第二章 平面向量2.2.1

§2.2平面向量的线性运算

2.2.1向量加法运算及其几何意义

课时目标

1.理解向量加法的法则及其几何意义.

2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．

1．向量的加法法则 (1)三角形法则

如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →

＝b ，则向量________

叫做a 与b 的和(或和向量)，记作__________，即a ＋b ＝AB →＋BC →

＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律

(1)交换律：a ＋b ＝______________.

(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝______________________.

一、选择题 1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行 2 km D ．向东北航行2 km

2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )

A.AB →＝CD →，BC →＝AD →

B.AD →＋OD →＝DA →

C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →

D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →

3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →

，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形

D ．四边形ABCD 一定是平行四边形

4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝b

D ．a ，b 无论什么关系均可

5. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →

等于( )

A. BD →

B. DB →

C. BC →

D. CB →

6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →

|等于( )

A ．1

B ．2

7．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →

＝________.

8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →

的模等于________． 9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____．

10. 设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式

(1)DE →＋EA →

＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →

＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →

＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →

＝________.

三、解答题

11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．

12. 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.

求证：四边形AECF是平行四边形．

能力提升

13．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →

＝______.

14．在水流速度为4 3 km /h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

§2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义

答案

知识梳理

1．(1)AC → a ＋b AC → 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC → 2．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计

1．A 2.C 3.D 4.A

5．C [BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →

.]

6．B [|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →

|＝2.] 7．0

解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →

＝0. 8．213

解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →

|＝213. 9．8

解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8. ∴|a ＋b |的最大值为8.

10．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →

11．解

如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →

表示船实际航

行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →

|＝5 (km/h)． ∵四边形OACB 为矩形，

∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝5 3 (km/h)，|OC →

|＝|OB →|sin 30°

＝10 (km/h)，

∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.

12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →

，

因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →

，

所以AE →＝FC →

，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形． 13．0

解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，

则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →

＝0，