO ， 即22333h ，解得3h ， 点A 到平面PBC 的距离为.……4分---------------------------12分20. 解（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （0,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x ……4分（2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m ①13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②把②代入①得 22m m > 解得 20<<m由②得 03122>-=m k 解得21>m . 故所求m 的取范围是（2,21） (12)分 21. 解：.]1,1[)(,)()(,0)()()()()()()()(,]1,1[,11)1(121212*********上单调递增在设-∴>∴>--+-+=-+=--∈-≤<≤-x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x……8分（2）由（1）可知：).1,23[2311202123112111111211--∈⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≥≤≤≤-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-x x x x x x x x x x 或或（3）由（1）得02112,1)1()(22≥-⇒≥+-∴=≤am m am m f x f 在a ∈[-1 , 1]恒成立，令,2)(2m ma a g +-=则⎩⎨⎧≥≤≥-≤⇔⎩⎨⎧≥+-=≥+=-200202)1(02)1(22m m m m m m g m m g 或或.022=≥-≤∴m m m 或或 ……12分22. 解：（1）∵点),(1+n n a a 在直线12+=x y 上，,121+=∴+n n a a}1{),1(211++=+∴+n n n a a a 是以2为首项，2为公比的等比数列， ).(12*∈-=∴N n a n n ………………………………………………3分 （2）2(111121≥+++=-n a a a a b n n n 且)*∈N n ， nn n n n nn n n a a b a b a a a a a b 1,11111112111+=∴++++=∴++-++ 2(0)1(11≥=+-∴++n a b a b n n n n 且)*∈N n ；当n=1时，.3)1(2112-=+-a b a b …………………………7分 （3）由（2）知2211),2(1a b n a a b b n nn n =≥=+++ )11()11)(11(21nb b b +++∴ 11132211221111111111++-⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=+⋅⋅+⋅+=n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b )111(221121111114332211nn n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a b b b +++=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=++++-2≥k 时，)121121(2)12)(12(2)12)(12(1212111111---=--<---=-+++++k k k k k k k k k 12131111121-+++=+++∴n n a a a 35)12131(21)]121121()121121[(211132<--+=---++---+<++n n n ， 310)11()11)(11(21<+++∴n b b b ， 即.310)1()1)(1(2121n n b b b b b b <+++…………………………14分。