组课件：立体几何 三视图专题
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立体几何
三视图专题
由三视图想象几何体的形状
[例 1] (2011· 安徽省皖南八校联考)下图是一个物体 )
的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是(
解析： 由俯视图的形状可知直观图是选项B或选项 D 中的一个，根据正视图和侧视图可知选项B错．故选 D.
答案：D
(2010· 课标全国文， 15)一个几何体的正视图为一 个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ________． (填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 圆锥 ⑥圆柱 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤
1 × 1× 1 2
＋ 2× (1× 1)＋
2
答案：C
练习：下图是一个空间几何体的三视图，根据图中 尺寸(单位：cm)，可知wk.baidu.com何体的表面积是( )
A． 18＋ 3 C． 17＋ 2 3
B． 16＋ 2 3 D． 18＋ 2 3
分析： 由主、俯视图可知，该几何体侧棱与底面垂 直，由左视图知，该几何体的底面为正三角形，故该几 何体是一个横放的正三棱柱．
答案：①②③⑤
由直观图到三视图
[例 2] (2011· 枣庄质检)如下图， 几何体的主(正)视图 和左(侧)视图都正确的是( )
解析： 直观图中的几何体是由斜二测规则画出的， 故几何体是一个长方体沿交于同一顶点的三条面对角线 截去一角余下的部分，主视图从正前方向后投影，故应 得到一个矩形和一条实对角线，对角线的方向是左上到 右下，左视图从左向右投影，得到一个矩形和一条虚对 角线，虚对角线应是左上到右下的方向，故选B.
答案：C
综合应用
[例 5] 图所示．
已知四棱锥 P－ ABCD的直观图及三视图如下
(1)求四棱锥P－ ABCD的体积； (2)若 E是侧棱 PC的中点，求证：PA∥平面 BDE； (3)若 E是侧棱 PC上的动点，不论点 E在什么位置， 是否都有 BD⊥ AE？证明你的结论．
解析： (1)由该四棱锥的直观图和三视图可知，该四 棱锥 P－ ABCD的底面是边长为 1的正方形，侧棱PC⊥底 1 2 面 ABCD，且PC＝ 2，∴ VP－ ABCD＝ S四边形 ABCD· PC＝ . 3 3
答案：3
(2011· 安徽理， 6)一个空间几何体的三视图如下图所 示，则该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．50
解析：
由三视图可知该几何体是底面是等腰梯形的直棱 柱，底面等腰梯形的上底为 2，下底为 4，高为 4.
如上图，两底面等腰梯形的面积 1 S1＝ 2S梯形 ABCD＝ 2× (2＋ 4)× 4＝ 24， 2 作 D1E⊥ A1B1，则 D1E＝ 4， A1E＝ 1，∴ A1D1＝ 17， ∴梯形底面周长为 4＋ 2＋ 2 17＝ 6＋ 2 17， ∴侧面积S2＝ (6＋ 2 17)× 4＝ 24＋ 8 17， ∴表面积S＝S1＋ S2＝ 48＋ 8 17.
1 1 直的三棱锥，底面为直角三角形，其体积 V＝ × ( 3 2 8 × 4× 4)× a＝ a＝ 8，∴ a＝ 3. 3
3.(2011· 汕头一检 )某几何体的俯视图是如下图所示 的矩形，正视图(主视图)是一个底边长为 8、高为 5 的等 腰三角形，侧视图(左视图)是一个底边长为 6、高为 5 的 等腰三角形，则该几何体的体积为( )
A． 24 C． 64
B． 80 D． 240
[答案] B
[解析 ] 结合题意知该几何体是四棱锥， 棱锥底面是 长和宽分别为 8 和 6 的矩形，顶点在底面的射影是底面 矩形对角线的交点，棱锥的高是 5，可由锥体的体积公式 1 得 V＝ × 8× 6× 5＝ 80，故选 B. 3
依据三视图进行计算
[例 3] (文)已知一空间几何体的三视图如下图所示， 它的表面积是( )
A． 4＋ 2 C． 3＋ 2
B． 2＋ 2 D． 3
分析： 由主、左视图可知，该几何体的侧棱垂直于 底面，由俯视图知，该几何体的底面是 Rt△，因此该几 何体是一个直三棱柱．
解析： 由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角 三角形的直三棱柱，底面直角三角形直角边长和棱柱的 高都是 1，故表面积 S＝ 2× × 1＝ 3＋ 2.
一、选择题 1． (文 )
(2011· 山东文， 11)上图是长和宽分别相等的两个矩 形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主 )视 图、俯视图如上图；②存在四棱柱，其正(主 )视图、俯 视图如上图；③存在圆柱，其正 (主)视图、俯视图如上 图．其中真命题的个数是( A． 3 C． 1 ) B． 2 D． 0
2. (2010· 北京理，3)一个长方体去掉一个小长方体， 所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示， 则该几何体的俯视图为( )
[答案] C
[解析 ] 由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉 的小长方体，从正前方看在观察者左侧，因此位于俯视 图的左侧；从左侧向右看时在观察者右侧，因此在俯视 图中应位于靠近观察者的一侧，故俯视图为 C.
答案：B
(文)(2011· 山东济宁模拟 )如下图，下列几何体各自 的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析： ∵正方体的正视、侧视、俯视图都为正方 形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三 角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯 形、梯形、三角形(但两梯形不相同)；正四棱锥的正 视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方 形．
4.（2012· 丰台一模)若正四棱锥的正视 图和俯视 图如图所示， 则该几何体的表面积是 A．4 B．4＋4 10 C．8 D．4＋4 11
[答案] B
5．(2011· 湘潭模拟)如下图是一个几何体的三视图， 该几何体的体积为 8，则 a 的值为________．
[答案] 3
[解析 ] 由三视图知，这是一个有一侧棱与底面垂
[答案] A
[解析 ]
①正确，如上图是一直三棱柱，其中四边形 BCC1B1 与四边形 BAA1B1是全等的矩形，且面 BCC1B1⊥面 BAA1B1，即满足要求．
②正确，如下图是一直四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1， 其中底面 ABCD为正方形，即满足要求．
③正确．横卧的圆柱即可．如下图．
(2)连接 AC交 BD于 F，如下图所示，则 F为 AC的中 点，
又∵ E为PC的中点，∴ PA∥ EF， 又PA⊄平面 BDE， EF⊂平面 BDE， ∴PA∥平面 BDE.
(3)不论点 E在什么位置，都有 BD⊥ AE. 证明：连接 AC，∵四边形 ABCD是正方形，∴ BD⊥ AC. ∵ PC⊥底面 ABCD，且 BD⊂平面 ABCD，∴ BD⊥ PC. 又 AC∩ PC＝ C，∴ BD⊥平面PAC， ∵不论点 E在什么位置，都有 AE⊂平面PAC. ∴不论点 E在什么位置，都有 BD⊥ AE.
解析： ①若正视投射线与三棱锥的一个侧面平行， 可得三棱锥的正视图为一个三角形；②若四棱锥的底面 是一个矩形，且有一条侧棱与底面垂直，则其正视图为 一个三角形；③将三棱柱的一个侧面水平放置，正对着 底，沿着侧棱看，可得其正视图为一个三角形；④对于 四棱柱，无论从哪个方向看，其正视图都不可能是三角 形；⑤圆锥的底面水平放置，其正视图是三角形；⑥圆 柱从不同的方向看，其正视图都不可能是三角形．
答案：D
(2011· 江西文， 9)将长方体截去一个四棱锥， 得到的 几何体如下图所示，则该几何体的左视图为( )
解析：
根据正投影的性质，并结合左视图要求及如上图所 示， AB的正投影为 A′ B′， BC的正投影为 B′C′ ， BD′ 的正投影为 B′ D′，综上可知左视图为选项 D.
答案：D
解析： 由三视图可得，该几何是一个底面边长为2高 3 为 3的正三棱柱，其表面积S＝ 3× 2× 3＋ 2× × 22＝ 18 4 ＋ 2 3cm2.
答案：D
(文)(2010· 天津文，12)一个几何体的三视图如下图 所示，则这个几何体的体积为__________．
解析： 这个空间几何体是一个底面为直角梯形的直 棱柱，梯形两底边长为 1和 2，高为 2，棱柱的高为 1， 1 ∴体积 V＝ ×(1＋ 2)× 2×1＝ 3. 2
三视图专题
由三视图想象几何体的形状
[例 1] (2011· 安徽省皖南八校联考)下图是一个物体 )
的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是(
解析： 由俯视图的形状可知直观图是选项B或选项 D 中的一个，根据正视图和侧视图可知选项B错．故选 D.
答案：D
(2010· 课标全国文， 15)一个几何体的正视图为一 个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ________． (填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 圆锥 ⑥圆柱 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤
1 × 1× 1 2
＋ 2× (1× 1)＋
2
答案：C
练习：下图是一个空间几何体的三视图，根据图中 尺寸(单位：cm)，可知wk.baidu.com何体的表面积是( )
A． 18＋ 3 C． 17＋ 2 3
B． 16＋ 2 3 D． 18＋ 2 3
分析： 由主、俯视图可知，该几何体侧棱与底面垂 直，由左视图知，该几何体的底面为正三角形，故该几 何体是一个横放的正三棱柱．
答案：①②③⑤
由直观图到三视图
[例 2] (2011· 枣庄质检)如下图， 几何体的主(正)视图 和左(侧)视图都正确的是( )
解析： 直观图中的几何体是由斜二测规则画出的， 故几何体是一个长方体沿交于同一顶点的三条面对角线 截去一角余下的部分，主视图从正前方向后投影，故应 得到一个矩形和一条实对角线，对角线的方向是左上到 右下，左视图从左向右投影，得到一个矩形和一条虚对 角线，虚对角线应是左上到右下的方向，故选B.
答案：C
综合应用
[例 5] 图所示．
已知四棱锥 P－ ABCD的直观图及三视图如下
(1)求四棱锥P－ ABCD的体积； (2)若 E是侧棱 PC的中点，求证：PA∥平面 BDE； (3)若 E是侧棱 PC上的动点，不论点 E在什么位置， 是否都有 BD⊥ AE？证明你的结论．
解析： (1)由该四棱锥的直观图和三视图可知，该四 棱锥 P－ ABCD的底面是边长为 1的正方形，侧棱PC⊥底 1 2 面 ABCD，且PC＝ 2，∴ VP－ ABCD＝ S四边形 ABCD· PC＝ . 3 3
答案：3
(2011· 安徽理， 6)一个空间几何体的三视图如下图所 示，则该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．50
解析：
由三视图可知该几何体是底面是等腰梯形的直棱 柱，底面等腰梯形的上底为 2，下底为 4，高为 4.
如上图，两底面等腰梯形的面积 1 S1＝ 2S梯形 ABCD＝ 2× (2＋ 4)× 4＝ 24， 2 作 D1E⊥ A1B1，则 D1E＝ 4， A1E＝ 1，∴ A1D1＝ 17， ∴梯形底面周长为 4＋ 2＋ 2 17＝ 6＋ 2 17， ∴侧面积S2＝ (6＋ 2 17)× 4＝ 24＋ 8 17， ∴表面积S＝S1＋ S2＝ 48＋ 8 17.
1 1 直的三棱锥，底面为直角三角形，其体积 V＝ × ( 3 2 8 × 4× 4)× a＝ a＝ 8，∴ a＝ 3. 3
3.(2011· 汕头一检 )某几何体的俯视图是如下图所示 的矩形，正视图(主视图)是一个底边长为 8、高为 5 的等 腰三角形，侧视图(左视图)是一个底边长为 6、高为 5 的 等腰三角形，则该几何体的体积为( )
A． 24 C． 64
B． 80 D． 240
[答案] B
[解析 ] 结合题意知该几何体是四棱锥， 棱锥底面是 长和宽分别为 8 和 6 的矩形，顶点在底面的射影是底面 矩形对角线的交点，棱锥的高是 5，可由锥体的体积公式 1 得 V＝ × 8× 6× 5＝ 80，故选 B. 3
依据三视图进行计算
[例 3] (文)已知一空间几何体的三视图如下图所示， 它的表面积是( )
A． 4＋ 2 C． 3＋ 2
B． 2＋ 2 D． 3
分析： 由主、左视图可知，该几何体的侧棱垂直于 底面，由俯视图知，该几何体的底面是 Rt△，因此该几 何体是一个直三棱柱．
解析： 由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角 三角形的直三棱柱，底面直角三角形直角边长和棱柱的 高都是 1，故表面积 S＝ 2× × 1＝ 3＋ 2.
一、选择题 1． (文 )
(2011· 山东文， 11)上图是长和宽分别相等的两个矩 形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主 )视 图、俯视图如上图；②存在四棱柱，其正(主 )视图、俯 视图如上图；③存在圆柱，其正 (主)视图、俯视图如上 图．其中真命题的个数是( A． 3 C． 1 ) B． 2 D． 0
2. (2010· 北京理，3)一个长方体去掉一个小长方体， 所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示， 则该几何体的俯视图为( )
[答案] C
[解析 ] 由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉 的小长方体，从正前方看在观察者左侧，因此位于俯视 图的左侧；从左侧向右看时在观察者右侧，因此在俯视 图中应位于靠近观察者的一侧，故俯视图为 C.
答案：B
(文)(2011· 山东济宁模拟 )如下图，下列几何体各自 的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析： ∵正方体的正视、侧视、俯视图都为正方 形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三 角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯 形、梯形、三角形(但两梯形不相同)；正四棱锥的正 视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方 形．
4.（2012· 丰台一模)若正四棱锥的正视 图和俯视 图如图所示， 则该几何体的表面积是 A．4 B．4＋4 10 C．8 D．4＋4 11
[答案] B
5．(2011· 湘潭模拟)如下图是一个几何体的三视图， 该几何体的体积为 8，则 a 的值为________．
[答案] 3
[解析 ] 由三视图知，这是一个有一侧棱与底面垂
[答案] A
[解析 ]
①正确，如上图是一直三棱柱，其中四边形 BCC1B1 与四边形 BAA1B1是全等的矩形，且面 BCC1B1⊥面 BAA1B1，即满足要求．
②正确，如下图是一直四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1， 其中底面 ABCD为正方形，即满足要求．
③正确．横卧的圆柱即可．如下图．
(2)连接 AC交 BD于 F，如下图所示，则 F为 AC的中 点，
又∵ E为PC的中点，∴ PA∥ EF， 又PA⊄平面 BDE， EF⊂平面 BDE， ∴PA∥平面 BDE.
(3)不论点 E在什么位置，都有 BD⊥ AE. 证明：连接 AC，∵四边形 ABCD是正方形，∴ BD⊥ AC. ∵ PC⊥底面 ABCD，且 BD⊂平面 ABCD，∴ BD⊥ PC. 又 AC∩ PC＝ C，∴ BD⊥平面PAC， ∵不论点 E在什么位置，都有 AE⊂平面PAC. ∴不论点 E在什么位置，都有 BD⊥ AE.
解析： ①若正视投射线与三棱锥的一个侧面平行， 可得三棱锥的正视图为一个三角形；②若四棱锥的底面 是一个矩形，且有一条侧棱与底面垂直，则其正视图为 一个三角形；③将三棱柱的一个侧面水平放置，正对着 底，沿着侧棱看，可得其正视图为一个三角形；④对于 四棱柱，无论从哪个方向看，其正视图都不可能是三角 形；⑤圆锥的底面水平放置，其正视图是三角形；⑥圆 柱从不同的方向看，其正视图都不可能是三角形．
答案：D
(2011· 江西文， 9)将长方体截去一个四棱锥， 得到的 几何体如下图所示，则该几何体的左视图为( )
解析：
根据正投影的性质，并结合左视图要求及如上图所 示， AB的正投影为 A′ B′， BC的正投影为 B′C′ ， BD′ 的正投影为 B′ D′，综上可知左视图为选项 D.
答案：D
解析： 由三视图可得，该几何是一个底面边长为2高 3 为 3的正三棱柱，其表面积S＝ 3× 2× 3＋ 2× × 22＝ 18 4 ＋ 2 3cm2.
答案：D
(文)(2010· 天津文，12)一个几何体的三视图如下图 所示，则这个几何体的体积为__________．
解析： 这个空间几何体是一个底面为直角梯形的直 棱柱，梯形两底边长为 1和 2，高为 2，棱柱的高为 1， 1 ∴体积 V＝ ×(1＋ 2)× 2×1＝ 3. 2